Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Junio 2021

a) Sean $A$ la matriz de coeficientes y $A^{\ast }$ la ampliada:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& a+1\\ 1& a-1& 2\\ 2& a& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& a+1& 2\\ 1& a-1& 2& 1\\ 2& a& 1& -1\end{array}\right).$$

1. Calculamos $|A|$ desarrollando por la primera fila:

$$|A|=1((a-1)-2a)-1(1-4)+(a+1)(a-2(a-1))=(-a-1)+3+(a+1)(2-a)=4-a^2.$$

Así $|A|=(2-a)(2+a)$, que se anula para $a=2$ y $a=-2$.

2. Si $a\ne 2$ y $a\ne -2$: $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$ = número de incógnitas. Sistema compatible determinado (SCD).
3. Si $a=2$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 3& 2\\ 1& 1& 2& 1\\ 2& 2& 1& -1\end{array}\right).$$

El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 2\end{array}\right|=-1\ne 0$ y $|A|=0$, luego $\mathrm{rg}A=2$. Los dos menores de orden 3 de $A^{\ast }$ que incluyen la columna de términos independientes y no tienen dos columnas iguales valen

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 2& 1\\ 2& 1& -1\end{array}\right|=1(-2-1)-3(-1-2)+2(1-4)=-3+9-6=0,$$

y los demás tienen las columnas 1 y 2 iguales, luego también valen $0$. Entonces $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2=\mathrm{rg}A<3$. Sistema compatible indeterminado (SCI).

4. Si $a=-2$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 2\\ 1& -3& 2& 1\\ 2& -2& 1& -1\end{array}\right).$$

El menor $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -3\end{array}\right|=-4\ne 0$ y $|A|=0$, luego $\mathrm{rg}A=2$. Con las columnas 1, 2 y la de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& -3& 1\\ 2& -2& -1\end{array}\right|=1(3+2)-1(-1-2)+2(-2+6)=5+3+8=16\ne 0,$$

luego $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3\ne \mathrm{rg}A$. Sistema incompatible (SI).

Resultado: SCD si $a\ne \pm 2$; SCI si $a=2$; SI si $a=-2$.

b) El sistema es compatible si $a\ne -2$.

Caso $a\ne \pm 2$ (SCD). Aplicamos la regla de Cramer con $|A|=(2-a)(2+a)$:

1. $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& a+1\\ 1& a-1& 2\\ -1& a& 1\end{array}\right|=2(-a-1)-1(1+2)+(a+1)(2a-1)=2a^2-a-6=(2a+3)(a-2)$, luego $x=\frac{(2a+3)(a-2)}{(2-a)(2+a)}=-\frac{2a+3}{a+2}$.
2. $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& a+1\\ 1& 1& 2\\ 2& -1& 1\end{array}\right|=1(1+2)-2(1-4)+(a+1)(-1-2)=6-3a=3(2-a)$, luego $y=\frac{3(2-a)}{(2-a)(2+a)}=\frac{3}{a+2}$.
3. $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& a-1& 1\\ 2& a& -1\end{array}\right|=1(-(a-1)-a)-1(-1-2)+2(a-2a+2)=8-4a=4(2-a)$, luego $z=\frac{4}{a+2}$.
4. Comprobación con $a=0$: $(x,y,z)=\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2},2\right)$ cumple $x+y+z=2$, $x-y+2z=1$ y $2x+z=-1$.

Caso $a=2$ (SCI). El sistema es $x+y+3z=2$, $x+y+2z=1$, $2x+2y+z=-1$.

1. Restando las dos primeras ecuaciones: $z=1$.
2. Sustituyendo en la primera: $x+y=-1$. La tercera, $2(x+y)+1=-1$, se cumple y no aporta nada nuevo.
3. Tomamos $y=\lambda$: $x=-1-\lambda$.

Resultado: si $a\ne \pm 2$: $(x,y,z)=\left(-\frac{2a+3}{a+2},\frac{3}{a+2},\frac{4}{a+2}\right)$; si $a=2$: $(x,y,z)=(-1-\lambda ,\lambda ,1)$, $\lambda \in \mathbb{R}$.

