Problemas de selectividad de Rectas y planos en el espacio

De la recta leemos un punto $A(1,-1,1)$ y un vector director $d=(1,-2,0)$. Del plano, su vector normal $n=(2,1,0)$.

Observamos que $d\cdot n=2-2+0=0$: la recta es paralela al plano $\pi$ (y no está contenida en él, porque $A$ no lo cumple: $2-1-3=-2\ne 0$).

3.2.1) El plano buscado $\sigma$ contiene a $r$, luego pasa por $A$ y contiene la dirección $d$; y es perpendicular a $\pi$, luego contiene la dirección del normal $n$ de $\pi$.

1. Un vector normal a $\sigma$ es perpendicular a $d$ y a $n$:

$$d\times n=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 0\\ 2& 1& 0\end{array}\right|=(0,0,1\cdot 1-(-2)\cdot 2)=(0,0,5)\parallel (0,0,1).$$

2. El plano es $z+D=0$ y, como pasa por $A(1,-1,1)$, $1+D=0$, luego $D=-1$.

Comprobación: todos los puntos de $r$ tienen $z=1$, así que están en el plano $z=1$; y su normal $(0,0,1)$ cumple $(0,0,1)\cdot (2,1,0)=0$, luego es perpendicular a $\pi$.

Resultado: $z=1$ (es decir, $z-1=0$)

3.2.2) Un plano paralelo a $\pi$ tiene la forma $2x+y+D=0$. Existirá uno que contenga a $r$ solo si $r$ es paralela a $\pi$, y ya hemos visto que lo es.

1. Imponemos que contenga al punto $A(1,-1,1)$: $2\cdot 1+(-1)+D=0$, luego $D=-1$.
2. Como además $d\cdot n=0$, todos los puntos de $r$ lo cumplen: $2(1+\alpha )+(-1-2\alpha )-1=0$ para todo $\alpha$.

Existe, y es único.

Resultado: $2x+y-1=0$

Primero obtenemos el vector director de $s$, que está dada como intersección de dos planos.

1. ${\vec{v}}_s=(-1,1,1)\times (1,2,-1)=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=(-1-2,-(1-1),-2-1)=(-3,0,-3)\parallel (1,0,1)$.
2. El vector director de $r$ es ${\vec{v}}_r=(2,3,\alpha )$.

3.2.1 Dos rectas en el espacio son perpendiculares cuando sus vectores directores son ortogonales (aunque no se corten, como ocurre aquí: se cruzan).

1. ${\vec{v}}_r\cdot {\vec{v}}_s=(2,3,\alpha )\cdot (1,0,1)=2+\alpha =0$, luego $\alpha =-2$.

Resultado: $\alpha =-2$

3.2.2 El punto de $r$ con $z=0$: en $\frac{z}{\alpha }=0$ el parámetro de la recta vale $0$ (al ser $\alpha \ne 0$), y entonces $\frac{x+1}{2}=0$ y $\frac{y-2}{3}=0$, es decir, $Q=(-1,2,0)$.

1. La recta paralela a $s$ por $Q$ tiene vector director ${\vec{v}}_s=(1,0,1)$.
2. Ecuaciones paramétricas: $$\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda \\ y=2\\ z=\lambda \end{array}\text{o bien}\{\begin{array}{rl}y& =2\\ x+1& =z\end{array}$$

Resultado: $(x,y,z)=(-1,2,0)+\lambda (1,0,1)$

Resultado: 3.2.1) $\alpha =-2$; 3.2.2) $(x,y,z)=(-1,2,0)+\lambda (1,0,1)$

a) Necesitamos un vector director de cada recta.

1. La recta $r$ es la intersección de dos planos, de vectores normales ${\vec{n}}_1=(1,-1,0)$ y ${\vec{n}}_2=(1,2,1)$. Un vector director de $r$ es su producto vectorial: $$\vec{u}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=(-1\cdot 1-0\cdot 2,-(1\cdot 1-0\cdot 1),1\cdot 2-(-1)\cdot 1)=(-1,-1,3).$$

2. La recta $PQ$ tiene vector director $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2,2,a-3)$.

3. Son paralelas si los vectores son proporcionales: $(2,2,a-3)=\lambda (-1,-1,3)$. De las dos primeras componentes, $\lambda =-2$; de la tercera, $a-3=3\lambda =-6$, luego $a=-3$.

