IB Análisis y Enfoques NS · Funciones · Apartado 3 de 15

Función cuadrática

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una función cuadrática $f (x) = a x^{2} + b x + c$ tiene como gráfica una parábola, con un vértice que es su punto más alto o más bajo. Elegir bien entre sus tres formas de escribirla te da, sin esfuerzo, los cortes con los ejes, el vértice y el máximo o mínimo: es la herramienta de las preguntas de optimización del examen del IB.

La parábola y sus tres formas

Una función cuadrática es una función de la forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , con $a \neq = 0$ . Su gráfica es una parábola.

Si $a > 0$ , se abre hacia arriba y el vértice es el mínimo.
Si $a < 0$ , se abre hacia abajo y el vértice es el máximo.
Cuanto mayor es $∣ a ∣$ , más estrecha es la parábola.
El número $c$ es el valor en $x = 0$ : la parábola corta el eje $y$ en $(0, c)$ .

La parábola es simétrica respecto de una recta vertical que pasa por el vértice, el eje de simetría.

Las tres describen la misma función; solo cambia lo que se ve a primera vista. El valor $a$ es el mismo en las tres. La forma canónica sale de completar el cuadrado: $x^{2} - 4 x - 5 = (x - 2)^{2} - 9$ .

Parábola y=x^2-4x-5 con cortes (-1,0), (5,0), (0,-5), vértice (2,-9) y eje de simetría x=2

Cortes con los ejes, eje de simetría y vértice

El corte con el eje $y$ es $(0, c)$ . Los ceros (cortes con el eje $x$ ) son las soluciones de $a x^{2} + b x + c = 0$ : $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

El eje de simetría pasa por el punto medio de los dos ceros (si existen), y siempre está en $x = - \frac{b}{2 a}$

El vértice tiene como abscisa ese valor, y su ordenada se obtiene sustituyendo en $f$ .

Tres parábolas x^2-2, x^2 y x^2+2: con dos cortes con el eje x, uno y ninguno

Hallar la ecuación a partir de datos

Según los datos que te den, conviene una forma u otra:

Si te dan los dos ceros $p$ y $q$ y otro punto, parte de $f (x) = a (x - p) (x - q)$ y calcula $a$ con el punto.
Si te dan el vértice $(h, k)$ y otro punto, parte de $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ y calcula $a$ .
Si te dan tres puntos cualesquiera, sustituye cada uno en $a x^{2} + b x + c$ y resuelve el sistema de tres ecuaciones.

Problemas de optimización

Cuando una cantidad depende de una variable mediante una función cuadrática, el máximo o el mínimo está en el vértice. Se sigue este orden: escribir la función en una variable, decidir su dominio (en un problema de contexto suele ser un intervalo), hallar el vértice y comprobar que cae dentro del dominio.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Estudio completo de una parábola

Sea $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$ .

a) Halla el corte con el eje $y$ .

b) Halla los ceros de $f$ .

c) Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría.

Solución

a) $f (0) = - 5$ , el corte es $(0, - 5)$ .

b) $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ se factoriza como $(x + 1) (x - 5) = 0$ , luego $x = - 1$ y $x = 5$ .

c) El eje de simetría es $x = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ (también es el punto medio de $- 1$ y $5$ ). Se sustituye: $f (2) = 4 - 8 - 5 = - 9$ . El vértice es $(2, - 9)$ , un mínimo porque $a = 1 > 0$ .

Ejemplo 2 Medio

Ecuación de una parábola a partir de sus ceros

Una parábola corta el eje $x$ en $x = - 2$ y en $x = 4$ , y pasa por el punto $(0, - 16)$ .

a) Halla su ecuación en la forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

b) Halla su vértice.

c) Halla el recorrido de $f$ .

Solución

a) Con los ceros $- 2$ y $4$ : $f (x) = a (x + 2) (x - 4)$ . Como pasa por $(0, - 16)$ : $- 16 = a \cdot 2 \cdot (- 4) = - 8 a ⟹ a = 2$ Desarrollando, $f (x) = 2 (x^{2} - 2 x - 8) = 2 x^{2} - 4 x - 16$ .

b) El eje de simetría pasa por el punto medio de los ceros: $x = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ . Entonces $f (1) = 2 - 4 - 16 = - 18$ . El vértice es $(1, - 18)$ .

c) Como $a = 2 > 0$ , el vértice es el mínimo, así que el recorrido es $[- 18, + \infty [$ .

Ejemplo 3 Difícil

Beneficio máximo de una tienda

Una tienda vende $60 - 2 x$ camisetas al día cuando las pone a $x$ euros cada una. Cada camiseta le cuesta $4$ euros. El beneficio diario es $B (x)$ euros.

a) Escribe $B (x)$ como $a x^{2} + b x + c$ .

b) Halla el precio que da el beneficio máximo y el valor de ese beneficio.

c) Halla el conjunto de precios para los que el beneficio es positivo.

d) Escribe $B (x)$ en forma canónica.

Solución

a) El beneficio por camiseta es $x - 4$ y se venden $60 - 2 x$ : $B (x) = (x - 4) (60 - 2 x) = - 2 x^{2} + 68 x - 240$

b) Como $a = - 2 < 0$ , el máximo está en el vértice: $x = - \frac{68}{2 \cdot ( - 2 )} = 17$ . El beneficio es $B (17) = (13) (26) = 338$ Se pone el precio a $17$ euros y el beneficio máximo es de $338$ euros al día.

c) Los ceros salen directamente de la forma factorizada: $x - 4 = 0$ y $60 - 2 x = 0$ , es decir, $x = 4$ y $x = 30$ . La parábola se abre hacia abajo, así que $B > 0$ entre los ceros: $4 < x < 30$ , es decir, $] 4, 30 [$ .

d) Con vértice $(17, 338)$ y $a = - 2$ : $B (x) = - 2 (x - 17)^{2} + 338$ . Se comprueba desarrollando: $- 2 (x^{2} - 34 x + 289) + 338 = - 2 x^{2} + 68 x - 240$ .

En el examen: en un problema de optimización la nota está en el planteamiento ( $B (x)$ correcta) y en justificar que el máximo está en el vértice. Escribe siempre el valor máximo con su unidad y responde a lo que se pide: el precio, el beneficio, o los dos.

Errores típicos

Resumen

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ es una parábola: hacia arriba si $a > 0$ (mínimo), hacia abajo si $a < 0$ (máximo).
Tres formas: polinómica (corte con $y$ ), factorizada $a (x - p) (x - q)$ (ceros) y canónica $a (x - h)^{2} + k$ (vértice).
Eje de simetría $x = - \frac{b}{2 a}$ ; vértice: sustituir esa abscisa en $f$ .
$Δ = b^{2} - 4 a c$ : dos ceros si $Δ > 0$ , uno doble si $Δ = 0$ , ninguno si $Δ < 0$ .
Con ceros y un punto se usa la forma factorizada; con el vértice y un punto, la canónica.
En optimización, el máximo o el mínimo está en el vértice si este cae dentro del dominio.

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp