Matemáticas II · Determinantes · Selectividad

Problemas de selectividad de Determinantes

26 problemas resueltos paso a paso · PAU 2016-2026 · Por Álvaro López

Problemas de la PAU de Matemáticas II (Comunitat Valenciana) cuyo tema principal es determinantes y rango, ordenados de menos a más difícil. Si un problema necesita varios temas, aparece solo en el último de ellos y te avisa de los anteriores que debes saber. Los enunciados son los oficiales; las soluciones son nuestras. Si dudas con la teoría, repasa primero Determinantes.

Nivel

Año

Soluciones

Nivel básico ★

Julio 2025 (DANA) · Opción 2.1 Básico2,5 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matriz con parámetro invertible, producto de matrices fila y columna y ecuación matricial

2.1 Se considera la matriz

$D = 1 m 2 00 - 1 m - 1 1,$

que depende de un parámetro real $m$ , y las matrices $E = (143)$ y $F = 12 - 1$ . Se pide:

2.1.1 (0.5 puntos) Indicar, si existen, los valores del parámetro $m$ para los que $D$ tiene inversa.

2.1.2 (1 punto) Calcular las matrices $E F$ y $(F E)^{t}$ , si existen.

2.1.3 (1 punto) Resolver, para $m = 0$ , la ecuación matricial con incógnita $X$ : $\frac{1}{2} X + D = D^{- 1}$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 2.1.1) $∣ D ∣ = - (m^{2} + 1) \neq = 0$ , $D$ siempre es invertible; 2.1.2) $E F = (6)$ , $(F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3$ ; 2.1.3) $X = 04 - 4 0 - 2 0 00 - 2$

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2.1.1) Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Desarrollamos $∣ D ∣$ por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo (el $- 1$ de la fila 3, que lleva signo $(- 1)^{3 + 2} = - 1$ ):

$∣ D ∣ = (- 1) \cdot (- 1)^{3 + 2} 1 m m - 1 = 1 m m - 1 = - 1 - m^{2} = - (m^{2} + 1) .$

Como $m^{2} + 1 \geq 1 > 0$ para todo $m$ real, $∣ D ∣ \neq = 0$ siempre.

Resultado: $∣ D ∣ = - (m^{2} + 1) \neq = 0$ , luego $D$ tiene inversa para todo $m \in R$ .

2.1.2)

$E$ es $1 \times 3$ y $F$ es $3 \times 1$ : el producto $E F$ existe y es de orden $1 \times 1$ :

$E F = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot (- 1) = 1 + 8 - 3 = 6.$

El producto $F E$ ( $3 \times 1$ por $1 \times 3$ ) también existe y es de orden $3 \times 3$ ; cada fila de $F E$ es la fila $E$ multiplicada por el elemento correspondiente de $F$ :

$F E = 12 - 1 (143) = 12 - 1 48 - 4 36 - 3 .$

Trasponemos (filas por columnas):

$(F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3 .$

Resultado: $E F = (6)$ y $(F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3$

2.1.3) Para $m = 0$ :

$D = 102 00 - 1 0 - 1 1, ∣ D ∣ = - 1.$

Despejamos $X$ : $\frac{1}{2} X = D^{- 1} - D$ , luego $X = 2 (D^{- 1} - D)$ .
Calculamos $D^{- 1} = \frac{1}{∣ D ∣} (Adj D)^{t}$ . Adjuntos de $D$ :

$D_{11} D_{21} D_{31} = 0 - 1 - 1 1 = - 1, = - 0 - 1 01 = 0, = 00 0 - 1 = 0, D_{12} D_{22} D_{32} = - 02 - 1 1 = - 2, = 1201 = 1, = - 10 0 - 1 = 1, D_{13} D_{23} D_{33} = 02 0 - 1 = 0, = - 12 0 - 1 = 1, = 1000 = 0.$

Matriz de adjuntos y su traspuesta: $Adj D = - 1 00 - 2 11 010, (Adj D)^{t} = - 1 - 2 0 011010 .$ 3. Dividimos entre $∣ D ∣ = - 1$ :

$D^{- 1} = - - 1 - 2 0 011010 = 120 0 - 1 - 1 0 - 1 0 .$

Comprobación: la fila 3 de $D$ por las columnas de $D^{- 1}$ da $(2 - 2 + 0, 0 + 1 - 1, 0 + 1 + 0) = (0, 0, 1)$ y la fila 2 da $(0, 1, 0)$ .

Restamos y multiplicamos por 2:

$D^{- 1} - D = 02 - 2 0 - 1 0 00 - 1 ⟹ X = 2 02 - 2 0 - 1 0 00 - 1 = 04 - 4 0 - 2 0 00 - 2 .$

Resultado: $X = 04 - 4 0 - 2 0 00 - 2$

Resultado: 2.1.1) $∣ D ∣ = - (m^{2} + 1) \neq = 0$ , $D$ siempre es invertible; 2.1.2) $E F = (6)$ , $(F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3$ ; 2.1.3) $X = 04 - 4 0 - 2 0 00 - 2$

Repasa la teoría: Determinantes con parámetros · Producto de matrices · Matriz traspuesta, simétricas y ortogonales · Ecuaciones matriciales · Matriz inversa · Ver el examen completo (Julio 2025 (DANA))

Julio 2025 · Opción 2.1 Básico2,5 puntosMatrices / Determinantes y rango

Ecuación matricial con inversas, determinante y potencias de una matriz

2.1 Se dan las matrices $A = (- 2 3 1 - 2)$ , $B = (10 2 - 1)$ y $C = (3 - 3 - 1 3)$ . Obtener:

2.1.1 (1.25 puntos) La matriz $X$ solución de la ecuación $(A^{- 1} X)^{- 1} = A (B^{2} A)^{- 1}$ .

2.1.2 (0.5 puntos) El determinante de la matriz $(3 A^{5} B)^{2}$ .

2.1.3 (0.75 puntos) Los valores de $a$ y $b$ , si existen, tales que $a B^{100} + b B^{99} = A + C$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 2.1.1) $X = (- 2 3 1 - 2)$ ; 2.1.2) $81$ ; 2.1.3) $a = 1$ , $b = 0$

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Calculamos antes los datos que usaremos:

$det A = (- 2) (- 2) - 1 \cdot 3 = 1, det B = 1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 = - 1,$

$B^{2} = (10 2 - 1) (10 2 - 1) = (1001) = I .$

Como $det A \neq = 0$ , $A$ es invertible.

2.1.1) Usamos $(P Q)^{- 1} = Q^{- 1} P^{- 1}$ .

Primer miembro: $(A^{- 1} X)^{- 1} = X^{- 1} A$ .
Segundo miembro: $A (B^{2} A)^{- 1} = A A^{- 1} (B^{2})^{- 1} = (B^{2})^{- 1} = I^{- 1} = I$ .
La ecuación queda $X^{- 1} A = I$ . Multiplicamos por $A^{- 1}$ por la derecha: $X^{- 1} = A^{- 1}$ , luego $X = A$ .

Comprobación: con $X = A$ , $(A^{- 1} A)^{- 1} = I$ y $A (B^{2} A)^{- 1} = A A^{- 1} = I$ .

Resultado: $X = A = (- 2 3 1 - 2)$

2.1.2) Usamos $det (P Q) = det P det Q$ , $det (P^{n}) = (det P)^{n}$ y, para matrices $2 \times 2$ , $det (k P) = k^{2} det P$ .

$det (3 A^{5} B) = 3^{2} (det A)^{5} det B = 9 \cdot 1^{5} \cdot (- 1) = - 9$ .
$det ((3 A^{5} B)^{2}) = (det (3 A^{5} B))^{2} = (- 9)^{2} = 81$ .

Resultado: $81$

2.1.3)

Como $B^{2} = I$ , las potencias de $B$ se repiten: $B^{100} = (B^{2})^{50} = I$ y $B^{99} = B^{98} B = (B^{2})^{49} B = B$ .
Calculamos el segundo miembro: $A + C = (- 2 + 3 3 - 3 1 - 1 - 2 + 3) = (1001) = I$ .
La ecuación es $a I + b B = I$ , es decir,

$(a + b 0 2 b a - b) = (1001) ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ a + b 2 b a - b = 1 = 0 = 1$

De la segunda ecuación $b = 0$ , y entonces $a = 1$ (cumple la primera y la tercera).

Resultado: $a = 1$ , $b = 0$

Resultado: 2.1.1) $X = (- 2 3 1 - 2)$ ; 2.1.2) $81$ ; 2.1.3) $a = 1$ , $b = 0$

Repasa la teoría: Ecuaciones matriciales · Potencias de matrices · Propiedades de los determinantes · Ver el examen completo (Julio 2025)

Nivel medio ★★

Julio 2026 · Opción 2.2 Medio2,5 puntosMatrices / Determinantes y rango

Ecuación matricial, determinante de un producto y combinación lineal

2.2 Dadas las matrices $A = (21 - 1 1)$ , $B = (52 - 2 3)$ y el vector $b = (10)$ , se pide:

2.2.1 (1 punto) Resolver el sistema de ecuaciones $A x = B x + b$ .

2.2.2 (0.75 puntos) Hallar el valor de $det (A^{5} (2 B)^{- 1})$ .

2.2.3 (0.75 puntos) Calcular los valores de $α$ y $β$ , si existen, que satisfacen $α A + β B = I$ , siendo $I$ la matriz identidad.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 2.2.1) $x = (- \frac{2}{7}, \frac{1}{7})^{t}$ ; 2.2.2) $\frac{243}{76}$ ; 2.2.3) $α = - 2$ , $β = 1$

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2.2.1)

Pasamos $B x$ al primer miembro: $A x - B x = b$ , es decir, $(A - B) x = b$ .
Calculamos $A - B = (2 - 5 1 - 2 - 1 + 2 1 - 3) = (- 3 - 1 1 - 2)$ .
Su determinante es $(- 3) (- 2) - (1) (- 1) = 6 + 1 = 7 \neq = 0$ , luego es invertible. Usamos $(A - B)^{- 1} = \frac{1}{∣ A - B ∣} (Adj (A - B))^{t}$ : los adjuntos son $A_{11} = - 2$ , $A_{12} = - (- 1) = 1$ , $A_{21} = - 1$ , $A_{22} = - 3$ , así que $Adj (A - B) = (- 2 - 1 1 - 3), (Adj (A - B))^{t} = (- 2 1 - 1 - 3),$

$(A - B)^{- 1} = \frac{1}{7} (- 2 1 - 1 - 3) .$

Entonces

$x = (A - B)^{- 1} b = \frac{1}{7} (- 2 1 - 1 - 3) (10) = \frac{1}{7} (- 2 1) .$

Comprobación: $- 3 \cdot (- \frac{2}{7}) + \frac{1}{7} = 1$ y $- (- \frac{2}{7}) - 2 \cdot \frac{1}{7} = 0$ .

Resultado: $x = (- 2/7 1/7)$

2.2.2) Usamos $det (P Q) = det P det Q$ , $det (P^{- 1}) = \frac{1}{det P}$ , $det (P^{n}) = (det P)^{n}$ y, para matrices $2 \times 2$ , $det (k P) = k^{2} det P$ .

$det A = 2 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1 = 3$ .
$det B = 5 \cdot 3 - (- 2) \cdot 2 = 19$ , luego $det (2 B) = 2^{2} \cdot 19 = 76$ .
Entonces

$det (A^{5} (2 B)^{- 1}) = \frac{( det A ) ^{5}}{det ( 2 B )} = \frac{3 ^{5}}{76} = \frac{243}{76} .$

Resultado: $\frac{243}{76} \approx 3, 20$

2.2.3) Igualamos las matrices elemento a elemento:

$α (21 - 1 1) + β (52 - 2 3) = (1001) ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ 2 α + 5 β - α - 2 β α + 2 β α + 3 β = 1 = 0 = 0 = 1$

De la segunda ecuación, $α = - 2 β$ .
En la primera: $- 4 β + 5 β = 1$ , luego $β = 1$ y $α = - 2$ .
Comprobamos con las otras dos: $α + 2 β = - 2 + 2 = 0$ y $α + 3 β = - 2 + 3 = 1$ . Se cumplen todas.

Resultado: $α = - 2$ , $β = 1$

Resultado: 2.2.1) $x = (- \frac{2}{7}, \frac{1}{7})^{t}$ ; 2.2.2) $\frac{243}{76}$ ; 2.2.3) $α = - 2$ , $β = 1$

Repasa la teoría: Ecuaciones matriciales · Matriz inversa · Propiedades de los determinantes · Ver el examen completo (Julio 2026)

Modelo 2026 · Opción 2.1 Medio2,5 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matriz de rigidez con parámetro: invertibilidad, productos y ecuación matricial

2.1 Una empresa de ingeniería estructural está diseñando un sistema de soporte para un edificio que depende de un parámetro real $m$ relacionado con la resistencia de uno de los materiales empleados. Para garantizar la estabilidad de la estructura, es necesario analizar una matriz que representa las relaciones entre fuerzas internas y externas en los puntos de unión de la estructura.

Para este análisis, se considera la siguiente matriz de rigidez:

$D = 1 m 2 00 - 1 m - 1 1,$

donde $m$ representa el coeficiente de resistencia ajustable del material en uno de los puntos de unión.

