IB Análisis y Enfoques NS · Funciones · Apartado 11 de 15

Continuidad de una función

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz. Con límites esto se dice con precisión, y de ahí salen tres cosas útiles: clasificar los «saltos», hallar el parámetro que hace continua una función definida a trozos y garantizar que una ecuación tiene solución. La continuidad y su relación con la derivada son contenido de NS y aparecen en las dos pruebas.

Continuidad en un punto

Para dibujar una gráfica sin levantar el lápiz al pasar por $x = a$ hacen falta tres cosas: que la función exista en $a$ , que se acerque a un valor al llegar a $a$ por los dos lados, y que ese valor sea justo el de la función en $a$ .

Casi todas las funciones que usas son continuas en todos los puntos en los que están definidas: polinomios, funciones exponenciales, seno y coseno, y las que salen de sumar, multiplicar, componer o dividir (con denominador no nulo) funciones continuas. Los problemas aparecen en los puntos donde la función está definida a trozos o en los que se anula un denominador.

Tipos de discontinuidad

Según cuál de las condiciones falle, se distinguen tres casos (estos nombres sirven para ordenar las ideas; en el examen del IB basta con describir qué ocurre):

Una función con tres discontinuidades: en x = a un hueco con el punto desplazado (evitable), en x = b un salto finito y en x = c una asíntota vertical (salto infinito)

En la figura: en $a$ el límite existe (la curva pasa por la altura del hueco), pero el punto está más arriba; en $b$ la curva da un salto de $2, 5$ a unos $3, 4$ ; en $c$ se dispara.

Continuidad en un intervalo

Funciones a trozos con un parámetro

Cuando una función se define con fórmulas distintas a cada lado de un punto, la continuidad en ese punto obliga a que los dos trozos «encajen».

Si el parámetro aparece en una función con un hueco, por ejemplo $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ para $x \neq = 3$ y $f (3) = k$ , la condición es $k = x \to 3 lim f (x)$ : se elige el valor que tapa el hueco.

Tres teoremas sobre funciones continuas en $[a, b]$

Que una función sea continua en un intervalo cerrado tiene consecuencias importantes, que no dependen de la fórmula.

Intuitivamente: para ir de la altura $f (a)$ a la altura $f (b)$ sin levantar el lápiz hay que pasar por todas las alturas intermedias.

Es el caso particular $k = 0$ del anterior: la gráfica cruza el eje $x$ al menos una vez. Puede cruzarlo más veces; el teorema solo garantiza una.

Función continua en el intervalo de a a b con f(a) negativo y f(b) positivo: su gráfica corta el eje x en al menos un punto c entre a y b

Las condiciones importan. Sin intervalo cerrado el resultado falla: $f (x) = x$ en $] 0, 1 [$ no tiene máximo ni mínimo; y sin continuidad también: $f (x) = \frac{1}{x}$ en $] 0, 1]$ no tiene máximo. El máximo o el mínimo pueden estar en un extremo del intervalo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Clasificar discontinuidades

Se consideran las funciones

$f (x) = {2 x + 1 5 - x^{2} si x < 1 si x \geq 1 g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} 1 si x \neq = 2 si x = 2 h (x) = \frac{2}{x - 3}$

Indica de qué tipo es la discontinuidad, o escribe «continua» si no la hay, de:

a) $f$ en $x = 1$ .

b) $g$ en $x = 2$ .

c) $h$ en $x = 3$ .

Solución

a) Por la izquierda, $x \to 1^{-} lim f (x) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ . Por la derecha, $x \to 1^{+} lim f (x) = 5 - 1 = 4$ . Los límites laterales existen pero son distintos: salto finito.

b) Para $x \neq = 2$ , $g (x) = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2$ , luego $x \to 2 lim g (x) = 4$ . Pero $g (2) = 1 \neq = 4$ . El límite existe y no coincide con el valor: discontinuidad evitable.

c) $h (3)$ no existe y, por la derecha, $\frac{2}{x - 3} \to + \infty$ (por la izquierda $\to - \infty$ ): salto infinito.