4. Para $a=-3$ la recta $PQ$ no coincide con $r$ (el punto $P=(0,0,3)$ no cumple $x-y=1$), así que son paralelas y distintas. Para cualquier otro $a$ no son paralelas.

Resultado: $a=-3$

b) El plano perpendicular a $r$ tiene como vector normal el director de $r$, $\vec{u}=(-1,-1,3)$.

1. Ecuación: $-x-y+3z+D=0$.
2. Pasa por $P=(0,0,3)$: $0-0+9+D=0\Rightarrow D=-9$.
3. El plano es $-x-y+3z-9=0$, o, multiplicando por $-1$, $x+y-3z+9=0$.

Resultado: $\pi :-x-y+3z-9=0$ (equivalentemente, $x+y-3z+9=0$)

Resultado: a) $a=-3$; b) $-x-y+3z-9=0$

Datos previos de la recta.

1. Vector director de $r$: producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen, $$\vec{d}=(1,-2,-2)\times (1,3,-1)=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& -2\\ 1& 3& -1\end{array}\right|=(2+6,-2+1,3+2)=(8,-1,5).$$

2. Un punto de $r$: con $z=0$ queda $x-2y=1$ y $x+3y=1$, de donde $y=0$, $x=1$. Así, $P=(1,0,0)\in r$.

3. El vector normal del plano es $\vec{n}=(2,1,m)$.

a) 1. La recta y el plano se cortan en un único punto cuando la recta no es paralela al plano, es decir, cuando $\vec{d}\cdot \vec{n}\ne 0$: $$\vec{d}\cdot \vec{n}=16-1+5m=15+5m\ne 0⟺m\ne -3.$$

2. En ese caso el punto de corte existe para cualquier valor de $n$ (que solo desplaza el plano).

Resultado: $m\ne -3$ y cualquier valor de $n$.

b) 1. Para que no se corten, la recta debe ser paralela al plano y no estar contenida en él. Paralela: $\vec{d}\cdot \vec{n}=0⟺m=-3$.

2. Con $m=-3$, el plano es $2x+y-3z=n$. Sustituimos el punto $P=(1,0,0)$ de la recta: $2=n$ sería la condición para que $P$ esté en el plano.

3. Si $n\ne 2$, $P\notin \pi$, y como $r$ es paralela a $\pi$, no hay ningún punto común.

Resultado: $m=-3$ y $n\ne 2$.

c) 1. La recta está contenida en el plano si es paralela a él ($m=-3$) y además uno de sus puntos está en el plano: $P\in \pi ⟺n=2$.

Resultado: $m=-3$ y $n=2$.

Resultado: a) $m\ne -3$ y $n$ cualquiera; b) $m=-3$ y $n\ne 2$; c) $m=-3$ y $n=2$

3.1.1 Dos puntos son simétricos respecto a un plano cuando el plano es perpendicular al segmento que los une y pasa por su punto medio (plano mediador).

1. Punto medio de $AB$: $M=\left(\frac{1+3}{2},\frac{-2+4}{2},\frac{1+3}{2}\right)=(2,1,2)$.
2. Vector normal: $\overrightarrow{AB}=(2,6,2)$, que es proporcional a $\vec{n}=(1,3,1)$.
3. El plano es $x+3y+z+D=0$. Imponemos que pase por $M$: $2+3+2+D=0$, luego $D=-7$.

Resultado: ${\pi }_1:x+3y+z-7=0$

3.1.2 La recta $r$ tiene punto $P_r=(0,2,1)$ y vector director ${\vec{v}}_r=(2,-1,1)$. Está contenida en ${\pi }_1$ si un punto suyo está en ${\pi }_1$ y ${\vec{v}}_r$ es perpendicular a la normal.

1. $P_r\in {\pi }_1$: $0+3\cdot 2+1-7=0$. Se cumple.
2. ${\vec{v}}_r\cdot \vec{n}=(2,-1,1)\cdot (1,3,1)=2-3+1=0$. Se cumple.

Resultado: $r\subset {\pi }_1$, pues $P_r\in {\pi }_1$ y ${\vec{v}}_r\perp \vec{n}$.

3.1.3 Como ${\pi }_1\cap {\pi }_2=r$, el plano ${\pi }_2$ contiene a la recta $r$ (y es distinto de ${\pi }_1$). Además contiene a $A$. Es el plano que pasa por $P_r$ y contiene las direcciones ${\vec{v}}_r$ y $\overrightarrow{P_{r}A}$.

1. $\overrightarrow{P_{r}A}=(1-0,-2-2,1-1)=(1,-4,0)$.
2. Normal de ${\pi }_2$: $${\vec{n}}_2={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{P_{r}A}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 1\\ 1& -4& 0\end{array}\right|=(0+4,-(0-1),-8+1)=(4,1,-7).$$
3. Plano por $P_r=(0,2,1)$: $4x+(y-2)-7(z-1)=0$, es decir, $4x+y-7z+5=0$.
4. Comprobación: $A(1,-2,1)$ da $4-2-7+5=0$; y ${\pi }_2$ no es paralelo a ${\pi }_1$ (normales $(4,1,-7)$ y $(1,3,1)$ no proporcionales), así que se cortan precisamente en $r$.

Resultado: ${\pi }_2:4x+y-7z+5=0$

Resultado: 3.1.1) $x+3y+z-7=0$; 3.1.2) $P_r\in {\pi }_1$ y ${\vec{v}}_r\cdot \vec{n}=0$, luego $r\subset {\pi }_1$; 3.1.3) $4x+y-7z+5=0$

La recta $r$ pasa por $P=(0,-1,1)$ y tiene vector director $\vec{d}=(2,-1,1)$. El plano $\pi$ tiene vector normal $\vec{n}=(2,m,1)$.

3.1.1 La recta es perpendicular al plano cuando su vector director es paralelo al vector normal del plano.

1. Imponemos $\vec{n}=k\vec{d}$: $(2,m,1)=k(2,-1,1)$.
2. De la primera coordenada, $k=1$; de la tercera, también $k=1$.
3. Entonces $m=-k=-1$.

Resultado: $m=-1$

3.1.2 La recta es paralela al plano cuando $\vec{d}$ es perpendicular a $\vec{n}$, es decir, $\vec{d}\cdot \vec{n}=0$.

1. $\vec{d}\cdot \vec{n}=2\cdot 2+(-1)\cdot m+1\cdot 1=5-m$.
2. $5-m=0$ da $m=5$.
3. Para que sea paralela y no esté contenida en el plano, comprobamos que $P=(0,-1,1)$ no verifica la ecuación de $\pi$: $0+5\cdot (-1)+1-3=-7\ne 0$. Así, para $m=5$ la recta es paralela al plano y no tiene ningún punto en común con él.

Resultado: $m=5$

3.1.3 Escribimos la recta en paramétricas: $x=2t$, $y=-1-t$, $z=1+t$, y sustituimos en la ecuación del plano.

1. $2(2t)+m(-1-t)+(1+t)-3=0$.
2. Desarrollamos: $4t-m-mt+1+t-3=0$, es decir, $(5-m)t=m+2$.
3. Si $m\ne 5$ podemos despejar: $t=\frac{m+2}{5-m}$, y hay un único punto de intersección.
4. Sustituimos $t$ en la recta: $$x=\frac{2(m+2)}{5-m},y=-1-\frac{m+2}{5-m}=\frac{-5+m-m-2}{5-m}=\frac{-7}{5-m},z=1+\frac{m+2}{5-m}=\frac{7}{5-m}.$$
5. Si $m=5$ la ecuación queda $0\cdot t=7$, que no tiene solución: no hay intersección (es el caso paralelo del apartado anterior).

Resultado: para $m\ne 5$, el punto de intersección es $\left(\frac{4+2m}{5-m},\frac{-7}{5-m},\frac{7}{5-m}\right)$; para $m=5$ no hay intersección

Resultado: 3.1.1) $m=-1$; 3.1.2) $m=5$; 3.1.3) para $m\ne 5$, $\left(\frac{4+2m}{5-m},\frac{-7}{5-m},\frac{7}{5-m}\right)$, y para $m=5$ no hay intersección