Asimismo, se cuenta con un vector de cargas externas y un vector de desplazamientos iniciales:

$E = (143) y F = 12 - 1 .$

La estabilidad y respuesta de la estructura dependen de las propiedades de la matriz $D$ y de su relación con los vectores $E$ y $F$ . Se pide:

2.1.1 (0,5 puntos) Determinar para qué valores de $m$ la matriz $D$ es invertible, es decir, cuándo la estructura es estable.

2.1.2 (0,5 puntos) Si la estabilidad del sistema dependiera de que la matriz $D^{2}$ fuera invertible, explica razonadamente si hay algún valor de $m$ que ponga en riesgo la estabilidad del sistema sin necesidad de resolver toda la ecuación matricial.

2.1.3 (0,5 puntos) Calcular las matrices $E F$ y $(F E)^{t}$ , si existen.

2.1.4 (1 punto) Resolver, para $m = 0$ , la ecuación matricial con incógnita $X$ :

$\frac{1}{2} X + D = D^{- 1} .$

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 2.1.1) $D$ es invertible para todo $m$ ; 2.1.2) ningún valor de $m$ pone en riesgo la estabilidad; 2.1.3) $E F = (6)$ y $(F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3$ ; 2.1.4) $X = 04 - 4 0 - 2 0 00 - 2$

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2.1.1) Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Desarrollamos $∣ D ∣$ por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo, el $- 1$ de la posición $(3, 2)$ :

$∣ D ∣ = (- 1) \cdot (- 1)^{3 + 2} 1 m m - 1 = (- 1) (- 1) \cdot (- 1 - m^{2})$ .
Por tanto $∣ D ∣ = - 1 - m^{2} = - (m^{2} + 1)$ .
Como $m^{2} + 1 \geq 1 > 0$ para todo $m$ real, el determinante no se anula nunca.

Resultado: $D$ es invertible para todo $m \in R$ (la estructura es estable para cualquier $m$ ).

2.1.2) Se cumple $∣ D^{2} ∣ = ∣ D ∣ \cdot ∣ D ∣ = ∣ D ∣^{2}$ . Como $∣ D ∣ = - (m^{2} + 1) \neq = 0$ para todo $m$ , también $∣ D^{2} ∣ = (m^{2} + 1)^{2} > 0$ para todo $m$ . Luego $D^{2}$ es invertible siempre y ningún valor de $m$ pone en riesgo la estabilidad.

Resultado: no hay ningún valor de $m$ que lo ponga en riesgo, porque $∣ D^{2} ∣ = (m^{2} + 1)^{2} \neq = 0$ para todo $m$ .

2.1.3) $E$ es de dimensión $1 \times 3$ y $F$ de dimensión $3 \times 1$ .

$E F$ existe (columnas de $E$ = filas de $F$ = 3) y es de dimensión $1 \times 1$ : $E F = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot (- 1) = 1 + 8 - 3 = 6$ .
$F E$ existe y es de dimensión $3 \times 3$ : $F E = 12 - 1 (143) = 12 - 1 48 - 4 36 - 3 .$
Trasponemos (las filas pasan a ser columnas): $(F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3 .$

Resultado: $E F = (6)$ ; $(F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3$

2.1.4) Para $m = 0$ la matriz es $D = 102 00 - 1 0 - 1 1, ∣ D ∣ = - 1.$

Calculamos la inversa con la matriz adjunta. Los adjuntos son $C_{11} = - 1$ , $C_{12} = - 2$ , $C_{13} = 0$ , $C_{21} = 0$ , $C_{22} = 1$ , $C_{23} = 1$ , $C_{31} = 0$ , $C_{32} = 1$ , $C_{33} = 0$ . La matriz de adjuntos es $- 1 00 - 2 11 010 .$
La inversa es $D^{- 1} = \frac{1}{∣ D ∣} Adj (D)^{t} = - - 1 - 2 0 011010 = 120 0 - 1 - 1 0 - 1 0$ .
Despejamos $X$ en la ecuación: $\frac{1}{2} X = D^{- 1} - D$ , es decir, $X = 2 (D^{- 1} - D)$ .
Restamos: $D^{- 1} - D = 02 - 2 0 - 1 0 00 - 1$ .
Multiplicamos por 2: $X = 04 - 4 0 - 2 0 00 - 2 .$

Comprobación: $\frac{1}{2} X + D = 02 - 2 0 - 1 0 00 - 1 + 102 00 - 1 0 - 1 1 = 120 0 - 1 - 1 0 - 1 0 = D^{- 1}$ .

Resultado: $X = 04 - 4 0 - 2 0 00 - 2$

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Julio 2025 (DANA) · Opción 2.2 Medio2,5 puntosDeterminantes y rango / Matrices

Rango de una matriz con parámetro e inversa de un múltiplo de la matriz

2.2 Dada la matriz

$A = 10 m - 1 - 1 10 m + 1 m 5,$

se pide:

2.2.1 (1.25 puntos) Estudiar el rango de la matriz $A$ en función del parámetro real $m$ .

2.2.2 (1.25 puntos) Para $m = 0$ , calcular la matriz inversa de $\frac{1}{6} A$ , si existe.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 2.2.1) $rg A = 3$ si $m \neq = 2, - \frac{3}{2}$ y $rg A = 2$ si $m = 2$ o $m = - \frac{3}{2}$ ; 2.2.2) $501561 - 1 01$

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2.2.1)

Calculamos $∣ A ∣$ desarrollando por la primera columna:

$∣ A ∣ = 1 \cdot 10 m 5 + (m - 1) - 1 1 m + 1 m = 5 + (m - 1) (- m - m - 1) = 5 - (m - 1) (2 m + 1) .$

Desarrollando: $(m - 1) (2 m + 1) = 2 m^{2} - m - 1$ , luego

$∣ A ∣ = 5 - 2 m^{2} + m + 1 = - 2 m^{2} + m + 6 = - (2 m^{2} - m - 6) .$

Igualamos a cero: $2 m^{2} - m - 6 = 0 \Rightarrow m = \frac{1 \pm 1 + 48}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}$ , es decir, $m = 2$ o $m = - \frac{3}{2}$ .
Si $m \neq = 2$ y $m \neq = - \frac{3}{2}$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = 3$ .
Si $m = 2$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss:

$101 - 1 10 325 F_{3} - F_{1} 100 - 1 11 322 F_{3} - F_{2} 100 - 1 10 320 .$

Quedan 2 filas no nulas: $rg A = 2$ .

Si $m = - \frac{3}{2}$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss:

$10 - \frac{5}{2} - 1 10 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} 5 F_{3} + \frac{5}{2} F_{1} 100 - 1 1 - \frac{5}{2} - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \frac{15}{4} F_{3} + \frac{5}{2} F_{2} 100 - 1 10 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} 0 .$

Otra vez 2 filas no nulas: $rg A = 2$ .

Resultado: si $m \neq = 2, - \frac{3}{2}$ : $rg A = 3$ ; si $m = 2$ o $m = - \frac{3}{2}$ : $rg A = 2$ .

2.2.2) Para $m = 0$ :

$A = 10 - 1 - 1 10 105, ∣ A ∣ = 6 \neq = 0,$

así que $A$ es invertible (el valor $m = 0$ no es ninguno de los dos valores críticos) y también lo es $\frac{1}{6} A$ .

Usamos $(k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1}$ , de modo que $(\frac{1}{6} A)^{- 1} = 6 A^{- 1}$ .
Calculamos $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{t}$ . Adjuntos de $A$ :

$A_{11} A_{21} A_{31} = 1005 = 5, = - - 1 0 15 = 5, = - 1 1 10 = - 1, A_{12} A_{22} A_{32} = - 0 - 1 05 = 0, = 1 - 1 15 = 6, = - 1010 = 0, A_{13} A_{23} A_{33} = 0 - 1 10 = 1, = - 1 - 1 - 1 0 = 1, = 10 - 1 1 = 1.$

Trasponemos la matriz de adjuntos y dividimos entre $∣ A ∣ = 6$ :

$A^{- 1} = \frac{1}{6} 501561 - 1 01 .$

Por tanto

$(\frac{1}{6} A)^{- 1} = 6 A^{- 1} = 501561 - 1 01 .$

Comprobación: la primera fila de $A$ por las columnas de $A^{- 1}$ (sin el factor $\frac{1}{6}$ ) da $(5 - 0 + 1, 5 - 6 + 1, - 1 - 0 + 1) = (6, 0, 0)$ .

Resultado: $(\frac{1}{6} A)^{- 1} = 501561 - 1 01$

Resultado: 2.2.1) $rg A = 3$ si $m \neq = 2, - \frac{3}{2}$ y $rg A = 2$ si $m = 2$ o $m = - \frac{3}{2}$ ; 2.2.2) $501561 - 1 01$

Repasa la teoría: Rango de una matriz · Determinantes con parámetros · Matriz inversa por adjuntos · Matriz inversa · Ver el examen completo (Julio 2025 (DANA))

Junio 2025 · Opción 2.1 Medio2,5 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matriz con parámetro: valores que la hacen idempotente e inversa

2.1 En un sistema de procesamiento de imágenes se utiliza una matriz para transformar ciertos datos. La matriz depende del parámetro real $α$ y es:

$A = 100 α α 0 00 1 - α .$

2.1.1 (1.25 puntos) En uno de los procesos, para que el sistema funcione, se necesita que la matriz sea idempotente, es decir que su cuadrado coincida con ella, $A^{2} = A$ . Obtener los valores $α$ que permitan funcionar a este proceso.

2.1.2 (1.25 puntos) En otro proceso diferente, se necesita utilizar la matriz inversa de $A$ . Obtener los valores de $α$ para los cuales existe la inversa y calcular esta inversa en función de $α$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 2.1.1) $α = 0$ ; 2.1.2) $A^{- 1}$ existe para $α \neq = 0, 1$ y es $100 - 1 1/ α 0 00 1/ (1 - α)$

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2.1.1)

Calculamos $A^{2}$ multiplicando fila por columna:

$A^{2} = 100 α α 0 00 1 - α 100 α α 0 00 1 - α = 100 α + α^{2} α^{2} 0 00 (1 - α)^{2} .$

Igualamos $A^{2} = A$ elemento a elemento:
- Posición $(1, 2)$ : $α + α^{2} = α \Rightarrow α^{2} = 0 \Rightarrow α = 0$ .
- Posición $(2, 2)$ : $α^{2} = α \Rightarrow α = 0$ o $α = 1$ .
- Posición $(3, 3)$ : $(1 - α)^{2} = 1 - α \Rightarrow (1 - α) (1 - α - 1) = 0 \Rightarrow α = 1$ o $α = 0$ .
Deben cumplirse las tres condiciones a la vez, y el único valor común es $α = 0$ .
Comprobación: para $α = 0$ , $A = 100000001$ y $A^{2} = A$ .

Resultado: $α = 0$

2.1.2) La matriz tiene inversa si y solo si $∣ A ∣ \neq = 0$ .

$A$ es triangular superior, así que su determinante es el producto de la diagonal: $∣ A ∣ = 1 \cdot α \cdot (1 - α) = α (1 - α)$ .
$∣ A ∣ = 0$ para $α = 0$ y $α = 1$ ; luego $A$ es invertible para $α \neq = 0$ y $α \neq = 1$ .
Para calcular la inversa usamos $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{t}$ , con $∣ A ∣ = α (1 - α)$ . Adjuntos de $A$ :

$A_{11} A_{21} A_{31} = α 0 0 1 - α = α (1 - α), = - α 0 0 1 - α = - α (1 - α), = α α 00 = 0, A_{12} A_{22} A_{32} = - 00 0 1 - α = 0, = 10 0 1 - α = 1 - α, = - 1000 = 0, A_{13} A_{23} A_{33} = 00 α 0 = 0, = - 10 α 0 = 0, = 10 α α = α .$

Matriz de adjuntos y su traspuesta:

$Adj A = α (1 - α) - α (1 - α) 0 0 1 - α 0 00 α, (Adj A)^{t} = α (1 - α) 00 - α (1 - α) 1 - α 0 00 α .$

Dividimos cada elemento entre $∣ A ∣ = α (1 - α)$ :

$A^{- 1} = \frac{1}{α ( 1 - α )} α (1 - α) 00 - α (1 - α) 1 - α 0 00 α = 100 - 1 \frac{1}{α} 0 00 \frac{1}{1 - α} .$

Comprobación de la primera fila por la primera columna y de la segunda fila por la segunda columna de $A \cdot A^{- 1}$ : $1 \cdot 1 = 1$ ; $- 1 + α \cdot \frac{1}{α} = 0$ ; $α \cdot \frac{1}{α} = 1$ . Se obtiene la identidad.

Resultado: existe la inversa si $α \neq = 0$ y $α \neq = 1$ , y vale $A^{- 1} = 100 - 1 1/ α 0 00 1/ (1 - α)$

Resultado: 2.1.1) $α = 0$ ; 2.1.2) $A^{- 1}$ existe para $α \neq = 0, 1$ y es $100 - 1 1/ α 0 00 1/ (1 - α)$

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Junio 2025 (Examen de reserva) · Opción 2.2 Medio2,5 puntosMatrices / Determinantes y rango

Producto y traspuesta, inversa con parámetro y ecuación matricial BX + A² = C

2.2 Dadas las matrices $A = (21 3 m), B = (- 1 1 25) y C = (05 - 1 m^{2}),$ donde $m$ es un parámetro real, se pide:

2.2.1 (0,5 puntos) Calcular el producto $A B$ y la matriz transpuesta de $A B$ .