Ejemplo 2 Medio

Parámetros que hacen continua una función

a) Halla el valor de $k$ para que la función $f (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ si $x \neq = 3$ , $f (3) = k$ , sea continua en $x = 3$ .

b) Halla el valor de $a$ para que la función $g (x) = {a x + 1 x^{2} - a si x < 2 si x \geq 2$ sea continua en $x = 2$ .

Solución

a) Para $x \neq = 3$ es $f (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ , luego $x \to 3 lim f (x) = 6$ . Para que sea continua hace falta $f (3) = 6$ , es decir, $k = 6$ .

b) Por la izquierda, $x \to 2^{-} lim g (x) = 2 a + 1$ . Por la derecha, $x \to 2^{+} lim g (x) = 4 - a$ , y es también el valor $g (2) = 4 - a$ . Se igualan:

$2 a + 1 = 4 - a ⟹ 3 a = 3 ⟹ a = 1$

Comprobación: con $a = 1$ , el límite por la izquierda es $3$ y $g (2) = 4 - 1 = 3$ .

Ejemplo 3 Difícil

Dos parámetros y una ecuación con solución garantizada

Se considera la función $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 2 a x + b 10 - x si x < 1 si 1 \leq x \leq 3 si x > 3$ y la función $h (x) = x^{3} + x - 3$ .

a) Halla los valores de $a$ y de $b$ para que $f$ sea continua en $R$ . Da el par $(a, b)$ .

b) Calcula $h (1)$ y $h (2)$ . Da el par $(h (1), h (2))$ .

c) Justifica que la ecuación $h (x) = 0$ tiene una solución en $] 1, 2 [$ y halla su valor con dos decimales, con la calculadora.

d) Halla el valor mínimo y el máximo de $h$ en $[0, 2]$ , sabiendo que $h$ es creciente. Da el par (mínimo, máximo).

Solución

a) Hay dos puntos de unión: $x = 1$ y $x = 3$ .

En $x = 1$ : por la izquierda el límite es $1 + 2 = 3$ ; el trozo del medio da $f (1) = a + b$ . Debe ser $a + b = 3$ .

En $x = 3$ : por la derecha el límite es $10 - 3 = 7$ ; el trozo del medio da $f (3) = 3 a + b$ . Debe ser $3 a + b = 7$ .

Restando las dos ecuaciones: $2 a = 4$ , luego $a = 2$ y $b = 1$ . Comprobación: $f (1) = 3$ y $f (3) = 7$ , y los límites laterales coinciden en los dos puntos.

b) $h (1) = 1 + 1 - 3 = - 1$ y $h (2) = 8 + 2 - 3 = 7$ .

c) $h$ es un polinomio, así que es continua en $[1, 2]$ . Como $h (1) = - 1 < 0$ y $h (2) = 7 > 0$ , el teorema de Bolzano asegura que existe $c \in] 1, 2 [$ con $h (c) = 0$ . Con la CPG, el corte de la gráfica con el eje $x$ está en $c \approx 1, 21$ .

d) Como $h$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 2]$ , el teorema de Weierstrass garantiza que alcanza máximo y mínimo. Al ser creciente, el mínimo está en el extremo izquierdo y el máximo en el derecho: $h (0) = - 3$ y $h (2) = 7$ .

En el examen: en una justificación con Bolzano hay que escribir las tres cosas: « $h$ es continua en $[1, 2]$ », « $h (1) < 0$ y $h (2) > 0$ » y la conclusión. Si falta la continuidad, el apartado no se puntúa completo.

Errores típicos

Resumen

$f$ continua en $a$ : existe $f (a)$ , existe $x \to a lim f (x)$ y ambos coinciden.
Discontinuidad evitable (el límite existe, pero no coincide con $f (a)$ ), de salto finito (laterales distintos) o de salto infinito (límite lateral infinito).
Con un parámetro en una función a trozos: igualar los límites laterales y el valor de la función en cada punto de unión.
Valor intermedio: una función continua en $[a, b]$ toma todos los valores entre $f (a)$ y $f (b)$ . Bolzano: si además $f (a) f (b) < 0$ , hay una raíz en $] a, b [$ .
Weierstrass: continua en $[a, b]$ cerrado implica máximo y mínimo absolutos. En la Prueba 2, la CPG localiza la solución.

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