3.1.1 Pasamos las dos rectas a forma paramétrica o vectorial.

1. Recta $r$: tomando $x=\lambda$ se tiene $y=a-2\lambda$ y $z=1$. Un punto es $A=(0,a,1)$ y un vector director es ${\vec{d}}_r=(1,-2,0)$.
2. Recta $s$: su vector director es el producto vectorial de las normales de los dos planos, $(-1,2,2)\times (1,0,1)=(2\cdot 1-2\cdot 0,2\cdot 1-(-1)\cdot 1,(-1)\cdot 0-2\cdot 1)=(2,3,-2)$. Un punto de $s$: con $z=0$ resulta $x=a$ y $2y=5+a$, luego $B=\left(a,\frac{5+a}{2},0\right)$ y ${\vec{d}}_s=(2,3,-2)$.
3. Los vectores directores $(1,-2,0)$ y $(2,3,-2)$ no son proporcionales (por ejemplo, la tercera componente de uno es $0$ y la del otro no). Por tanto, las rectas nunca son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan.
4. Estudiamos si son coplanarias con el determinante de ${\vec{d}}_r$, ${\vec{d}}_s$ y $\overrightarrow{AB}=\left(a,\frac{5+a}{2}-a,-1\right)=\left(a,\frac{5-a}{2},-1\right)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 2& 3& -2\\ a& \frac{5-a}{2}& -1\end{array}\right|=1\left(-3+(5-a)\right)+2\left(-2+2a\right)=(2-a)+(-4+4a)=3a-2.$$

5. Si $3a-2\ne 0$, es decir, $a\ne \frac{2}{3}$, los tres vectores no son coplanarios y las rectas se cruzan. Si $a=\frac{2}{3}$, son coplanarias y, al no ser paralelas, se cortan en un punto.

Resultado: si $a\ne \frac{2}{3}$, las rectas se cruzan; si $a=\frac{2}{3}$, se cortan en un punto.

3.1.2 Según el apartado anterior, las rectas se cortan solo para $a=\frac{2}{3}$. Resolvemos el sistema formado por las cuatro ecuaciones con $a=\frac{2}{3}$:

1. De $z=1$ y $x+z=\frac{2}{3}$ se obtiene $x=-\frac{1}{3}$.
2. De $2x+y=\frac{2}{3}$: $y=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$.
3. Comprobamos en $-x+2y+2z=5$: $\frac{1}{3}+\frac{8}{3}+2=3+2=5$. Se cumple.

Resultado: $a=\frac{2}{3}$ y $P=\left(-\frac{1}{3},\frac{4}{3},1\right)$

3.1.3 La distancia del origen $O$ a $P$ es el módulo del vector $\overrightarrow{OP}$:

$$d(O,P)=\sqrt{{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+1^2}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{16}{9}+\frac{9}{9}}=\sqrt{\frac{26}{9}}=\frac{\sqrt{26}}{3}\approx 1,70\text{u}.$$

Resultado: $d(O,P)=\frac{\sqrt{26}}{3}\approx 1,70$

Resultado: 3.1.1) si $a\ne \frac{2}{3}$ las rectas se cruzan; si $a=\frac{2}{3}$ se cortan; 3.1.2) $a=\frac{2}{3}$, $P=\left(-\frac{1}{3},\frac{4}{3},1\right)$; 3.1.3) $d(O,P)=\frac{\sqrt{26}}{3}\approx 1,70$

De la recta $r$ obtenemos un punto $A=(1,-1,1)$ y un vector director ${\vec{d}}_r=(1,-2,0)$. El plano $\pi$ tiene vector normal ${\vec{n}}_{\pi }=(2,1,0)$.

3.2.1 El plano ${\pi }_1$ contiene a $r$ (luego contiene a $A$ y a ${\vec{d}}_r$) y es perpendicular a $\pi$ (luego contiene la dirección de ${\vec{n}}_{\pi }$).

1. Dos vectores directores de ${\pi }_1$: ${\vec{d}}_r=(1,-2,0)$ y ${\vec{n}}_{\pi }=(2,1,0)$. No son proporcionales, así que generan un plano.
2. Su vector normal es el producto vectorial:

$${\vec{d}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 0\\ 2& 1& 0\end{array}\right|=(0,0,1\cdot 1-(-2)\cdot 2)=(0,0,5).$$

3. Tomamos como normal $(0,0,1)$ y como pasa por $A=(1,-1,1)$: $z-1=0$.

Comprobación: la recta $r$ tiene $z=1$ en todos sus puntos, luego está contenida en $z=1$; y la normal $(0,0,1)$ es perpendicular a $(2,1,0)$, así que los planos son perpendiculares.

Resultado: ${\pi }_1:z=1$

3.2.2 Un plano paralelo a $\pi$ tiene la forma $2x+y+D=0$. Para que contenga a $r$ hace falta, como condición necesaria, que $r$ sea paralela a $\pi$.

1. Comprobamos: ${\vec{d}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=1\cdot 2+(-2)\cdot 1+0=0$. La recta $r$ es paralela a $\pi$ (o está contenida en él).
2. El punto $A=(1,-1,1)$ no está en $\pi$, pues $2\cdot 1+(-1)-3=-2\ne 0$; luego $r$ es paralela a $\pi$ y no está contenida en él.
3. Imponemos que $A$ esté en ${\pi }_2$: $2\cdot 1+(-1)+D=0$, de donde $D=-1$.
4. Como $r$ es paralela al plano ${\pi }_2$ y uno de sus puntos pertenece a él, toda la recta está en ${\pi }_2$. Comprobación con un punto genérico: $2(1+\alpha )+(-1-2\alpha )-1=0$ para todo $\alpha$.

Sí existe, y es único: ${\pi }_2:2x+y-1=0$.

Resultado: ${\pi }_2:2x+y-1=0$

Resultado: 3.2.1) ${\pi }_1:z=1$; 3.2.2) ${\pi }_2:2x+y-1=0$

De las ecuaciones paramétricas de $r$ obtenemos un punto $A=(1,-1,1)$ y un vector director $\vec{d}=(1,-2,0)$. El plano $\pi :2x+y-3=0$ tiene vector normal ${\vec{n}}_{\pi }=(2,1,0)$.

3.2.1) Un plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$ queda determinado por el punto $A$ y por los vectores $\vec{d}$ y ${\vec{n}}_{\pi }$ (el plano contiene la dirección de $r$ y la dirección normal a $\pi$). Su vector normal es perpendicular a ambos:

1. $\vec{n}=\vec{d}\times {\vec{n}}_{\pi }=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 0\\ 2& 1& 0\end{array}\right|=(0,0,1+4)=(0,0,5)$.
2. Tomamos $\vec{n}=(0,0,1)$. El plano es $z+D=0$ y pasa por $A=(1,-1,1)$, luego $1+D=0$ y $D=-1$.

El plano $z=1$ contiene a $r$ (todos sus puntos tienen $z=1$) y es perpendicular a $\pi$ porque $\vec{n}\cdot {\vec{n}}_{\pi }=0$.

Resultado: $z-1=0$

3.2.2) Un plano paralelo a $\pi$ tiene vector normal $(2,1,0)$, es decir, ecuación $2x+y+D=0$. Para que contenga a $r$ hace falta que:

1. Su normal sea perpendicular a la dirección de $r$: ${\vec{n}}_{\pi }\cdot \vec{d}=2\cdot 1+1\cdot (-2)+0=0$. Se cumple.
2. Contenga un punto de $r$: con $A=(1,-1,1)$, $2\cdot 1+(-1)+D=0$, luego $D=-1$.

Existe, y es único: $2x+y-1=0$. Todo punto de $r$ lo cumple: $2(1+\alpha )+(-1-2\alpha )-1=0$. Este plano es distinto de $\pi$ (porque $-1\ne -3$), como corresponde a que $r$ sea paralela a $\pi$ y no esté contenida en él.

Resultado: $2x+y-1=0$

Resultado: 3.2.1) $z-1=0$; 3.2.2) $2x+y-1=0$

a) De las ecuaciones obtenemos un punto y un vector director de cada recta:

• $r$: punto $A=(1,2,1)$, vector $\vec{u}=(1,1,2)$.
• $s$: punto $B=(3,3,-1)$, vector $\vec{v}=(-2,-1,2)$.

1. Los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes.
2. Se cortan si y solo si son coplanarias, es decir, si $\overrightarrow{AB}$, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son linealmente dependientes. Con $\overrightarrow{AB}=(2,1,-2)$:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ 1& 1& 2\\ -2& -1& 2\end{array}\right|=2(2+2)-1(2+4)+(-2)(-1+2)=8-6-2=0.$$

3. El determinante es cero: son coplanarias y no paralelas, luego se cortan en un punto.
4. Para hallarlo, ponemos las rectas en paramétricas: $r:(1+t,2+t,1+2t)$ y $s:(3-2\mu ,3-\mu ,-1+2\mu )$. Igualando las dos primeras coordenadas:

$$1+t=3-2\mu ,2+t=3-\mu .$$

Restando la primera de la segunda: $1=\mu$, y entonces $t=3-2-1=0$.

5. Comprobamos con la tercera coordenada: $1+2\cdot 0=1$ y $-1+2\cdot 1=1$. Coinciden.
6. El punto es el de $r$ con $t=0$: $P=(1,2,1)$.

Resultado: las rectas se cortan en $P=(1,2,1)$.

b) La recta pedida tiene como dirección un vector perpendicular a la vez a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, por ejemplo su producto vectorial.

$$\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 2\\ -2& -1& 2\end{array}\right|=(1\cdot 2-2\cdot (-1),-(1\cdot 2-2\cdot (-2)),1\cdot (-1)-1\cdot (-2))=(4,-6,1).$$

2. Comprobación: $(4,-6,1)\cdot (1,1,2)=4-6+2=0$ y $(4,-6,1)\cdot (-2,-1,2)=-8+6+2=0$.
3. La recta pasa por $P=(1,2,1)$ con dirección $(4,-6,1)$.

Resultado: $\{\begin{array}{rl}x& =1+4\lambda \\ y& =2-6\lambda \\ z& =1+\lambda \end{array}$, es decir, $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{-6}=\frac{z-1}{1}$

Resultado: a) $P=(1,2,1)$; b) $(x,y,z)=(1+4\lambda ,2-6\lambda ,1+\lambda )$

a) Sustituimos los puntos de la recta, $(1-\lambda ,1-\lambda ,2\lambda )$, en la ecuación del plano.

1. $5(1-\lambda )+m(1-\lambda )+2\lambda =2\Rightarrow 5+m-(5+m)\lambda +2\lambda =2$.
2. Ordenando: $(-3-m)\lambda =-3-m$, es decir, $(m+3)\lambda =m+3$.
3. Si $m\ne -3$: $\lambda =1$ es la única solución. La recta corta al plano en un único punto, el de $\lambda =1$: $(0,0,2)$.
4. Si $m=-3$: la ecuación queda $0\cdot \lambda =0$, que se cumple para todo $\lambda$. La recta está contenida en el plano.
5. Nunca son paralelos sin contacto: el vector $(-1,-1,2)$ y la normal $(5,m,1)$ cumplen $(-1,-1,2)\cdot (5,m,1)=-3-m$, que se anula solo si $m=-3$, y entonces el punto $(1,1,0)$ ya está en el plano ($5-3+0=2$).

Resultado: si $m\ne -3$, $r$ y $\pi$ se cortan en un punto; si $m=-3$, $r$ está contenida en $\pi$.

b) Con $m=1$, $\pi :5x+y+z=2$ tiene normal $\vec{n}=(5,1,1)$.

1. El plano ${\pi }^{\prime }$ contiene a $r$: pasa por $(1,1,0)$ y contiene la dirección $\vec{d}=(-1,-1,2)$.
2. ${\pi }^{\prime }\perp \pi$: contiene también la dirección de la normal $\vec{n}=(5,1,1)$.
3. Un vector normal a ${\pi }^{\prime }$ es

$$\vec{d}\times \vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -1& 2\\ 5& 1& 1\end{array}\right|=(-1-2,-(-1-10),-1+5)=(-3,11,4).$$

4. ${\pi }^{\prime }:-3(x-1)+11(y-1)+4z=0\Rightarrow -3x+11y+4z-8=0$, es decir, $3x-11y-4z+8=0$.
5. Comprobación: $(-3,11,4)\cdot (-1,-1,2)=3-11+8=0$ y $(-3,11,4)\cdot (5,1,1)=-15+11+4=0$.