2.2.2 (0,75 puntos) En los casos en los que $A$ es invertible, calcular la inversa de $A$ .

2.2.3 (1,25 puntos) Resolver la ecuación matricial $B X + A^{2} = C$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 2.2.1) $A B = (1 m - 1 19 5 m + 2)$ , $(A B)^{T} = (119 m - 1 5 m + 2)$ ; 2.2.2) $A$ invertible si $m \neq = \frac{3}{2}$ , $A^{- 1} = \frac{1}{2 m - 3} (m - 1 - 3 2)$ ; 2.2.3) $X = \frac{1}{7} (41 - 2 m - m - 4 15 m + 29 - 3 m - 10)$

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2.2.1

Multiplicamos fila por columna: $A B = (21 3 m) (- 1 1 25) = (2 (- 1) + 3 \cdot 1 1 (- 1) + m \cdot 1 2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 1 \cdot 2 + 5 m) = (1 m - 1 19 5 m + 2) .$
La traspuesta intercambia filas y columnas: $(A B)^{T} = (119 m - 1 5 m + 2) .$

Resultado: $A B = (1 m - 1 19 5 m + 2)$ y $(A B)^{T} = (119 m - 1 5 m + 2)$ .

2.2.2 Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

$∣ A ∣ = 2 m - 3 \cdot 1 = 2 m - 3$ , que se anula si $m = \frac{3}{2}$ .
Luego $A$ es invertible si y solo si $m \neq = \frac{3}{2}$ .
Para $m \neq = \frac{3}{2}$ , la inversa es $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{T}$ . Los adjuntos son $A_{11} = m$ , $A_{12} = - 1$ , $A_{21} = - 3$ , $A_{22} = 2$ , así que $Adj A = (m - 3 - 1 2)$ y $A^{- 1} = \frac{1}{2 m - 3} (m - 1 - 3 2) = \frac{m}{2 m - 3} \frac{- 1}{2 m - 3} \frac{- 3}{2 m - 3} \frac{2}{2 m - 3} .$
Comprobación: la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{- 1}$ da $\frac{2 m - 3}{2 m - 3} = 1$ .

Resultado: $∣ A ∣ = 2 m - 3$ ; $A$ es invertible si $m \neq = \frac{3}{2}$ y $A^{- 1} = \frac{1}{2 m - 3} (m - 1 - 3 2)$ .

2.2.3 Despejamos $X$ : $B X = C - A^{2}$ . Como $∣ B ∣ = - 5 - 2 = - 7 \neq = 0$ , $B$ es invertible y $X = B^{- 1} (C - A^{2})$ .

Calculamos $A^{2}$ : $A^{2} = (21 3 m) (21 3 m) = (7 2 + m 6 + 3 m 3 + m^{2}) .$
Calculamos $C - A^{2}$ : $C - A^{2} = (0 - 7 5 - 2 - m - 1 - 6 - 3 m m^{2} - 3 - m^{2}) = (- 7 3 - m - 3 m - 7 - 3) .$
Inversa de $B$ : $∣ B ∣ = - 7$ , $Adj B = (5 - 2 - 1 - 1)$ , luego $B^{- 1} = \frac{1}{- 7} (5 - 1 - 2 - 1) = \frac{1}{7} (- 5 1 21) .$
Multiplicamos: $X = \frac{1}{7} (- 5 1 21) (- 7 3 - m - 3 m - 7 - 3) = \frac{1}{7} (35 + 6 - 2 m - 7 + 3 - m 15 m + 35 - 6 - 3 m - 7 - 3) = \frac{1}{7} (41 - 2 m - m - 4 15 m + 29 - 3 m - 10) .$

Resultado: $X = \frac{41 - 2 m}{7} - \frac{m + 4}{7} \frac{15 m + 29}{7} - \frac{3 m + 10}{7}$

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Julio 2024 · Problema 1 Medio10 puntosDeterminantes y rango / Matrices

Matriz con parámetro: invertibilidad, inversa para k=0 y matrices que conmutan

Problema 1. Se considera la matriz

$A = 0 k 2 k \frac{1}{3} - 1 31 - 1$

donde $k$ es un número real.

a) (2 puntos) ¿Para qué valores del parámetro $k$ la matriz $A$ es invertible?

b) (4 puntos) Para $k = 0$ , si existe, calcular la matriz inversa de $A$ .

c) (4 puntos) Para $k = 0$ , hallar las matrices diagonales $D$ que verifican $A D = D A$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $k \neq = - 1$ y $k \neq = 2$ ; b) $A^{- 1} = - \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \frac{3}{2} 30 \frac{1}{2} 00$ ; c) $D = a I$ (las tres entradas de la diagonal iguales)

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a) Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

Desarrollamos $∣ A ∣$ por la primera fila:

$∣ A ∣ = 0 \cdot (\frac{1}{3} \cdot (- 1) - 1 \cdot (- 1)) - k (k \cdot (- 1) - 1 \cdot 2) + 3 (k \cdot (- 1) - \frac{1}{3} \cdot 2) .$

Operamos: $∣ A ∣ = - k (- k - 2) + 3 (- k - \frac{2}{3}) = k^{2} + 2 k - 3 k - 2 = k^{2} - k - 2$ .
$k^{2} - k - 2 = 0 \Rightarrow k = \frac{1 \pm 3}{2}$ , es decir, $k = 2$ o $k = - 1$ . Así, $∣ A ∣ = (k - 2) (k + 1)$ .

Resultado: $A$ es invertible si y solo si $k \neq = - 1$ y $k \neq = 2$ .

b) Para $k = 0$ , $∣ A ∣ = - 2 \neq = 0$ y $A$ es invertible, con

$A = 002 0 \frac{1}{3} - 1 31 - 1 .$

Calculamos la inversa con $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{t}$ .

Determinante: $∣ A ∣ = - 2$ (es $∣ A ∣ = k^{2} - k - 2$ del apartado a) con $k = 0$ ).
Adjuntos de $A$ :

$A_{11} A_{21} A_{31} = \frac{1}{3} - 1 1 - 1 = \frac{2}{3}, = - 0 - 1 3 - 1 = - 3, = 0 \frac{1}{3} 31 = - 1, A_{12} A_{22} A_{32} = - 02 1 - 1 = 2, = 02 3 - 1 = - 6, = - 0031 = 0, A_{13} A_{23} A_{33} = 02 \frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}, = - 02 0 - 1 = 0, = 00 0 \frac{1}{3} = 0.$

Matriz de adjuntos: $Adj A = \frac{2}{3} - 3 - 1 2 - 6 0 - \frac{2}{3} 00$ . 3. Trasponemos: $(Adj A)^{t} = \frac{2}{3} 2 - \frac{2}{3} - 3 - 6 0 - 1 00$ . 4. Dividimos entre $∣ A ∣ = - 2$ :

$A^{- 1} = - \frac{1}{2} \frac{2}{3} 2 - \frac{2}{3} - 3 - 6 0 - 1 00 = - \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \frac{3}{2} 30 \frac{1}{2} 00 .$

Comprobación: la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{- 1}$ da $0 \cdot (- \frac{1}{3}) + 0 \cdot (- 1) + 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ , y la tercera fila de $A$ por las tres columnas da $2 \cdot (- \frac{1}{3}) + 1 - \frac{1}{3} = 0$ , $3 - 3 - 0 = 0$ y $1 - 0 - 0 = 1$ .

Resultado: $A^{- 1} = - \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \frac{3}{2} 30 \frac{1}{2} 00$

c) Sea $D = a 00 0 b 0 00 c$ (con $k = 0$ ).

Multiplicar por la derecha por una matriz diagonal multiplica cada columna $j$ por $d_{j}$ , y por la izquierda multiplica cada fila $i$ por $d_{i}$ . Por tanto $(A D)_{ij} = a_{ij} d_{j}$ y $(D A)_{ij} = d_{i} a_{ij}$ , y $A D = D A$ equivale a $a_{ij} (d_{j} - d_{i}) = 0$ para todo $i, j$ .
Con $d_{1} = a$ , $d_{2} = b$ , $d_{3} = c$ , los elementos no nulos de $A$ fuera de la diagonal son $a_{13} = 3$ , $a_{23} = 1$ , $a_{31} = 2$ y $a_{32} = - 1$ . Imponen:
- $(1, 3)$ : $3 (c - a) = 0 \Rightarrow c = a$ .
- $(2, 3)$ : $1 \cdot (c - b) = 0 \Rightarrow c = b$ .
- $(3, 1)$ y $(3, 2)$ dan lo mismo: $a = c$ y $b = c$ .
Los demás elementos son nulos y no imponen nada. Luego $a = b = c$ .
Comprobación: $D = a I$ conmuta con toda matriz, y solo estas matrices diagonales sirven.

Resultado: $D = a 00 0 a 0 00 a = a I$ , con $a \in R$ cualquiera.

Resultado: a) $k \neq = - 1$ y $k \neq = 2$ ; b) $A^{- 1} = - \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \frac{3}{2} 30 \frac{1}{2} 00$ ; c) $D = a I$ (las tres entradas de la diagonal iguales)

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Julio 2024 · Problema 2 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Ecuación matricial A²X=B: unicidad según a y valores de alfa, beta y gamma

Problema 2. Sean las matrices

$A = 13 a 020213 y B = α β γ .$

Se pide:

a) (5 puntos) Estudiar los valores del parámetro real $a$ para los que la ecuación matricial $A^{2} X = B$ tiene una única solución.

b) (5 puntos) Sabiendo que el vector $3 - 2 - 1$ es una solución de la ecuación $A^{2} X = B$ , encontrar el valor de $α$ , $β$ y $γ$ dependiendo del parámetro real $a$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) solución única si y solo si $a \neq = \frac{3}{2}$ ; b) $α = 6 a - 5$ , $β = 3 a + 8$ , $γ = 10 a - 9$

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a) La ecuación $A^{2} X = B$ es un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, con matriz de coeficientes $A^{2}$ . Tiene solución única para cualquier $B$ si y solo si $∣ A^{2} ∣ \neq = 0$ .

Como $∣ A^{2} ∣ = ∣ A ∣^{2}$ , basta estudiar $∣ A ∣$ . Desarrollamos por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo:

$∣ A ∣ = 2 \cdot 1 a 23 = 2 (3 - 2 a) .$

$∣ A ∣ = 0 \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$ .
Si $a \neq = \frac{3}{2}$ : $∣ A^{2} ∣ \neq = 0$ , el sistema es compatible determinado (la matriz $A^{2}$ es invertible y $X = (A^{2})^{- 1} B$ ), con solución única.
Si $a = \frac{3}{2}$ : $∣ A^{2} ∣ = 0$ y $A^{2}$ no tiene inversa. Entonces el sistema, para $B$ cualquiera, no tiene solución única: o no tiene solución o tiene infinitas. (Si además es compatible, como en el apartado b, es indeterminado.)

Resultado: la solución es única si y solo si $a \neq = \frac{3}{2}$ .

b) Calculamos primero $A^{2}$ multiplicando fila por columna:

Fila 1: $(1, 0, 2)$ . Con la columna 1 $(1, 3, a)$ : $1 + 2 a$ ; con la columna 2 $(0, 2, 0)$ : $0$ ; con la columna 3 $(2, 1, 3)$ : $2 + 6 = 8$ .
Fila 2: $(3, 2, 1)$ . Columna 1: $3 + 6 + a = 9 + a$ ; columna 2: $4$ ; columna 3: $6 + 2 + 3 = 11$ .
Fila 3: $(a, 0, 3)$ . Columna 1: $a + 3 a = 4 a$ ; columna 2: $0$ ; columna 3: $2 a + 9$ .

$A^{2} = 1 + 2 a 9 + a 4 a 040 811 2 a + 9 .$

Como $X = 3 - 2 - 1$ cumple $A^{2} X = B$ , basta calcular ese producto:

$B = A^{2} X = 3 (1 + 2 a) + 0 \cdot (- 2) + 8 \cdot (- 1) 3 (9 + a) + 4 \cdot (- 2) + 11 \cdot (- 1) 3 \cdot 4 a + 0 + (2 a + 9) (- 1) = 6 a - 5 3 a + 8 10 a - 9 .$

Comprobación con $a = 0$ : $A^{2} X$ tiene primera fila $3 - 8 = - 5$ , segunda $27 - 8 - 11 = 8$ y tercera $- 9$ , que coinciden con $6 a - 5$ , $3 a + 8$ y $10 a - 9$ para $a = 0$ .

Resultado: $α = 6 a - 5, β = 3 a + 8, γ = 10 a - 9$

Resultado: a) solución única si y solo si $a \neq = \frac{3}{2}$ ; b) $α = 6 a - 5$ , $β = 3 a + 8$ , $γ = 10 a - 9$

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Junio 2024 · Problema 2 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Rango de una matriz con parámetro, ecuación matricial AX=B y potencia A^5

Problema 2. Se consideran las matrices

$A = 10 m 2 m m 1 m 0 m y B = 100010 .$

Se pide:

a) (3 puntos) Estudiar el rango de $A$ en función del parámetro real $m$ .

b) (4 puntos) Para $m = - 1$ , resolver la ecuación matricial $A X = B$ .

c) (3 puntos) Para $m = 0$ , calcular $A^{5}$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $rg A = 3$ si $m \neq = 0, 1$ y $rg A = 2$ si $m = 0, 1$ ; b) $X = 1/2 0 - 1/2 - 3/2 - 1 1/2$ ; c) $A^{5} = 100000000$

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Desarrollamos $∣ A ∣$ por la segunda fila, que solo tiene el elemento $m$ en la posición $(2, 2)$ :

$∣ A ∣ = m 1 m m m = m (m - m^{2}) = m^{2} (1 - m) .$

$∣ A ∣ = 0 ⟺ m = 0$ o $m = 1$ .
Si $m \neq = 0$ y $m \neq = 1$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = 3$ .
Si $m = 0$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss (basta pasar la fila de ceros al final):

$A = 100001000 F_{2} \leftrightarrow F_{3} 100010000 \Rightarrow rg A = 2.$

Si $m = 1$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss:

$A = 101211101 F_{3} - F_{1} 100 21 - 1 100 F_{3} + F_{2} 100210100 \Rightarrow rg A = 2.$

Resultado: $rg A = 3$ si $m \neq = 0, 1$ ; $rg A = 2$ si $m = 0$ o $m = 1$ .

b) Para $m = - 1$ se tiene $∣ A ∣ = (- 1)^{2} \cdot 2 = 2 \neq = 0$ , así que $A$ es invertible y $X = A^{- 1} B$ es una matriz $3 \times 2$ . Con

$A = 10 - 1 - 2 - 1 1 - 1 0 - 1, ∣ A ∣ = 2,$

calculamos $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{t}$ .

Adjuntos de $A$ :

$A_{11} A_{21} A_{31} = - 1 1 0 - 1 = 1, = - - 2 1 - 1 - 1 = - 3, = - 2 - 1 - 1 0 = - 1, A_{12} A_{22} A_{32} = - 0 - 1 0 - 1 = 0, = 1 - 1 - 1 - 1 = - 2, = - 10 - 1 0 = 0, A_{13} A_{23} A_{33} = 0 - 1 - 1 1 = - 1, = - 1 - 1 - 2 1 = 1, = 10 - 2 - 1 = - 1.$

Matriz de adjuntos y su traspuesta: $Adj A = 1 - 3 - 1 0 - 2 0 - 1 1 - 1, (Adj A)^{t} = 10 - 1 - 3 - 2 1 - 1 0 - 1 .$
Dividimos entre $∣ A ∣ = 2$ : $A^{- 1} = \frac{1}{2} 10 - 1 - 3 - 2 1 - 1 0 - 1 .$
Como $B$ tiene por columnas $(1, 0, 0)^{T}$ y $(0, 1, 0)^{T}$ , el producto $A^{- 1} B$ se queda con las dos primeras columnas de $A^{- 1}$ : $X = A^{- 1} B = \frac{1}{2} 10 - 1 - 3 - 2 1 = \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1 \frac{1}{2} .$
Comprobación de la primera fila de $A X$ : $\frac{1}{2} - 2 \cdot 0 + \frac{1}{2} = 1$ y $- \frac{3}{2} + 2 - \frac{1}{2} = 0$ . Coincide con la primera fila de $B$ .

Resultado: $X = 1/2 0 - 1/2 - 3/2 - 1 1/2$

c) Para $m = 0$ , $A = 100001000$ .

Calculamos $A^{2}$ : $A^{2} = 100001000100001000 = 100000000 .$
Llamamos $E = A^{2} = 100000000$ . Es idempotente: $E^{2} = E$ .
Entonces $A^{4} = E^{2} = E$ y $A^{5} = A^{4} A = E A = 100000000100001000 = 100000000 .$

Resultado: $A^{5} = 100000000$

Resultado: a) $rg A = 3$ si $m \neq = 0, 1$ y $rg A = 2$ si $m = 0, 1$ ; b) $X = 1/2 0 - 1/2 - 3/2 - 1 1/2$ ; c) $A^{5} = 100000000$

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Junio 2023 · Problema 1 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Ecuación matricial con A al cuadrado y parámetro m: existencia y solución

Problema 1. Dadas las matrices

$A = 100 2 m 3 010, X = x y z y B = m 09 :$

a) (4 puntos) Estudiar cuándo la ecuación matricial $A^{2} X = B$ tiene solución en función del parámetro real $m$ .

b) (6 puntos) Encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior cuando éstas existan.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) siempre hay solución, y es única, para todo $m \in R$ ; b) $X = 3 m - 6 - m 3 + m^{2}$

Ver proceso y resultado

a) La ecuación $A^{2} X = B$ es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas cuya matriz de coeficientes es $A^{2}$ . Tiene solución única si $∣ A^{2} ∣ \neq = 0$ .

Calculamos $∣ A ∣$ desarrollando por la primera columna (solo tiene un elemento no nulo):

$∣ A ∣ = 1 \cdot m 3 10 = 1 \cdot (0 - 3) = - 3.$

Entonces $∣ A^{2} ∣ = ∣ A ∣^{2} = 9 \neq = 0$ para todo $m$ .
Por tanto $A^{2}$ es invertible para cualquier valor de $m$ y el sistema es compatible determinado: la ecuación siempre tiene solución, y es única, $X = (A^{2})^{- 1} B$ .

Resultado: para todo $m \in R$ la ecuación tiene solución y es única.

b) Como $A^{2} X = A (A X)$ , resolvemos en dos pasos: primero $A Y = B$ con $Y = A X$ , y después $A X = Y$ .

$A Y = B$ con $Y = (y_{1}, y_{2}, y_{3})^{T}$ es el sistema $⎩ ⎨ ⎧ y_{1} + 2 y_{2} m y_{2} + y_{3} 3 y_{2} = m = 0 = 9$ De la tercera, $y_{2} = 3$ ; de la segunda, $y_{3} = - 3 m$ ; de la primera, $y_{1} = m - 6$ . Así $Y = m - 6 3 - 3 m$ .
Ahora $A X = Y$ : $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y m y + z 3 y = m - 6 = 3 = - 3 m$ De la tercera, $y = - m$ ; de la segunda, $z = 3 - m y = 3 + m^{2}$ ; de la primera, $x = m - 6 - 2 y = m - 6 + 2 m = 3 m - 6$ .
Comprobación con $m = 0$ : $A^{2} = 100230203$ y $X = (- 6, 0, 3)^{T}$ da $A^{2} X = (- 6 + 0 + 6, 0, 9)^{T} = (0, 0, 9)^{T} = B$ . Correcto.

Resultado: $X = 3 m - 6 - m 3 + m^{2}$ , solución única para cada $m$ .

Resultado: a) siempre hay solución, y es única, para todo $m \in R$ ; b) $X = 3 m - 6 - m 3 + m^{2}$

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Julio 2022 · Problema 2 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matriz con parámetros a y b: inversa dada, potencias A^3 y A^4 y determinante de A^-50

Problema 2. Dada la matriz $A = (a + b 0 1 a - b)$ :

a) (4 puntos) Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla $A^{- 1} = (10 - 1 1)$ .

b) (3 puntos) Para los valores $a$ y $b$ obtenidos en el apartado anterior, calcular $A^{3}$ y $A^{4}$ .

c) (3 puntos) Calcular $det (A^{- 50})$ cuando $a^{2} - b^{2} \neq = 0$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $a = 1$ , $b = 0$ ; b) $A^{3} = (1031)$ , $A^{4} = (1041)$ ; c) $\frac{1}{( a ^{2} - b ^{2} ) ^{50}}$

Ver proceso y resultado

a) Si $A^{- 1} = B$ con $B = (10 - 1 1)$ , entonces $A = B^{- 1}$ .

$∣ B ∣ = 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 0 = 1$ . Adjuntos: $B_{11} = 1$ , $B_{12} = 0$ , $B_{21} = 1$ , $B_{22} = 1$ , de modo que $Adj B = (1101)$ y, trasponiendo y dividiendo entre $∣ B ∣$ , $B^{- 1} = \frac{1}{∣ B ∣} (Adj B)^{t}$ :

$B^{- 1} = (1011) .$

Igualamos con $A = (a + b 0 1 a - b)$ : $a + b = 1$ y $a - b = 1$ .
Sumando: $2 a = 2 \Rightarrow a = 1$ ; restando: $2 b = 0 \Rightarrow b = 0$ .

Resultado: $a = 1$ , $b = 0$ .

b) Con $a = 1$ , $b = 0$ : $A = (1011)$ .

$A^{2} = (1011) (1011) = (1021)$ .
$A^{3} = A^{2} A = (1021) (1011) = (1031)$ .
$A^{4} = A^{3} A = (1031) (1011) = (1041)$ .

(En general, $A^{n} = (10 n 1)$ .)

Resultado: $A^{3} = (1031)$ , $A^{4} = (1041)$ .

c) Aquí $a$ y $b$ son los parámetros generales.

$∣ A ∣ = (a + b) (a - b) - 1 \cdot 0 = a^{2} - b^{2}$ , que es distinto de $0$ por hipótesis, luego $A$ es invertible y $A^{- 50}$ existe.
Usamos $∣ X Y ∣ = ∣ X ∣∣ Y ∣$ y $∣ A^{- 1} ∣ = \frac{1}{∣ A ∣}$ :

$det (A^{- 50}) = (det A^{- 1})^{50} = \frac{1}{∣ A ∣ ^{50}} = \frac{1}{( a ^{2} - b ^{2} ) ^{50}} .$

Resultado: $det (A^{- 50}) = \frac{1}{( a ^{2} - b ^{2} ) ^{50}}$

Resultado: a) $a = 1$ , $b = 0$ ; b) $A^{3} = (1031)$ , $A^{4} = (1041)$ ; c) $\frac{1}{( a ^{2} - b ^{2} ) ^{50}}$

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Junio 2022 · Problema 1 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matriz inversa de C menos A por B traspuesta, ecuación matricial y potencias

Problema 1. Dadas las matrices

$A = (1 - 1 02 1 - 1), B = (101110) y C = (10 1 - 1) .$

Se pide:

a) (4 puntos) Demostrar que $C - A B^{T}$ tiene inversa y calcularla.

b) (3 puntos) Calcular la matriz $X$ que verifica $C X = A B^{T} X + I$ , donde $I$ es la matriz identidad.

c) (3 puntos) Justificar que $(A B^{T})^{n} = 2^{n} I$ para todo número natural $n$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $∣ C - A B^{T} ∣ = 3 \neq = 0$ , $(C - A B^{T})^{- 1} = - 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ ; b) $X = - 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ ; c) $A B^{T} = 2 I \Rightarrow (A B^{T})^{n} = 2^{n} I$

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Empezamos calculando $A B^{T}$ . La traspuesta de $B$ es

$B^{T} = 111010 .$

Multiplicamos $A$ (de tamaño $2 \times 3$ ) por $B^{T}$ (de tamaño $3 \times 2$ ): el resultado es de tamaño $2 \times 2$ .

Fila 1 de $A$ , $(1, 0, 1)$ : con la columna 1 de $B^{T}$ , $(1, 1, 1)$ , da $1 + 0 + 1 = 2$ ; con la columna 2, $(0, 1, 0)$ , da $0 + 0 + 0 = 0$ .
Fila 2 de $A$ , $(- 1, 2, - 1)$ : con la columna 1, $- 1 + 2 - 1 = 0$ ; con la columna 2, $0 + 2 + 0 = 2$ .

$A B^{T} = (2002) = 2 I .$

a) Calculamos la matriz $M = C - A B^{T}$ :

$M = (10 1 - 1) - (2002) = (- 1 0 1 - 3) .$

Su determinante es $∣ M ∣ = (- 1) (- 3) - 1 \cdot 0 = 3 \neq = 0$ , así que $M$ tiene inversa.
Adjuntos: $M_{11} = - 3$ , $M_{12} = 0$ , $M_{21} = - 1$ , $M_{22} = - 1$ , luego $Adj M = (- 3 - 1 0 - 1)$ . La inversa es la traspuesta de la adjunta dividida entre el determinante, $M^{- 1} = \frac{1}{∣ M ∣} (Adj M)^{t}$ :

$M^{- 1} = \frac{1}{3} (- 3 0 - 1 - 1) = - 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} .$

Comprobación: $(- 1 0 1 - 3) (- 1 0 - 1/3 - 1/3) = (10 \frac{1}{3} - \frac{1}{3} 1) = I$ .

Resultado: $∣ C - A B^{T} ∣ = 3 \neq = 0$ y $(C - A B^{T})^{- 1} = - 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

b) Pasamos $A B^{T} X$ al primer miembro y sacamos $X$ factor común por la derecha:

$C X - A B^{T} X = I \Rightarrow (C - A B^{T}) X = I$ .
Como $C - A B^{T}$ tiene inversa (apartado a), multiplicamos por ella por la izquierda: $X = (C - A B^{T})^{- 1}$ .

$X = - 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} .$

Resultado: $X = - 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$

c) Hemos visto que $A B^{T} = 2 I$ . Como $I$ conmuta con cualquier matriz y $I^{k} = I$ :

$(A B^{T})^{n} = (2 I)^{n} = n veces 2 I \cdot 2 I \dots 2 I = 2^{n} I^{n} = 2^{n} I$ .
Por inducción: para $n = 1$ , $A B^{T} = 2 I$ . Si $(A B^{T})^{n} = 2^{n} I$ , entonces $(A B^{T})^{n + 1} = (A B^{T})^{n} A B^{T} = 2^{n} I \cdot 2 I = 2^{n + 1} I$ .

Resultado: $A B^{T} = 2 I$ , luego $(A B^{T})^{n} = 2^{n} I$ para todo $n \in N$ .

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Junio 2022 · Problema 2 Medio10 puntosDeterminantes y rango / Matrices

Rango de una matriz 3x3 con parámetro m, inversa para m=2 y determinante de 2A

Problema 2. Dada la matriz

$A = m - 2 m 0 0 m^{2} 2 m m - 1 11 .$

Determinar:

a) (4 puntos) El rango de la matriz $A$ en función del parámetro real $m$ .

b) (4 puntos) La matriz inversa de $A$ en el caso $m = 2$ .

c) (2 puntos) El número real $m$ para el cual el determinante de la matriz $2 A$ es igual a $- 8$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $rg A = 3$ si $m \neq = 0, \frac{2}{3}$ ; $rg A = 1$ si $m = 0$ ; $rg A = 2$ si $m = \frac{2}{3}$ ; b) $A^{- 1} = 0 - \frac{1}{4} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{3}{8} - \frac{1}{2}$ ; c) $m = 1$

Ver proceso y resultado

a) Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila:

$∣ A ∣ = m m^{2} 2 m 11 - 0 + (m - 1) - 2 m 0 m^{2} 2 m$ .
$m^{2} 2 m 11 = m^{2} - 2 m$ y $- 2 m 0 m^{2} 2 m = - 4 m^{2}$ .
$∣ A ∣ = m (m^{2} - 2 m) - 4 m^{2} (m - 1) = m^{3} - 2 m^{2} - 4 m^{3} + 4 m^{2} = - 3 m^{3} + 2 m^{2} = m^{2} (2 - 3 m)$ .
$∣ A ∣ = 0 \Leftrightarrow m = 0$ o $m = \frac{2}{3}$ .

Discutimos:

Si $m \neq = 0$ y $m \neq = \frac{2}{3}$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = 3$ .
Si $m = 0$ : sustituimos y hacemos Gauss: $A = 000000 - 1 11 F_{2} + F_{1} F_{3} + F_{1} 000000 - 1 00 .$ Solo queda una fila no nula: $rg A = 1$ .
Si $m = \frac{2}{3}$ : sustituimos y hacemos Gauss: $A = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} 0 0 \frac{4}{9} \frac{4}{3} - \frac{1}{3} 11 F_{2} + 2 F_{1} \frac{2}{3} 00 0 \frac{4}{9} \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} 1 F_{3} - 3 F_{2} \frac{2}{3} 00 0 \frac{4}{9} 0 - \frac{1}{3} \frac{1}{3} 0 .$ Quedan dos filas no nulas: $rg A = 2$ .

Resultado: $rg A = 3$ si $m \neq = 0, \frac{2}{3}$ ; $rg A = 1$ si $m = 0$ ; $rg A = 2$ si $m = \frac{2}{3}$ .

b) Para $m = 2$ :

$A = 2 - 4 0 044111, ∣ A ∣ = 4 (2 - 6) = - 16 \neq = 0.$

Calculamos la inversa con la matriz de adjuntos.

Adjuntos de la primera fila: $A_{11} = 4411 = 0$ ; $A_{12} = - - 4 0 11 = 4$ ; $A_{13} = - 4 0 44 = - 16$ .
Segunda fila: $A_{21} = - 0411 = 4$ ; $A_{22} = 2011 = 2$ ; $A_{23} = - 2004 = - 8$ .
Tercera fila: $A_{31} = 0411 = - 4$ ; $A_{32} = - 2 - 4 11 = - 6$ ; $A_{33} = 2 - 4 04 = 8$ .
La inversa es la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida entre el determinante:

$A^{- 1} = \frac{1}{- 16} 04 - 16 42 - 8 - 4 - 6 8 = 0 - \frac{1}{4} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{3}{8} - \frac{1}{2} .$

Comprobación de la primera fila de $A A^{- 1}$ : $(2, 0, 1) \cdot (0, - \frac{1}{4}, 1) = 1$ ; $(2, 0, 1) \cdot (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{8}, \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ ; $(2, 0, 1) \cdot (\frac{1}{4}, \frac{3}{8}, - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ .

Resultado: $A^{- 1} = 0 - \frac{1}{4} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{3}{8} - \frac{1}{2}$

c) Como $A$ es de orden 3, al multiplicar toda la matriz por 2 cada una de las tres filas queda multiplicada por 2 y el determinante se multiplica por $2^{3}$ :

$∣2 A ∣ = 2^{3} ∣ A ∣ = 8 m^{2} (2 - 3 m)$ .
$8 m^{2} (2 - 3 m) = - 8 \Rightarrow 2 m^{2} - 3 m^{3} = - 1 \Rightarrow 3 m^{3} - 2 m^{2} - 1 = 0$ .
Probamos $m = 1$ : $3 - 2 - 1 = 0$ , es raíz. Dividiendo por $(m - 1)$ : $3 m^{3} - 2 m^{2} - 1 = (m - 1) (3 m^{2} + m + 1)$ .
$3 m^{2} + m + 1 = 0$ tiene discriminante $1 - 12 = - 11 < 0$ : no tiene raíces reales.

Resultado: $m = 1$

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Julio 2021 · Problema 4 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Rango de una matriz con parámetro a, matriz C tal que AC=16I y rango de un producto

Problema 4. Se dan las matrices

$A = 1 - 1 1 2 a a^{2} - 2 313 y B = 1 - 1 2 (123) .$

Obtened:

a) (3 puntos) El rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$ .

b) (4 puntos) Una matriz $C$ tal que $A C = 16 I$ , siendo $I$ la matriz identidad, cuando $a = 0$ .

c) (3 puntos) El rango de la matriz $B$ y la discusión de si el sistema $B x y z = 1 - 1 2$ tiene solución.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $rg A = 3$ si $a \neq = \pm 2$ y $rg A = 2$ si $a = \pm 2$ ; b) $C = 242 - 12 04 2 - 4 2$ ; c) $rg B = 1$ y el sistema tiene solución

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a) Calculamos $∣ A ∣$ desarrollando por la primera fila:

$∣ A ∣ = 1 (3 a - (a^{2} - 2)) - 2 (- 3 - 1) + 3 (- (a^{2} - 2) - a)$ .
$∣ A ∣ = 3 a - a^{2} + 2 + 8 - 3 a^{2} + 6 - 3 a = - 4 a^{2} + 16 = - 4 (a^{2} - 4)$ .
$∣ A ∣ = 0 ⟺ a = 2$ o $a = - 2$ .
Si $a \neq = \pm 2$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = 3$ .
Si $a = 2$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss:

$1 - 1 1 222313 F_{2} + F_{1} F_{3} - F_{1} 100240340 \Rightarrow rg A = 2.$

Si $a = - 2$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss:

$1 - 1 1 2 - 2 2 313 F_{2} + F_{1} F_{3} - F_{1} 100200340 \Rightarrow rg A = 2.$

Resultado: $rg A = 3$ si $a \neq = \pm 2$ ; $rg A = 2$ si $a = \pm 2$ .

b) Con $a = 0$ : $A = 1 - 1 1 20 - 2 313$ y $∣ A ∣ = - 4 (0 - 4) = 16 \neq = 0$ , luego $A$ es invertible. De $A C = 16 I$ se obtiene $C = 16 A^{- 1}$ . Como $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{t}$ y $∣ A ∣ = 16$ , resulta $C = (Adj A)^{t}$ .

Adjuntos de $A$ :
- $A_{11} = 0 - 2 13 = 2$ , $A_{12} = - - 1 1 13 = 4$ , $A_{13} = - 1 1 0 - 2 = 2$ ;
- $A_{21} = - 2 - 2 33 = - 12$ , $A_{22} = 1133 = 0$ , $A_{23} = - 11 2 - 2 = 4$ ;
- $A_{31} = 2031 = 2$ , $A_{32} = - 1 - 1 31 = - 4$ , $A_{33} = 1 - 1 20 = 2$ .
Trasponemos la matriz de adjuntos:

$C = 242 - 12 04 2 - 4 2 .$

Comprobación de la primera fila de $A C$ : $(1, 2, 3) \cdot (2, 4, 2) = 2 + 8 + 6 = 16$ , $(1, 2, 3) \cdot (- 12, 0, 4) = - 12 + 12 = 0$ , $(1, 2, 3) \cdot (2, - 4, 2) = 2 - 8 + 6 = 0$ . Es la primera fila de $16 I$ .

Resultado: $C = 242 - 12 04 2 - 4 2$

c) Hacemos el producto: $B = 1 - 1 2 (123) = 1 - 1 2 2 - 2 4 3 - 3 6$ .

Las filas son $(1, 2, 3)$ , $- (1, 2, 3)$ y $2 (1, 2, 3)$ : todas proporcionales y no nulas, luego $rg B = 1$ .
La matriz ampliada es $1 - 1 2 2 - 2 4 3 - 3 6 1 - 1 2$ : sus filas son otra vez $(1, 2, 3, 1)$ , $- (1, 2, 3, 1)$ y $2 (1, 2, 3, 1)$ , luego su rango también es $1$ .
Por el teorema de Rouché-Frobenius, $rg B = rg B^{*} = 1 < 3$ incógnitas: el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene solución (infinitas). Se reduce a la única ecuación $x + 2 y + 3 z = 1$ .

Resultado: $rg B = 1$ ; el sistema tiene solución (compatible indeterminado, con $x + 2 y + 3 z = 1$ ).

Resultado: a) $rg A = 3$ si $a \neq = \pm 2$ y $rg A = 2$ si $a = \pm 2$ ; b) $C = 242 - 12 04 2 - 4 2$ ; c) $rg B = 1$ y el sistema tiene solución

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Junio 2021 · Problema 4 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Rango de una matriz 3x3 con parámetro m, invertibilidad y ecuación XA = I

Problema 4. Dada la matriz $A = - 1 02 2 m 1 m 0 m^{2} + 1$ , se pide:

a) (4 puntos) Obtener el rango de la matriz en función del parámetro $m$ .

b) (2 puntos) Explicar cuándo la matriz $A$ es invertible.

c) (4 puntos) Resolver la ecuación $X A = I$ donde $I$ es la matriz identidad en el caso $m = 1$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $rg A = 3$ si $m \neq = 0, - 1$ y $rg A = 2$ si $m = 0, - 1$ ; b) $A$ es invertible si y solo si $m \neq = 0, - 1$ ; c) $X = \frac{1}{4} - 2 02 34 - 5 101$

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a) 1. Calculamos $∣ A ∣$ desarrollando por la segunda fila (solo tiene un elemento no nulo):

$∣ A ∣ = m - 1 2 m m^{2} + 1 = m (- (m^{2} + 1) - 2 m) = - m (m^{2} + 2 m + 1) = - m (m + 1)^{2} .$

$∣ A ∣ = 0 ⟺ m = 0$ o $m = - 1$ .
Si $m \neq = 0$ y $m \neq = - 1$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = 3$ .
Si $m = 0$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss:

$A = - 1 02 201001 F_{3} + 2 F_{1} - 1 00 205001 .$

Quedan dos filas no nulas (la fila de ceros no cuenta): $rg A = 2$ .

Si $m = - 1$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss:

$A = - 1 02 2 - 1 1 - 1 02 F_{3} + 2 F_{1} - 1 00 2 - 1 5 - 1 00 F_{3} + 5 F_{2} - 1 00 2 - 1 0 - 1 00 .$

Quedan dos filas no nulas: $rg A = 2$ .

Resultado: $rg A = 3$ si $m \neq = 0, - 1$ ; $rg A = 2$ si $m = 0$ o $m = - 1$ .

b) Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero, es decir, si y solo si su rango es 3. Como $∣ A ∣ = - m (m + 1)^{2}$ , la matriz $A$ es invertible exactamente cuando $m \neq = 0$ y $m \neq = - 1$ .

Resultado: $A$ es invertible si y solo si $m \neq = 0$ y $m \neq = - 1$ .

c) Con $m = 1$ :

$A = - 1 02 211102, ∣ A ∣ = - 1 \cdot (1 + 1)^{2} = - 4 \neq = 0.$

Como $A$ es invertible, de $X A = I$ se obtiene, multiplicando por $A^{- 1}$ por la derecha, $X = A^{- 1}$ .
Adjuntos de $A$ :

$A_{11} A_{21} A_{31} = 1102 = 2, = - 2112 = - 3, = 2110 = - 1, A_{12} A_{22} A_{32} = - 0202 = 0, = - 1 2 12 = - 4, = - - 1 0 10 = 0, A_{13} A_{23} A_{33} = 0211 = - 2, = - - 1 2 21 = 5, = - 1 0 21 = - 1.$

Matriz inversa $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{t}$ :

$X = A^{- 1} = \frac{1}{- 4} 20 - 2 - 3 - 4 5 - 1 0 - 1 = \frac{1}{4} - 2 02 34 - 5 101 .$

Comprobación de la primera fila de $X A$ : $\frac{1}{4} (- 2, 3, 1) \cdot$ columnas de $A$ da $\frac{1}{4} (2 + 0 + 2, - 4 + 3 + 1, - 2 + 0 + 2) = (1, 0, 0)$ .

