Problemas de selectividad de Álgebra de matrices

a) 1. Determinante, desarrollando por la primera fila (el único elemento no nulo es el $-1$ de la tercera columna): $$|A|=(-1)\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=(-1)(0-1)=1\ne 0.$$ Como $|A|\ne 0$, $A$ tiene inversa.

2. Calculamos la inversa por adjuntos: $A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\mathrm{Adj}A{)}^T$. Los adjuntos son $$\begin{array}{rlrlrl}{A}_{11}& =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right|=0,& A_{12}& =-\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right|=0,& A_{13}& =\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1,\\ A_{21}& =-\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right|=0,& A_{22}& =\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right|=1,& A_{23}& =-\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right|=0,\\ A_{31}& =\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right|=1,& A_{32}& =-\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right|=0,& A_{33}& =\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=0.\end{array}$$

3. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right).$$

4. Comprobación: $A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I$.

Resultado: $|A|=1\ne 0$ y $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$

b) 1. Calculamos $A^2$: $$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

2. Entonces $$A^4=A^2\cdot A^2={\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I.$$

Resultado: $A^2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$ y $A^4=I$.

c) 1. Como $A^4=I$, las potencias se repiten con periodo $4$: $A^{4k+r}=A^r$.

2. $A^3=A^4{A}^{-1}=A^{-1}$, es decir, $A^3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$.

3. $7=4\cdot 1+3\Rightarrow A^7=A^3=A^{-1}$.

4. $30=4\cdot 7+2\Rightarrow A^{30}=A^2$.

5. $100=4\cdot 25\Rightarrow A^{100}=I$.

Resultado: $A^7=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$, $A^{30}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$, $A^{100}=I$.

Resultado: a) $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$; b) $A^2=\mathrm{diag}(-1,1,-1)$ y $A^4=I$; c) $A^7=A^{-1}$, $A^{30}=A^2$, $A^{100}=I$

2.2.1 Una matriz es ortogonal si $A^{-1}=A^T$, es decir, si $A{A}^T=A^{T}A=I$.

1. $A^T=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ y $$A{A}^T=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I.$$ De modo análogo $A^{T}A=I$. Por tanto $A$ es ortogonal.
2. Potencias de $A$: $A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ y $A^3=A^{2}A=I$.
3. Como $38=3\cdot 12+2$: $A^{38}=(A^3{)}^{12}{A}^2=A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ (que coincide con $A^T$).
4. Como $A{A}^T=I$: $(A{A}^T{)}^{39}=I^{39}=I$.

Resultado: $A^{38}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ y $(A{A}^T{)}^{39}=I$.

2.2.2 No puede ser cero.

1. Si $A$ es ortogonal, $A{A}^T=I$. Tomando determinantes: $|A||A^T|=|I|=1$.
2. Como $|A^T|=|A|$, resulta $|A{|}^2=1$, luego $|A|=\pm 1\ne 0$.
3. (Otra forma: una matriz ortogonal tiene inversa, y una matriz con inversa tiene determinante no nulo.)

Resultado: No; el determinante de una matriz ortogonal es $1$ o $-1$.

2.2.3 Sí es ortogonal. Veamos que $(AB)(AB{)}^T=I$, usando $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ y $B{B}^T=A{A}^T=I$:

1. $(AB)(AB{)}^T=AB{B}^T{A}^T=AI{A}^T=A{A}^T=I$.
2. Análogamente, $(AB{)}^T(AB)=B^T{A}^{T}AB=B^{T}B=I$.
3. Luego $(AB{)}^{-1}=(AB{)}^T$.

Resultado: Sí, el producto de dos matrices ortogonales de igual dimensión es ortogonal.

2.2.4 Despejamos $X$ de $A^{2}X=2B$.

1. Como $A^3=I$, se tiene $A^2\cdot A=I$, es decir, $(A^2{)}^{-1}=A$.
2. Multiplicamos por $A$ por la izquierda: $X=2AB$.
3. Calculamos $$AB=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 0\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 0& 3\\ 2& 0\end{array}\right).$$
4. Por tanto $X=2AB=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ 0& 6\\ 4& 0\end{array}\right)$.