Resultado: ${\pi }^{\prime }:3x-11y-4z+8=0$

Resultado: a) $m\ne -3$: se cortan en un punto; $m=-3$: $r\subset \pi$; b) ${\pi }^{\prime }:3x-11y-4z+8=0$

a) Estudiamos el sistema formado por las tres ecuaciones:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& a\\ 1& a& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& a-1\\ 2& 1& a& a\\ 1& a& 1& 1\end{array}\right).$$

1. Determinante:

$$|A|=1(1-a^2)-1(2-a)+1(2a-1)=-a^2+3a-2=-(a-1)(a-2).$$

2. Si $a\ne 1$ y $a\ne 2$: $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$. Sistema compatible determinado: los tres planos se cortan en un único punto.
3. Si $a=1$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 2& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$$

Las filas 1 y 3 de $A$ son iguales pero los términos independientes son distintos ($0\ne 1$): ${\pi }_1$ y ${\pi }_3$ son paralelos y distintos. Las filas 1 y 2 de $A$ no son proporcionales, así que $\mathrm{rg}A=2$. Además

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=1(1-1)-1(2-1)+0=-1\ne 0,$$

luego $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$. Sistema incompatible: ${\pi }_2$ corta a ${\pi }_1$ y a ${\pi }_3$ (los normales $(2,1,1)$ y $(1,1,1)$ no son proporcionales), y estos dos son paralelos entre sí.

4. Si $a=2$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 1& 2& 2\\ 1& 2& 1& 1\end{array}\right).$$

Las filas de $A$ son dos a dos no proporcionales y $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=2$. Los menores de orden 3 con la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=1(1-4)-1(2-2)+1(4-1)=0,\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 2& 1& 1\end{array}\right|=0,$$

y el que usa las columnas 1, 3 y 4 vale $0$ porque las filas 1 y 2 de esas columnas son proporcionales. Entonces $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2$. Sistema compatible indeterminado: los tres planos (distintos) se cortan en una recta común.

Resultado: si $a\ne 1,2$, los tres planos se cortan en un punto; si $a=1$, ${\pi }_1\parallel {\pi }_3$ (distintos) y ${\pi }_2$ corta a ambos; si $a=2$, los tres planos se cortan en una recta.

b) Con $a=1$: ${\pi }_1:x+y+z=0$ y ${\pi }_3:x+y+z=1$. Son planos paralelos y distintos (mismo vector normal, distinto término independiente), así que no tienen ningún punto en común.

Resultado: no existe la recta de corte entre ${\pi }_1$ y ${\pi }_3$.

c) Con $a=2$: ${\pi }_1:x+y+z=1$ y ${\pi }_2:2x+y+2z=2$.

1. Restando a la segunda ecuación la primera: $x+z=1$.
2. Sustituyendo en la primera: $y=1-(x+z)=0$.
3. Recta de corte: $\{\begin{array}{rl}x+z& =1\\ y& =0\end{array}$, es decir, $(x,y,z)=(1-\mu ,0,\mu )$.
4. Comprobación: el producto vectorial de los normales $(1,1,1)\times (2,1,2)=(1,0,-1)$ es la dirección de la recta, y $(1,0,0)$ está en ambos planos.

Resultado: $r:\{\begin{array}{rl}x+z& =1\\ y& =0\end{array}$

Resultado: a) $a\ne 1,2$: tres planos que se cortan en un punto; $a=1$: ${\pi }_1\parallel {\pi }_3$ y ${\pi }_2$ los corta; $a=2$: los tres se cortan en una recta; b) no existe; c) $x+z=1,y=0$

a) Pasamos las dos rectas a forma paramétrica.

1. Recta $r$: tomando $x=t$, $y=t+3$ y $z=2t+3$. Pasa por $P_r=(0,3,3)$ con vector director ${\vec{d}}_r=(1,1,2)$.
2. Recta $s$: tomando $x=\mu$, $y=\mu -1$ y $z=2\mu +2$. Pasa por $P_s=(0,-1,2)$ con vector director ${\vec{d}}_s=(1,1,2)$.
3. Los vectores directores coinciden, así que las rectas son paralelas. No son la misma recta: $P_s\notin r$, porque $x-y+3=0+1+3=4\ne 0$. Por ser paralelas y distintas, determinan un único plano.
4. Vectores del plano: $\vec{d}=(1,1,2)$ y $\overrightarrow{P_r{P}_s}=(0,-4,-1)$.
5. Vector normal:

$$\vec{n}=\vec{d}\times \overrightarrow{P_r{P}_s}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 2\\ 0& -4& -1\end{array}\right|=(-1+8,-(-1-0),-4-0)=(7,1,-4).$$

6. El plano es $7x+y-4z+D=0$. Pasa por $P_r=(0,3,3)$: $3-12+D=0\Rightarrow D=9$.
7. Comprobación con $P_s$: $0-1-8+9=0$.