IB Análisis y Enfoques NS · Funciones · Apartado 4 de 15

Intersección de gráficas

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Los puntos donde se cortan las gráficas de dos funciones son los valores de $x$ en los que ambas dan el mismo resultado. Se obtienen resolviendo la ecuación $f (x) = g (x)$ , a mano o con la calculadora, y con el discriminante se averigua para qué valores de un parámetro hay uno, dos o ningún punto de corte.

Puntos de corte de dos gráficas

Un punto $(a, b)$ está en la gráfica de $f$ si $f (a) = b$ y en la de $g$ si $g (a) = b$ . Está en las dos si $f (a) = g (a)$ . Por eso las abscisas de los puntos de corte son las soluciones de una única ecuación.

Hay tantos puntos de corte como soluciones válidas. Si la ecuación no tiene soluciones, las gráficas no se cortan.

Recta y parábola: el discriminante

Cuando una gráfica es una recta y la otra una parábola, $f (x) = g (x)$ es una ecuación de segundo grado y su discriminante dice cuántos puntos de corte hay.

Si la ecuación contiene un parámetro, por ejemplo $k$ , el discriminante se convierte en una expresión en $k$ , y la condición sobre $Δ$ da una ecuación o una inecuación para hallar los valores de $k$ que cumplen lo que pide el enunciado. Esta idea sirve igual con cualquier par de curvas que den una ecuación de segundo grado.

Parábola y=x^2-4x+6 y tres rectas y=2x+k: secante (k=1), tangente en (3,3) (k=-3) y sin cortes (k=-6)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Parábola y recta

Sean $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ y $g (x) = x + 1$ . Halla los puntos de intersección de sus gráficas.

Solución

Se plantea $f (x) = g (x)$ : $x^{2} - 2 x - 3 = x + 1 ⟹ x^{2} - 3 x - 4 = 0 ⟹ (x + 1) (x - 4) = 0$ Las soluciones son $x = - 1$ y $x = 4$ . Se calcula la ordenada con $g$ : $g (- 1) = 0$ y $g (4) = 5$ . Comprobación con $f$ : $f (- 1) = 1 + 2 - 3 = 0$ y $f (4) = 16 - 8 - 3 = 5$ .

Los puntos de intersección son $(- 1, 0)$ y $(4, 5)$ .

Ejemplo 2 Medio

Soluciones que hay que descartar

a) Halla las abscisas de los puntos de corte de $f (x) = x + 6$ y $g (x) = x$ .

b) Halla las abscisas de los puntos de corte de $h (x) = \frac{2}{x - 1}$ y $g (x) = x$ .

Solución

a) Se plantea $x + 6 = x$ . Al elevar al cuadrado queda $x + 6 = x^{2}$ , es decir, $x^{2} - x - 6 = 0$ , con soluciones $x = 3$ y $x = - 2$ . Hay que comprobar, porque elevar al cuadrado puede crear soluciones falsas:

$x = 3$ : $9 = 3$ , vale.
$x = - 2$ : $4 = 2 \neq = - 2$ , no vale (una raíz no puede ser negativa).

Solo hay un punto de corte, con $x = 3$ (el punto $(3, 3)$ ).

b) El dominio de $h$ es $x \neq = 1$ . Se multiplica por $x - 1$ : $2 = x (x - 1)$ , es decir, $x^{2} - x - 2 = 0$ , con soluciones $x = - 1$ y $x = 2$ . Ninguna es $1$ , así que las dos valen. Comprobación: $h (- 1) = \frac{2}{- 2} = - 1$ y $h (2) = 2$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una recta con un parámetro

Sea $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$ y sea $r_{k}$ la recta $y = 2 x + k$ , con $k \in R$ .

a) Demuestra que, al igualar $f (x)$ con la recta, queda $x^{2} - 6 x + (6 - k) = 0$ y halla su discriminante en función de $k$ .

b) Halla el valor de $k$ para el que la recta es tangente a la gráfica de $f$ , y el punto de tangencia.

c) Halla los valores de $k$ para los que la recta corta a la gráfica en dos puntos.

d) Para $k = 1$ , halla los puntos de intersección.

Solución

a) $x^{2} - 4 x + 6 = 2 x + k \Rightarrow x^{2} - 6 x + (6 - k) = 0$ . Su discriminante es $Δ = (- 6)^{2} - 4 (6 - k) = 36 - 24 + 4 k = 12 + 4 k$

b) Es tangente si hay un solo punto de contacto, es decir, $Δ = 0$ : $12 + 4 k = 0 \Rightarrow k = - 3$ . La ecuación es $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} = 0$ , con $x = 3$ . Entonces $f (3) = 9 - 12 + 6 = 3$ y el punto de tangencia es $(3, 3)$ .

c) Hay dos puntos si $Δ > 0$ : $12 + 4 k > 0 \Rightarrow k > - 3$ , es decir, $k \in] - 3, + \infty [$ .

d) Con $k = 1$ : $x^{2} - 6 x + 5 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 5) = 0$ . Las ordenadas son $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ e $y = 2 \cdot 5 + 1 = 11$ . Los puntos son $(1, 3)$ y $(5, 11)$ .

En el examen: la condición «tangente» se traduce en $Δ = 0$ y debes escribirla. Cuando el parámetro está en el enunciado, no resuelvas la ecuación de segundo grado completa para saber cuántos cortes hay: el signo del discriminante basta, y ahorra tiempo en la Prueba 1.

Errores típicos

Resumen

Las abscisas de los puntos de corte son las soluciones de $f (x) = g (x)$ ; después se calcula la $y$ de cada una.
Comprueba las soluciones en la ecuación original y descarta las que estén fuera del dominio.
Recta y parábola: $Δ > 0$ dos puntos, $Δ = 0$ tangente, $Δ < 0$ ninguno.
Con un parámetro, el discriminante dice qué valores dan el número de cortes pedido.
En la Prueba 2, la CPG da los puntos de corte cuando el álgebra no basta.

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