Matemáticas II · Sistemas de ecuaciones lineales · Selectividad

Problemas de selectividad de Sistemas de ecuaciones lineales

23 problemas resueltos paso a paso · PAU 2016-2026 · Por Álvaro López

Problemas de la PAU de Matemáticas II (Comunitat Valenciana) cuyo tema principal es sistemas de ecuaciones, ordenados de menos a más difícil. Si un problema necesita varios temas, aparece solo en el último de ellos y te avisa de los anteriores que debes saber. Los enunciados son los oficiales; las soluciones son nuestras. Si dudas con la teoría, repasa primero Sistemas de ecuaciones lineales.

Nivel

Año

Soluciones

Nivel medio ★★

Julio 2026 · Opción 2.1 Medio2,5 puntosSistemas de ecuaciones

Equilibrio de tres tanques: discusión de un sistema con parámetro

2.1 Mediante un proceso de mezclado continuo en tres tanques interconectados, una planta química produce tres compuestos, X, Y, Z, ligados a unos valores reales $x$ , $y$ , $z$ , respectivamente, llamados pseudodensidades. Las pseudodensidades en los tanques deben estar en equilibrio para mantener la concentración deseada de los productos. Los ingenieros del proceso han establecido las siguientes condiciones de equilibrio:

Tanque 1: La suma de la pseudodensidad $x$ , más el triple de la pseudodensidad $y$ , más la pseudodensidad $z$ ha de valer 5.
Tanque 2: La suma de $α$ veces la pseudodensidad $x$ , mas el doble de la pseudodensidad $z$ debe anularse, donde $α$ es el factor catalizador.
Tanque 3: La pseudodensidad $z$ ha de ser $α$ veces la pseudodensidad $y$ .

Se pide:

2.1.1 (1.25 puntos) Estudiar la existencia y el número de soluciones $x, y, z$ (las posibles configuraciones de equilibrio) en función de los valores del factor catalizador $α$ .

2.1.2 (1.25 puntos) Cuando el factor catalizador satisfaga $α \neq = - 1$ , el proceso alcanza estados de equilibrio factibles. En este caso, calcular, si existen, los valores $x, y, z$ , en función del valor $α$ .

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Resultado: 2.1.1) $α \neq = 0, - 1$ : una solución; $α = 0$ : infinitas; $α = - 1$ : ninguna; 2.1.2) $(\frac{- 10}{1 + α}, \frac{5}{1 + α}, \frac{5 α}{1 + α})$ si $α \neq = 0, - 1$ , y $(5 - 3 t, t, 0)$ si $α = 0$

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Traducimos las condiciones a ecuaciones:

$⎩ ⎨ ⎧ x + 3 y + z α x + 2 z z = 5 = 0 = α y ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x + 3 y + z α x + 2 z - α y + z = 5 = 0 = 0$

La matriz de coeficientes y la ampliada son

$M = 1 α 0 30 - α 121, M^{*} = 1 α 0 30 - α 121500 .$

2.1.1)

Calculamos el determinante de $M$ (desarrollando por la primera fila):

$∣ M ∣ = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 2 \cdot (- α)) - 3 \cdot (α \cdot 1 - 0) + 1 \cdot (- α^{2} - 0) = 2 α - 3 α - α^{2} = - α (α + 1) .$

Se anula para $α = 0$ y para $α = - 1$ .
Si $α \neq = 0$ y $α \neq = - 1$ : $∣ M ∣ \neq = 0$ , luego $rg M = rg M^{*} = 3$ = número de incógnitas: sistema compatible determinado (una única solución).
Si $α = 0$ : $∣ M ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada:

$100300121500 2 F_{3} - F_{2} 100300120500 .$

Hay 2 filas no nulas en la parte de coeficientes y 2 en toda la matriz: $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$ . Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro). 5. Si $α = - 1$ : $∣ M ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada:

$1 - 1 0 301121500 F_{2} + F_{1} 100331131550 3 F_{3} - F_{2} 100330130 55 - 5 .$

La parte de coeficientes tiene 2 filas no nulas ( $rg M = 2$ ) y la matriz completa 3 ( $rg M^{*} = 3$ ): sistema incompatible (no hay equilibrio), pues la última fila dice $0 = - 5$ .

Resultado: si $α \neq = 0, - 1$ , una única solución; si $α = 0$ , infinitas soluciones; si $α = - 1$ , ninguna.

2.1.2) Para $α \neq = - 1$ el sistema tiene solución. Resolvemos primero el caso $α \neq = 0, - 1$ (SCD) con la regla de Cramer, con $∣ M ∣ = - α (α + 1)$ :

Sustituimos la primera columna por los términos independientes:

$∣ M_{x} ∣ = 500 30 - α 121 = 5 0 - α 21 = 5 \cdot 2 α = 10 α$

(desarrollando por la primera columna).

Con la segunda columna: $∣ M_{y} ∣ = 1 α 0 500121 = - 5 α$ (desarrollando por la tercera fila: $1 \cdot (0 - 5 α)$ ).
Con la tercera columna: $∣ M_{z} ∣ = 1 α 0 30 - α 500 = - 5 α^{2}$ (desarrollando por la última columna: $5 \cdot (- α^{2} - 0)$ ).
Dividimos entre $∣ M ∣$ y simplificamos $α \neq = 0$ :

$x = \frac{10 α}{- α ( α + 1 )} = \frac{- 10}{1 + α}, y = \frac{- 5 α}{- α ( α + 1 )} = \frac{5}{1 + α}, z = \frac{- 5 α ^{2}}{- α ( α + 1 )} = \frac{5 α}{1 + α} .$

Caso $α = 0$ (infinitas soluciones): la matriz escalonada de antes ya es el sistema equivalente, $x + 3 y + z = 5$ y $2 z = 0$ . Entonces $z = 0$ y $x + 3 y = 5$ . Llamando $y = t$ (parámetro), $x = 5 - 3 t$ .

Resultado: si $α \neq = 0, - 1$ : $(x, y, z) = (\frac{- 10}{1 + α}, \frac{5}{1 + α}, \frac{5 α}{1 + α})$ ; si $α = 0$ : $(x, y, z) = (5 - 3 t, t, 0)$ , con $t \in R$ .

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Determinantes con parámetros · Ver el examen completo (Julio 2026)

Junio 2026 · Opción 2.1 Medio2,5 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión de un sistema con parámetro y tensiones principales de una matriz

2.1 El estado tensional en un punto de un sólido elástico se define a partir de una matriz cuadrada $T$ de orden 3. El vector tensión en la dirección de $v = x y z$ viene dado por $u = T v$ . Para

$T = 2 m 0 m 20 001 y u = 44 - 2,$

se pide:

2.1.1 (1 punto) Discutir el sistema de ecuaciones lineales $T v = u$ en función del parámetro real $m$ .

2.1.2 (0,75 puntos) Resolver el sistema $T v = u$ para $m = - 1$ .

2.1.3 (0,75 puntos) Se llaman tensiones principales de $T$ a los valores reales $α$ tales que $det (T - α I) = 0$ , siendo $I$ la matriz identidad. Calcular las tensiones principales para $m = 2$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 2.1.1) SCD si $m \neq = \pm 2$ , SCI si $m = 2$ , SI si $m = - 2$ ; 2.1.2) $v = (4, 4, - 2)^{t}$ ; 2.1.3) $α = 0, 1, 4$

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2.1.1 El sistema $T v = u$ tiene tres ecuaciones y tres incógnitas. Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes $T$ y el de la ampliada $T^{*}$ .

Calculamos el determinante de $T$ , desarrollando por la última fila: $det T = 2 m 0 m 20 001 = 1 \cdot 2 m m 2 = 4 - m^{2} .$
$det T = 0$ si y solo si $m = 2$ o $m = - 2$ .
Si $m \neq = 2$ y $m \neq = - 2$ : $det T \neq = 0$ , luego $rg T = rg T^{*} = 3$ es igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado (SCD).
Si $m = 2$ : sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada: $220220001 44 - 2 F_{2} - F_{1} 200200001 40 - 2 F_{2} \leftrightarrow F_{3} 200200010 4 - 2 0 .$ Hay 2 filas no nulas en la parte de coeficientes y 2 en toda la matriz: $rg T = rg T^{*} = 2 < 3$ . Sistema compatible indeterminado (SCI), con un grado de libertad.
Si $m = - 2$ : sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada: $2 - 2 0 - 2 20 001 44 - 2 F_{2} + F_{1} 200 - 2 00 001 48 - 2 F_{2} \leftrightarrow F_{3} 200 - 2 00 010 4 - 2 8 .$ La parte de coeficientes tiene 2 filas no nulas ( $rg T = 2$ ) y la matriz completa 3 ( $rg T^{*} = 3$ ): sistema incompatible (SI), pues la última fila dice $0 = 8$ .

Resultado: SCD si $m \neq = \pm 2$ ; SCI si $m = 2$ ; SI si $m = - 2$

2.1.2 Para $m = - 1$ el sistema es SCD y se escribe

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y - x + 2 y z = 4 = 4 = - 2$

De la tercera ecuación, $z = - 2$ .
De la primera, $y = 2 x - 4$ .
Sustituimos en la segunda: $- x + 2 (2 x - 4) = 4$ , es decir, $3 x - 8 = 4$ y por tanto $x = 4$ .
Entonces $y = 2 \cdot 4 - 4 = 4$ .
Comprobación: $2 \cdot 4 - 4 = 4$ y $- 4 + 2 \cdot 4 = 4$ .

Resultado: $v = 44 - 2$ , es decir, $x = 4$ , $y = 4$ , $z = - 2$

2.1.3 Con $m = 2$ , $T = 220220001$ y

$T - α I = 2 - α 20 2 2 - α 0 00 1 - α .$

Desarrollamos por la tercera fila: $det (T - α I) = (1 - α) [(2 - α)^{2} - 4]$ .
Simplificamos el corchete: $(2 - α)^{2} - 4 = α^{2} - 4 α = α (α - 4)$ .
Así, $det (T - α I) = (1 - α) α (α - 4)$ .
Igualamos a cero: $α = 1$ , $α = 0$ o $α = 4$ .

Resultado: las tensiones principales son $α = 0$ , $α = 1$ y $α = 4$

Resultado: 2.1.1) SCD si $m \neq = \pm 2$ , SCI si $m = 2$ , SI si $m = - 2$ ; 2.1.2) $v = (4, 4, - 2)^{t}$ ; 2.1.3) $α = 0, 1, 4$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Determinantes con parámetros · Ver el examen completo (Junio 2026)

Modelo 2026 · Opción 2.2 Medio2,5 puntosSistemas de ecuaciones

Discusión y resolución de un sistema lineal 3x3 con un parámetro

2.2 Dada $A = 10 m - 1 - 1 10 m + 1 m 5$ y $b = 33 3 m$ .

2.2.1 (1 punto) Discutir el sistema de ecuaciones $A x = b$ en función del parámetro real $m$ .

2.2.2 (0,75 puntos) Calcular, si existe, la solución para $m = 0$ .

2.2.3 (0,75 puntos) Hallar la solución en el caso en que el sistema tenga infinitas soluciones.

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Resultado: 2.2.1) SCD si $m \neq = 2, - \frac{3}{2}$ ; SCI si $m = 2$ ; SI si $m = - \frac{3}{2}$ ; 2.2.2) $(5, 3, 1)$ ; 2.2.3) $(6 - 5 λ, 3 - 2 λ, λ)$ , $λ \in R$

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2.2.1) El sistema tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Estudiamos los rangos con el teorema de Rouché-Frobenius, empezando por el determinante de $A$ (regla de Sarrus):

$∣ A ∣ = 1 \cdot (5 - 0) - (- 1) \cdot (0 - m (m - 1)) + (m + 1) \cdot (0 - (m - 1))$ .
$∣ A ∣ = 5 - m^{2} + m - (m^{2} - 1) = - 2 m^{2} + m + 6 = - (2 m + 3) (m - 2)$ .
$∣ A ∣ = 0$ si $m = 2$ o $m = - \frac{3}{2}$ .

Caso $m \neq = 2$ y $m \neq = - \frac{3}{2}$ . $∣ A ∣ \neq = 0$ , así que $rg A = rg A^{*} = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (SCD).

Caso $m = 2$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada: $101 - 1 10 325336 F_{3} - F_{1} 100 - 1 11 322333 F_{3} - F_{2} 100 - 1 10 320330 .$ Hay 2 filas no nulas en $A$ y 2 en toda la matriz: $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ . Sistema compatible indeterminado (SCI).

Caso $m = - \frac{3}{2}$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada: $10 - \frac{5}{2} - 1 10 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} 5 33 - \frac{9}{2} F_{3} + \frac{5}{2} F_{1} 100 - 1 1 - \frac{5}{2} - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \frac{15}{4} 333 F_{3} + \frac{5}{2} F_{2} 100 - 1 10 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} 0 33 \frac{21}{2} .$ La parte de coeficientes tiene 2 filas no nulas ( $rg A = 2$ ) y la matriz completa 3 ( $rg A^{*} = 3$ ): sistema incompatible (SI), pues la última fila dice $0 = \frac{21}{2}$ .

Resultado: SCD si $m \neq = 2$ y $m \neq = - \frac{3}{2}$ ; SCI si $m = 2$ ; SI si $m = - \frac{3}{2}$ .

2.2.2) Para $m = 0$ el sistema es SCD, con solución única. Resolvemos:

$⎩ ⎨ ⎧ x - y + z y - x + 5 z = 3 = 3 = 0$

De la segunda ecuación, $y = 3$ .
De la tercera, $x = 5 z$ .
En la primera: $5 z - 3 + z = 3$ , luego $6 z = 6$ y $z = 1$ . Entonces $x = 5$ .

Comprobación en la tercera ecuación: $- 5 + 5 \cdot 1 = 0$ .

Resultado: $(x, y, z) = (5, 3, 1)$

2.2.3) El sistema tiene infinitas soluciones para $m = 2$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x - y + 3 z y + 2 z x + 5 z = 3 = 3 = 6$

La tercera ecuación es la suma de las otras dos, así que la eliminamos. Queda un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas y tomamos $z = λ$ como parámetro.
De la segunda: $y = 3 - 2 λ$ .
De la primera: $x = 3 + y - 3 z = 3 + 3 - 2 λ - 3 λ = 6 - 5 λ$ .

Resultado: $(x, y, z) = (6 - 5 λ, 3 - 2 λ, λ)$ , con $λ \in R$

Resultado: 2.2.1) SCD si $m \neq = 2, - \frac{3}{2}$ ; SCI si $m = 2$ ; SI si $m = - \frac{3}{2}$ ; 2.2.2) $(5, 3, 1)$ ; 2.2.3) $(6 - 5 λ, 3 - 2 λ, λ)$ , $λ \in R$

Repasa la teoría: Determinantes con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Discusión de sistemas con parámetros · Método de Gauss · Ver el examen completo (Modelo 2026)

Julio 2025 · Opción 2.2 Medio2,5 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión de un sistema con parámetro y solución del caso determinado

2.2 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que dependen del parámetro real $a$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x - a y - z a x - y + z a x + y = - a = a = a$

Se pide:

2.2.1 (1.25 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$ .

2.2.2 (1.25 puntos) Calcular el conjunto de soluciones del sistema para aquellos valores de $a$ para los que el sistema es compatible determinado.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: 2.2.1) $a \neq = - 1$ : SCD; $a = - 1$ : SCI; 2.2.2) $(x, y, z) = (\frac{a}{a + 1}, \frac{a}{a + 1}, \frac{2 a}{a + 1})$ para $a \neq = - 1$

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La matriz de coeficientes y la ampliada son

$M = 1 a a - a - 1 1 - 1 10, M^{*} = 1 a a - a - 1 1 - 1 10 - a a a .$

2.2.1)

Calculamos $∣ M ∣$ desarrollando por la tercera fila:

$∣ M ∣ = a - a - 1 - 1 1 - 1 1 a - 1 1 = a (- a - 1) - (1 + a) = - (a + 1) (a + 1) = - (a + 1)^{2} .$

Se anula solo para $a = - 1$ .
Si $a \neq = - 1$ : $∣ M ∣ \neq = 0$ , luego $rg M = rg M^{*} = 3$ , igual al número de incógnitas: sistema compatible determinado.
Si $a = - 1$ :

$M^{*} = 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 10 1 - 1 - 1 F_{2} + F_{1} F_{3} + F_{1} 100102 - 1 0 - 1 100 F_{2} \leftrightarrow F_{3} 100120 - 1 - 1 0 100 .$

Quedan 2 filas no nulas tanto en la parte de coeficientes como en toda la matriz: $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$ . Sistema compatible indeterminado.

Resultado: si $a \neq = - 1$ , compatible determinado; si $a = - 1$ , compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro); nunca es incompatible.

2.2.2) Para $a \neq = - 1$ resolvemos a mano:

Sumamos las dos primeras ecuaciones: $(1 + a) x - (a + 1) y = 0$ , es decir, $(a + 1) (x - y) = 0$ . Como $a \neq = - 1$ , $y = x$ .
En la tercera: $a x + x = a$ , luego $(a + 1) x = a$ y $x = \frac{a}{a + 1}$ . Así $y = \frac{a}{a + 1}$ .
De la primera: $z = x - a y + a = (1 - a) \frac{a}{a + 1} + a = \frac{a - a ^{2} + a ^{2} + a}{a + 1} = \frac{2 a}{a + 1}$ .

Comprobación en la segunda ecuación: $a x - y + z = \frac{a ^{2} - a + 2 a}{a + 1} = \frac{a ( a + 1 )}{a + 1} = a$ .

Resultado: para $a \neq = - 1$ la única solución es $(x, y, z) = (\frac{a}{a + 1}, \frac{a}{a + 1}, \frac{2 a}{a + 1})$

Resultado: 2.2.1) $a \neq = - 1$ : SCD; $a = - 1$ : SCI; 2.2.2) $(x, y, z) = (\frac{a}{a + 1}, \frac{a}{a + 1}, \frac{2 a}{a + 1})$ para $a \neq = - 1$

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Junio 2025 · Opción 2.2 Medio2,5 puntosSistemas de ecuaciones

Discusión de un sistema con parámetro, caso indeterminado y solución para a = 0

2.2 Sea el sistema de ecuaciones lineales:

$⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 2 y - 3 z 2 x + a y - 5 z x + y + 2 z = 0 = - 3 = 3$

donde $a$ es un parámetro real. Se pide:

2.2.1 (1 punto) Discutir el sistema en función del parámetro $a$ .

2.2.2 (0.75 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.

2.2.3 (0.75 puntos) Calcular la solución del sistema para $a = 0$ .

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Resultado: 2.2.1) SCD si $a \neq = - 3$ ; SCI si $a = - 3$ ; 2.2.2) $(\frac{6 - λ}{5}, \frac{9 - 9 λ}{5}, λ)$ ; 2.2.3) $(1, 0, 1)$

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La matriz de coeficientes y la ampliada son

$M = 321 - 2 a 1 - 3 - 5 2, M^{*} = 321 - 2 a 1 - 3 - 5 2 0 - 3 3 .$

2.2.1)

Determinante de $M$ (regla de Sarrus):

$∣ M ∣ = 3 \cdot a \cdot 2 + (- 2) (- 5) \cdot 1 + (- 3) \cdot 2 \cdot 1 - [(- 3) \cdot a \cdot 1 + 3 \cdot (- 5) \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 2]$

$∣ M ∣ = 6 a + 10 - 6 - [- 3 a - 15 - 8] = 6 a + 4 + 3 a + 23 = 9 a + 27 = 9 (a + 3) .$

Si $a \neq = - 3$ : $∣ M ∣ \neq = 0$ , luego $rg M = rg M^{*} = 3$ = número de incógnitas: sistema compatible determinado (SCD).
Si $a = - 3$ : $∣ M ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada (pasamos primero la fila del 1 para que el pivote sea cómodo):

$321 - 2 - 3 1 - 3 - 5 2 0 - 3 3 F_{1} \leftrightarrow F_{3} 123 1 - 3 - 2 2 - 5 - 3 3 - 3 0 F_{2} - 2 F_{1} F_{3} - 3 F_{1} 100 1 - 5 - 5 2 - 9 - 9 3 - 9 - 9 F_{3} - F_{2} 100 1 - 5 0 2 - 9 0 3 - 9 0 .$

Hay 2 filas no nulas en la parte de coeficientes y 2 en toda la matriz: $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$ . Sistema compatible indeterminado (SCI), con un parámetro libre.

Resultado: si $a \neq = - 3$ , SCD; si $a = - 3$ , SCI.

2.2.2) Con $a = - 3$ , la matriz escalonada ya es el sistema equivalente (la fila de ceros desaparece):

${x + y + 2 z - 5 y - 9 z = 3 = - 9$

Tomamos $z = λ$ como parámetro y despejamos de abajo arriba:

De la segunda, $- 5 y = - 9 + 9 λ \Rightarrow y = \frac{9 - 9 λ}{5}$ .
En la primera: $x = 3 - y - 2 λ = \frac{15 - 9 + 9 λ - 10 λ}{5} = \frac{6 - λ}{5}$ .
Comprobación en la segunda ecuación (con $a = - 3$ ): $2 x - 3 y - 5 z = \frac{12 - 2 λ - 27 + 27 λ}{5} - 5 λ = \frac{- 15 + 25 λ}{5} - 5 λ = - 3$ . Se cumple.

Resultado: $x = \frac{6 - λ}{5}, y = \frac{9 - 9 λ}{5}, z = λ$ , con $λ \in R$

2.2.3) Para $a = 0$ se cumple $a \neq = - 3$ y el sistema es compatible determinado: $∣ M ∣ = 27 \neq = 0$ . El sistema es

$⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 2 y - 3 z 2 x - 5 z x + y + 2 z = 0 = - 3 = 3$

De la tercera, $y = 3 - x - 2 z$ .
En la primera: $3 x - 6 + 2 x + 4 z - 3 z = 0 \Rightarrow 5 x + z = 6$ , es decir, $z = 6 - 5 x$ .
En la segunda: $2 x - 5 (6 - 5 x) = - 3 \Rightarrow 27 x = 27 \Rightarrow x = 1$ .
Entonces $z = 6 - 5 = 1$ y $y = 3 - 1 - 2 = 0$ .
Comprobación: $3 - 0 - 3 = 0$ ; $2 - 5 = - 3$ ; $1 + 0 + 2 = 3$ .

Resultado: $(x, y, z) = (1, 0, 1)$

Resultado: 2.2.1) SCD si $a \neq = - 3$ ; SCI si $a = - 3$ ; 2.2.2) $(\frac{6 - λ}{5}, \frac{9 - 9 λ}{5}, λ)$ ; 2.2.3) $(1, 0, 1)$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Determinantes con parámetros · Ver el examen completo (Junio 2025)

Junio 2025 (Examen de reserva) · Opción 2.1 Medio2,5 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión y resolución de un sistema de fertilizantes con parámetro

2.1 Una empresa de producción agrícola desarrolla fertilizantes que combinan tres nutrientes esenciales: nitrógeno (N), fósforo (P) y potasio (K). Se representan por $x$ , $y$ , $z$ las cantidades en kilogramos a usar por lote de N, P, K, respectivamente. Estas cantidades deben cumplir las siguientes restricciones: $⎩ ⎨ ⎧ 3 x + 4 y + α z - 2 x + y + z 2 x - y + α z = 30 = 4 = 10$ donde $α$ es un parámetro real. Se pide:

2.1.1 (1,25 puntos) Discutir, en función del parámetro $α$ , el sistema de ecuaciones anterior.

2.1.2 (1,25 puntos) Obtener las cantidades $x$ , $y$ , $z$ en el caso de que el sistema sea compatible.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: 2.1.1) SCD si $α \neq = - 1$ , SI si $α = - 1$ ; 2.1.2) $x = \frac{70}{11 ( α + 1 )}$ , $y = \frac{44 α + 30}{11 ( α + 1 )}$ , $z = \frac{14}{α + 1}$

Ver proceso y resultado

2.1.1 Sean $M$ la matriz de coeficientes y $M^{*}$ la ampliada: $M = 3 - 2 2 41 - 1 α 1 α, M^{*} = 3 - 2 2 41 - 1 α 1 α 30410 .$

Sumamos la fila 2 a la fila 3 en el determinante (no cambia su valor): la nueva fila 3 es $(0, 0, α + 1)$ .
Desarrollamos por esa fila: $∣ M ∣ = (α + 1) 3 - 2 41 = (α + 1) (3 + 8) = 11 (α + 1) .$
Si $α \neq = - 1$ : $∣ M ∣ \neq = 0$ , luego $rang (M) = rang (M^{*}) = 3 =$ nº de incógnitas. El sistema es compatible determinado (SCD).
Si $α = - 1$ : $∣ M ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada: $3 - 2 2 41 - 1 - 1 1 - 1 30410 3 F_{2} + 2 F_{1} 3 F_{3} - 2 F_{1} 300 411 - 11 - 1 1 - 1 3072 - 30 F_{3} + F_{2} 3004110 - 1 10 307242 .$ La parte de coeficientes tiene 2 filas no nulas ( $rang (M) = 2$ ) y la matriz completa tiene 3 ( $rang (M^{*}) = 3$ ). Como $2 < 3$ , el sistema es incompatible (SI): la última fila dice $0 = 42$ .

(Se ve también al sumar las ecuaciones 2 y 3: queda $(α + 1) z = 14$ , que para $α = - 1$ es $0 = 14$ .)

Resultado: SCD si $α \neq = - 1$ ; SI si $α = - 1$ .

2.1.2 El sistema es compatible solo si $α \neq = - 1$ (y entonces es determinado).

Sumando las ecuaciones 2 y 3: $(- 2 x + y + z) + (2 x - y + α z) = 4 + 10 \Rightarrow (α + 1) z = 14$ , luego $z = \frac{14}{α + 1} .$
De la ecuación 2: $y = 4 - z + 2 x$ . Lo llevamos a la ecuación 1: $3 x + 4 (4 - z + 2 x) + α z = 30$ , es decir, $11 x = 14 + (4 - α) z$ .
Sustituimos $z$ : $11 x = 14 + \frac{14 ( 4 - α )}{α + 1} = \frac{14 ( α + 1 ) + 14 ( 4 - α )}{α + 1} = \frac{70}{α + 1} \Rightarrow x = \frac{70}{11 ( α + 1 )} .$
Calculamos $y$ : $y = 4 - \frac{14}{α + 1} + \frac{140}{11 ( α + 1 )} = \frac{44 ( α + 1 ) - 154 + 140}{11 ( α + 1 )} = \frac{44 α + 30}{11 ( α + 1 )} .$
Comprobación con $α = 0$ : $x = \frac{70}{11}$ , $y = \frac{30}{11}$ , $z = 14$ ; la ecuación 2 da $- \frac{140}{11} + \frac{30}{11} + 14 = - 10 + 14 = 4$ . Correcto.

Resultado: $x = \frac{70}{11 ( α + 1 )}, y = \frac{44 α + 30}{11 ( α + 1 )}, z = \frac{14}{α + 1}$

Resultado: 2.1.1) SCD si $α \neq = - 1$ , SI si $α = - 1$ ; 2.1.2) $x = \frac{70}{11 ( α + 1 )}$ , $y = \frac{44 α + 30}{11 ( α + 1 )}$ , $z = \frac{14}{α + 1}$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Método de Gauss · Determinantes con parámetros · Ver el examen completo (Junio 2025)

Junio 2024 · Problema 1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión de un sistema 3x3 con parámetro y solución del caso indeterminado

Problema 1. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $m$ :

$⎩ ⎨ ⎧ - x + y + z 2 x + m y - z (m - 1) x + 3 y - z = m = 3 m = 6 + m$

Se pide:

a) (6 puntos) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro $m$ .

b) (4 puntos) Para los valores de $m$ para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

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Resultado: a) SCD si $m \neq = 3, - 2$ ; SCI si $m = 3$ ; SI si $m = - 2$ ; b) $(12 - 4 λ, λ, 15 - 5 λ)$

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La matriz de coeficientes y la ampliada son

$M = - 1 2 m - 1 1 m 3 1 - 1 - 1, M^{*} = - 1 2 m - 1 1 m 3 1 - 1 - 1 m 3 m 6 + m .$

Determinante de $M$ (regla de Sarrus):

$∣ M ∣ = [(- 1) \cdot m \cdot (- 1) + 1 \cdot (- 1) (m - 1) + 1 \cdot 2 \cdot 3] - [1 \cdot m \cdot (m - 1) + (- 1) (- 1) \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot (- 1)]$

$∣ M ∣ = [m - m + 1 + 6] - [m^{2} - m + 3 - 2] = 7 - m^{2} + m - 1 = - m^{2} + m + 6 = - (m - 3) (m + 2) .$

$∣ M ∣ = 0 ⟺ m = 3$ o $m = - 2$ .
Si $m \neq = 3$ y $m \neq = - 2$ : $∣ M ∣ \neq = 0$ , luego $rg M = rg M^{*} = 3$ = número de incógnitas: sistema compatible determinado (SCD).
Si $m = 3$ : $∣ M ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada:

$M^{*} = - 1 22 133 1 - 1 - 1 399 F_{2} + 2 F_{1} F_{3} + 2 F_{1} - 1 00 15511131515 F_{3} - F_{2} - 1 00 1501103150 .$

Dos filas no nulas, tanto en $M$ como en $M^{*}$ : $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$ incógnitas. Sistema compatible indeterminado (SCI). 5. Si $m = - 2$ : $∣ M ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada:

$M^{*} = - 1 2 - 3 1 - 2 3 1 - 1 - 1 - 2 - 6 4 F_{2} + 2 F_{1} F_{3} - 3 F_{1} - 1 00 100 11 - 4 - 2 - 10 10 F_{3} + 4 F_{2} - 1 00 100110 - 2 - 10 - 30 .$

En la parte de coeficientes quedan dos filas no nulas, $rg M = 2$ ; en toda la matriz son tres, $rg M^{*} = 3 \neq = rg M$ . Sistema incompatible (SI).

Resultado: si $m \neq = 3$ y $m \neq = - 2$ , SCD; si $m = 3$ , SCI; si $m = - 2$ , SI.

b) El único caso indeterminado es $m = 3$ , con $rg = 2$ . La matriz escalonada de a) es el sistema equivalente:

${- x + y + z 5 y + z = 3 = 15$

Tomamos $y = λ$ como parámetro. De la segunda ecuación: $z = 15 - 5 λ$ .
De la primera: $x = y + z - 3 = λ + 15 - 5 λ - 3 = 12 - 4 λ$ .
Comprobación en la segunda ecuación original ( $2 x + 3 y - z = 9$ ): $2 (12 - 4 λ) + 3 λ - (15 - 5 λ) = 24 - 8 λ + 3 λ - 15 + 5 λ = 9$ . Se cumple.

Resultado: $(x, y, z) = (12 - 4 λ, λ, 15 - 5 λ)$ , con $λ \in R$

Resultado: a) SCD si $m \neq = 3, - 2$ ; SCI si $m = 3$ ; SI si $m = - 2$ ; b) $(12 - 4 λ, λ, 15 - 5 λ)$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Determinantes con parámetros · Ver el examen completo (Junio 2024)

Julio 2021 · Problema 1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión de un sistema 3x3 con parámetro m, solución para m=1 y caso indeterminado

Problema 1. Se da el sistema de ecuaciones

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y + z x + y + 3 z 5 x - 4 y + m z = m = 0 = m$

donde $m$ es un parámetro real. Se pide:

a) (4 puntos) La discusión del sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$ .

b) (3 puntos) La solución del sistema cuando $m = 1$ .

c) (3 puntos) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) SCD si $m \neq = 0$ ; SCI si $m = 0$ ; b) $(3, 3, - 2)$ ; c) $(- \frac{4}{3} λ, - \frac{5}{3} λ, λ)$ , $λ \in R$

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a) Sea $A$ la matriz de coeficientes:

$A = 215 - 1 1 - 4 13 m .$

Calculamos $∣ A ∣$ desarrollando por la primera fila:

$∣ A ∣ = 2 (m + 12) - (- 1) (m - 15) + 1 (- 4 - 5) = 2 m + 24 + m - 15 - 9 = 3 m .$

Si $m \neq = 0$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = rg A^{*} = 3$ = número de incógnitas. Sistema compatible determinado (SCD).
Si $m = 0$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada (el sistema es homogéneo, así que la última columna es de ceros). Pasamos primero la fila que empieza por $1$ :

$A^{*} = 215 - 1 1 - 4 130000 F_{1} \leftrightarrow F_{2} 125 1 - 1 - 4 310000 F_{2} - 2 F_{1} F_{3} - 5 F_{1} 100 1 - 3 - 9 3 - 5 - 15 000 F_{3} - 3 F_{2} 100 1 - 3 0 3 - 5 0 000 .$

Quedan dos filas no nulas: $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ incógnitas. Sistema compatible indeterminado (SCI).

Resultado: SCD si $m \neq = 0$ ; SCI si $m = 0$ .

b) Con $m = 1$ el sistema es SCD y $∣ A ∣ = 3$ . Aplicamos la regla de Cramer:

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y + z x + y + 3 z 5 x - 4 y + z = 1 = 0 = 1$

$x = \frac{1}{3} 101 - 1 1 - 4 131 = \frac{1 ( 1 + 12 ) + 1 ( 0 - 3 ) + 1 ( 0 - 1 )}{3} = \frac{9}{3} = 3.$
$y = \frac{1}{3} 215101131 = \frac{2 ( 0 - 3 ) - 1 ( 1 - 15 ) + 1 ( 1 - 0 )}{3} = \frac{- 6 + 14 + 1}{3} = 3.$
$z = \frac{1}{3} 215 - 1 1 - 4 101 = \frac{2 ( 1 - 0 ) + 1 ( 1 - 0 ) + 1 ( - 4 - 5 )}{3} = \frac{2 + 1 - 9}{3} = - 2.$
Comprobación: $6 - 3 - 2 = 1$ ; $3 + 3 - 6 = 0$ ; $15 - 12 - 2 = 1$ .

Resultado: $(x, y, z) = (3, 3, - 2)$

c) El caso compatible indeterminado es $m = 0$ :

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y + z x + y + 3 z 5 x - 4 y = 0 = 0 = 0$

La matriz escalonada del apartado a) ya es el sistema equivalente: $x + y + 3 z = 0$ y $- 3 y - 5 z = 0$ (la fila de ceros desaparece).
Tomamos $z = λ$ como parámetro. De la segunda ecuación, $- 3 y = 5 λ \Rightarrow y = - \frac{5}{3} λ$ .
De la primera, $x = - y - 3 z = \frac{5}{3} λ - 3 λ = - \frac{4}{3} λ$ .
Comprobación en la tercera ecuación: $5 (- \frac{4}{3} λ) - 4 (- \frac{5}{3} λ) = - \frac{20}{3} λ + \frac{20}{3} λ = 0$ .

Resultado: $(x, y, z) = (- \frac{4}{3} λ, - \frac{5}{3} λ, λ)$ , $λ \in R$ .

Resultado: a) SCD si $m \neq = 0$ ; SCI si $m = 0$ ; b) $(3, 3, - 2)$ ; c) $(- \frac{4}{3} λ, - \frac{5}{3} λ, λ)$ , $λ \in R$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Regla de Cramer · Sistemas homogéneos · Ver el examen completo (Julio 2021)

Septiembre 2020 · Problema 1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Sistema 3x3 con parámetro a: compatibilidad, solución para a=0 y caso indeterminado

Problema 1. Se da el sistema de ecuaciones

$⎩ ⎨ ⎧ x + a y + 2 z x - 3 y + a z x + y + 2 z = 3 = - 2 = a$

donde $a$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) Los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible.

b) (3 puntos) La solución del sistema cuando $a = 0$ .

c) (3 puntos) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) compatible para todo $a \neq = 1$ (SCD si $a \neq = 1, 2$ ; SCI si $a = 2$ ); b) $(- 11, - 3, 7)$ ; c) $(1 - 2 λ, 1, λ)$ , $λ \in R$

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a) Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^{*}$ la ampliada.

Calculamos $∣ A ∣$ :

$∣ A ∣ = 111 a - 3 1 2 a 2 = 1 (- 6 - a) - a (2 - a) + 2 (1 + 3) = a^{2} - 3 a + 2 = (a - 1) (a - 2) .$

Si $a \neq = 1$ y $a \neq = 2$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = rg A^{*} = 3$ y el sistema es compatible determinado.
Si $a = 1$ : el sistema es $x + y + 2 z = 3$ , $x - 3 y + z = - 2$ , $x + y + 2 z = 1$ . La primera y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro y distinto segundo miembro ( $3 \neq = 1$ ), son contradictorias: sistema incompatible.
Si $a = 2$ : el sistema es $x + 2 y + 2 z = 3$ , $x - 3 y + 2 z = - 2$ , $x + y + 2 z = 2$ . Restando la primera menos la tercera: $y = 1$ . Restando la segunda menos la tercera: $- 4 y = - 4$ , es decir, $y = 1$ de nuevo. Las ecuaciones son compatibles. Como $∣ A ∣ = 0$ y $11 2 - 3 = - 5 \neq = 0$ , es $rg A = 2$ , y $rg A^{*} = 2$ (la tercera ecuación es combinación de las otras dos). Sistema compatible indeterminado.

Resultado: el sistema es compatible para todo $a \neq = 1$ (determinado si $a \neq = 1, 2$ e indeterminado si $a = 2$ ).

b) Con $a = 0$ el sistema es compatible determinado:

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 z x - 3 y x + y + 2 z = 3 = - 2 = 0$

De la primera ecuación, $x + 2 z = 3$ ; sustituyendo en la tercera: $3 + y = 0 \Rightarrow y = - 3$ .
De la segunda: $x = 3 y - 2 = - 9 - 2 = - 11$ .
De la primera: $2 z = 3 - x = 14 \Rightarrow z = 7$ .
Comprobación en la tercera: $- 11 - 3 + 14 = 0$ .

Resultado: $(x, y, z) = (- 11, - 3, 7)$

c) El caso compatible indeterminado es $a = 2$ . Por el apartado a), el sistema equivale a $y = 1$ y $x + 2 z = 1$ (de la tercera ecuación: $x + 1 + 2 z = 2$ ).

Tomamos $z = λ$ como parámetro: $x = 1 - 2 λ$ e $y = 1$ .
Comprobación en la segunda ecuación: $(1 - 2 λ) - 3 + 2 λ = - 2$ .

Resultado: $(x, y, z) = (1 - 2 λ, 1, λ)$ , $λ \in R$ .

Resultado: a) compatible para todo $a \neq = 1$ (SCD si $a \neq = 1, 2$ ; SCI si $a = 2$ ); b) $(- 11, - 3, 7)$ ; c) $(1 - 2 λ, 1, λ)$ , $λ \in R$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Determinantes con parámetros · Ver el examen completo (Septiembre 2020)

Julio 2020 · Problema 1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión de un sistema 3x3 con parámetro a y solución para a=-2 y a=0

Problema 1. Dado el sistema de ecuaciones

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + a z x + a y + z a x + y + z = 1 = 1 = - 2$

siendo $a$ un parámetro real, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (5 puntos) El estudio del sistema en función del parámetro $a$ .

b) (3 puntos) Las soluciones del sistema cuando $a = - 2$ .

c) (2 puntos) La solución del sistema cuando $a = 0$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) SCD si $a \neq = 1, - 2$ ; SCI si $a = - 2$ ; SI si $a = 1$ ; b) $(1 + t, t, t)$ , $t \in R$ ; c) $(2, - 1, - 1)$

Ver proceso y resultado

a) Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^{*}$ la ampliada:

$A = 11 a 1 a 1 a 11, A^{*} = 11 a 1 a 1 a 11 11 - 2 .$

Calculamos $∣ A ∣$ con la regla de Sarrus:

$∣ A ∣ = a + a + a - a^{3} - 1 - 1 = - a^{3} + 3 a - 2 = - (a - 1)^{2} (a + 2) .$

$∣ A ∣ = 0 ⟺ a = 1$ (raíz doble) o $a = - 2$ .
Si $a \neq = 1$ y $a \neq = - 2$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = rg A^{*} = 3$ = número de incógnitas. Sistema compatible determinado (SCD).
Si $a = 1$ : Gauss sobre la ampliada:

$111111111 11 - 2 F_{2} - F_{1} F_{3} - F_{1} 100100100 10 - 3 .$

La parte de coeficientes tiene 1 fila no nula ( $rg A = 1$ ) y la ampliada tiene 2 ( $rg A^{*} = 2$ ): la última fila dice $0 = - 3$ , sistema incompatible (SI). 5. Si $a = - 2$ : Gauss sobre la ampliada:

$11 - 2 1 - 2 1 - 2 11 11 - 2 F_{2} - F_{1} F_{3} + 2 F_{1} 100 1 - 3 3 - 2 3 - 3 100 F_{3} + F_{2} 100 1 - 3 0 - 2 30 100 .$

Quedan 2 filas no nulas en $A$ y en $A^{*}$ : $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ , sistema compatible indeterminado (SCI).

Resultado: SCD si $a \neq = 1, - 2$ ; SCI si $a = - 2$ ; SI si $a = 1$ .

b) Con $a = - 2$ el sistema es SCI y la tercera ecuación sobra (es la suma, cambiada de signo, de las dos primeras):

${x + y - 2 z x - 2 y + z = 1 = 1$

Restando la segunda a la primera: $3 y - 3 z = 0 \Rightarrow y = z$ .
Tomamos $z = t$ como parámetro: $y = t$ .
De la primera ecuación: $x = 1 - y + 2 z = 1 - t + 2 t = 1 + t$ .
Comprobación en la tercera ecuación: $- 2 (1 + t) + t + t = - 2$ .

Resultado: $(x, y, z) = (1 + t, t, t)$ , $t \in R$ .

c) Con $a = 0$ es SCD ( $∣ A ∣ = - (- 1)^{2} \cdot 2 = - 2 \neq = 0$ ) y el sistema queda

$⎩ ⎨ ⎧ x + y x + z y + z = 1 = 1 = - 2$

Sumando las tres ecuaciones: $2 (x + y + z) = 0 \Rightarrow x + y + z = 0$ .
Restando a esto cada ecuación: $z = 0 - 1 = - 1$ ; $y = 0 - 1 = - 1$ ; $x = 0 - (- 2) = 2$ .
Comprobación: $2 - 1 = 1$ ; $2 - 1 = 1$ ; $- 1 - 1 = - 2$ .

Resultado: $(x, y, z) = (2, - 1, - 1)$

Resultado: a) SCD si $a \neq = 1, - 2$ ; SCI si $a = - 2$ ; SI si $a = 1$ ; b) $(1 + t, t, t)$ , $t \in R$ ; c) $(2, - 1, - 1)$

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Julio 2019 · Problema A.1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Sistema 3x3 con parámetro siempre compatible determinado y solución con x+y+z=0

Problema A.1. Se da el sistema de ecuaciones

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 z x - 2 y + 2 z 3 x - y + 5 z = α = 5 = α + 1$

donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) Los valores de $α$ para los que el sistema es compatible y determinado.

b) (3 puntos) La solución del sistema cuando $α = - 1$ .

c) (3 puntos) El valor de $α$ para que el sistema tenga una solución $(x, y, z)$ que verifique $x + y + z = 0$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) compatible determinado para todo $α \in R$ ; b) $(7, - 4, - 5)$ ; c) $α = 1$

Ver proceso y resultado

a) La matriz de coeficientes es

$A = 213 0 - 2 - 1 325 .$

Calculamos $∣ A ∣$ desarrollando por la primera fila:

$∣ A ∣ = 2 (- 10 + 2) - 0 + 3 (- 1 + 6) = - 16 + 15 = - 1.$

El determinante no depende de $α$ y es distinto de cero, luego $rg A = rg A^{*} = 3$ = número de incógnitas para todo valor de $α$ .
Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado (SCD) siempre.

Resultado: compatible determinado para todo $α \in R$ .

b) Con $α = - 1$ el sistema es

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 z x - 2 y + 2 z 3 x - y + 5 z = - 1 = 5 = 0$

De la tercera ecuación, $y = 3 x + 5 z$ .
Sustituimos en la segunda: $x - 6 x - 10 z + 2 z = 5 \Rightarrow - 5 x - 8 z = 5$ .
De la primera, $x = \frac{- 1 - 3 z}{2}$ . Sustituyendo: $- 5 \cdot \frac{- 1 - 3 z}{2} - 8 z = 5 \Rightarrow 5 + 15 z - 16 z = 10 \Rightarrow z = - 5$ .
Entonces $x = \frac{- 1 + 15}{2} = 7$ e $y = 3 \cdot 7 + 5 \cdot (- 5) = - 4$ .
Comprobación: $14 - 15 = - 1$ ; $7 + 8 - 10 = 5$ ; $21 + 4 - 25 = 0$ .

Resultado: $(x, y, z) = (7, - 4, - 5)$

c) Resolvemos el sistema para un $α$ cualquiera.

De la tercera ecuación: $y = 3 x + 5 z - α - 1$ .
En la segunda: $x - 2 (3 x + 5 z - α - 1) + 2 z = 5 \Rightarrow - 5 x - 8 z = 3 - 2 α$ .
De la primera, $x = \frac{α - 3 z}{2}$ . Entonces $- 5 \cdot \frac{α - 3 z}{2} - 8 z = 3 - 2 α \Rightarrow - 5 α + 15 z - 16 z = 6 - 4 α \Rightarrow z = - 6 - α$ .
$x = \frac{α + 18 + 3 α}{2} = 2 α + 9$ e $y = 3 (2 α + 9) + 5 (- 6 - α) - α - 1 = - 4$ .
La solución es $(x, y, z) = (2 α + 9, - 4, - 6 - α)$ (para $α = - 1$ da $(7, - 4, - 5)$ , como en el apartado anterior).
Imponemos $x + y + z = 0$ : $(2 α + 9) - 4 + (- 6 - α) = α - 1 = 0 \Rightarrow α = 1$ .
Comprobación: con $α = 1$ la solución es $(11, - 4, - 7)$ , cuya suma es $0$ .

Resultado: $α = 1$

Resultado: a) compatible determinado para todo $α \in R$ ; b) $(7, - 4, - 5)$ ; c) $α = 1$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Regla de Cramer · Determinantes 2×2 y 3×3 y regla de Sarrus · Ver el examen completo (Julio 2019)

Junio 2019 · Problema B.1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión y resolución de un sistema 3x3 con parámetro α y sistema modificado

Problema B.1. Se da el sistema

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z 3 x + 4 y + 5 z 7 x + 9 y + 11 z = 4 = 5 = α$

donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) Los valores de $α$ para los que el sistema es compatible y los valores de $α$ para los que el sistema es incompatible.

b) (4 puntos) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible.

c) (2 puntos) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente $11$ por cualquier otro número diferente.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) compatible si $α = 14$ , incompatible si $α \neq = 14$ ; b) $(11 + λ, - 7 - 2 λ, λ)$ , $λ \in R$ ; c) compatible determinado para todo $α$

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a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:

$A = 1371491511, A^{*} = 1371491511 45 α .$

$∣ A ∣ = 1 (44 - 45) - 1 (33 - 35) + 1 (27 - 28) = - 1 + 2 - 1 = 0$ para cualquier $α$ (el parámetro solo está en la ampliada), luego $rg A \leq 2$ .
Gauss sobre la ampliada, que da a la vez $rg A$ y $rg A^{*}$ :

$1371491511 45 α F_{2} - 3 F_{1} F_{3} - 7 F_{1} 100112124 4 - 7 α - 28 F_{3} - 2 F_{2} 100110120 4 - 7 α - 14 .$

La parte de coeficientes tiene 2 filas no nulas: $rg A = 2$ .
Si $α = 14$ , la última fila es nula: $rg A^{*} = 2 = rg A < 3$ (compatible indeterminado).
Si $α \neq = 14$ , la última fila es $(000 ∣ α - 14)$ con $α - 14 \neq = 0$ : $rg A^{*} = 3 > rg A$ (incompatible).

Resultado: compatible si $α = 14$ ; incompatible si $α \neq = 14$ .

b) Con $α = 14$ la tercera ecuación es combinación de las otras dos y se elimina:

${x + y + z 3 x + 4 y + 5 z = 4 = 5$

A la segunda le restamos $3$ veces la primera: $y + 2 z = - 7$ .
Tomamos $z = λ$ : $y = - 7 - 2 λ$ .
De la primera: $x = 4 - y - z = 4 + 7 + 2 λ - λ = 11 + λ$ .
Comprobación en la segunda: $3 (11 + λ) + 4 (- 7 - 2 λ) + 5 λ = 33 - 28 + (3 - 8 + 5) λ = 5$ .

Resultado: $(x, y, z) = (11 + λ, - 7 - 2 λ, λ)$ , $λ \in R$ .

c) Cambiamos el $11$ por un número $k \neq = 11$ . La matriz de coeficientes pasa a ser

$A_{k} = 137149 15 k .$

$∣ A_{k} ∣ = 1 (4 k - 45) - 1 (3 k - 35) + 1 (27 - 28) = 4 k - 45 - 3 k + 35 - 1 = k - 11$ .
Como $k \neq = 11$ , $∣ A_{k} ∣ \neq = 0$ y $rg A_{k} = 3$ , igual que el rango de la ampliada y que el número de incógnitas, para cualquier valor de $α$ .
Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado para todo $α$ (tiene solución única; también se podría hallar con la regla de Cramer).

Resultado: el nuevo sistema es compatible determinado para todo valor de $α$ .

Resultado: a) compatible si $α = 14$ , incompatible si $α \neq = 14$ ; b) $(11 + λ, - 7 - 2 λ, λ)$ , $λ \in R$ ; c) compatible determinado para todo $α$

Repasa la teoría: Teorema de Rouché-Frobenius · Discusión de sistemas con parámetros · Método de Gauss · Rango de una matriz · Ver el examen completo (Junio 2019)

Julio 2018 · Problema A.1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Sistema 3x3 con parámetro: compatibilidad, solución con infinitas soluciones y caso a=0

Problema A.1. Dado el sistema de ecuaciones

$⎩ ⎨ ⎧ x + y (a - 1) y + z x + a y + (a - 1) z = 1 = 0 = a$

donde $a$ es un parámetro real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (5 puntos) Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es compatible.

b) (3 puntos) Las soluciones del sistema cuando $a = 1$ .

c) (2 puntos) La solución del sistema cuando $a = 0$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) compatible si y solo si $a \neq = 2$ ; b) $(1 - λ, λ, 0)$ , $λ \in R$ ; c) $x = y = z = \frac{1}{2}$

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a) Las matrices de coeficientes y ampliada son

$A = 101 1 a - 1 a 01 a - 1, A^{*} = 101 1 a - 1 a 01 a - 1 10 a .$

Calculamos $∣ A ∣$ desarrollando por la primera fila:

$∣ A ∣ = 1 \cdot [(a - 1)^{2} - a] - 1 \cdot [0 \cdot (a - 1) - 1 \cdot 1] = a^{2} - 3 a + 1 + 1 = a^{2} - 3 a + 2 = (a - 1) (a - 2) .$

Si $a \neq = 1$ y $a \neq = 2$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = rg A^{*} = 3$ y el sistema es compatible determinado.
Si $a = 1$ : $A = 101101010$ . La tercera fila es igual a la primera (también en la ampliada, pues el término independiente es $1$ en ambas), y las dos primeras filas son independientes. Entonces $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ : compatible indeterminado.
Si $a = 2$ : hacemos Gauss sobre la ampliada:

$101112011102 F_{3} - F_{1} 100111011101 F_{3} - F_{2} 100110010101 .$

Quedan 2 filas no nulas en la parte de coeficientes ( $rg A = 2$ ) y 3 en la ampliada ( $rg A^{*} = 3$ ): la última fila dice $0 = 1$ y el sistema es incompatible.

Resultado: el sistema es compatible si y solo si $a \neq = 2$ .

b) Con $a = 1$ el sistema es

$⎩ ⎨ ⎧ x + y z x + y = 1 = 0 = 1$

La primera y la tercera ecuación coinciden, y la segunda da $z = 0$ .
Tomando $y = λ$ como parámetro: $x = 1 - λ$ .

Resultado: $(x, y, z) = (1 - λ, λ, 0)$ , $λ \in R$ (infinitas soluciones).

c) Con $a = 0$ el sistema es

$⎩ ⎨ ⎧ x + y - y + z x - z = 1 = 0 = 0$

De la segunda, $z = y$ ; de la tercera, $x = z = y$ .
En la primera: $2 y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$ .
Comprobación: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ ; $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ ; $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ .

Resultado: $x = y = z = \frac{1}{2}$

Resultado: a) compatible si y solo si $a \neq = 2$ ; b) $(1 - λ, λ, 0)$ , $λ \in R$ ; c) $x = y = z = \frac{1}{2}$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Determinantes 2×2 y 3×3 y regla de Sarrus · Ver el examen completo (Julio 2018)

Junio 2018 · Problema A.1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Sistema 3x3 con parámetro: compatible determinado, solución con a=3 y caso indeterminado

Problema A.1. Se tiene el sistema de ecuaciones

$⎩ ⎨ ⎧ y - z - x + z - a x + y - z = 1 - a = 5 = 1$

donde $a$ es un parámetro real. Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (2 puntos) Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es compatible determinado.

b) (4 puntos) Las soluciones del sistema cuando $a = 3$ .

c) (4 puntos) Las soluciones del sistema para los valores de $a$ que lo hacen compatible indeterminado.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) compatible determinado si $a \neq = 0$ ; b) $(- 1, 2, 4)$ ; c) para $a = 0$ : $(x, y, z) = (λ - 5, 1 + λ, λ)$ , $λ \in R$

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a) La matriz de coeficientes es

$A = 0 - 1 - a 101 - 1 1 - 1 .$

Desarrollamos $∣ A ∣$ por la primera fila:

$∣ A ∣ = 0 - 1 \cdot ((- 1) (- 1) - 1 \cdot (- a)) + (- 1) \cdot ((- 1) \cdot 1 - 0 \cdot (- a)) = - (1 + a) + 1 = - a .$

Si $a \neq = 0$ , $∣ A ∣ \neq = 0$ y $rg A = rg A^{*} = 3$ = número de incógnitas: por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado.
Si $a = 0$ , $∣ A ∣ = 0$ y hay que estudiarlo aparte (apartado c).

Resultado: compatible determinado si $a \neq = 0$ .

b) Con $a = 3$ el sistema es

$⎩ ⎨ ⎧ y - z - x + z - 3 x + y - z = - 2 = 5 = 1$

De la primera ecuación, $y - z = - 2$ . Sustituyendo en la tercera: $- 3 x + (y - z) = 1 \Rightarrow - 3 x - 2 = 1 \Rightarrow x = - 1$ .
De la segunda: $z = 5 + x = 4$ .
De la primera: $y = z - 2 = 2$ .
Comprobación: $2 - 4 = - 2$ ; $1 + 4 = 5$ ; $3 + 2 - 4 = 1$ .

Resultado: $(x, y, z) = (- 1, 2, 4)$

c) El sistema no es compatible determinado solo si $a = 0$ . Con $a = 0$ :

$⎩ ⎨ ⎧ y - z - x + z y - z = 1 = 5 = 1$

La tercera ecuación es idéntica a la primera: el sistema equivale a dos ecuaciones con tres incógnitas.
Las dos ecuaciones restantes son independientes ( $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ ): es compatible indeterminado, con un parámetro.
Tomamos $z = λ$ . Entonces $y = 1 + λ$ y $x = z - 5 = λ - 5$ .
Comprobación: $(1 + λ) - λ = 1$ y $- (λ - 5) + λ = 5$ .

Resultado: $a = 0$ : $(x, y, z) = (λ - 5, 1 + λ, λ)$ , $λ \in R$ .

Resultado: a) compatible determinado si $a \neq = 0$ ; b) $(- 1, 2, 4)$ ; c) para $a = 0$ : $(x, y, z) = (λ - 5, 1 + λ, λ)$ , $λ \in R$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Determinantes con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Ver el examen completo (Junio 2018)

Junio 2017 · Problema A.1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Sistema 3x3 con parámetro: solución para a=2, compatible determinado e indeterminado

Problema A.1. Se da el sistema de ecuaciones

$⎩ ⎨ ⎧ - x + a y + 2 z 2 x + a y - z a x - y + 2 z = a = 2 = a$

dependiente del parámetro real $a$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) La solución del sistema cuando $a = 2$ .

b) (3 puntos) Los valores del parámetro $a$ para los que el sistema es compatible y determinado.

c) (2+2 puntos) El valor del parámetro $a$ para el que el sistema es compatible e indeterminado y obtener todas las soluciones del sistema para ese valor de $a$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $(x, y, z) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ ; b) $a \neq = - 1$ ; c) $a = - 1$ , $(x, y, z) = (t, t - 1, t - 1)$ , $t \in R$

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a) Con $a = 2$ el sistema es

$⎩ ⎨ ⎧ - x + 2 y + 2 z 2 x + 2 y - z 2 x - y + 2 z = 2 = 2 = 2$

Restamos la tercera ecuación a la segunda: $3 y - 3 z = 0$ , es decir, $y = z$ .
En la primera, con $z = y$ : $- x + 4 y = 2$ , luego $x = 4 y - 2$ .
En la segunda: $2 (4 y - 2) + 2 y - y = 2 \Rightarrow 9 y - 4 = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$ . Entonces $z = \frac{2}{3}$ y $x = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$ .
Comprobación en la tercera: $\frac{4}{3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ .

Resultado: $(x, y, z) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

b) La matriz de coeficientes es

$A = - 1 2 a a a - 1 2 - 1 2 .$

Calculamos su determinante desarrollando por la primera fila:

$∣ A ∣ = - 1 (2 a - 1) - a (4 + a) + 2 (- 2 - a^{2}) = - 2 a + 1 - 4 a - a^{2} - 4 - 2 a^{2} = - 3 a^{2} - 6 a - 3 = - 3 (a + 1)^{2} .$

El sistema es compatible determinado cuando $rg A = rg A^{*} = 3$ , y esto ocurre exactamente cuando $∣ A ∣ \neq = 0$ , es decir, cuando $a \neq = - 1$ .

Resultado: compatible determinado si y solo si $a \neq = - 1$ .

c) El único valor que anula el determinante es $a = - 1$ , así que es el único candidato.

Con $a = - 1$ el sistema es

$⎩ ⎨ ⎧ - x - y + 2 z 2 x - y - z - x - y + 2 z = - 1 = 2 = - 1$

La primera y la tercera ecuación son idénticas. Las dos primeras filas de $A$ no son proporcionales, luego $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ : el sistema es compatible indeterminado.

Resolvemos las dos ecuaciones independientes. Restando la primera a la segunda: $3 x - 3 z = 3$ , es decir, $x = z + 1$ .
De la segunda: $y = 2 x - z - 2 = 2 z + 2 - z - 2 = z$ .
Tomando $x = t$ como parámetro: $z = t - 1$ , $y = t - 1$ .
Comprobación en la primera: $- t - (t - 1) + 2 (t - 1) = - 1$ .

Resultado: $a = - 1$ ; soluciones $(x, y, z) = (t, t - 1, t - 1)$ , $t \in R$ .

Resultado: a) $(x, y, z) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ ; b) $a \neq = - 1$ ; c) $a = - 1$ , $(x, y, z) = (t, t - 1, t - 1)$ , $t \in R$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Determinantes 2×2 y 3×3 y regla de Sarrus · Ver el examen completo (Junio 2017)

Julio 2016 · Problema A.1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión de un sistema 3x3 con parámetro: caso particular, incompatible y determinado

Problema A.1. Se da el sistema

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + 2 z - 3 x + 2 y + 3 z 2 x + α y - 5 z = 2 = - 2 = - 4$

donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (3 puntos) La solución del sistema cuando $α = 0$ .

b) (3 puntos) El valor del parámetro $α$ para el que el sistema es incompatible.

c) (2 + 2 puntos) Los valores del parámetro $α$ para los que el sistema es compatible y determinado y obtener la solución del sistema en función del parámetro $α$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) $(\frac{26}{27}, - \frac{4}{3}, \frac{32}{27})$ ; b) $α = - 3$ ; c) $α \neq = - 3$ y $(x, y, z) = (\frac{10 α + 26}{9 ( α + 3 )}, - \frac{4}{α + 3}, \frac{4 α + 32}{9 ( α + 3 )})$

Ver proceso y resultado

Las matrices de coeficientes y ampliada son

$A = 1 - 3 2 12 α 23 - 5, A^{*} = 1 - 3 2 12 α 23 - 5 2 - 2 - 4 .$

a) Con $α = 0$ el sistema es

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + 2 z - 3 x + 2 y + 3 z 2 x - 5 z = 2 = - 2 = - 4$

De la tercera ecuación: $x = \frac{5 z - 4}{2}$ .
En la primera: $y = 2 - x - 2 z = 2 - \frac{5 z - 4}{2} - 2 z = 4 - \frac{9 z}{2}$ .
Sustituimos en la segunda:

$- 3 \cdot \frac{5 z - 4}{2} + 2 (4 - \frac{9 z}{2}) + 3 z = - 2 \Rightarrow - \frac{27 z}{2} + 14 = - 2 \Rightarrow z = \frac{32}{27} .$

Entonces $x = \frac{5 \cdot \frac{32}{27} - 4}{2} = \frac{26}{27}$ e $y = 4 - \frac{9}{2} \cdot \frac{32}{27} = - \frac{4}{3}$ .
Comprobación en la primera ecuación: $\frac{26}{27} - \frac{36}{27} + \frac{64}{27} = \frac{54}{27} = 2$ .

Resultado: $(x, y, z) = (\frac{26}{27}, - \frac{4}{3}, \frac{32}{27})$

b) 1. Calculamos el determinante de $A$ :

$∣ A ∣ = 1 \cdot (- 10 - 3 α) - 1 \cdot (15 - 6) + 2 \cdot (- 3 α - 4) = - 27 - 9 α = - 9 (α + 3) .$

Se anula solo para $α = - 3$ . Para cualquier otro valor, $rg A = rg A^{*} = 3$ y el sistema es compatible determinado.
Si $α = - 3$ : sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada:

$1 - 3 2 12 - 3 23 - 5 2 - 2 - 4 F_{2} + 3 F_{1} F_{3} - 2 F_{1} 100 15 - 5 29 - 9 24 - 8 F_{3} + F_{2} 100150290 24 - 4 .$

La parte de coeficientes tiene 2 filas no nulas ( $rg A = 2$ ) y la matriz completa tiene 3 ( $rg A^{*} = 3$ ). La última fila dice $0 = - 4$ : el sistema es incompatible.

Resultado: el sistema es incompatible únicamente para $α = - 3$ .

c) 1. Por lo visto en el apartado anterior, es compatible y determinado cuando $∣ A ∣ \neq = 0$ , es decir, para $α \neq = - 3$ . 2. Resolvemos por la regla de Cramer, con $∣ A ∣ = - 9 (α + 3)$ :

$x = \frac{2 - 2 - 4 1 2 α 2 3 - 5}{∣ A ∣} = \frac{- 26 - 10 α}{- 9 ( α + 3 )} = \frac{10 α + 26}{9 ( α + 3 )},$

$y = \frac{1 - 3 2 2 - 2 - 4 2 3 - 5}{∣ A ∣} = \frac{36}{- 9 ( α + 3 )} = - \frac{4}{α + 3},$

$z = \frac{1 - 3 2 1 2 α 2 - 2 - 4}{∣ A ∣} = \frac{- 32 - 4 α}{- 9 ( α + 3 )} = \frac{4 α + 32}{9 ( α + 3 )} .$

Comprobación con $α = 0$ : $\frac{26}{27}$ , $- \frac{4}{3}$ , $\frac{32}{27}$ , que coincide con el apartado a).

Resultado: compatible y determinado para $α \neq = - 3$ , con $x = \frac{10 α + 26}{9 ( α + 3 )}$ , $y = - \frac{4}{α + 3}$ , $z = \frac{4 α + 32}{9 ( α + 3 )}$ .

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Regla de Cramer · Ver el examen completo (Julio 2016)

Junio 2016 · Problema A.1 Medio10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Sistema 3x3 con parámetro: incompatible, indeterminado y solución para a=-1

Problema A.1. Se da el sistema de ecuaciones

$⎩ ⎨ ⎧ a x - z 2 x + a y + z 2 x + z = a = 1 = 2$

donde $a$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) (4 puntos) Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es incompatible.

b) (3 puntos) Todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.

c) (3 puntos) La solución del sistema cuando $a = - 1$ .

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) incompatible solo para $a = 0$ ; b) $a = - 2$ : $(α, \frac{1}{2}, 2 - 2 α)$ , $α \in R$ ; c) $(x, y, z) = (1, 1, 0)$

Ver proceso y resultado

a) La matriz de coeficientes y la ampliada son

$A = a 22 0 a 0 - 1 11, A^{*} = a 22 0 a 0 - 1 11 a 12 .$

Desarrollamos $∣ A ∣$ por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo:

$∣ A ∣ = a \cdot a 2 - 1 1 = a (a + 2) .$

Si $a \neq = 0$ y $a \neq = - 2$ , entonces $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = rg A^{*} = 3$ y el sistema es compatible determinado.
Si $a = 0$ , el sistema es $⎩ ⎨ ⎧ - z 2 x + z 2 x + z = 0 = 1 = 2$ Hacemos Gauss sobre la ampliada (intercambiamos las dos primeras filas para tener un pivote distinto de cero):

$022000 - 1 11 012 F_{1} \leftrightarrow F_{2} 202000 1 - 1 1 102 F_{3} - F_{1} 200000 1 - 1 0 101 .$

La parte de coeficientes tiene 2 filas no nulas ( $rg A = 2$ ) y la ampliada tiene 3 ( $rg A^{*} = 3$ ): la última fila dice $0 = 1$ , luego el sistema es incompatible. 4. Si $a = - 2$ se estudia en el apartado siguiente: resulta compatible.

Resultado: el sistema es incompatible únicamente para $a = 0$ .

b) El único valor que anula el determinante y deja el sistema compatible es $a = - 2$ .

Con $a = - 2$ el sistema es $⎩ ⎨ ⎧ - 2 x - z 2 x - 2 y + z 2 x + z = - 2 = 1 = 2$
La primera ecuación es la tercera multiplicada por $- 1$ , luego es redundante. Entonces $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ : compatible indeterminado, con un parámetro.
Tomamos $x = α$ . De la tercera, $z = 2 - 2 α$ . Sustituyendo en la segunda: $2 α - 2 y + 2 - 2 α = 1 \Rightarrow - 2 y = - 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2} .$

Resultado: $(x, y, z) = (α, \frac{1}{2}, 2 - 2 α)$ , $α \in R$

c) Con $a = - 1$ el sistema es $⎩ ⎨ ⎧ - x - z 2 x - y + z 2 x + z = - 1 = 1 = 2$

Sumando la primera y la tercera: $x = 1$ . Entonces, de la tercera, $z = 2 - 2 = 0$ .
En la segunda: $2 - y + 0 = 1 \Rightarrow y = 1$ .
Comprobación: $- 1 - 0 = - 1$ ; $2 - 1 + 0 = 1$ ; $2 + 0 = 2$ .

Resultado: $(x, y, z) = (1, 1, 0)$

Resultado: a) incompatible solo para $a = 0$ ; b) $a = - 2$ : $(α, \frac{1}{2}, 2 - 2 α)$ , $α \in R$ ; c) $(x, y, z) = (1, 1, 0)$

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Nivel difícil ★★★

Julio 2026 (Examen alternativo (día extra)) · Opción 2.1 Difícil2,5 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Rango, discusión y resolución por Cramer de un sistema con parámetro

2.1 Se consideran la matriz $A$ , dependiente del parámetro real $a$ , y el vector $w$ , siguientes: $A = 12 a 132 a 10, w = (10 - 1)^{T},$ donde $T$ indica transpuesta. Se pide:

2.1.1 (1 punto) Calcular el rango de $A$ en función del parámetro $a$ .

2.1.2 (0,75 puntos) Discutir el sistema $A \cdot x y z = w$ .

2.1.3 (0,75 puntos) Calcular el valor de $z$ en función de $a$ cuando el sistema es compatible determinado.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: 2.1.1) $rang (A) = 3$ si $a \neq = 1, \frac{2}{3}$ y $2$ si $a = 1$ o $a = \frac{2}{3}$ ; 2.1.2) SCD si $a \neq = 1, \frac{2}{3}$ , SCI si $a = 1$ , SI si $a = \frac{2}{3}$ ; 2.1.3) $z = \frac{3}{3 a - 2}$

Ver proceso y resultado

2.1.1 Buscamos los valores de $a$ que anulan el determinante de $A$ .

Desarrollamos por la primera fila: $∣ A ∣ = 13210 - 1 2 a 10 + a 2 a 32 = 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- a) + a (4 - 3 a) .$
Simplificamos: $∣ A ∣ = - 2 + a + 4 a - 3 a^{2} = - 3 a^{2} + 5 a - 2 = - (3 a - 2) (a - 1)$ .
Así, $∣ A ∣ = 0 ⟺ a = 1$ o $a = \frac{2}{3}$ .
Si $a \neq = 1$ y $a \neq = \frac{2}{3}$ , $∣ A ∣ \neq = 0$ y $rang (A) = 3$ .
Si $a = 1$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss: $121132110 F_{2} - 2 F_{1} F_{3} - F_{1} 100111 1 - 1 - 1 F_{3} - F_{2} 100110 1 - 1 0 .$ Quedan 2 filas no nulas: el rango es 2.
Si $a = \frac{2}{3}$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss: $12 \frac{2}{3} 132 \frac{2}{3} 10 F_{2} - 2 F_{1} F_{3} - \frac{2}{3} F_{1} 100 11 \frac{4}{3} \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{9} F_{3} - \frac{4}{3} F_{2} 100110 \frac{2}{3} - \frac{1}{3} 0 .$ Otra vez 2 filas no nulas: el rango es 2.

Resultado: $rang (A) = 3$ si $a \neq = 1, \frac{2}{3}$ ; $rang (A) = 2$ si $a = 1$ o $a = \frac{2}{3}$ .

2.1.2 Sea $A^{*} = (A ∣ w)$ la matriz ampliada. Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius; el sistema tiene 3 incógnitas.

Si $a \neq = 1, \frac{2}{3}$ : $rang (A) = rang (A^{*}) = 3 =$ nº de incógnitas, así que es compatible determinado (SCD).
Si $a = 1$ : Gauss sobre la ampliada (con los mismos pasos de antes): $121132110 10 - 1 F_{2} - 2 F_{1} F_{3} - F_{1} 100111 1 - 1 - 1 1 - 2 - 2 F_{3} - F_{2} 100110 1 - 1 0 1 - 2 0 .$ Hay 2 filas no nulas en $A$ y 2 en toda la matriz: $rang (A) = rang (A^{*}) = 2 < 3$ , es compatible indeterminado (SCI).
Si $a = \frac{2}{3}$ : Gauss sobre la ampliada: $12 \frac{2}{3} 132 \frac{2}{3} 10 10 - 1 F_{2} - 2 F_{1} F_{3} - \frac{2}{3} F_{1} 100 11 \frac{4}{3} \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{9} 1 - 2 - \frac{5}{3} F_{3} - \frac{4}{3} F_{2} 100110 \frac{2}{3} - \frac{1}{3} 0 1 - 2 1 .$ Entonces $rang (A) = 2 < rang (A^{*}) = 3$ y el sistema es incompatible (SI) (la última fila dice $0 = 1$ ).

Resultado: SCD si $a \neq = 1, \frac{2}{3}$ ; SCI si $a = 1$ ; SI si $a = \frac{2}{3}$ .

2.1.3 Es compatible determinado cuando $a \neq = 1, \frac{2}{3}$ . Usamos la regla de Cramer para $z$ .

Sustituimos la tercera columna de $A$ por $w$ : $12 a 132 10 - 1 = 1 (- 3 - 0) - 1 (- 2 - 0) + 1 (4 - 3 a) = - 3 + 2 + 4 - 3 a = 3 - 3 a .$
$z = \frac{3 - 3 a}{∣ A ∣} = \frac{3 ( 1 - a )}{- ( 3 a - 2 ) ( a - 1 )} = \frac{3 ( 1 - a )}{( 3 a - 2 ) ( 1 - a )} = \frac{3}{3 a - 2}$ , simplificando $1 - a \neq = 0$ .

Resultado: $z = \frac{3}{3 a - 2}$

Repasa la teoría: Rango de una matriz · Teorema de Rouché-Frobenius · Regla de Cramer · Discusión de sistemas con parámetros · Ver el examen completo (Julio 2026)

Junio 2026 (Examen alternativo (día extra)) · Opción 2.1 Difícil2,5 puntosSistemas de ecuaciones

Discusión de un sistema con parámetro y solución por Cramer

2.1 Dado el sistema de ecuaciones lineales

$⎩ ⎨ ⎧ α x + y - z x + α y + z - x + y + α z = 0 = 1 = 2$

Se pide:

2.1.1 (1 punto) Discutir el sistema según los valores del parámetro real $α$ .

2.1.2 (1,5 puntos) Encontrar la solución del sistema cuando éste sea compatible.

Ver resultado

Resultado: 2.1.1) SCD si $α \neq = - 1, 2$ ; incompatible si $α = - 1$ o $α = 2$ ; 2.1.2) $(x, y, z) = (\frac{1}{( α - 2 ) ( α + 1 )}, \frac{α - 3}{( α - 2 ) ( α + 1 )}, \frac{2 α - 3}{( α - 2 ) ( α + 1 )})$

Ver proceso y resultado

2.1.1 Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{*}$ a la ampliada:

$M = α 1 - 1 1 α 1 - 1 1 α, M^{*} = α 1 - 1 1 α 1 - 1 1 α 012 .$

Calculamos el determinante de $M$ por Sarrus: los productos de la diagonal principal y sus paralelas suman $α \cdot α \cdot α + 1 \cdot 1 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 1 \cdot 1 = α^{3} - 2$ ; los de la diagonal secundaria y sus paralelas suman $(- 1) \cdot α \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 \cdot α + α \cdot 1 \cdot 1 = 3 α$ . Por tanto

$∣ M ∣ = α^{3} - 2 - 3 α = α^{3} - 3 α - 2.$

Factorizamos: $α = - 1$ es raíz ( $- 1 + 3 - 2 = 0$ ) y, dividiendo, $α^{3} - 3 α - 2 = (α + 1) (α^{2} - α - 2) = (α + 1)^{2} (α - 2)$ . Así, $∣ M ∣ = 0$ si y solo si $α = - 1$ o $α = 2$ .
Si $α \neq = - 1$ y $α \neq = 2$ : $rg M = 3 = rg M^{*} = n .º$ de incógnitas. Sistema compatible determinado.
Si $α = - 1$ : $∣ M ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada:

$- 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 012 F_{2} + F_{1} F_{3} - F_{1} - 1 00 100 - 1 00 012 F_{3} - 2 F_{2} - 1 00 100 - 1 00 010 .$

La parte de coeficientes tiene 1 fila no nula ( $rg M = 1$ ) y la matriz completa 2 ( $rg M^{*} = 2$ ). Como $1 \neq = 2$ , el sistema es incompatible. 5. Si $α = 2$ : $∣ M ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss (pasamos primero la fila que empieza por 1):

$21 - 1 121 - 1 12 012 F_{1} \leftrightarrow F_{2} 12 - 1 211 1 - 1 2 102 F_{2} - 2 F_{1} F_{3} + F_{1} 100 2 - 3 3 1 - 3 3 1 - 2 3 F_{3} + F_{2} 100 2 - 3 0 1 - 3 0 1 - 2 1 .$

Así $rg M = 2$ y $rg M^{*} = 3$ . Como $2 \neq = 3$ , el sistema es incompatible.

Resultado: si $α \neq = - 1$ y $α \neq = 2$ , sistema compatible determinado; si $α = - 1$ o $α = 2$ , sistema incompatible.

2.1.2 El sistema es compatible solo cuando $α \neq = - 1, 2$ , y entonces tiene solución única. Aplicamos la regla de Cramer con $∣ M ∣ = (α + 1)^{2} (α - 2)$ .

Numerador de $x$ (sustituimos la primera columna por los términos independientes):

$012 1 α 1 - 1 1 α = 0 - 1 \cdot (α - 2) + (- 1) (1 - 2 α) = α + 1.$

Numerador de $y$ :

$α 1 - 1 012 - 1 1 α = α (α - 2) - 0 + (- 1) (2 + 1) = α^{2} - 2 α - 3 = (α - 3) (α + 1) .$

Numerador de $z$ :

$α 1 - 1 1 α 1 012 = α (2 α - 1) - 1 (2 + 1) = 2 α^{2} - α - 3 = (2 α - 3) (α + 1) .$

Dividimos y simplificamos el factor $(α + 1)$ , que no es cero:

$x = \frac{1}{( α - 2 ) ( α + 1 )}, y = \frac{α - 3}{( α - 2 ) ( α + 1 )}, z = \frac{2 α - 3}{( α - 2 ) ( α + 1 )} .$

Comprobación con $α = 0$ : la solución es $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ y cumple las tres ecuaciones ( $0 + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$ ; $- \frac{1}{2} + 0 + \frac{3}{2} = 1$ ; $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 0 = 2$ ).

Resultado: $(x, y, z) = (\frac{1}{( α - 2 ) ( α + 1 )}, \frac{α - 3}{( α - 2 ) ( α + 1 )}, \frac{2 α - 3}{( α - 2 ) ( α + 1 )})$ para $α \neq = - 1, 2$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Regla de Cramer · Ver el examen completo (Junio 2026)

Julio 2025 (Examen de reserva) · Opción 2.2 Difícil2,5 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión por Rouché y resolución por Cramer de un sistema con parámetro

2.2 Sea el sistema de ecuaciones lineales $⎩ ⎨ ⎧ 3 x + y + 2 z (1 + a) x + 2 y + z a x - y + z = 1 - a = a = 1 - a$ donde $a$ es un parámetro real. Se pide:

2.2.1 (1,25 puntos) Discutir el sistema en función del parámetro $a$ .

2.2.2 (1,25 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: 2.2.1) SCD si $a \neq = 1$ y SI si $a = 1$ ; 2.2.2) $x = \frac{a}{2 ( a - 1 )}, y = \frac{4 a ^{2} - 7 a + 2}{6 ( a - 1 )}, z = \frac{- 5 a ^{2} + 5 a - 4}{6 ( a - 1 )}$ para $a \neq = 1$

Ver proceso y resultado

2.2.1 Sean $M$ la matriz de coeficientes y $M^{*}$ la ampliada: $M = 3 1 + a a 12 - 1 211, M^{*} = 3 1 + a a 12 - 1 211 1 - a a 1 - a .$

Determinante de $M$ (regla de Sarrus): $∣ M ∣ = 3 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a + 2 (1 + a) (- 1) - [2 \cdot 2 \cdot a + 3 \cdot 1 \cdot (- 1) + 1 \cdot (1 + a) \cdot 1]$ $= 6 + a - 2 - 2 a - [4 a - 3 + 1 + a] = 4 - a - 5 a + 2 = 6 - 6 a = - 6 (a - 1) .$
$∣ M ∣ = 0 ⟺ a = 1$ .
Si $a \neq = 1$ : $∣ M ∣ \neq = 0$ , luego $rang (M) = rang (M^{*}) = 3 =$ nº de incógnitas: sistema compatible determinado (SCD).
Si $a = 1$ : sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada (pasamos primero la fila que empieza por 1): $321 12 - 1 211010 F_{1} \leftrightarrow F_{3} 123 - 1 21 112010 F_{2} - 2 F_{1} F_{3} - 3 F_{1} 100 - 1 44 1 - 1 - 1 010 F_{3} - F_{2} 100 - 1 40 1 - 1 0 01 - 1 .$ La parte de coeficientes tiene 2 filas no nulas: $rang (M) = 2$ . La matriz completa tiene 3: $rang (M^{*}) = 3 \neq = rang (M)$ . Sistema incompatible (SI) (la última fila dice $0 = - 1$ ).

Resultado: SCD si $a \neq = 1$ ; SI si $a = 1$ .

2.2.2 El sistema es compatible solo si $a \neq = 1$ (y entonces tiene solución única). Aplicamos la regla de Cramer con $∣ M ∣ = - 6 (a - 1) = 6 - 6 a$ .

Sustituyendo la 1.ª columna por los términos independientes: $∣ M_{x} ∣ = 1 - a a 1 - a 12 - 1 211 = - 3 a .$ (Por Sarrus: $[2 (1 - a) + (1 - a) - 2 a] - [4 (1 - a) - (1 - a) + a] = (3 - 5 a) - (3 - 2 a) = - 3 a$ .)
Con la 2.ª columna: $∣ M_{y} ∣ = 3 1 + a a 1 - a a 1 - a 211 = - 4 a^{2} + 7 a - 2.$
Con la 3.ª columna: $∣ M_{z} ∣ = 3 1 + a a 12 - 1 1 - a a 1 - a = 5 a^{2} - 5 a + 4.$
Por la regla de Cramer: $x = \frac{- 3 a}{6 - 6 a} = \frac{a}{2 ( a - 1 )}, y = \frac{- 4 a ^{2} + 7 a - 2}{6 - 6 a} = \frac{4 a ^{2} - 7 a + 2}{6 ( a - 1 )}, z = \frac{5 a ^{2} - 5 a + 4}{6 - 6 a} = \frac{- 5 a ^{2} + 5 a - 4}{6 ( a - 1 )} .$
Comprobación con $a = 0$ : la solución es $(0, - \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ y en el sistema original $3 \cdot 0 - \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = 1$ , $0 - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0$ , $0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ , que coinciden con $1 - a = 1$ , $a = 0$ , $1 - a = 1$ .

Resultado: si $a \neq = 1$ , $x = \frac{a}{2 ( a - 1 )}, y = \frac{4 a ^{2} - 7 a + 2}{6 ( a - 1 )}, z = \frac{- 5 a ^{2} + 5 a - 4}{6 ( a - 1 )}$ ; si $a = 1$ no hay solución.

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Julio 2023 · Problema 1 Difícil10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión de un sistema 3x3 con parámetro a y soluciones del caso indeterminado

Problema 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales

$211 a + 1 a 1 12 a + 2 x y z = - 1 12,$

donde $a$ es un parámetro real:

a) (6 puntos) Discutir el sistema en función del parámetro $a$ .

b) (4 puntos) Obtener las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) SCD si $a \neq = 1, - 3$ ; SCI si $a = 1$ ; SI si $a = - 3$ ; b) para $a = 1$ : $x = λ, y = - 1 - λ, z = 1$

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a) Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^{*}$ la ampliada. Estudiamos primero cuándo $∣ A ∣ = 0$ .

Desarrollamos por la primera fila:

$∣ A ∣ = 2 (a (a + 2) - 2) - (a + 1) ((a + 2) - 2) + 1 \cdot (1 - a) = 2 a^{2} + 4 a - 4 - a^{2} - a + 1 - a = a^{2} + 2 a - 3.$

$a^{2} + 2 a - 3 = 0 \Rightarrow a = \frac{- 2 \pm 4}{2}$ , es decir, $a = 1$ o $a = - 3$ . Así, $∣ A ∣ = (a - 1) (a + 3)$ .
Si $a \neq = 1$ y $a \neq = - 3$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , $rg A = rg A^{*} = 3$ = número de incógnitas. Sistema compatible determinado (SCD).
Si $a = 1$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada. Pasamos primero la fila que empieza por $1$ :

$A^{*} = 211211123 - 1 12 F_{1} \leftrightarrow F_{2} 121121213 1 - 1 2 F_{2} - 2 F_{1} F_{3} - F_{1} 100100 2 - 3 1 1 - 3 1 3 F_{3} + F_{2} 100100 2 - 3 0 1 - 3 0 .$

Dos filas no nulas, tanto en $A$ como en $A^{*}$ : $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ incógnitas. Sistema compatible indeterminado (SCI).

Si $a = - 3$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada:

$A^{*} = 211 - 2 - 3 1 12 - 1 - 1 12 F_{1} \leftrightarrow F_{2} 121 - 3 - 2 1 21 - 1 1 - 1 2 F_{2} - 2 F_{1} F_{3} - F_{1} 100 - 3 44 2 - 3 - 3 1 - 3 1 F_{3} - F_{2} 100 - 3 40 2 - 3 0 1 - 3 4 .$

En la parte de coeficientes quedan dos filas no nulas, $rg A = 2$ ; en toda la matriz son tres, $rg A^{*} = 3 \neq = rg A$ . Sistema incompatible (SI).

Resultado: SCD si $a \neq = 1$ y $a \neq = - 3$ ; SCI si $a = 1$ ; SI si $a = - 3$ .

b) El sistema es compatible indeterminado para $a = 1$ :

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 2 y + z x + y + 2 z x + y + 3 z = - 1 = 1 = 2$

La matriz escalonada de a) es el sistema equivalente: $x + y + 2 z = 1$ y $- 3 z = - 3$ (la fila de ceros desaparece).
De la segunda, $z = 1$ .
Sustituyendo en la primera: $x + y + 2 = 1 \Rightarrow x + y = - 1$ .
Tomamos $y = λ$ como parámetro: $x = - 1 - λ$ . Comprobación en la primera ecuación original: $2 (x + y) + z = - 2 + 1 = - 1$ .

Resultado: $(x, y, z) = (- 1 - λ, λ, 1)$ , $λ \in R$ (equivalentemente, $x = μ$ , $y = - 1 - μ$ , $z = 1$ ).

Resultado: a) SCD si $a \neq = 1, - 3$ ; SCI si $a = 1$ ; SI si $a = - 3$ ; b) para $a = 1$ : $x = λ, y = - 1 - λ, z = 1$

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Determinantes con parámetros · Ver el examen completo (Julio 2023)

Julio 2022 · Problema 1 Difícil10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión de un sistema 3x3 con parámetro a y todas sus soluciones

Problema 1. Dado el sistema de ecuaciones

$⎩ ⎨ ⎧ a x + y x + z x + a y + (a - 1) z = 1 = 1 = a$

a) (5 puntos) Discutir el sistema en función del parámetro real $a$ .

b) (5 puntos) Encontrar todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) SCD si $a \neq = - 2, 1$ ; SI si $a = - 2$ ; SCI si $a = 1$ ; b) para $a \neq = - 2, 1$ : $(\frac{1}{a + 2}, \frac{2}{a + 2}, \frac{a + 1}{a + 2})$ ; para $a = 1$ : $(1 - λ, λ, λ)$

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a) Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^{*}$ la ampliada:

$A = a 11 10 a 01 a - 1, A^{*} = a 11 10 a 01 a - 1 11 a .$

Desarrollamos $∣ A ∣$ por la primera fila:

$∣ A ∣ = a (0 \cdot (a - 1) - a) - 1 ((a - 1) - 1) + 0 = - a^{2} - a + 2 = - (a + 2) (a - 1) .$

$∣ A ∣ = 0 ⟺ a = - 2$ o $a = 1$ .
Si $a \neq = - 2$ y $a \neq = 1$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = rg A^{*} = 3$ = número de incógnitas. Sistema compatible determinado (SCD).
Si $a = 1$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada:

$A^{*} = 111101010111 F_{2} - F_{1} F_{3} - F_{1} 100 1 - 1 0 010100 .$

Dos filas no nulas: $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ incógnitas. Sistema compatible indeterminado (SCI).

Si $a = - 2$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada. Pasamos primero la fila que empieza por $1$ , para que el pivote sea un número sencillo:

$A^{*} = - 2 11 10 - 2 01 - 3 11 - 2 F_{1} \leftrightarrow F_{2} 1 - 2 1 01 - 2 10 - 3 11 - 2 F_{2} + 2 F_{1} F_{3} - F_{1} 100 01 - 2 12 - 4 13 - 3 F_{3} + 2 F_{2} 100010120133 .$

En la parte de coeficientes quedan dos filas no nulas, $rg A = 2$ ; en toda la matriz son tres, $rg A^{*} = 3 \neq = rg A$ . Sistema incompatible (SI).

Resultado: SCD si $a \neq = - 2$ y $a \neq = 1$ ; SI si $a = - 2$ ; SCI si $a = 1$ .

b) El sistema es compatible si $a \neq = - 2$ .

Caso $a \neq = - 2$ y $a \neq = 1$ (SCD). Aplicamos la regla de Cramer con $∣ A ∣ = - (a + 2) (a - 1)$ :

$11 a 10 a 01 a - 1 = 1 (0 - a) - 1 ((a - 1) - a) = - a + 1 = 1 - a$ , luego $x = \frac{1 - a}{- ( a + 2 ) ( a - 1 )} = \frac{1}{a + 2}$ .
$a 11 11 a 01 a - 1 = a ((a - 1) - a) - 1 ((a - 1) - 1) = - a - a + 2 = 2 (1 - a)$ , luego $y = \frac{2 ( 1 - a )}{- ( a + 2 ) ( a - 1 )} = \frac{2}{a + 2}$ .
$a 11 10 a 11 a = a (0 - a) - 1 (a - 1) + 1 (a - 0) = 1 - a^{2} = (1 - a) (1 + a)$ , luego $z = \frac{( 1 - a ) ( 1 + a )}{- ( a + 2 ) ( a - 1 )} = \frac{a + 1}{a + 2}$ .

Caso $a = 1$ (SCI). La matriz escalonada de a) es el sistema equivalente: $x + y = 1$ y $- y + z = 0$ . Tomamos $y = λ$ como parámetro: $z = λ$ y $x = 1 - λ$ . Comprobación en la segunda ecuación original: $x + z = 1 - λ + λ = 1$ .

Resultado: si $a \neq = - 2$ y $a \neq = 1$ : $(x, y, z) = (\frac{1}{a + 2}, \frac{2}{a + 2}, \frac{a + 1}{a + 2})$ ; si $a = 1$ : $(x, y, z) = (1 - λ, λ, λ)$ , $λ \in R$ .

Repasa la teoría: Discusión de sistemas con parámetros · Teorema de Rouché-Frobenius · Determinantes con parámetros · Ver el examen completo (Julio 2022)

Junio 2021 · Problema 1 Difícil10 puntosSistemas de ecuaciones / Determinantes y rango

Discusión de un sistema 3x3 con parámetro a y todas sus soluciones

Problema 1. Dado el sistema de ecuaciones:

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + (a + 1) z x + (a - 1) y + 2 z 2 x + a y + z = 2 = 1 = - 1$

a) (5 puntos) Estudiarlo en función de los valores del parámetro real $a$ .

b) (5 puntos) Encontrar todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

Ojo: para resolver este problema también necesitas conocimientos de Determinantes. Si aún no has estudiado ese tema, déjalo para después.

Ver resultado

Resultado: a) SCD si $a \neq = \pm 2$ ; SCI si $a = 2$ ; SI si $a = - 2$ ; b) para $a \neq = \pm 2$ : $(- \frac{2 a + 3}{a + 2}, \frac{3}{a + 2}, \frac{4}{a + 2})$ ; para $a = 2$ : $(- 1 - λ, λ, 1)$

Ver proceso y resultado

a) Sean $A$ la matriz de coeficientes y $A^{*}$ la ampliada:

$A = 112 1 a - 1 a a + 1 21, A^{*} = 112 1 a - 1 a a + 1 21 21 - 1 .$

Calculamos $∣ A ∣$ desarrollando por la primera fila:

$∣ A ∣ = 1 ((a - 1) - 2 a) - 1 (1 - 4) + (a + 1) (a - 2 (a - 1)) = (- a - 1) + 3 + (a + 1) (2 - a) = 4 - a^{2} .$

Así $∣ A ∣ = (2 - a) (2 + a)$ , que se anula para $a = 2$ y $a = - 2$ .

Si $a \neq = 2$ y $a \neq = - 2$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , luego $rg A = rg A^{*} = 3$ = número de incógnitas. Sistema compatible determinado (SCD).
Si $a = 2$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada:

$A^{*} = 112112321 21 - 1 F_{2} - F_{1} F_{3} - 2 F_{1} 100100 3 - 1 - 5 2 - 1 - 5 F_{3} - 5 F_{2} 100100 3 - 1 0 2 - 1 0 .$

Hay dos filas no nulas, tanto en la parte de coeficientes como en toda la matriz: $rg A = rg A^{*} = 2 < 3$ . Sistema compatible indeterminado (SCI).

Si $a = - 2$ : $∣ A ∣ = 0$ . Sustituimos y hacemos Gauss sobre la ampliada:

$A^{*} = 112 1 - 3 - 2 - 1 21 21 - 1 F_{2} - F_{1} F_{3} - 2 F_{1} 100 1 - 4 - 4 - 1 33 2 - 1 - 5 F_{3} - F_{2} 100 1 - 4 0 - 1 30 2 - 1 - 4 .$

La última fila es $(000 ∣ - 4)$ : en la parte de coeficientes quedan dos filas no nulas, $rg A = 2$ , pero en toda la matriz son tres, $rg A^{*} = 3 \neq = rg A$ . Sistema incompatible (SI).

Resultado: SCD si $a \neq = \pm 2$ ; SCI si $a = 2$ ; SI si $a = - 2$ .

b) El sistema es compatible si $a \neq = - 2$ .

Caso $a \neq = \pm 2$ (SCD). Aplicamos la regla de Cramer con $∣ A ∣ = (2 - a) (2 + a)$ :

$21 - 1 1 a - 1 a a + 1 21 = 2 (- a - 1) - 1 (1 + 2) + (a + 1) (2 a - 1) = 2 a^{2} - a - 6 = (2 a + 3) (a - 2)$ , luego $x = \frac{( 2 a + 3 ) ( a - 2 )}{( 2 - a ) ( 2 + a )} = - \frac{2 a + 3}{a + 2}$ .
$112 21 - 1 a + 1 21 = 1 (1 + 2) - 2 (1 - 4) + (a + 1) (- 1 - 2) = 6 - 3 a = 3 (2 - a)$ , luego $y = \frac{3 ( 2 - a )}{( 2 - a ) ( 2 + a )} = \frac{3}{a + 2}$ .
$112 1 a - 1 a 21 - 1 = 1 (- (a - 1) - a) - 1 (- 1 - 2) + 2 (a - 2 a + 2) = 8 - 4 a = 4 (2 - a)$ , luego $z = \frac{4}{a + 2}$ .
Comprobación con $a = 0$ : $(x, y, z) = (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 2)$ cumple $x + y + z = 2$ , $x - y + 2 z = 1$ y $2 x + z = - 1$ .

Caso $a = 2$ (SCI). El sistema es $x + y + 3 z = 2$ , $x + y + 2 z = 1$ , $2 x + 2 y + z = - 1$ .

Restando las dos primeras ecuaciones: $z = 1$ .
Sustituyendo en la primera: $x + y = - 1$ . La tercera, $2 (x + y) + 1 = - 1$ , se cumple y no aporta nada nuevo.
Tomamos $y = λ$ : $x = - 1 - λ$ .

Resultado: si $a \neq = \pm 2$ : $(x, y, z) = (- \frac{2 a + 3}{a + 2}, \frac{3}{a + 2}, \frac{4}{a + 2})$ ; si $a = 2$ : $(x, y, z) = (- 1 - λ, λ, 1)$ , $λ \in R$ .

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