IB Análisis y Enfoques NS · Funciones · Apartado 6 de 15

Transformaciones de la gráfica de una función

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Con unas pocas operaciones sobre la fórmula (sumar, multiplicar o cambiar el signo) la gráfica de una función se desplaza, se estira o se refleja. Si conoces la gráfica de $f$ , puedes dibujar la de $g (x) = a f (b (x - c)) + d$ sin calcular nada nuevo. En el examen del IB se pide describir la secuencia de transformaciones o la imagen de un punto.

Dos familias de transformaciones

Las transformaciones que cambian la salida (se hacen fuera de $f$ , sobre $y$ ) actúan de forma natural; las que cambian la entrada (dentro del paréntesis, sobre $x$ ) actúan al revés de lo que sugiere el signo.

Traslaciones

La razón del «al revés»: $f (x - c)$ toma en $x$ el valor que $f$ tiene en $x - c$ . Para que ocurra lo que antes ocurría en $x = 0$ , ahora hace falta $x = c$ . Por eso $f (x - 3)$ mueve la gráfica a la derecha, y $f (x + 3)$ , a la izquierda.

Las dos juntas: $y = f (x - c) + b$ traslada según el vector $(c b)$ .

Parábolas y=x^2 y y=(x-3)^2+1: traslación de 3 unidades a la derecha y 1 hacia arriba

Estiramientos

Con $a > 1$ la gráfica se estira hacia arriba y abajo; con $0 < a < 1$ se comprime. Con $b > 1$ , $f (b x)$ ocurre «más deprisa» y la gráfica se comprime hacia el eje $y$ (por ejemplo, $f (2 x)$ la reduce a la mitad en horizontal).

Reflexiones

Gráficas de y=raíz de x, su reflexión en el eje x (y=-raíz de x) y su reflexión en el eje y (y=raíz de -x)

Secuencias de transformaciones

Cuando una misma función tiene varias transformaciones, el orden importa. Para $g (x) = a f (b (x - c)) + d$ se aplican a la gráfica de $f$ , en este orden: primero las de la entrada ( $x$ ): el estiramiento horizontal por $\frac{1}{b}$ (y la reflexión en el eje $y$ si $b < 0$ ) y luego la traslación horizontal $c$ ; después las de la salida ( $y$ ): el estiramiento vertical por $a$ (y la reflexión en el eje $x$ si $a < 0$ ) y luego la traslación vertical $d$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Traslación y reflexión de una raíz

Sea $f (x) = x$ . Se definen $g (x) = f (x - 2) + 1$ y $h (x) = - f (x)$ .

a) Escribe la fórmula de $g (x)$ .

b) ¿Adónde pasa el punto $(0, 0)$ de la gráfica de $f$ al obtener la de $g$ ?

c) Escribe la fórmula de $h (x)$ .

Solución

a) $g (x) = f (x - 2) + 1 = x - 2 + 1$ . Es una traslación de $2$ unidades a la derecha y $1$ hacia arriba.

b) El vector de la traslación es $(21)$ , así que $(0, 0)$ pasa a $(2, 1)$ . Comprobación: $g (2) = 0 + 1 = 1$ .

c) $h (x) = - x$ , la reflexión de la gráfica de $f$ en el eje $x$ .

Ejemplo 2 Medio

Imagen de un punto por cuatro transformaciones

El punto $(6, - 3)$ está en la gráfica de $y = f (x)$ . Halla las coordenadas del punto correspondiente en la gráfica de:

a) $y = f (x + 2) - 1$ .

b) $y = 3 f (x)$ .

c) $y = f (2 x)$ .

d) $y = - f (\frac{x}{2})$ .

Solución

a) $f (x + 2) - 1$ es una traslación de vector $(- 2 - 1)$ : el punto pasa a $(4, - 4)$ .

b) $3 f (x)$ es un estiramiento vertical de factor $3$ : $(6, - 9)$ .

c) $f (2 x)$ es un estiramiento horizontal de factor $\frac{1}{2}$ : la abscisa se divide entre $2$ y el punto pasa a $(3, - 3)$ . Comprobación: la nueva función en $x = 3$ vale $f (6) = - 3$ .

d) $f (\frac{x}{2})$ es un estiramiento horizontal de factor $2$ (la abscisa se multiplica por $2$ ) y el signo menos refleja en el eje $x$ . El punto $(6, - 3)$ pasa a $(12, - 3)$ y después a $(12, 3)$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una secuencia completa

La función $f (x) = x^{2} - 4$ tiene vértice $(0, - 4)$ y ceros $x = - 2$ y $x = 2$ . Sea $g (x) = - 2 f (3 x - 6) + 1$ .

a) Halla el vértice de la gráfica de $g$ .

b) Halla las imágenes de los puntos $(2, 0)$ y $(- 2, 0)$ de la gráfica de $f$ por esta transformación.

c) Desarrolla $g (x)$ y escríbela como $a x^{2} + b x + c$ .

d) Describe la secuencia de transformaciones que lleva la gráfica de $f$ a la de $g$ .

Solución

Se escribe $g (x) = - 2 f (3 (x - 2)) + 1$ .

a) El vértice $(0, - 4)$ de $f$ se transforma así. Para la $x$ : $3 (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2$ . Para la $y$ : $- 2 \cdot (- 4) + 1 = 9$ . El vértice de $g$ es $(2, 9)$ (un máximo, porque hay reflexión).

b) Para $(2, 0)$ : $3 (x - 2) = 2 \Rightarrow x = \frac{8}{3}$ y $y = - 2 \cdot 0 + 1 = 1$ , es decir, $(\frac{8}{3}, 1)$ . Para $(- 2, 0)$ : $3 (x - 2) = - 2 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$ e $y = 1$ , es decir, $(\frac{4}{3}, 1)$ .

c) $g (x) = - 2 ((3 x - 6)^{2} - 4) + 1 = - 2 (9 x^{2} - 36 x + 36 - 4) + 1 = - 18 x^{2} + 72 x - 63$ .

d) Orden: estiramiento horizontal de factor $\frac{1}{3}$ ; traslación de $2$ unidades a la derecha; reflexión en el eje $x$ junto con estiramiento vertical de factor $2$ ; y traslación de $1$ unidad hacia arriba.

En el examen: al describir transformaciones, di el tipo, el factor o el vector y el orden. Escribe $3 x - 6$ como $3 (x - 2)$ antes de interpretar. Cada transformación mal nombrada o mal ordenada pierde su punto de la respuesta.

Errores típicos

Resumen

$f (x) + b$ : sube $b$ . $f (x - c)$ : se desplaza $c$ a la derecha.
$a f (x)$ : estiramiento vertical de factor $a$ (con $a < 0$ , además refleja en el eje $x$ ).
$f (b x)$ : estiramiento horizontal de factor $\frac{1}{b}$ (con $b < 0$ , además refleja en el eje $y$ ).
$- f (x)$ : reflexión en el eje $x$ . $f (- x)$ : reflexión en el eje $y$ .
En $a f (b (x - c)) + d$ se aplican primero las de $x$ (estirar, trasladar) y luego las de $y$ .
Para la imagen de un punto: resuelve $b (x - c) = x_{0}$ para la abscisa y calcula $a y_{0} + d$ para la ordenada.

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