Examen PAU Matemáticas II Comunitat Valenciana · Junio 2016

a) La matriz de coeficientes y la ampliada son

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& -1\\ 2& a& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}a& 0& -1& a\\ 2& a& 1& 1\\ 2& 0& 1& 2\end{array}\right).$$

1. Desarrollamos $|A|$ por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo:

$$|A|=a\cdot \left|\begin{array}{cc}a& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=a(a+2).$$

2. Si $a\ne 0$ y $a\ne -2$, entonces $|A|\ne 0$, luego $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3$ y el sistema es compatible determinado.
3. Si $a=0$, el sistema es $$\{\begin{array}{rl}-z& =0\\ 2x+z& =1\\ 2x+z& =2\end{array}$$ La segunda y la tercera ecuación son contradictorias ($1=2$). Con rangos: $\mathrm{rg}A=2$ (el menor $\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=2\ne 0$ y $|A|=0$), y en la ampliada el menor de las columnas 1, 3 y 4 vale $\left|\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 2& 1& 1\\ 2& 1& 2\end{array}\right|$, que desarrollado por la primera fila vale $-(-1)\cdot (2\cdot 2-1\cdot 2)=2\ne 0$, luego $\mathrm{rg}{A}^{\ast }=3\ne \mathrm{rg}A$: incompatible.
4. Si $a=-2$ se estudia en el apartado siguiente: resulta compatible.

Resultado: el sistema es incompatible únicamente para $a=0$.

b) El único valor que anula el determinante y deja el sistema compatible es $a=-2$.

1. Con $a=-2$ el sistema es $$\{\begin{array}{rl}-2x-z& =-2\\ 2x-2y+z& =1\\ 2x+z& =2\end{array}$$
2. La primera ecuación es la tercera multiplicada por $-1$, luego es redundante. Entonces $\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^{\ast }=2<3$: compatible indeterminado, con un parámetro.
3. Tomamos $x=\alpha$. De la tercera, $z=2-2\alpha$. Sustituyendo en la segunda: $$2\alpha -2y+2-2\alpha =1\Rightarrow -2y=-1\Rightarrow y=\frac{1}{2}.$$

Resultado: $(x,y,z)=\left(\alpha ,\frac{1}{2},2-2\alpha \right)$, $\alpha \in \mathbb{R}$

c) Con $a=-1$ el sistema es $$\{\begin{array}{rl}-x-z& =-1\\ 2x-y+z& =1\\ 2x+z& =2\end{array}$$

1. Sumando la primera y la tercera: $x=1$. Entonces, de la tercera, $z=2-2=0$.
2. En la segunda: $2-y+0=1\Rightarrow y=1$.
3. Comprobación: $-1-0=-1$; $2-1+0=1$; $2+0=2$.

Resultado: $(x,y,z)=(1,1,0)$

Resultado: a) incompatible solo para $a=0$; b) $a=-2$: $(\alpha ,\frac{1}{2},2-2\alpha )$, $\alpha \in \mathbb{R}$; c) $(x,y,z)=(1,1,0)$

a) 1. El vector director de $r$ es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen, ${\vec{n}}_1=(1,-2,1)$ y ${\vec{n}}_2=(3,1,-1)$:

$${\vec{d}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 1\\ 3& 1& -1\end{array}\right|=(2-1,3+1,1+6)=(1,4,7).$$

2. La recta paralela a $r$ por $(0,1,0)$ tiene ese mismo vector director.

Resultado: $(x,y,z)=(0,1,0)+\lambda (1,4,7)$, $\lambda \in \mathbb{R}$

b) 1. El vector director de $s$ es ${\vec{d}}_s=(0,2,1)$ (coeficientes de $\alpha$). 2. El plano $\pi$ contiene la dirección de $r$ y la de $s$, luego su vector normal es

$$\vec{n}={\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 4& 7\\ 0& 2& 1\end{array}\right|=(4-14,0-1,2-0)=(-10,-1,2).$$

Tomamos el vector proporcional $(10,1,-2)$, y el plano es $10x+y-2z+D=0$.

3. Un punto de $r$: con $x=0$ el sistema da $-2y+z=-3$ y $y-z=-1$; sumándolas, $-y=-4$, luego $y=4$ y $z=5$. El punto es $(0,4,5)$.
4. Como $\pi$ contiene a $r$, pasa por $(0,4,5)$: $4-10+D=0\Rightarrow D=6$.
5. Comprobación: $(1,4,7)\cdot (10,1,-2)=10+4-14=0$ y $(0,2,1)\cdot (10,1,-2)=0$.

