IB Análisis y Enfoques NS · Funciones · Apartado 7 de 15

Operaciones con funciones y composición

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Las funciones se pueden combinar como los números: sumarlas, multiplicarlas o dividirlas, y también encadenarlas, de modo que la salida de una sea la entrada de otra. Esta última operación se llama composición y es la base de la función inversa y de la regla de la cadena del tema 10.

Suma, resta, producto y cociente

Dadas dos funciones $f$ y $g$ , se definen otras nuevas operando sus valores en cada $x$ :

El dominio de la suma, la resta y el producto es el conjunto de los $x$ que están a la vez en el dominio de $f$ y en el de $g$ . En el cociente, además, hay que quitar los $x$ en los que $g (x) = 0$ .

Composición de funciones

Se lee « $f$ compuesta con $g$ » y se aplica de dentro hacia fuera: en $f (g (x))$ la función interior, $g$ , actúa primero. Para escribir la fórmula, se sustituye en $f$ cada $x$ por la expresión completa de $g (x)$ .

La composición no es conmutativa: en general, $f \circ g \neq = g \circ f$ . Con $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x^{2}$ resulta $(f \circ g) (x) = x^{2} + 1$ , pero $(g \circ f) (x) = (x + 1)^{2}$ .

Dominio de la composición

Es importante hallar el dominio antes de simplificar la fórmula. En el ejemplo de abajo, una de las composiciones se simplifica a una expresión que parece admitir más valores de los que admite de verdad.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Operar y componer dos funciones

Sean $f (x) = 2 x + 1$ y $g (x) = x^{2} - 3$ . Halla:

a) $(f + g) (x)$ .

b) $(f g) (x)$ desarrollado.

c) $(f \circ g) (x)$ .

d) $(g \circ f) (x)$ desarrollado.

Solución

a) $(f + g) (x) = 2 x + 1 + x^{2} - 3 = x^{2} + 2 x - 2$ .

b) $(f g) (x) = (2 x + 1) (x^{2} - 3) = 2 x^{3} - 6 x + x^{2} - 3 = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x - 3$ .

c) Se sustituye $g (x)$ en $f$ : $(f \circ g) (x) = 2 (x^{2} - 3) + 1 = 2 x^{2} - 5$ .

d) Se sustituye $f (x)$ en $g$ : $(g \circ f) (x) = (2 x + 1)^{2} - 3 = 4 x^{2} + 4 x - 2$ .

Se observa que $f \circ g \neq = g \circ f$ .

Ejemplo 2 Medio

Dominios de una composición y de un cociente

Sean $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 9$ .

a) Halla la fórmula de $(f \circ g) (x)$ .

b) Halla el dominio de $f \circ g$ .

c) Halla la fórmula de $(g \circ f) (x)$ en su forma más simple.

d) Halla el dominio de $g \circ f$ .

e) Halla el dominio de $\frac{f}{g}$ .

Solución

a) $(f \circ g) (x) = x^{2} - 9$ .

b) $g$ está definida para todo $x$ . Hace falta que $g (x)$ esté en el dominio de $f$ , es decir, $x^{2} - 9 \geq 0$ : $x \leq - 3$ o $x \geq 3$ . El dominio es $] - \infty, - 3] \cup [3, + \infty [$ .

c) $(g \circ f) (x) = (x)^{2} - 9 = x - 9$ .

d) Aunque $x - 9$ está definida para todo $x$ , el dominio de la compuesta exige que $x$ esté en el dominio de $f$ , que es $x \geq 0$ . Después $f (x) = x \geq 0$ está en el dominio de $g$ (todos los reales). Dominio: $[0, + \infty [$ .

e) Hay que tener $x \geq 0$ (dominio de $f$ ) y $g (x) \neq = 0$ , es decir, $x \neq = 3$ (y $x \neq = - 3$ , que ya queda fuera). Dominio: $[0, 3 [\cup] 3, + \infty [$ .

Ejemplo 3 Difícil

Hallar una función conocida la compuesta

Sea $f (x) = 3 x - 2$ . La función $g$ cumple $(f \circ g) (x) = 6 x^{2} + 1$ .

a) Halla $g (x)$ .

b) Halla $(g \circ f) (x)$ desarrollado.

c) Resuelve la ecuación $(g \circ f) (x) = 3$ .

d) Halla $(f \circ f) (x)$ .

Solución

a) Por definición, $f (g (x)) = 3 g (x) - 2$ . Se iguala a $6 x^{2} + 1$ : $3 g (x) - 2 = 6 x^{2} + 1 ⟹ g (x) = \frac{6 x ^{2} + 3}{3} = 2 x^{2} + 1$ Comprobación: $f (g (x)) = 3 (2 x^{2} + 1) - 2 = 6 x^{2} + 1$ .

b) $(g \circ f) (x) = g (3 x - 2) = 2 (3 x - 2)^{2} + 1 = 2 (9 x^{2} - 12 x + 4) + 1 = 18 x^{2} - 24 x + 9$ .

c) $18 x^{2} - 24 x + 9 = 3 \Rightarrow 18 x^{2} - 24 x + 6 = 0 \Rightarrow 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0 \Rightarrow (3 x - 1) (x - 1) = 0$ . Las soluciones son $x = \frac{1}{3}$ y $x = 1$ .

d) $(f \circ f) (x) = f (3 x - 2) = 3 (3 x - 2) - 2 = 9 x - 8$ .

En el examen: deja claro el orden. Escribe « $f (g (x)) = \dots$ » y sustituye con paréntesis. Cuando hay que hallar una función desconocida, comprueba el resultado sustituyendo: es un punto fácil de asegurar.

Errores típicos

Resumen

$(f \pm g) (x) = f (x) \pm g (x)$ , $(f g) (x) = f (x) g (x)$ , $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$ con $g (x) \neq = 0$ .
$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ : actúa primero la función de dentro. En general, $f \circ g \neq = g \circ f$ .
Dominio de $f \circ g$ : los $x$ del dominio de $g$ tales que $g (x)$ está en el dominio de $f$ .
El dominio se calcula antes de simplificar la fórmula.
Para hallar $g$ a partir de $f \circ g$ , se iguala $f (g (x))$ con lo dado y se despeja $g (x)$ .

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