Resultado: $X = \frac{1}{4} - 2 02 34 - 5 101$

Resultado: a) $rg A = 3$ si $m \neq = 0, - 1$ y $rg A = 2$ si $m = 0, - 1$ ; b) $A$ es invertible si y solo si $m \neq = 0, - 1$ ; c) $X = \frac{1}{4} - 2 02 34 - 5 101$

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Septiembre 2020 · Problema 4 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matriz inversa, expresión A^-1=A^2+aA+bI con Cayley-Hamilton y sistema homogéneo con lambda

Problema 4. Sea

$A = 100212001 .$

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) La justificación de que $A$ tiene inversa y el cálculo de dicha matriz inversa.

b) (3 puntos) Dos constantes $a$ , $b$ de modo que $A^{- 1} = A^{2} + a A + b I$ . Se puede usar (sin comprobarlo) que $A$ verifica la ecuación $A^{3} - 3 A^{2} + 3 A - I = 0$ , siendo $I$ la matriz identidad.

c) (2+2 puntos) El valor de $λ$ para que el sistema de ecuaciones $(A - λ I) \cdot x y z = 000$ tenga infinitas soluciones. Para dicho valor de $λ$ hallar todas las soluciones del sistema.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $A^{- 1} = 100 - 2 1 - 2 001$ ; b) $a = - 3$ , $b = 3$ ; c) $λ = 1$ y $(x, y, z) = (α, 0, β)$ , $α, β \in R$

Ver proceso y resultado

a) 1. Desarrollamos $∣ A ∣$ por la primera columna: $∣ A ∣ = 1 \cdot 1201 = 1 \neq = 0$ . Por tanto $A$ es invertible.

Adjuntos de $A$ :
- $A_{11} = 1201 = 1$ , $A_{12} = - 0001 = 0$ , $A_{13} = 0012 = 0$ ;
- $A_{21} = - 2201 = - 2$ , $A_{22} = 1001 = 1$ , $A_{23} = - 1022 = - 2$ ;
- $A_{31} = 2100 = 0$ , $A_{32} = - 1000 = 0$ , $A_{33} = 1021 = 1$ .
$A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{t}$ :

$A^{- 1} = 100 - 2 1 - 2 001 .$

Comprobación de la tercera fila de $A A^{- 1}$ : $(0, 2, 1) \cdot (1, 0, 0) = 0$ , $(0, 2, 1) \cdot (- 2, 1, - 2) = 0$ , $(0, 2, 1) \cdot (0, 0, 1) = 1$ .

Resultado: $∣ A ∣ = 1 \neq = 0$ y $A^{- 1} = 100 - 2 1 - 2 001$

b) 1. De $A^{3} - 3 A^{2} + 3 A - I = 0$ sacamos factor común $A$ : $A (A^{2} - 3 A + 3 I) = I$ .

Esto dice que $A^{2} - 3 A + 3 I$ es la inversa de $A$ : $A^{- 1} = A^{2} - 3 A + 3 I$ .
Comparando con $A^{- 1} = A^{2} + a A + b I$ : $a = - 3$ y $b = 3$ .
Comprobación con las matrices: $A^{2} = 100414001$ , y $A^{2} - 3 A + 3 I = 100 - 2 1 - 2 001$ , que coincide con $A^{- 1}$ del apartado a).

Resultado: $a = - 3$ , $b = 3$

c) 1. Es un sistema homogéneo, siempre compatible. Tiene infinitas soluciones si y solo si $∣ A - λ I ∣ = 0$ . 2. $A - λ I = 1 - λ 00 2 1 - λ 2 00 1 - λ$ es triangular inferior por bloques; desarrollando por la tercera columna: $∣ A - λ I ∣ = (1 - λ) 1 - λ 0 2 1 - λ = (1 - λ)^{3}$ . 3. $(1 - λ)^{3} = 0 ⟺ λ = 1$ . 4. Con $λ = 1$ : $A - I = 000202000$ , y el sistema se reduce a $2 y = 0$ , es decir, $y = 0$ , con $x$ y $z$ libres. 5. Tomando $x = α$ , $z = β$ : las soluciones son $(α, 0, β)$ .

Resultado: $λ = 1$ ; soluciones $(x, y, z) = (α, 0, β)$ , $α, β \in R$ .

Resultado: a) $A^{- 1} = 100 - 2 1 - 2 001$ ; b) $a = - 3$ , $b = 3$ ; c) $λ = 1$ y $(x, y, z) = (α, 0, β)$ , $α, β \in R$

Repasa la teoría: Matriz inversa · Potencias de matrices · Ecuaciones matriciales · Sistemas homogéneos · Ver el examen completo (Septiembre 2020)

Julio 2020 · Problema 4 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Invertibilidad de AB y BA con parámetro b, e inversa de la matriz traspuesta por A

Problema 4. Se dan las matrices

$A = 1 b - 1 202 y B = (- 1 - 1 0 b 2 - 1),$

que dependen del parámetro real $b$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) Los valores de $b$ para que cada una de las matrices $A B$ y $B A$ tenga inversa.

b) (3 puntos) Los valores de $b$ para que la matriz $A^{t} A$ tenga inversa, siendo $A^{t}$ la matriz traspuesta de $A$ .

c) (4 puntos) La inversa de $A^{t} A$ , cuando dicha inversa exista.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $A B$ nunca es invertible; $B A$ lo es si $b \neq = \pm 6$ ; b) para todo $b \in R$ ; c) $(A^{t} A)^{- 1} = \frac{1}{b ^{2} + 2} 0 0 \frac{1}{8}$

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a) $A$ es de orden $3 \times 2$ y $B$ de orden $2 \times 3$ , luego $A B$ es $3 \times 3$ y $B A$ es $2 \times 2$ .

Producto $A B$ :

$A B = 1 b - 1 202 (- 1 - 1 0 b 2 - 1) = - 3 - b - 1 2 b 0 2 b 0 2 b - 4 .$

Su determinante, desarrollando por la segunda fila:

$∣ A B ∣ = - (- b) 2 b 2 b 0 - 4 + 0 - 2 b - 3 - 1 2 b 2 b = b (- 8 b) - 2 b (- 6 b + 2 b) = - 8 b^{2} + 8 b^{2} = 0.$

(Otra forma de verlo: $rg (A B) \leq rg A \leq 2 < 3$ , así que $A B$ nunca puede ser invertible.)

Producto $B A$ :

$B A = (- 1 - 1 0 b 2 - 1) 1 b - 1 202 = (- 1 - 2 - 1 + b^{2} + 1 - 2 + 4 - 2 - 2) = (- 3 b^{2} 2 - 4) .$

$∣ B A ∣ = 12 - 2 b^{2} = 0 ⟺ b^{2} = 6 ⟺ b = \pm 6$ . Luego $B A$ es invertible si y solo si $b \neq = \pm 6$ .

Resultado: $A B$ no es invertible para ningún $b$ ; $B A$ es invertible si $b \neq = \pm 6$ .

b) Calculamos $A^{t} = (12 b 0 - 1 2)$ y

$A^{t} A = (12 b 0 - 1 2) 1 b - 1 202 = (1 + b^{2} + 1 2 + 0 - 2 2 + 0 - 2 4 + 0 + 4) = (b^{2} + 2 0 08) .$

$∣ A^{t} A ∣ = 8 (b^{2} + 2)$ . Como $b^{2} + 2 \geq 2 > 0$ para todo $b$ , el determinante nunca se anula.

Resultado: $A^{t} A$ tiene inversa para todo valor real de $b$ .

c) Usamos $(A^{t} A)^{- 1} = \frac{1}{∣ A ^{t} A ∣} (Adj (A^{t} A))^{t}$ con $∣ A^{t} A ∣ = 8 (b^{2} + 2) \neq = 0$ .

Adjuntos de $A^{t} A = (b^{2} + 2 0 08)$ : $A_{11} = 8$ , $A_{12} = - 0 = 0$ , $A_{21} = - 0 = 0$ , $A_{22} = b^{2} + 2$ .
Matriz adjunta y su traspuesta (la misma, por ser diagonal): $(80 0 b^{2} + 2)$ .
Dividimos entre el determinante:

$(A^{t} A)^{- 1} = \frac{1}{8 ( b ^{2} + 2 )} (80 0 b^{2} + 2) = \frac{1}{b ^{2} + 2} 0 0 \frac{1}{8} .$

Comprobación: $(b^{2} + 2 0 08) (\frac{1}{b ^{2} + 2} 0 0 \frac{1}{8}) = (1001)$ .

Resultado: $(A^{t} A)^{- 1} = \frac{1}{b ^{2} + 2} 0 0 \frac{1}{8}$

Resultado: a) $A B$ nunca es invertible; $B A$ lo es si $b \neq = \pm 6$ ; b) para todo $b \in R$ ; c) $(A^{t} A)^{- 1} = \frac{1}{b ^{2} + 2} 0 0 \frac{1}{8}$

Repasa la teoría: Producto de matrices · Matriz traspuesta, simétricas y ortogonales · Matriz inversa · Determinantes con parámetros · Matriz inversa por adjuntos · Ver el examen completo (Julio 2020)

Julio 2019 · Problema B.1 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Ecuación matricial AX=aX, soluciones para a=5 y potencia A^100 sobre un vector propio

Problema B.1. Se dan las matrices $A = (1 - 1 46)$ y $X = (x y)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) Los valores de $α$ para los que la ecuación matricial $A X = α X$ solo admite una solución.

b) (3 puntos) Todas las soluciones de la ecuación matricial $A X = 5 X$ .

c) (3 puntos) Comprobar que $X = (41)$ es una solución de la ecuación matricial $A X = 2 X$ y, sin calcular la matriz $A^{100}$ , obtener el valor $β$ tal que $A^{100} (41) = β (41)$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) $α \neq = 2, α \neq = 5$ ; b) $(x, y) = λ (1, 1)$ , $λ \in R$ ; c) $β = 2^{100}$

Ver proceso y resultado

a) Pasamos todo a un miembro: $A X = α X ⟺ (A - α I) X = O$ , un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial $X = (00)$ ; es la única si y solo si $∣ A - α I ∣ \neq = 0$ .
Calculamos el determinante:

$∣ A - α I ∣ = 1 - α - 1 4 6 - α = (1 - α) (6 - α) + 4 = α^{2} - 7 α + 10 = (α - 2) (α - 5) .$

Se anula para $α = 2$ y $α = 5$ . Para cualquier otro valor, el determinante no es nulo y la única solución es la trivial.

Resultado: $α \neq = 2$ y $α \neq = 5$ (es decir, $α \in R ∖ {2, 5}$ ).

b) Con $α = 5$ , $(A - 5 I) X = O$ :

$(- 4 - 1 41) (x y) = (00) ⟺ {- 4 x + 4 y - x + y = 0 = 0$

Las dos ecuaciones son proporcionales y equivalen a $x = y$ .
Tomando $y = λ$ , las soluciones son $(x, y) = (λ, λ)$ .

Resultado: $X = λ (11)$ , $λ \in R$ .

c) 1. Comprobación:

$A (41) = (1 \cdot 4 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4 + 6 \cdot 1) = (82) = 2 (41) .$

Llamamos $v = (41)$ , con $A v = 2 v$ . Aplicando $A$ repetidamente: $A^{2} v = A (2 v) = 2 A v = 2^{2} v$ , y en general $A^{n} v = 2^{n} v$ .
Por tanto $A^{100} v = 2^{100} v$ , es decir, $β = 2^{100}$ .

Resultado: $β = 2^{100}$

Resultado: a) $α \neq = 2, α \neq = 5$ ; b) $(x, y) = λ (1, 1)$ , $λ \in R$ ; c) $β = 2^{100}$

Repasa la teoría: Ecuaciones matriciales · Sistemas homogéneos · Determinantes con parámetros · Potencias de matrices · Ver el examen completo (Julio 2019)

Junio 2019 · Problema A.1 Medio10 puntosDeterminantes y rango / Matrices

Rango de una matriz con parámetro a, sistema compatible indeterminado e inversa de B

Problema A.1. Se dan la matriz

$A = 1 - 2 - 3 0 a + 1 a - 1 a 2 a,$

que depende del parámetro real $a$ , y una matriz cuadrada $B$ de orden 3 tal que $B^{2} = \frac{1}{3} I - 2 B$ , siendo $I$ la matriz identidad de orden 3. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (2+2 puntos) El rango de la matriz $A$ en función del parámetro $a$ y el determinante de la matriz $2 A^{- 1}$ cuando $a = 1$ .

b) (3 puntos) Todas las soluciones del sistema de ecuaciones $A x y z = - 1 20$ cuando $a = - 1$ .

c) (3 puntos) La comprobación de que $B$ es invertible, encontrando $m$ y $n$ tales que $B^{- 1} = m B + n I$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $rg A = 3$ si $a \neq = - 1$ , $rg A = 2$ si $a = - 1$ ; $∣2 A^{- 1} ∣ = 1$ ; b) $(x, y, z) = (λ, - 2 λ - \frac{1}{2}, λ + 1)$ , $λ \in R$ ; c) $m = 3$ , $n = 6$

Ver proceso y resultado

a) Calculamos $∣ A ∣$ desarrollando por la primera fila:

$∣ A ∣ = 1 [(a + 1) a - 2 (a - 1)] + a [(- 2) (a - 1) - (a + 1) (- 3)]$ .
$∣ A ∣ = (a^{2} - a + 2) + a (- 2 a + 2 + 3 a + 3) = a^{2} - a + 2 + a^{2} + 5 a = 2 a^{2} + 4 a + 2 = 2 (a + 1)^{2} .$
$∣ A ∣ = 0 ⟺ a = - 1$ .
Si $a \neq = - 1$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = 3$ .
Si $a = - 1$ : $A = 1 - 2 - 3 00 - 2 - 1 2 - 1$ . Como $∣ A ∣ = 0$ , sustituimos y hacemos Gauss:

$1 - 2 - 3 00 - 2 - 1 2 - 1 F_{2} + 2 F_{1} F_{3} + 3 F_{1} 100 00 - 2 - 1 0 - 4 .$

Hay 2 filas no nulas, así que $rg A = 2$ . 6. Para $a = 1$ : $∣ A ∣ = 2 \cdot 2^{2} = 8$ . Como $2 A^{- 1}$ es de orden 3, $∣2 A^{- 1} ∣ = 2^{3} ∣ A^{- 1} ∣ = \frac{8}{∣ A ∣} = \frac{8}{8} = 1$ .

