IB Análisis y Enfoques NS · Funciones · Apartado 15 de 15

Aplicaciones de las funciones circulares

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Muchos fenómenos se repiten con regularidad: las mareas, la altura de una cabina de noria, la temperatura a lo largo del año. Se modelan con $y = a sin (b (x - c)) + d$ o con el coseno, y cada letra tiene un significado visual en la gráfica. En el examen del IB se pide hallar esas letras a partir de una gráfica o de dos datos, y usar el modelo para responder a preguntas de contexto.

Qué hace cada parámetro

Parte de $y = sin x$ y aplica las transformaciones que ya conoces. Cada letra de $y = a sin (b (x - c)) + d$ es una de ellas, y lo mismo vale para $y = a cos (b (x - c)) + d$ .

Consecuencias que se usan constantemente:

el máximo vale $d + ∣ a ∣$ y el mínimo $d - ∣ a ∣$ ;
trasladar la gráfica, en horizontal o en vertical, deja igual el periodo y la amplitud;
un estiramiento vertical no cambia el periodo, y uno horizontal no cambia la amplitud.

Gráfica de y = 2 sin(2(x - pi/4)) + 1: línea media y = 1, amplitud 2 entre la línea media y un máximo, y periodo pi medido entre dos máximos consecutivos

En el dibujo, $a = 2$ , $b = 2$ , $c = \frac{π}{4}$ , $d = 1$ : la línea media es $y = 1$ , el máximo vale $3$ y el mínimo $- 1$ , y el periodo es $\frac{2 π}{2} = π$ (la distancia entre dos máximos seguidos).

Para describir la gráfica como transformación de $y = sin x$ , el orden natural es: estiramiento vertical de factor $∣ a ∣$ (y reflexión si $a < 0$ ), estiramiento horizontal de factor $\frac{1}{∣ b ∣}$ , traslación horizontal de $c$ unidades y traslación vertical de $d$ unidades.

Hallar los parámetros a partir de una gráfica

Hay varias fórmulas válidas para la misma curva (por ejemplo $c$ y $c + P$ dan la misma), y seno y coseno se convierten una en otra con un desplazamiento. Si el enunciado fija la forma, respétala.

Un ejemplo rápido: si un máximo está en $(2, 8)$ y el mínimo siguiente en $(5, 2)$ , entonces $a = \frac{8 - 2}{2} = 3$ y $d = \frac{8 + 2}{2} = 5$ ; de un máximo a un mínimo hay medio periodo ( $5 - 2 = 3$ ), luego el periodo es $6$ y $b = \frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}$ ; y como el máximo está en $x = 2$ , con el coseno es $c = 2$ : $f (x) = 3 cos (\frac{π}{3} (x - 2)) + 5$ .

Modelos periódicos

Un problema de contexto suele tener tres partes: identificar qué significan $a$ , $d$ y el periodo (por ejemplo, la altura media del agua, la variación de marea y las horas de un ciclo completo), evaluar el modelo en un instante y resolver una desigualdad, del tipo «¿cuánto tiempo está la altura por encima de un cierto valor?».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Leer los parámetros en la fórmula

Sea $f (x) = 5 sin (4 (x - \frac{π}{6})) - 2$ .

a) Halla su amplitud.

b) Halla su periodo.

c) Halla su valor máximo.

d) Halla su valor mínimo.

Solución

La fórmula tiene la forma $a sin (b (x - c)) + d$ con $a = 5$ , $b = 4$ , $c = \frac{π}{6}$ y $d = - 2$ .

a) La amplitud es $∣ a ∣ = 5$ .

b) El periodo es $\frac{2 π}{∣ b ∣} = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ .

c) El máximo es $d + ∣ a ∣ = - 2 + 5 = 3$ .

d) El mínimo es $d - ∣ a ∣ = - 2 - 5 = - 7$ .

La traslación horizontal $\frac{π}{6}$ no influye en ninguno de los cuatro valores.

Ejemplo 2 Medio

Fórmula a partir de un máximo y un mínimo

Parte de la gráfica de una función $f (x) = a cos (b (x - c)) + d$ , con $a > 0$ , $b > 0$ y $c = 1$ , se muestra en la figura. El punto $A (1, 10)$ es un máximo y el punto $B (4, 2)$ es el mínimo siguiente.

Parte de la gráfica de una función sinusoidal con un máximo en el punto A(1, 10) y el mínimo siguiente en el punto B(4, 2)

a) Halla el valor de $a$ .

b) Halla el valor de $d$ .

c) Halla el valor de $b$ (en función de $π$ ).

d) Calcula $f (0)$ .

Solución

a) La amplitud sale de dividir entre 2 la diferencia entre el máximo y el mínimo: $a = \frac{10 - 2}{2} = 4$ .

b) La línea media está a mitad de camino: $d = \frac{10 + 2}{2} = 6$ .

c) Entre el máximo $A$ y el mínimo $B$ hay medio periodo: $4 - 1 = 3$ , luego el periodo es $P = 6$ . Entonces $b = \frac{2 π}{P} = \frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}$ .

d) La función es $f (x) = 4 cos (\frac{π}{3} (x - 1)) + 6$ . Se comprueba con $A$ : $f (1) = 4 cos 0 + 6 = 10$ . Entonces

$f (0) = 4 cos (- \frac{π}{3}) + 6 = 4 \cdot \frac{1}{2} + 6 = 8$

Ejemplo 3 Difícil

La marea en un puerto

La profundidad del agua, en metros, en la entrada de un puerto, $t$ horas después de la medianoche, se modela con

$D (t) = 7 + 3 cos (\frac{π}{6} (t - 2)), 0 \leq t \leq 24$

a) Halla la profundidad máxima y la mínima. Da el par (máxima, mínima).

b) Calcula la profundidad a las $5$ de la madrugada.

c) Un barco necesita al menos $8$ metros de agua para entrar. ¿A qué hora (en horas desde la medianoche, valor exacto) deja de poder entrar por primera vez?

d) ¿Cuántas horas seguidas, en cada ciclo, hay al menos $8$ metros? Da el valor exacto.

Solución

a) La amplitud es $3$ y la línea media $d = 7$ . El máximo es $7 + 3 = 10$ m y el mínimo $7 - 3 = 4$ m.

b) $D (5) = 7 + 3 cos (\frac{π}{6} \cdot 3) = 7 + 3 cos \frac{π}{2} = 7$ metros.

c) Primero se halla el periodo: $\frac{2 π}{π /6} = 12$ horas. Se resuelve $D (t) = 8$ :

$3 cos (\frac{π}{6} (t - 2)) = 1 ⟹ cos u = \frac{1}{3}, u = \frac{π}{6} (t - 2)$

El valor principal es $u = arccos \frac{1}{3} \approx 1, 231$ rad. Las soluciones de $cos u = \frac{1}{3}$ son $u = \pm arccos \frac{1}{3}$ (más periodos). En $t$ : $t = 2 \pm \frac{6}{π} arccos \frac{1}{3}$ , es decir, $t \approx - 0, 35$ y $t \approx 4, 35$ .

Con $t \geq 0$ , la profundidad en $t = 0$ es $D (0) = 7 + 3 cos (- \frac{π}{3}) = 8, 5 > 8$ , así que al principio sí se puede entrar, y la profundidad baja a $8$ metros en

$t = 2 + \frac{6}{π} arccos \frac{1}{3} \approx 4, 35 h (hacia las 4 : 21)$

d) El agua supera los $8$ metros entre las dos soluciones $t = 2 \pm \frac{6}{π} arccos \frac{1}{3}$ de un mismo ciclo. La duración es la diferencia:

$2 \cdot \frac{6}{π} arccos \frac{1}{3} = \frac{12}{π} arccos \frac{1}{3} \approx 4, 70 h$

es decir, unas $4$ h $42$ min en cada ciclo de $12$ horas.

En el examen: en un problema de este tipo se puntúan por separado el planteamiento de la ecuación, la solución con la calculadora en el modo correcto (aquí, radianes) y la interpretación en el contexto (la hora, no el valor de $u$ ). Un esbozo del periodo con la recta $D = 8$ ayuda a no confundir los tramos.

Errores típicos

Resumen

En $y = a sin (b (x - c)) + d$ : amplitud $∣ a ∣$ , periodo $\frac{2 π}{∣ b ∣}$ (o $\frac{36 0 ^{\circ}}{∣ b ∣}$ ), desplazamiento horizontal $c$ y línea media $y = d$ ; máximo $d + ∣ a ∣$ y mínimo $d - ∣ a ∣$ .
De una gráfica: $a = \frac{M - m}{2}$ , $d = \frac{M + m}{2}$ , periodo entre dos máximos y $b = \frac{2 π}{P}$ ; $c$ es la abscisa de un máximo (coseno).
Un modelo periódico se identifica, se evalúa y se resuelve $f (t) = k$ para hallar cuánto tiempo la función supera un valor.
La CPG dibuja, resuelve por intersección y ajusta una curva sinusoidal a una tabla; vigila el modo radianes/grados.

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