IB Análisis y Enfoques NS · Funciones · Apartado 5 de 15

Características de la gráfica de una función

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Para describir una función con precisión se usan unas pocas propiedades de su gráfica: dónde es positiva o negativa, si tiene simetría, si se repite, dónde sube o baja y dónde tiene máximos y mínimos locales. En el examen del IB se piden con palabras exactas, así que conviene dominar el vocabulario.

Ceros y signo

Un cero de $f$ es un valor de $x$ con $f (x) = 0$ : es donde la gráfica corta el eje $x$ . Estudiar el signo de $f$ es decir en qué intervalos $f (x) > 0$ (gráfica por encima del eje $x$ ) y en cuáles $f (x) < 0$ (por debajo).

Un cero de multiplicidad par (por ejemplo, $(x + 1)^{2}$ ) no cambia el signo: la gráfica toca el eje y rebota. Uno de multiplicidad impar sí lo cambia.

Simetrías: funciones pares e impares

Para decidirlo se calcula $f (- x)$ y se compara. Para que una función pueda ser par o impar, su dominio debe ser simétrico respecto del $0$ (si $x$ está, $- x$ también). Si no se cumple ninguna de las dos igualdades, la función no es par ni impar. Ejemplos: $x^{2}$ , $cos x$ y $x^{4} - 3 x^{2}$ son pares; $x^{3}$ , $sin x$ y $\frac{1}{x}$ son impares; $x^{2} + x$ no es ninguna de las dos.

Periodicidad

La gráfica se repite igual en cada tramo de longitud $T$ . El caso típico son las funciones circulares: $sin x$ y $cos x$ tienen periodo $2 π$ y $tan x$ tiene periodo $π$ .

Crecimiento, decrecimiento y extremos locales

Una función es creciente en un intervalo si, al aumentar $x$ , aumenta $f (x)$ (la gráfica sube de izquierda a derecha), y decreciente si al aumentar $x$ disminuye $f (x)$ . Siempre se dice en un intervalo de $x$ , nunca de $y$ .

Un máximo local es un punto en el que la gráfica pasa de subir a bajar: su ordenada es mayor que la de los puntos cercanos. Un mínimo local es un punto donde pasa de bajar a subir. «Local» significa que se compara solo con los vecinos: la función puede tomar valores más altos lejos de ahí.

Gráfica de f(x)=x^3-3x con máximo local (-1,2), mínimo local (1,-2) e intervalos de crecimiento y decrecimiento

La gráfica de este dibujo, $f (x) = x^{3} - 3 x$ , es impar (simétrica respecto del origen), creciente en $] - \infty, - 1]$ y en $[1, + \infty [$ y decreciente en $[- 1, 1]$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

¿Par, impar o ninguna?

Clasifica cada función como par, impar o ninguna de las dos:

a) $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ .

b) $g (x) = x^{3} - x$ .

c) $h (x) = x^{2} + x$ .

Solución

a) $f (- x) = (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} = x^{4} - 3 x^{2} = f (x)$ . Es par.

b) $g (- x) = (- x)^{3} - (- x) = - x^{3} + x = - (x^{3} - x) = - g (x)$ . Es impar.

c) $h (- x) = x^{2} - x$ . No es $h (x) = x^{2} + x$ ni $- h (x) = - x^{2} - x$ . Ninguna de las dos.

Ejemplo 2 Medio

Signo con un cero doble

Sea $f (x) = (x - 3) (x + 1)^{2}$ .

a) Halla los ceros de $f$ .

b) Halla los intervalos en los que $f (x) > 0$ .

c) Halla los intervalos en los que $f (x) < 0$ .

Solución

a) $f (x) = 0$ cuando $x = 3$ o $x = - 1$ .

b) y c) Los ceros dividen el eje en tres intervalos. El factor $(x + 1)^{2}$ es siempre positivo salvo en $x = - 1$ , así que el signo de $f$ es el de $x - 3$ :

$x < - 1$ : $x - 3 < 0$ y $(x + 1)^{2} > 0$ , luego $f < 0$ ;
$- 1 < x < 3$ : $x - 3 < 0$ , luego $f < 0$ (el cero doble en $x = - 1$ no cambia el signo);
$x > 3$ : $x - 3 > 0$ , luego $f > 0$ .

Por tanto $f (x) > 0$ en $] 3, + \infty [$ , y $f (x) < 0$ en $] - \infty, - 1 [\cup] - 1, 3 [$ .

Ejemplo 3 Difícil

Cero doble, crecimiento y extremos

Sea $g (x) = x (x - 3)^{2} = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ . En su gráfica hay un máximo local y un mínimo local.

a) Halla los ceros de $g$ .

b) Halla los intervalos en los que $g (x) > 0$ .

c) Usando la calculadora, halla las coordenadas del máximo local.

d) Halla el intervalo en el que $g$ es decreciente.

e) Decide si $g$ es par, impar o ninguna de las dos.

Solución

a) $g (x) = 0$ cuando $x = 0$ o $(x - 3)^{2} = 0$ , es decir, $x = 0$ y $x = 3$ (este último es un cero doble).

b) El factor $(x - 3)^{2} \geq 0$ y vale $0$ solo en $x = 3$ , así que el signo de $g$ es el de $x$ salvo en $x = 3$ . Resulta $g > 0$ para $x > 0$ con $x \neq = 3$ : $] 0, 3 [\cup] 3, + \infty [$

c) Con la calculadora, el máximo local está en $(1, 4)$ : $g (1) = 1 \cdot (- 2)^{2} = 4$ . El mínimo local es $(3, 0)$ , que coincide con el cero doble: la gráfica toca el eje $x$ y rebota.

d) La gráfica baja del máximo $(1, 4)$ al mínimo $(3, 0)$ , así que es decreciente en $[1, 3]$ .

e) Se calcula $g (- 1) = - 1 \cdot 16 = - 16$ . Como $g (1) = 4$ , no se cumple ni $g (- 1) = g (1)$ ni $g (- 1) = - g (1)$ : la función no es par ni impar.

En el examen: da las dos coordenadas del extremo local, no solo una, y escribe el intervalo de crecimiento o decrecimiento con valores de $x$ . Justifica par o impar con un cálculo concreto de $g (- x)$ o con un valor numérico.

Errores típicos

Resumen

Cero: $f (x) = 0$ . Signo: intervalos donde $f > 0$ o $f < 0$ , separados por ceros y puntos fuera del dominio.
Par: $f (- x) = f (x)$ (simetría respecto del eje $y$ ). Impar: $f (- x) = - f (x)$ (simetría respecto del origen).
Periódica de periodo $T$ : $f (x + T) = f (x)$ .
Creciente o decreciente se dice en un intervalo de $x$ .
Máximo local: de subir a bajar; mínimo local: de bajar a subir; se dan con las dos coordenadas.
En la Prueba 2, la CPG da ceros y extremos locales de la gráfica.

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