Resultado: $rg A = 3$ si $a \neq = - 1$ y $rg A = 2$ si $a = - 1$ ; $∣2 A^{- 1} ∣ = 1$ cuando $a = 1$ .

b) Con $a = - 1$ el sistema es

$⎩ ⎨ ⎧ x - z - 2 x + 2 z - 3 x - 2 y - z = - 1 = 2 = 0$

Gauss sobre la ampliada:

$1 - 2 - 3 00 - 2 - 1 2 - 1 - 1 20 F_{2} + 2 F_{1} F_{3} + 3 F_{1} 100 00 - 2 - 1 0 - 4 - 1 0 - 3 .$

Quedan 2 filas no nulas tanto en $A$ como en $A^{*}$ : $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ (compatible indeterminado, un parámetro). El sistema equivalente es $x - z = - 1$ , $- 2 y - 4 z = - 3$ . 2. Tomamos $x = λ$ . De la primera: $z = x + 1 = λ + 1$ . 3. De la tercera: $- 3 λ - 2 y - (λ + 1) = 0 \Rightarrow 2 y = - 4 λ - 1 \Rightarrow y = - 2 λ - \frac{1}{2}$ . 4. Comprobación en la segunda ecuación: $- 2 λ + 2 (λ + 1) = 2$ .

Resultado: $(x, y, z) = (λ, - 2 λ - \frac{1}{2}, λ + 1)$ , $λ \in R$ .

c) De $B^{2} = \frac{1}{3} I - 2 B$ pasamos todo al primer miembro y sacamos factor común $B$ :

$B^{2} + 2 B = \frac{1}{3} I \Rightarrow B (B + 2 I) = \frac{1}{3} I$ .
Multiplicamos por $3$ : $B (3 B + 6 I) = I$ .
Existe una matriz que multiplicada por $B$ da la identidad, luego $B$ es invertible y $B^{- 1} = 3 B + 6 I$ .
Comparando con $B^{- 1} = m B + n I$ : $m = 3$ y $n = 6$ .

Resultado: $B$ es invertible con $B^{- 1} = 3 B + 6 I$ , es decir, $m = 3$ y $n = 6$ .

Resultado: a) $rg A = 3$ si $a \neq = - 1$ , $rg A = 2$ si $a = - 1$ ; $∣2 A^{- 1} ∣ = 1$ ; b) $(x, y, z) = (λ, - 2 λ - \frac{1}{2}, λ + 1)$ , $λ \in R$ ; c) $m = 3$ , $n = 6$

Repasa la teoría: Determinantes 2×2 y 3×3 y regla de Sarrus · Rango de una matriz · Matriz inversa · Ecuaciones matriciales · Teorema de Rouché-Frobenius · Ver el examen completo (Junio 2019)

Julio 2018 · Problema B.1 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matrices con AB=A y BA=B, matriz B con B^2=B y determinantes con propiedades

Problema B.1. Resolver los siguientes apartados, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) Dadas $A$ y $B$ , matrices cuadradas del mismo orden tales que $A B = A$ y $B A = B$ , deducir que $A^{2} = A$ y $B^{2} = B$ .

b) (2 puntos) Dada la matriz $A = (1000)$ , se pide encontrar los parámetros $a, b$ para que la matriz $B = (a 1 0 b)$ cumpla que $B^{2} = B$ pero $A B \neq = A$ y $B A \neq = B$ .

c) (4 puntos) Sabiendo que $x y z 123012 = 3$ , obtener razonadamente el valor de los determinantes

$2 x 2 y 2 z 123012 y x + 1 y + 3 z + 5 123012 .$

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $A^{2} = A B = A$ y $B^{2} = B A = B$ ; b) $a = 0$ , $b = 1$ ; c) $6$ y $3$

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a) Usamos la propiedad asociativa del producto de matrices.

Sustituimos $A = A B$ en uno de los factores de $A^{2}$ :

$A^{2} = A \cdot A = (A B) A = A (B A) .$

Como $B A = B$ , queda $A (B A) = A B$ , y como $A B = A$ :

$A^{2} = A B = A .$

Análogamente, intercambiando los papeles de $A$ y $B$ :

$B^{2} = B \cdot B = (B A) B = B (A B) = B A = B .$

Resultado: $A^{2} = A$ y $B^{2} = B$ (queda demostrado).

b) 1. Calculamos $B^{2}$ :

$B^{2} = (a 1 0 b) (a 1 0 b) = (a^{2} a + b 0 b^{2}) .$

$B^{2} = B$ exige $a^{2} = a$ , $b^{2} = b$ y $a + b = 1$ . De las dos primeras, $a, b \in {0, 1}$ ; con $a + b = 1$ quedan $(a, b) = (1, 0)$ o $(a, b) = (0, 1)$ .
Calculamos los productos con $A$ :

$A B = (1000) (a 1 0 b) = (a 0 00), B A = (a 1 0 b) (1000) = (a 1 00) .$

$A B \neq = A$ exige $a \neq = 1$ , luego $a = 0$ y $b = 1$ . Comprobamos: $A B = (0000) \neq = A$ y $B A = (0100) \neq = B = (0101)$ .

Resultado: $a = 0$ , $b = 1$

c) Llamamos $Δ = x y z 123012 = 3$ .

En el primer determinante, la primera columna está multiplicada por $2$ . Al multiplicar una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número:

$2 x 2 y 2 z 123012 = 2Δ = 6.$

En el segundo, la primera columna es suma de dos columnas: $(x, y, z)^{T} + (1, 3, 5)^{T}$ . Por la linealidad del determinante respecto de una columna:

$x + 1 y + 3 z + 5 123012 = x y z 123012 + 135123012 .$

En el último determinante, la primera columna es la suma de las otras dos: $(1, 2, 3) + (0, 1, 2) = (1, 3, 5)$ . Tiene columnas linealmente dependientes, luego vale $0$ .
Por tanto, el segundo determinante vale $3 + 0 = 3$ .

Resultado: el primero vale $6$ y el segundo vale $3$ .

Resultado: a) $A^{2} = A B = A$ y $B^{2} = B A = B$ ; b) $a = 0$ , $b = 1$ ; c) $6$ y $3$

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Junio 2018 · Problema B.1 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matriz con A²+2A=3I: inversa, potencia cuarta y determinante de 2B⁻¹

Problema B.1. Sea $A$ una matriz cuadrada tal que $A^{2} + 2 A = 3 I$ , donde $I$ es la matriz identidad. Calcular razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) Los valores de $a$ y $b$ para los cuales $A^{- 1} = a A + b I$ .

b) (4 puntos) Los valores de $α$ y $β$ para los cuales $A^{4} = α A + β I$ .

c) (3 puntos) El determinante de la matriz $2 B^{- 1}$ , sabiendo que $B$ es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es $2$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $a = \frac{1}{3}$ , $b = \frac{2}{3}$ ; b) $α = - 20$ , $β = 21$ ; c) $4$

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a) Sacamos factor común $A$ en la igualdad dada:

$A^{2} + 2 A = 3 I ⟺ A (A + 2 I) = 3 I ⟺ A \cdot \frac{A + 2 I}{3} = I .$

Por la definición de matriz inversa, $A$ es invertible y $A^{- 1} = \frac{A + 2 I}{3} = \frac{1}{3} A + \frac{2}{3} I$ .
Comparando con $A^{- 1} = a A + b I$ : $a = \frac{1}{3}$ y $b = \frac{2}{3}$ .

Resultado: $a = \frac{1}{3}$ , $b = \frac{2}{3}$

b) De la condición se despeja $A^{2} = 3 I - 2 A$ . Con ella reducimos las potencias:

$A^{3} = A \cdot A^{2} = A (3 I - 2 A) = 3 A - 2 A^{2} = 3 A - 2 (3 I - 2 A) = 7 A - 6 I$ .
$A^{4} = A \cdot A^{3} = A (7 A - 6 I) = 7 A^{2} - 6 A = 7 (3 I - 2 A) - 6 A = 21 I - 20 A$ .
Por tanto $A^{4} = - 20 A + 21 I$ .

Resultado: $α = - 20$ , $β = 21$

c) Usamos $∣ k M ∣ = k^{n} ∣ M ∣$ para una matriz de orden $n$ y $∣ B^{- 1} ∣ = \frac{1}{∣ B ∣}$ .

$∣2 B^{- 1} ∣ = 2^{3} ∣ B^{- 1} ∣ = 8 \cdot \frac{1}{∣ B ∣} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ .

Resultado: $∣2 B^{- 1} ∣ = 4$

Resultado: a) $a = \frac{1}{3}$ , $b = \frac{2}{3}$ ; b) $α = - 20$ , $β = 21$ ; c) $4$

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Julio 2017 · Problema A.1 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matrices con A^2=-A-I y 2B^3=B: invertibilidad, A^3 y determinantes de B

Problema A.1. Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden $3$ tales que $A^{2} = - A - I$ y $2 B^{3} = B$ , siendo $I = 100010001$ la matriz identidad. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (2+2 puntos) La justificación de que la matriz $A$ es invertible y el cálculo de la matriz $A^{3}$ .

b) (3 puntos) Los valores posibles del determinante de $B$ .

c) (3 puntos) El valor del determinante de la matriz $B^{2}$ , sabiendo que la matriz $B$ tiene inversa.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $A^{- 1} = - A - I$ y $A^{3} = I$ ; b) $∣ B ∣ = 0$ o $∣ B ∣ = \pm \frac{2}{4}$ ; c) $∣ B^{2} ∣ = \frac{1}{8}$

Ver proceso y resultado

a) 1. Pasamos todo al mismo miembro: $A^{2} = - A - I ⟺ A^{2} + A = - I ⟺ A (- A - I) = I$ .

Hemos encontrado una matriz, $- A - I$ , que multiplicada por $A$ da la identidad. Por tanto $A$ es invertible y $A^{- 1} = - A - I .$
Calculamos $A^{3}$ usando la relación dada: $A^{3} = A \cdot A^{2} = A (- A - I) = A A^{- 1} = I .$ (También: $A^{3} = - A^{2} - A = (A + I) - A = I$ .)

Resultado: $A$ es invertible, con $A^{- 1} = - A - I$ , y $A^{3} = I$ .

b) 1. Tomamos determinantes en $2 B^{3} = B$ . Como $B$ es de orden $3$ , $∣2 B^{3} ∣ = 2^{3} ∣ B ∣^{3} = 8∣ B ∣^{3}$ : $8∣ B ∣^{3} = ∣ B ∣.$

Pasamos todo a un miembro y sacamos factor común: $∣ B ∣ (8∣ B ∣^{2} - 1) = 0.$
Entonces $∣ B ∣ = 0$ o $∣ B ∣^{2} = \frac{1}{8}$ , es decir, $∣ B ∣ = \pm \frac{1}{2 2} = \pm \frac{2}{4}$ .

Resultado: $∣ B ∣ \in {0, \frac{2}{4}, - \frac{2}{4}}$

c) 1. Como $B$ tiene inversa, $∣ B ∣ \neq = 0$ , y de $2 B^{3} = B$ podemos multiplicar por $B^{- 1}$ : $2 B^{2} = I \Rightarrow B^{2} = \frac{1}{2} I .$

Para una matriz de orden $3$ , $\frac{1}{2} I = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ .
Comprobación con el apartado b): $∣ B^{2} ∣ = ∣ B ∣^{2} = \frac{1}{8}$ .