Resultado: a) SCD si $a\ne \pm 2$; SCI si $a=2$; SI si $a=-2$; b) para $a\ne \pm 2$: $\left(-\frac{2a+3}{a+2},\frac{3}{a+2},\frac{4}{a+2}\right)$; para $a=2$: $(-1-\lambda ,\lambda ,1)$

a) Estudiamos el sistema formado por las tres ecuaciones:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& a\\ 1& a& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& a-1\\ 2& 1& a& a\\ 1& a& 1& 1\end{array}\right).$$

1. Determinante:

$$|A|=1(1-a^2)-1(2-a)+1(2a-1)=-a^2+3a-2=-(a-1)(a-2).$$

2. Si $a\ne 1$ y $a\ne 2$: $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$. Sistema compatible determinado: los tres planos se cortan en un único punto.
3. Si $a=1$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 2& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$$

Las filas 1 y 3 de $A$ son iguales pero los términos independientes son distintos ($0\ne 1$): ${\pi }_1$ y ${\pi }_3$ son paralelos y distintos. Las filas 1 y 2 de $A$ no son proporcionales, así que $\mathrm{rg}A=2$. Además

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=1(1-1)-1(2-1)+0=-1\ne 0,$$

luego $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$. Sistema incompatible: ${\pi }_2$ corta a ${\pi }_1$ y a ${\pi }_3$ (los normales $(2,1,1)$ y $(1,1,1)$ no son proporcionales), y estos dos son paralelos entre sí.

4. Si $a=2$:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 1& 2& 2\\ 1& 2& 1& 1\end{array}\right).$$

Las filas de $A$ son dos a dos no proporcionales y $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=2$. Los menores de orden 3 con la columna de términos independientes:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=1(1-4)-1(2-2)+1(4-1)=0,\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 2& 1& 1\end{array}\right|=0,$$

y el que usa las columnas 1, 3 y 4 vale $0$ porque las filas 1 y 2 de esas columnas son proporcionales. Entonces $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2$. Sistema compatible indeterminado: los tres planos (distintos) se cortan en una recta común.

Resultado: si $a\ne 1,2$, los tres planos se cortan en un punto; si $a=1$, ${\pi }_1\parallel {\pi }_3$ (distintos) y ${\pi }_2$ corta a ambos; si $a=2$, los tres planos se cortan en una recta.

b) Con $a=1$: ${\pi }_1:x+y+z=0$ y ${\pi }_3:x+y+z=1$. Son planos paralelos y distintos (mismo vector normal, distinto término independiente), así que no tienen ningún punto en común.

Resultado: no existe la recta de corte entre ${\pi }_1$ y ${\pi }_3$.

c) Con $a=2$: ${\pi }_1:x+y+z=1$ y ${\pi }_2:2x+y+2z=2$.

1. Restando a la segunda ecuación la primera: $x+z=1$.
2. Sustituyendo en la primera: $y=1-(x+z)=0$.
3. Recta de corte: $\{\begin{array}{rl}x+z& =1\\ y& =0\end{array}$, es decir, $(x,y,z)=(1-\mu ,0,\mu )$.
4. Comprobación: el producto vectorial de los normales $(1,1,1)\times (2,1,2)=(1,0,-1)$ es la dirección de la recta, y $(1,0,0)$ está en ambos planos.

Resultado: $r:\{\begin{array}{rl}x+z& =1\\ y& =0\end{array}$

Resultado: a) $a\ne 1,2$: tres planos que se cortan en un punto; $a=1$: ${\pi }_1\parallel {\pi }_3$ y ${\pi }_2$ los corta; $a=2$: los tres se cortan en una recta; b) no existe; c) $x+z=1,y=0$

a) Dominio. $f$ no está definida donde el denominador se anula: $x(x+2)=0⟺x=0$ o $x=-2$. Dominio: $\mathbb{R}\setminus \{-2,0\}$.

Asíntotas verticales. En $x=0$ y $x=-2$ el denominador se anula y el numerador no ($-1$ y $-3$), luego los límites son infinitos:

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f(x)=+\infty .$$

Son asíntotas verticales $x=0$ y $x=-2$.

Asíntota horizontal. El grado del numerador (1) es menor que el del denominador (2):

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x^2+2x}=0.$$

La recta $y=0$ es asíntota horizontal en $\pm \infty$. Al haber asíntota horizontal no hay asíntotas oblicuas.

Resultado: dominio $\mathbb{R}\setminus \{-2,0\}$; asíntotas verticales $x=0$ y $x=-2$; asíntota horizontal $y=0$.

b) Derivamos con la regla del cociente:

1. $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+2x)-(x-1)(2x+2)}{(x^2+2x{)}^2}=\frac{x^2+2x-2x^2+2}{x^2(x+2{)}^2}=\frac{-x^2+2x+2}{x^2(x+2{)}^2}.$
2. El denominador es positivo en el dominio, así que el signo de $f^{\prime }$ es el del numerador $-x^2+2x+2$, que se anula en $x^2-2x-2=0⟺x=1\pm \sqrt{3}$.
3. Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, $-x^2+2x+2>0$ entre las raíces y $<0$ fuera de ellas.
4. Teniendo en cuenta también los puntos $-2$ y $0$ que no están en el dominio:

5. Hay un mínimo local en $x=1-\sqrt{3}\approx -0,732$ y un máximo local en $x=1+\sqrt{3}\approx 2,732$.

Resultado: $f$ crece en $(1-\sqrt{3},0)$ y en $(0,1+\sqrt{3})$; decrece en $(-\infty ,-2)$, $(-2,1-\sqrt{3})$ y $(1+\sqrt{3},+\infty )$.

c) Es una integral racional con raíces simples en el denominador.

