Cálculo de límites y asíntotas

Reglas básicas

Los límites «se llevan bien» con las operaciones: el límite de una suma es la suma de límites, y así con el resto, siempre que los límites que intervienen existan.

Estas reglas valen también cuando $x\to \pm \infty$. La consecuencia práctica es que, para polinomios, raíces y cocientes cuyo denominador no se anula, basta con sustituir: $\underset{x\to a}{\lim }P(x)=P(a)$ y $\underset{x\to a}{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}$ si $Q(a)\ne 0$.

Si el denominador da $0$ y el numerador no, no hay indeterminación: el límite es $\pm \infty$ y se estudia con los límites laterales (hay asíntota vertical).

Límites en un punto: la indeterminación $\frac{0}{0}$

Si al sustituir $x=a$ salen numerador y denominador igual a $0$, el resultado $\frac{0}{0}$ no dice nada: se llama indeterminación. Significa que ambos tienen un factor común $(x-a)$ que hay que quitar.

La simplificación es legítima para calcular un límite porque, al acercarse $x$ a $a$, nunca vale exactamente $a$ y por tanto $(x-a)\ne 0$.

Límites cuando $x\to \pm \infty$

Con $x$ enorme, en un polinomio manda el término de mayor grado: los demás son insignificantes a su lado. Esto da una receta muy corta.

Para un cociente $\frac{P(x)}{Q(x)}$ resulta:

• si $\mathrm{grado}P<\mathrm{grado}Q$, el límite es $0$;
• si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales;
• si $\mathrm{grado}P>\mathrm{grado}Q$, el límite es $+\infty$ o $-\infty$ (se decide por el signo del cociente de los términos de mayor grado).

Para $x\to -\infty$, el signo depende de si el grado es par o impar: $x^3\to -\infty$, pero $x^4\to +\infty$.

Cuando aparece $\infty -\infty$ con raíces, se multiplica y divide por el conjugado, igual que antes, y se divide después numerador y denominador entre la mayor potencia de $x$.

Asíntotas de una función

En una función racional, una asíntota oblicua aparece cuando el grado del numerador supera en una unidad al del denominador. Si hay asíntota horizontal por un lado, por ese lado no hay oblicua. Para $n$ y $m$ hay un atajo: divide los polinomios, y el cociente es $mx+n$.

Aquí $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$: el sumando $\frac{1}{x-1}$ tiende a $0$ lejos del origen, de modo que la gráfica se pega a la recta $y=x$ (asíntota oblicua) y se dispara junto a $x=1$ (asíntota vertical).