Resultado: $X=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ 0& 6\\ 4& 0\end{array}\right)$

Resultado: 2.2.1) $A^{38}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$, $(A{A}^T{)}^{39}=I$; 2.2.2) no, $|A|=\pm 1$; 2.2.3) sí; 2.2.4) $X=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ 0& 6\\ 4& 0\end{array}\right)$

2.2.1 Una matriz $A$ es ortogonal si $A^{-1}=A^t$, lo que equivale a $A{A}^t=A^{t}A=I$. Con

$$A^t=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\mathrm{sen}\alpha \\ \mathrm{sen}\alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$$

calculamos:

1. $$A{A}^t=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^2\alpha & -\cos \alpha \mathrm{sen}\alpha +\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha \\ -\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha +\cos \alpha \mathrm{sen}\alpha & {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I.$$
2. De forma análoga, $A^{t}A=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\alpha +{\mathrm{sen}}^2\alpha & \cos \alpha \mathrm{sen}\alpha -\mathrm{sen}\alpha \cos \alpha \\ \mathrm{sen}\alpha \cos \alpha -\cos \alpha \mathrm{sen}\alpha & {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha \end{array}\right)=I$.

Como $A{A}^t=A^{t}A=I$, resulta $A^{-1}=A^t$ para cualquier $\alpha$.

Resultado: $A{A}^t=A^{t}A=I$ para todo $\alpha$, luego $A$ es ortogonal

2.2.2 Exigimos $B{B}^t=I$, con $B^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& b\\ 0& 1& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right)$.

1. Calculamos el producto: $$B{B}^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& a\\ 0& 1& 0\\ b& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& b\\ 0& 1& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& b^2\end{array}\right).$$
2. Para que sea la identidad, $a^2=1$ y $b^2=1$, es decir, $a=\pm 1$ y $b=\pm 1$.
3. Con estos valores también $B^{t}B=\left(\begin{array}{ccc}{b}^2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& a^2\end{array}\right)=I$.
4. Cada una de las dos incógnitas puede tomar dos valores, independientemente: $2\cdot 2=4$ matrices.

Resultado: $a=\pm 1$, $b=\pm 1$; existen 4 matrices ortogonales de esta forma

2.2.3 Pasamos la matriz conocida al segundo miembro:

$$BX=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right).$$

1. Como $B$ es ortogonal, su inversa es su traspuesta: $B^{-1}=B^t$. Multiplicamos por la izquierda por $B^t$: $$X=B^t\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right).$$
2. Calculamos el producto: $$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& b\\ 0& 1& 0\\ a& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 0& 1\\ a& a\end{array}\right).$$
3. Comprobación: con $a=b=1$, $BX=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$, como se pedía.

Hay una solución para cada una de las 4 matrices $B$ (según los signos de $a$ y $b$).

Resultado: $X=\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 0& 1\\ a& a\end{array}\right)$, con $a=\pm 1$ y $b=\pm 1$

Resultado: 2.2.1) $A{A}^t=A^{t}A=I$; 2.2.2) $a,b\in \{1,-1\}$, 4 matrices; 2.2.3) $X=\left(\begin{array}{cc}0& -b\\ 0& 1\\ a& a\end{array}\right)$

2.2.1 Calculamos $A^2$:

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1-\alpha & 1\\ 1& 1+\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1-\alpha & 1\\ 1& 1+\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(1-\alpha {)}^2+1& (1-\alpha )+(1+\alpha )\\ (1-\alpha )+(1+\alpha )& 1+(1+\alpha {)}^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^2-2\alpha +2& 2\\ 2& {\alpha }^2+2\alpha +2\end{array}\right).$$

1. Restamos la identidad: $A^2-I=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^2-2\alpha +1& 2\\ 2& {\alpha }^2+2\alpha +1\end{array}\right)$.
2. Calculamos $2A=\left(\begin{array}{cc}2-2\alpha & 2\\ 2& 2+2\alpha \end{array}\right)$.
3. Igualamos $A^2-I=2A$ elemento a elemento. Los elementos de fuera de la diagonal coinciden siempre. Los de la diagonal dan

$${\alpha }^2-2\alpha +1=2-2\alpha ⟹{\alpha }^2=1,{\alpha }^2+2\alpha +1=2+2\alpha ⟹{\alpha }^2=1.$$

4. Ambas condiciones se reducen a ${\alpha }^2=1$, es decir, $\alpha =1$ o $\alpha =-1$.

Resultado: el riesgo se optimiza para $\alpha =1$ y $\alpha =-1$.