Resultado: $∣ B^{2} ∣ = \frac{1}{8}$

Resultado: a) $A^{- 1} = - A - I$ y $A^{3} = I$ ; b) $∣ B ∣ = 0$ o $∣ B ∣ = \pm \frac{2}{4}$ ; c) $∣ B^{2} ∣ = \frac{1}{8}$

Repasa la teoría: Matriz inversa · Ecuaciones matriciales · Propiedades de los determinantes · Ver el examen completo (Julio 2017)

Junio 2017 · Problema B.1 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matriz con C²=2C-I y cálculo de C⁴, determinante con potencias y matriz idempotente

Problema B.1. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (2,5+2,5 puntos) La comprobación de que $C^{2} = 2 C - I$ , siendo $C = 52 - 4 - 4 - 1 4 21 - 1$ e $I$ la matriz identidad de orden $3 \times 3$ , y el cálculo de la matriz $C^{4}$ .

b) (3 puntos) El valor del determinante de la matriz $(3 A^{4}) (4 A^{2})^{- 1}$ , sabiendo que $A$ es una matriz cuadrada de cuatro columnas cuyo determinante vale $- 1$ .

c) (2 puntos) La matriz $B$ que admite inversa y que verifica la igualdad $B B = B$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $C^{2} = 2 C - I$ y $C^{4} = 178 - 16 - 16 - 7 16 84 - 7$ ; b) $\frac{81}{256}$ ; c) $B = I$

Ver proceso y resultado

a) 1. Calculamos $C^{2}$ :

$C^{2} = 52 - 4 - 4 - 1 4 21 - 1 52 - 4 - 4 - 1 4 21 - 1 = 94 - 8 - 8 - 3 8 42 - 3 .$

Calculamos $2 C - I$ :

$2 C - I = 104 - 8 - 8 - 2 8 42 - 2 - 100010001 = 94 - 8 - 8 - 3 8 42 - 3 = C^{2} .$

Para $C^{4}$ usamos $C^{2} = 2 C - I$ y que $I$ conmuta con todas las matrices:

$C^{4} = (C^{2})^{2} = (2 C - I)^{2} = 4 C^{2} - 4 C + I = 4 (2 C - I) - 4 C + I = 4 C - 3 I .$

Sustituimos:

$C^{4} = 4 52 - 4 - 4 - 1 4 21 - 1 - 3100010001 = 178 - 16 - 16 - 7 16 84 - 7 .$

Resultado: $C^{2} = 2 C - I$ (comprobado) y $C^{4} = 178 - 16 - 16 - 7 16 84 - 7$

b) Sea $M = (3 A^{4}) (4 A^{2})^{- 1}$ . $A$ es cuadrada de orden $4$ , con $∣ A ∣ = - 1$ . Usamos que $∣ k A ∣ = k^{4} ∣ A ∣$ para matrices de orden $4$ , que el determinante del producto es el producto de determinantes y que $∣ N^{- 1} ∣ = 1/∣ N ∣$ .

$∣3 A^{4} ∣ = 3^{4} ∣ A^{4} ∣ = 3^{4} ∣ A ∣^{4} = 81 \cdot (- 1)^{4} = 81$ .
$∣4 A^{2} ∣ = 4^{4} ∣ A ∣^{2} = 256 \cdot (- 1)^{2} = 256$ , luego $(4 A^{2})^{- 1} = \frac{1}{256}$ .
Por tanto

$∣ M ∣ = ∣3 A^{4} ∣ \cdot (4 A^{2})^{- 1} = \frac{81}{256} = \frac{3 ^{4}}{4 ^{4}} .$

Resultado: $∣ M ∣ = \frac{81}{256} = (\frac{3}{4})^{4}$

c) 1. Como $B$ admite inversa, multiplicamos $B B = B$ por $B^{- 1}$ por la izquierda:

$B^{- 1} (B B) = B^{- 1} B \Rightarrow (B^{- 1} B) B = I \Rightarrow I B = I \Rightarrow B = I .$

Comprobación: $I I = I$ y la identidad es invertible.

Resultado: $B = I$ (la matriz identidad del mismo orden que $B$ )

Resultado: a) $C^{2} = 2 C - I$ y $C^{4} = 178 - 16 - 16 - 7 16 84 - 7$ ; b) $\frac{81}{256}$ ; c) $B = I$

Repasa la teoría: Potencias de matrices · Ecuaciones matriciales · Propiedades de los determinantes · Ver el examen completo (Junio 2017)

Julio 2016 · Problema B.1 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matrices 3x3: determinantes con propiedades, inversas y ecuación matricial AX+BX=3I

Problema B.1. Se dan las matrices

$A = 110121 - 1 11, B = 021110 - 1 2 - 1 e I = 100010001 .$

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (1,5 + 1,5 puntos) El determinante de las matrices $A \cdot (2 B^{2})$ y $A \cdot (2 B^{2}) \cdot (3 A)^{- 1}$ .

b) (2 + 2 puntos) Las matrices $A^{- 1}$ y $((B \cdot A)^{- 1} \cdot B)^{- 1}$ .

c) (3 puntos) La solución de la ecuación matricial $A \cdot X + B \cdot X = 3 I$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $- 200$ y $\frac{200}{27}$ ; b) $A^{- 1} = - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 3 2 - 1$ y $((B A)^{- 1} B)^{- 1} = A$ ; c) $X = - 3 30 - 2 21 12 - 9 - 3$

Ver proceso y resultado

a) 1. Calculamos los determinantes de $A$ y $B$ por Sarrus (o desarrollando por la primera fila):

$∣ A ∣ = 1 \cdot (2 - 1) - 1 \cdot (1 - 0) + (- 1) \cdot (1 - 0) = - 1, ∣ B ∣ = 0 - 1 \cdot (- 2 - 2) + (- 1) \cdot (0 - 1) = 4 + 1 = 5.$

Propiedades: $∣ M N ∣ = ∣ M ∣ ∣ N ∣$ y, para una matriz de orden $3$ , $∣ k M ∣ = k^{3} ∣ M ∣$ . Entonces $∣2 B^{2} ∣ = 2^{3} ∣ B ∣^{2} = 8 \cdot 25 = 200$ y

$A \cdot (2 B^{2}) = ∣ A ∣ \cdot ∣2 B^{2} ∣ = (- 1) \cdot 200 = - 200.$

Para el segundo: $∣3 A ∣ = 3^{3} ∣ A ∣ = - 27$ , y $∣ (3 A)^{- 1} ∣ = \frac{1}{- 27}$ . Por tanto

$A \cdot (2 B^{2}) \cdot (3 A)^{- 1} = \frac{- 200}{- 27} = \frac{200}{27} .$

Resultado: $A \cdot 2 B^{2} = - 200$ y $A \cdot 2 B^{2} \cdot (3 A)^{- 1} = \frac{200}{27}$ .

b) 1. Como $∣ A ∣ = - 1 \neq = 0$ , existe $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} Adj (A)^{T}$ . Los adjuntos de $A$ son

$A_{11} A_{21} A_{31} = 2111 = 1, = - 11 - 1 1 = - 2, = 12 - 1 1 = 3, A_{12} A_{22} A_{32} = - 1011 = - 1, = 10 - 1 1 = 1, = - 11 - 1 1 = - 2, A_{13} A_{23} A_{33} = 1021 = 1, = - 1011 = - 1, = 1112 = 1.$

La matriz adjunta y su traspuesta son

$Adj (A) = 1 - 2 3 - 1 1 - 2 1 - 1 1, Adj (A)^{T} = 1 - 1 1 - 2 1 - 1 3 - 2 1 .$

Dividiendo entre $∣ A ∣ = - 1$ :

$A^{- 1} = \frac{1}{- 1} Adj (A)^{T} = - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 3 2 - 1 .$

Para la segunda matriz usamos $(M N)^{- 1} = N^{- 1} M^{- 1}$ y $(M^{- 1})^{- 1} = M$ . Primero, $∣ B ∣ = 5 \neq = 0$ y $∣ B A ∣ = - 5 \neq = 0$ , así que todo existe. Entonces

$((B A)^{- 1} B)^{- 1} = B^{- 1} ((B A)^{- 1})^{- 1} = B^{- 1} (B A) = (B^{- 1} B) A = A .$

Resultado: $A^{- 1} = - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 3 2 - 1$ y $((B A)^{- 1} B)^{- 1} = A = 110121 - 1 11$ .

c) 1. Sacamos factor común $X$ por la derecha: $(A + B) X = 3 I$ . 2. Calculamos

$A + B = 131231 - 2 30, ∣ A + B ∣ = 1 \cdot (0 - 3) - 2 \cdot (0 - 3) - 2 \cdot (3 - 3) = - 3 + 6 = 3 \neq = 0.$

Entonces $A + B$ es invertible y $X = 3 (A + B)^{- 1}$ . Calculamos la inversa como adjunta traspuesta partida por el determinante, $(A + B)^{- 1} = \frac{1}{∣ A + B ∣} (Adj (A + B))^{T}$ . Los adjuntos de $A + B$ son

$A_{11} A_{21} A_{31} = 3130 = - 3, = - 21 - 2 0 = - 2, = 23 - 2 3 = 12, A_{12} A_{22} A_{32} = - 3130 = 3, = 11 - 2 0 = 2, = - 13 - 2 3 = - 9, A_{13} A_{23} A_{33} = 3131 = 0, = - 1121 = 1, = 1323 = - 3.$

La matriz adjunta es

$Adj (A + B) = - 3 - 2 12 32 - 9 01 - 3 .$

Trasponemos la matriz de adjuntos:

$Adj (A + B)^{T} = - 3 30 - 2 21 12 - 9 - 3 .$

Dividimos entre $∣ A + B ∣ = 3$ :

$(A + B)^{- 1} = \frac{1}{3} Adj (A + B)^{T} = \frac{1}{3} - 3 30 - 2 21 12 - 9 - 3 = - 1 10 - \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{1}{3} 4 - 3 - 1 .$

Multiplicando por $3$ :

$X = - 3 30 - 2 21 12 - 9 - 3 .$

Comprobación de la primera fila de $(A + B) X$ : $(1, 2, - 2) \cdot (- 3, 3, 0) = 3$ , $(1, 2, - 2) \cdot (- 2, 2, 1) = 0$ , $(1, 2, - 2) \cdot (12, - 9, - 3) = 12 - 18 + 6 = 0$ , es decir, la primera fila de $3 I$ .

Resultado: $X = - 3 30 - 2 21 12 - 9 - 3$

Resultado: a) $- 200$ y $\frac{200}{27}$ ; b) $A^{- 1} = - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 3 2 - 1$ y $((B A)^{- 1} B)^{- 1} = A$ ; c) $X = - 3 30 - 2 21 12 - 9 - 3$

Repasa la teoría: Propiedades de los determinantes · Matriz inversa por adjuntos · Matriz inversa · Ecuaciones matriciales · Ver el examen completo (Julio 2016)

Junio 2016 · Problema B.1 Medio10 puntosMatrices / Determinantes y rango

Matriz con A·A^t=5I: inversa, valores propios y determinante con B^-1=B^t

Problema B.1. Se da la matriz $A = 500012 0 - 2 1$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) La comprobación de que $A^{- 1} = 5^{- 1} A^{t}$ , siendo $A^{t}$ la matriz traspuesta de $A$ .

b) (3 puntos) Los valores del parámetro real $λ$ para los cuales $A - λ I$ no es invertible, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3.

c) (3 puntos) El determinante de una matriz cuadrada $B$ cuyo determinante es mayor que 0 y verifica la ecuación $B^{- 1} = B^{t}$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Álgebra de matrices. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $A A^{t} = 5 I$ , luego $A^{- 1} = 5^{- 1} A^{t}$ ; b) $λ = 5$ ; c) $∣ B ∣ = 1$

Ver proceso y resultado

a) 1. La traspuesta es $A^{t} = 500 01 - 2 021$ . 2. Multiplicamos:

$A A^{t} = 500012 0 - 2 1 500 01 - 2 021 = 500 0 1 + 4 2 - 2 0 2 - 2 4 + 1 = 500050005 = 5 I .$

Entonces $A \cdot \frac{1}{5} A^{t} = I$ , y por la unicidad de la inversa, $A^{- 1} = \frac{1}{5} A^{t} = 5^{- 1} A^{t}$ . (De paso, $A$ es invertible porque $∣ A ∣ = 5 (1 + 4) = 55 \neq = 0$ .)

Resultado: $A A^{t} = 5 I$ , luego $A^{- 1} = 5^{- 1} A^{t}$ (queda comprobado).

b) 1. $A - λ I$ no es invertible si y solo si su determinante es $0$ :

$∣ A - λ I ∣ = 5 - λ 00 0 1 - λ 2 0 - 2 1 - λ = (5 - λ) [(1 - λ)^{2} + 4] .$

El factor $(1 - λ)^{2} + 4 \geq 4 > 0$ nunca se anula para $λ$ real. Así pues, el determinante se anula solo si $5 - λ = 0$ .

Resultado: $λ = 5$

c) 1. De $B^{- 1} = B^{t}$ se obtiene $B B^{t} = I$ . 2. Tomando determinantes: $∣ B ∣ \cdot ∣ B^{t} ∣ = ∣ I ∣ = 1$ . Como $∣ B^{t} ∣ = ∣ B ∣$ , resulta $∣ B ∣^{2} = 1$ , es decir, $∣ B ∣ = 1$ o $∣ B ∣ = - 1$ . 3. Como $∣ B ∣ > 0$ , queda $∣ B ∣ = 1$ .

Resultado: $∣ B ∣ = 1$

Resultado: a) $A A^{t} = 5 I$ , luego $A^{- 1} = 5^{- 1} A^{t}$ ; b) $λ = 5$ ; c) $∣ B ∣ = 1$

Repasa la teoría: Matriz traspuesta, simétricas y ortogonales · Matriz inversa · Propiedades de los determinantes · Ver el examen completo (Junio 2016)

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