Resultado: $\pi :10x+y-2z+6=0$

c) 1. Las rectas no son paralelas, porque $(1,4,7)$ y $(0,2,1)$ no son proporcionales. 2. La recta $s$ es paralela al plano $\pi$ (pues ${\vec{d}}_s\cdot \vec{n}=0$) y $r\subset \pi$. Por tanto, la distancia entre $r$ y $s$ es la distancia de cualquier punto de $s$ al plano $\pi$. 3. Tomamos el punto $P=(1,0,-2)$ de $s$ (para $\alpha =0$):

$$d(r,s)=d(P,\pi )=\frac{|10\cdot 1+0-2\cdot (-2)+6|}{\sqrt{10^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{20}{\sqrt{105}}\approx 1,95\text{ u}.$$

Resultado: $d(r,s)=\frac{20}{\sqrt{105}}\approx 1,95$ u

Resultado: a) $(x,y,z)=(0,1,0)+\lambda (1,4,7)$; b) $10x+y-2z+6=0$; c) $\frac{20}{\sqrt{105}}\approx 1,95$ u

Factorizamos el denominador: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, luego $f(x)=\frac{1}{(x-2)(x-3)}$.

a) 1. El denominador se anula en $x=2$ y $x=3$. Dominio: $\mathbb{R}\setminus \{2,3\}=(-\infty ,2)\cup (2,3)\cup (3,+\infty )$. 2. Asíntotas verticales: $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\pm \infty$ y $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=\pm \infty$ (el numerador es $1\ne 0$), luego $x=2$ y $x=3$ son asíntotas verticales. 3. Asíntota horizontal: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^2-5x+6}=0$, luego $y=0$ es asíntota horizontal en ambos extremos (y no hay oblicuas).

Resultado: dominio $\mathbb{R}\setminus \{2,3\}$; asíntotas verticales $x=2$ y $x=3$; asíntota horizontal $y=0$.

b) 1. Derivamos:

$$f^{\prime }(x)=-\frac{2x-5}{(x^2-5x+6{)}^2}.$$

2. El denominador es siempre positivo en el dominio, así que el signo de $f^{\prime }$ es el de $-(2x-5)$. Se anula en $x=\frac{5}{2}$.
3. Si $x<\frac{5}{2}$ (con $x\ne 2$): $f^{\prime }(x)>0$, creciente. Si $x>\frac{5}{2}$ (con $x\ne 3$): $f^{\prime }(x)<0$, decreciente.

Resultado: $f$ crece en $(-\infty ,2)\cup \left(2,\frac{5}{2}\right)$ y decrece en $\left(\frac{5}{2},3\right)\cup (3,+\infty )$.

c) 1. Descomponemos en fracciones simples: $\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$, de donde $1=A(x-3)+B(x-2)$. 2. Para $x=2$: $1=-A\Rightarrow A=-1$. Para $x=3$: $1=B$. Es decir,

$$f(x)=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}.$$

3. Integramos:

$$\int f(x)dx=\ln |x-3|-\ln |x-2|+C=\ln \left|\frac{x-3}{x-2}\right|+C.$$

Resultado: $\int f(x)dx=\ln \left|\frac{x-3}{x-2}\right|+C$

d) 1. Para $x>3$ es $f(x)>0$, luego en $[4,a]$ el área es la integral:

$${\int }_4^{a}f(x)dx={\left[\ln \frac{x-3}{x-2}\right]}_4^a=\ln \frac{a-3}{a-2}-\ln \frac{1}{2}=\ln \frac{2(a-3)}{a-2}.$$

2. Igualamos a $\ln \frac{3}{2}$:

$$\frac{2(a-3)}{a-2}=\frac{3}{2}\Rightarrow 4(a-3)=3(a-2)\Rightarrow 4a-12=3a-6\Rightarrow a=6.$$

3. Comprobación: $a=6>4$ y $\frac{2\cdot 3}{4}=\frac{3}{2}$.

Resultado: $a=6$

Resultado: a) dominio $\mathbb{R}\setminus \{2,3\}$, AV $x=2$ y $x=3$, AH $y=0$; b) crece en $(-\infty ,2)\cup (2,\frac{5}{2})$ y decrece en $(\frac{5}{2},3)\cup (3,+\infty )$; c) $\ln \left|\frac{x-3}{x-2}\right|+C$; d) $a=6$

a) 1. La traspuesta es $A^t=\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{5}& 0& 0\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{array}\right)$. 2. Multiplicamos:

$$A{A}^t=\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{5}& 0& 0\\ 0& 1& -2\\ 0& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{5}& 0& 0\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 1+4& 2-2\\ 0& 2-2& 4+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)=5I.$$

3. Entonces $A\cdot \frac{1}{5}{A}^t=I$, y por la unicidad de la inversa, $A^{-1}=\frac{1}{5}{A}^t=5^{-1}{A}^t$. (De paso, $A$ es invertible porque $|A|=\sqrt{5}(1+4)=5\sqrt{5}\ne 0$.)

Resultado: $A{A}^t=5I$, luego $A^{-1}=5^{-1}{A}^t$ (queda comprobado).

b) 1. $A-\lambda I$ no es invertible si y solo si su determinante es $0$:

$$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{ccc}\sqrt{5}-\lambda & 0& 0\\ 0& 1-\lambda & -2\\ 0& 2& 1-\lambda \end{array}\right|=(\sqrt{5}-\lambda )[(1-\lambda {)}^2+4].$$

2. El factor $(1-\lambda {)}^2+4\ge 4>0$ nunca se anula para $\lambda$ real. Así pues, el determinante se anula solo si $\sqrt{5}-\lambda =0$.

Resultado: $\lambda =\sqrt{5}$

c) 1. De $B^{-1}=B^t$ se obtiene $B{B}^t=I$. 2. Tomando determinantes: $|B|\cdot |B^t|=|I|=1$. Como $|B^t|=|B|$, resulta $|B{|}^2=1$, es decir, $|B|=1$ o $|B|=-1$. 3. Como $|B|>0$, queda $|B|=1$.

Resultado: $|B|=1$

Resultado: a) $A{A}^t=5I$, luego $A^{-1}=5^{-1}{A}^t$; b) $\lambda =\sqrt{5}$; c) $|B|=1$

a) 1. Dos vectores contenidos en $\sigma$:

$$\overrightarrow{AB}=(-1,2,0),\overrightarrow{AC}=(-1,0,3).$$

2. Un vector normal a $\sigma$ es

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right|=(6-0,0+3,0+2)=(6,3,2).$$

3. El plano es $6x+3y+2z+D=0$. Pasa por $A(1,0,0)$: $6+D=0\Rightarrow D=-6$.
4. Comprobación: $B$: $6=6$; $C$: $6=6$.
5. Posición relativa: los vectores normales de $\sigma$ y $\pi$ coinciden, $(6,3,2)$, pero los términos independientes son distintos ($-6\ne -12$), así que las ecuaciones no son proporcionales. Son planos paralelos y distintos (no coincidentes).

Resultado: $\sigma :6x+3y+2z-6=0$; $\sigma$ y $\pi$ son paralelos (no coincidentes).

b) 1. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial calculado antes:

$$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+3^2+2^2}=\frac{1}{2}\sqrt{49}=\frac{7}{2}.$$

Resultado: área $=\frac{7}{2}{\text{u}}^2$

c) 1. Un punto de $\pi$: con $x=y=0$, $2z=12\Rightarrow z=6$. Tomamos $P=(0,0,6)$. (Comprobación: $6\cdot 0+3\cdot 0+2\cdot 6-12=0$.) 2. Como $\pi \parallel \sigma$, todos los puntos de $\pi$ están a la misma distancia de $\sigma$, que contiene a $A$, $B$ y $C$:

$$d(P,\sigma )=\frac{|6\cdot 0+3\cdot 0+2\cdot 6-6|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{6}{7}.$$

3. El volumen del tetraedro es un tercio del área de la base $ABC$ por la altura $d(P,\sigma )$:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{6}{7}=1.$$

Por lo anterior, el volumen vale $1$ para cualquier punto $P$ elegido en $\pi$.

Resultado: por ejemplo $P=(0,0,6)$, y el volumen es $V=1{\text{u}}^3$

Resultado: a) $\sigma :6x+3y+2z-6=0$, planos paralelos; b) $\frac{7}{2}{\text{u}}^2$; c) $P=(0,0,6)$ y $V=1{\text{u}}^3$

a) 1. Los ingresos son el precio de cada tipo por las toneladas vendidas:

$$I(x)=300x+900y=300x+900\cdot \frac{23-5x}{10-x}=900\left(\frac{x}{3}+\frac{23-5x}{10-x}\right),0<x<\frac{23}{5}.$$

Resultado: $I(x)=300x+\frac{900(23-5x)}{10-x}$ euros, con $0<x<\frac{23}{5}$

b) 1. Derivamos. Para el segundo sumando:

$$\frac{d}{dx}\frac{23-5x}{10-x}=\frac{-5(10-x)+(23-5x)}{(10-x{)}^2}=\frac{-27}{(10-x{)}^2}.$$

Por tanto

$$I^{\prime }(x)=900\left(\frac{1}{3}-\frac{27}{(10-x{)}^2}\right)=\frac{900}{3(10-x{)}^2}((10-x{)}^2-81).$$

2. $I^{\prime }(x)=0⟺(10-x{)}^2=81⟺10-x=\pm 9$, es decir, $x=1$ o $x=19$. Solo $x=1$ está en el intervalo $\left(0,\frac{23}{5}\right)$.
3. Signo de $I^{\prime }$: si $0<x<1$, $10-x>9$ y $I^{\prime }(x)>0$ (creciente); si $1<x<\frac{23}{5}$, $10-x<9$ (y es mayor que $5,4$) y $I^{\prime }(x)<0$ (decreciente). Luego en $x=1$ hay un máximo.
4. Entonces $y=\frac{23-5}{10-1}=\frac{18}{9}=2$.

Resultado: $1$ tonelada de acero de baja calidad y $2$ toneladas de acero de alta calidad.

c) $I(1)=300\cdot 1+900\cdot 2=300+1800=2100$ euros.

Resultado: el ingreso máximo es de $2100$ euros.

Resultado: a) $I(x)=300x+\frac{900(23-5x)}{10-x}$; b) $x=1$ t de baja calidad e $y=2$ t de alta calidad; c) $2100$ euros