2.2.2 Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

1. $|A|=(1-\alpha )(1+\alpha )-1\cdot 1=1-{\alpha }^2-1=-{\alpha }^2$.
2. $|A|\ne 0$ si y solo si $\alpha \ne 0$. Por tanto, $A$ es invertible para todo $\alpha \ne 0$.
3. Calculamos la inversa con la fórmula $A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\mathrm{Adj}A{)}^t$. La matriz de adjuntos es $\mathrm{Adj}A=\left(\begin{array}{cc}1+\alpha & -1\\ -1& 1-\alpha \end{array}\right)$, que es simétrica, así que su traspuesta es ella misma.
4. Entonces

$$A^{-1}=\frac{1}{-{\alpha }^2}\left(\begin{array}{cc}1+\alpha & -1\\ -1& 1-\alpha \end{array}\right)=\frac{1}{{\alpha }^2}\left(\begin{array}{cc}-1-\alpha & 1\\ 1& \alpha -1\end{array}\right).$$

Comprobación con $\alpha =1$: $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ y $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$; su producto es $\left(\begin{array}{cc}0\cdot (-2)+1\cdot 1& 0+0\\ -2+2& 1+0\end{array}\right)=I$.

Resultado: $A$ tiene inversa para todo $\alpha \ne 0$, y $A^{-1}=\frac{1}{{\alpha }^2}\left(\begin{array}{cc}-1-\alpha & 1\\ 1& \alpha -1\end{array}\right)$.

Resultado: 2.2.1) $\alpha =\pm 1$; 2.2.2) $\alpha \ne 0$ y $A^{-1}=\frac{1}{{\alpha }^2}\left(\begin{array}{cc}-1-\alpha & 1\\ 1& \alpha -1\end{array}\right)$

2.1.1 Pasamos los términos con $X$ al mismo lado y sacamos factor común por la derecha.

1. $2AX-BX=I⟹(2A-B)X=I$.
2. Calculamos $2A-B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -2\end{array}\right)$.
3. Su determinante es $(-1)(-2)-(1)(-1)=2+1=3\ne 0$, luego $2A-B$ tiene inversa y $X=(2A-B{)}^{-1}$.
4. Inversa con la adjunta traspuesta, $(2A-B{)}^{-1}=\frac{1}{|2A-B|}{\left(\mathrm{Adj}(2A-B)\right)}^t$. Adjuntos de $2A-B=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -2\end{array}\right)$: $A_{11}=-2$, $A_{12}=-(-1)=1$, $A_{21}=-1$, $A_{22}=-1$, luego $$\mathrm{Adj}(2A-B)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& -1\end{array}\right),{\left(\mathrm{Adj}(2A-B)\right)}^t=\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& -1\end{array}\right),$$ $$X=(2A-B{)}^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& -1\end{array}\right).$$
5. Comprobación: $\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -2\end{array}\right)\cdot \frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=I$.

Resultado: $X=\left(\begin{array}{cc}-\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\end{array}\right)$

2.1.2 Calculamos $A^2$.

1. $A^2=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ 0& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 1\\ 0& -\frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)=\frac{1}{4}I$.
2. Entonces $4A^2=I$ y la ecuación queda $I+\alpha A-I=0$, es decir, $\alpha A=0$.
3. Como $A\ne 0$ (por ejemplo, su elemento $\frac{1}{2}$ no es nulo), la igualdad $\alpha A=0$ solo se cumple si $\alpha =0$.

Resultado: el único valor es $\alpha =0$.

2.1.3 Como $A^2=\frac{1}{4}I$, las potencias pares son fáciles.

1. $A^{12}=(A^2{)}^6={\left(\frac{1}{4}I\right)}^6=\frac{1}{4^6}{I}^6=\frac{1}{4096}I$.

Resultado: $A^{12}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4096}& 0\\ 0& \frac{1}{4096}\end{array}\right)$

Resultado: 2.1.1) $X=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$; 2.1.2) $\alpha =0$; 2.1.3) $A^{12}=\frac{1}{4096}I$

a) Primero formamos la matriz $A-\alpha I$, restando $\alpha$ en la diagonal:

$$A-\alpha I=\left(\begin{array}{ccc}-\alpha & -1& -2\\ -1& -\alpha & -2\\ 1& 1& 3-\alpha \end{array}\right).$$

Ahora multiplicamos por sí misma, fila por columna. Las columnas son $(-\alpha ,-1,1)$, $(-1,-\alpha ,1)$ y $(-2,-2,3-\alpha )$.