1. Descomponemos en fracciones simples:

$$\frac{x-1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}\Rightarrow x-1=A(x+2)+Bx.$$

2. Con $x=0$: $-1=2A\Rightarrow A=-\frac{1}{2}$. Con $x=-2$: $-3=-2B\Rightarrow B=\frac{3}{2}$.
3. Integramos:

$$\int f(x)dx=-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}+\frac{3}{2}\int \frac{dx}{x+2}=-\frac{1}{2}\ln |x|+\frac{3}{2}\ln |x+2|+C.$$

4. Agrupando: $\int f(x)dx=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{(x+2{)}^3}{x}\right|+C$.

Resultado: $\int f(x)dx=-\frac{1}{2}\ln |x|+\frac{3}{2}\ln |x+2|+C=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{(x+2{)}^3}{x}\right|+C$

Resultado: a) dominio $\mathbb{R}\setminus \{-2,0\}$; AV $x=0$, $x=-2$; AH $y=0$; b) crece en $(1-\sqrt{3},0)$ y $(0,1+\sqrt{3})$, decrece en $(-\infty ,-2)$, $(-2,1-\sqrt{3})$ y $(1+\sqrt{3},+\infty )$; c) $\frac{1}{2}\ln \left|\frac{(x+2{)}^3}{x}\right|+C$

a) 1. Calculamos $|A|$ desarrollando por la segunda fila (solo tiene un elemento no nulo):

$$|A|=m\left|\begin{array}{cc}-1& m\\ 2& m^2+1\end{array}\right|=m(-(m^2+1)-2m)=-m(m^2+2m+1)=-m(m+1{)}^2.$$

2. $|A|=0⟺m=0$ o $m=-1$.
3. Si $m\ne 0$ y $m\ne -1$: $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=3$.
4. Si $m=0$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 0& 0& 0\\ 2& 1& 1\end{array}\right).$$

Tiene una fila de ceros, luego $\mathrm{rg}A\le 2$; y como las filas 1 y 3 no son proporcionales, $\mathrm{rg}A=2$.

5. Si $m=-1$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& -1\\ 0& -1& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right).$$

El menor $\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& -1\end{array}\right|=1\ne 0$ y $|A|=0$, luego $\mathrm{rg}A=2$.

Resultado: $\mathrm{rg}A=3$ si $m\ne 0,-1$; $\mathrm{rg}A=2$ si $m=0$ o $m=-1$.

b) Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero, es decir, si y solo si su rango es 3. Como $|A|=-m(m+1{)}^2$, la matriz $A$ es invertible exactamente cuando $m\ne 0$ y $m\ne -1$.

Resultado: $A$ es invertible si y solo si $m\ne 0$ y $m\ne -1$.

c) Con $m=1$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 0& 1& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right),|A|=-1\cdot (1+1{)}^2=-4\ne 0.$$

1. Como $A$ es invertible, de $XA=I$ se obtiene, multiplicando por $A^{-1}$ por la derecha, $X=A^{-1}$.
2. Adjuntos de $A$:

$$\begin{array}{rlrlrl}{A}_{11}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right|=2,& A_{12}& =-\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 2\end{array}\right|=0,& A_{13}& =\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-2,\\ A_{21}& =-\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=-3,& A_{22}& =\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 2\end{array}\right|=-4,& A_{23}& =-\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=5,\\ A_{31}& =\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1,& A_{32}& =-\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right|=0,& A_{33}& =\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=-1.\end{array}$$

3. Matriz inversa $A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\mathrm{Adj}A{)}^t$:

$$X=A^{-1}=\frac{1}{-4}\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -1\\ 0& -4& 0\\ -2& 5& -1\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}-2& 3& 1\\ 0& 4& 0\\ 2& -5& 1\end{array}\right).$$

4. Comprobación de la primera fila de $XA$: $\frac{1}{4}(-2,3,1)\cdot$ columnas de $A$ da $\frac{1}{4}(2+0+2,-4+3+1,-2+0+2)=(1,0,0)$.

Resultado: $X=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}-2& 3& 1\\ 0& 4& 0\\ 2& -5& 1\end{array}\right)$

Resultado: a) $\mathrm{rg}A=3$ si $m\ne 0,-1$ y $\mathrm{rg}A=2$ si $m=0,-1$; b) $A$ es invertible si y solo si $m\ne 0,-1$; c) $X=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}-2& 3& 1\\ 0& 4& 0\\ 2& -5& 1\end{array}\right)$

a) Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

$$d(P,\pi )=\frac{|3\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+2^2+1^2}}=\frac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}\approx 3,742.$$

Resultado: $d(P,\pi )=\sqrt{14}\approx 3,742$

b) El simétrico $P^{\prime }$ está en la recta perpendicular a $\pi$ por $P$, a la misma distancia del plano que $P$, al otro lado.

1. Recta perpendicular a $\pi$ por $P$ (director el normal $\vec{n}=(3,2,1)$): $(x,y,z)=(1+3t,2+2t,3+t)$.
2. Punto de corte $M$ con el plano: $3(1+3t)+2(2+2t)+(3+t)+4=0\Rightarrow 14+14t=0\Rightarrow t=-1$, luego $M=(-2,0,2)$.
3. $M$ es el punto medio de $P$ y $P^{\prime }$: $P^{\prime }=2M-P=(-4-1,0-2,4-3)=(-5,-2,1)$.
4. Comprobación: con $t=-2$ se obtiene el mismo punto, $(1-6,2-4,3-2)=(-5,-2,1)$.

Resultado: $P^{\prime }=(-5,-2,1)$

c) Un plano paralelo a $\pi$ tiene la forma $3x+2y+z+D=0$. Imponemos que pase por $P^{\prime }(-5,-2,1)$:

$$3(-5)+2(-2)+1+D=0\Rightarrow -18+D=0\Rightarrow D=18.$$

Comprobación: $d(P^{\prime },{\pi }^{\prime })=0$ y la distancia entre $\pi$ y ${\pi }^{\prime }$ es $\frac{|18-4|}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}$, igual que $d(P,\pi )$.

Resultado: ${\pi }^{\prime }:3x+2y+z+18=0$

Resultado: a) $\sqrt{14}\approx 3,742$; b) $P^{\prime }=(-5,-2,1)$; c) $3x+2y+z+18=0$

a) Tomamos como origen la esquina rota. La recta de rotura pasa por $(32,0)$ y $(0,40)$, y el punto $(x,y)$ está sobre ella.

1. Por semejanza de triángulos (el triángulo pequeño de catetos $32-x$ e $y$ es semejante al grande de catetos $32$ y $40$):

$$\frac{32-x}{y}=\frac{32}{40}\Rightarrow y=\frac{5(32-x)}{4}=40-\frac{5}{4}x.$$

(Es la misma recta $\frac{x}{32}+\frac{y}{40}=1$.)

2. La pieza $R$ va desde el punto $(x,y)$ hasta el borde superior y el borde derecho del cuadrado. Sus dimensiones son: base $80-x$ y altura $80-y=80-40+\frac{5}{4}x=40+\frac{5}{4}x$.
3. Área:

$$A(x)=(80-x)\left(40+\frac{5}{4}x\right)=3200+100x-40x-\frac{5}{4}{x}^2=3200+60x-\frac{5}{4}{x}^2,0\le x\le 32.$$

Resultado: $A(x)=(80-x)\left(40+\frac{5}{4}x\right)=3200+60x-\frac{5}{4}{x}^2$ cm${}^2$, para $0\le x\le 32$.

b) Buscamos el máximo absoluto de $A$ en el intervalo cerrado $[0,32]$.

1. $A^{\prime }(x)=60-\frac{5}{2}x=0\Rightarrow x=24$, que está en el intervalo.
2. $A^{\prime \prime }(x)=-\frac{5}{2}<0$, luego $x=24$ es un máximo local (la parábola es cóncava hacia abajo).
3. Comparamos con los extremos: $A(0)=3200$, $A(32)=48\cdot 80=3840$ y $A(24)=3200+1440-720=3920$. El máximo absoluto se alcanza en $x=24$.
4. Entonces $y=40-\frac{5}{4}\cdot 24=10$, y las dimensiones de $R$ son $80-24=56$ cm de base y $80-10=70$ cm de altura.

Resultado: $x=24$ cm, $y=10$ cm; $R$ mide $56\times 70$ cm.

c) $A_{\max }=56\cdot 70=3920$ cm${}^2$.

Resultado: $A_{\max }=3920$ cm${}^2$

Resultado: a) $A(x)=(80-x)\left(40+\frac{5}{4}x\right)=3200+60x-\frac{5}{4}{x}^2$; b) $x=24$, $y=10$, dimensiones $56\times 70$ cm; c) $3920$ cm${}^2$