1. Fila 1, $(-\alpha ,-1,-2)$: con la columna 1, ${\alpha }^2+1-2={\alpha }^2-1$; con la columna 2, $\alpha +\alpha -2=2\alpha -2$; con la columna 3, $2\alpha +2-2(3-\alpha )=4\alpha -4$.
2. Fila 2, $(-1,-\alpha ,-2)$: columna 1, $\alpha +\alpha -2=2\alpha -2$; columna 2, $1+{\alpha }^2-2={\alpha }^2-1$; columna 3, $2+2\alpha -2(3-\alpha )=4\alpha -4$.
3. Fila 3, $(1,1,3-\alpha )$: columna 1, $-\alpha -1+(3-\alpha )=2-2\alpha$; columna 2, $-1-\alpha +(3-\alpha )=2-2\alpha$; columna 3, $-2-2+(3-\alpha {)}^2={\alpha }^2-6\alpha +5$.

Resultado:

$$M=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }^2-1& 2\alpha -2& 4\alpha -4\\ 2\alpha -2& {\alpha }^2-1& 4\alpha -4\\ 2-2\alpha & 2-2\alpha & {\alpha }^2-6\alpha +5\end{array}\right)$$

b) $M$ es la matriz nula si todos sus elementos se anulan a la vez.

1. $2\alpha -2=0\Rightarrow \alpha =1$.
2. Comprobamos que con $\alpha =1$ se anulan todos los demás: ${\alpha }^2-1=0$; $4\alpha -4=0$; $2-2\alpha =0$; ${\alpha }^2-6\alpha +5=1-6+5=0$.

Por tanto $\alpha =1$ es el único valor (la ecuación $2\alpha -2=0$ no admite otro).

Resultado: $\alpha =1$

Resultado: a) $M=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }^2-1& 2\alpha -2& 4\alpha -4\\ 2\alpha -2& {\alpha }^2-1& 4\alpha -4\\ 2-2\alpha & 2-2\alpha & {\alpha }^2-6\alpha +5\end{array}\right)$; b) $\alpha =1$

a) $A$ es $2\times 3$ y $B^T$ es $3\times 2$, luego $A{B}^T$ es $2\times 2$ y la identidad $I$ es la de orden 2.

1. Trasponemos $B$: $$B^T=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

2. Multiplicamos fila por columna: $$A{B}^T=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1& 1\cdot 2+0\cdot (-1)+1\cdot 0\\ 0\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1& 0\cdot 2+1\cdot (-1)+1\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& -1\end{array}\right).$$

3. Sumamos la identidad: $$M=A{B}^T+I=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 0\end{array}\right).$$

4. $|M|=3\cdot 0-2\cdot 2=-4\ne 0$, así que existe la inversa. Adjuntos: $M_{11}=0$, $M_{12}=-2$, $M_{21}=-2$, $M_{22}=3$, así que $\mathrm{Adj}M=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -2& 3\end{array}\right)$ (simétrica, igual a su traspuesta), y $M^{-1}=\frac{1}{|M|}(\mathrm{Adj}M{)}^t$: $$M^{-1}=\frac{1}{-4}\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{3}{4}\end{array}\right).$$

5. Comprobación: $M{M}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 0+2\cdot \frac{1}{2}& 3\cdot \frac{1}{2}+2\cdot (-\frac{3}{4})\\ 2\cdot 0+0& 2\cdot \frac{1}{2}+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Resultado: $(A{B}^T+I{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{3}{4}\end{array}\right)$

b) Elevamos $C$ al cuadrado:

1. $$C^2=\left(\begin{array}{cc}0& \alpha \\ -{\alpha }^2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& \alpha \\ -{\alpha }^2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+\alpha (-{\alpha }^2)& 0\cdot \alpha +\alpha \cdot 0\\ -{\alpha }^2\cdot 0+0& -{\alpha }^2\cdot \alpha +0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\alpha }^3& 0\\ 0& -{\alpha }^3\end{array}\right)=-{\alpha }^{3}I.$$

2. Para $C^{13}$ escribimos $C^{13}=C^{12}C=(C^2{)}^{6}C$.

3. Como $C^2=-{\alpha }^{3}I$ y $I$ conmuta con todo: $(C^2{)}^6=(-{\alpha }^3{)}^{6}I={\alpha }^{18}I$.

4. Entonces $$C^{13}={\alpha }^{18}IC={\alpha }^{18}\left(\begin{array}{cc}0& \alpha \\ -{\alpha }^2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& {\alpha }^{19}\\ -{\alpha }^{20}& 0\end{array}\right).$$

Resultado: $C^2=-{\alpha }^{3}I$ y $C^{13}=\left(\begin{array}{cc}0& {\alpha }^{19}\\ -{\alpha }^{20}& 0\end{array}\right)$

Resultado: a) $\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{3}{4}\end{array}\right)$; b) $C^{13}=\left(\begin{array}{cc}0& {\alpha }^{19}\\ -{\alpha }^{20}& 0\end{array}\right)$