IB Análisis y Enfoques NS · Funciones · Apartado 1 de 15

Función, dominio y recorrido

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una función es una regla que convierte cada valor de entrada $x$ en un único valor de salida $f (x)$ . Los valores de entrada permitidos forman el dominio y los de salida que realmente se obtienen forman el recorrido. Todo el tema 9 se apoya en estas dos ideas, y en el examen del IB se pide el dominio o el recorrido casi en cada problema de funciones.

Función, notación e imagen

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados $(x, y)$ . Se convierte en función cuando cada valor de $x$ aparece emparejado con un solo valor de $y$ : la misma entrada nunca produce dos salidas distintas.

Se lee « $f$ de $x$ », y significa «el valor que da la función $f$ cuando la entrada es $x$ ». Para calcular una imagen se sustituye la entrada en la fórmula. Si $f (x) = 2 x^{2} - 3$ , entonces $f (4) = 2 \cdot 16 - 3 = 29$ y $f (- 1) = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$ . La letra de la variable no importa: $f (t) = 2 t^{2} - 3$ es la misma función.

Cuidado con la notación: $f (x + 1)$ significa que la entrada es $x + 1$ , no que se sume $1$ al resultado. Con la función anterior, $f (x + 1) = 2 (x + 1)^{2} - 3$ .

Dominio y recorrido

Piensa en una máquina: el dominio son las entradas que acepta y el recorrido, las salidas que produce. Cuando el enunciado no indica el dominio, se toma el más grande posible, el dominio natural: todos los $x$ para los que la fórmula tiene sentido.

Restricciones habituales del dominio

En las funciones de este curso solo hay tres cosas que pueden fallar al sustituir un número.

Si hay varias de estas situaciones a la vez, hay que cumplir todas las condiciones. Una raíz dentro de un denominador, por ejemplo $\frac{1}{x - 1}$ , pide $x - 1 \geq 0$ y además $x - 1 \neq = 0$ , es decir, $x > 1$ .

Notación de intervalos

El dominio y el recorrido se escriben con intervalos. En este curso usamos corchetes que apuntan hacia fuera para los extremos que no se incluyen:

$[a, b]$ : de $a$ a $b$ , ambos incluidos ( $a \leq x \leq b$ ).
$] a, b [$ : de $a$ a $b$ , ninguno incluido ( $a < x < b$ ).
$[a, b [$ y $] a, b]$ : uno incluido y otro no.
$] - \infty, a]$ y $[a, + \infty [$ : semirrectas. El infinito nunca se incluye.
$\cup$ une intervalos separados, por ejemplo $] - \infty, - 3] \cup [3, + \infty [$ .
$R ∖ {2}$ significa «todos los reales salvo el $2$ ».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Imagen y dominio de una fracción

Sea $g (x) = \frac{2 x - 1}{x + 3}$ .

a) Calcula $g (1)$ .

b) Halla el dominio natural de $g$ .

Solución

a) Se sustituye $x = 1$ : $g (1) = \frac{2 \cdot 1 - 1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$

b) La fracción solo falla cuando el denominador vale cero: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$ . Por tanto el dominio es todos los reales salvo $- 3$ : $R ∖ {- 3} =] - \infty, - 3 [\cup] - 3, + \infty [$

Ejemplo 2 Medio

Dominio con raíz y logaritmo, y un recorrido

a) Halla el dominio de $f (x) = x^{2} - 16$ .

b) Halla el dominio de $g (x) = \frac{ln ( 5 - x )}{x - 1}$ .

c) Halla el recorrido de $h (x) = 3 + x - 2$ .

Solución

a) Se necesita $x^{2} - 16 \geq 0$ , es decir, $(x - 4) (x + 4) \geq 0$ . La parábola $x^{2} - 16$ es positiva fuera de las raíces $- 4$ y $4$ y se anula en ellas, luego $] - \infty, - 4] \cup [4, + \infty [$

b) Hay dos condiciones. El logaritmo pide $5 - x > 0$ , es decir, $x < 5$ . El denominador pide $x \neq = 1$ . Se cumplen las dos a la vez en $] - \infty, 1 [\cup] 1, 5 [$

c) El dominio de $h$ es $x \geq 2$ . En $x = 2$ la raíz vale $0$ y $h (2) = 3$ ; al crecer $x$ , la raíz crece sin límite. Como una raíz nunca es negativa, $h (x) \geq 3$ y todos esos valores se alcanzan: $[3, + \infty [$

Ejemplo 3 Difícil

Un rectángulo de perímetro fijo

Un rectángulo tiene perímetro $40$ cm. Uno de sus lados mide $x$ cm y $A (x)$ es su área en cm $^{2}$ .

a) Escribe $A (x)$ en función de $x$ .

b) Halla el dominio de $A$ en este contexto.

c) Halla el recorrido de $A$ .

d) Halla los valores de $x$ para los que el área vale $75$ cm $^{2}$ .

Solución

a) Si un lado mide $x$ , los dos lados suman $20$ (la mitad del perímetro), así que el otro lado mide $20 - x$ . El área es $A (x) = x (20 - x)$

b) Un lado de un rectángulo debe ser positivo, y el otro también: $x > 0$ y $20 - x > 0$ . El dominio no es $R$ sino $] 0, 20 [$

c) $A (x) = - x^{2} + 20 x$ es una parábola que se abre hacia abajo. Sus ceros son $0$ y $20$ , así que el vértice está en $x = 10$ , y allí $A (10) = 10 \cdot 10 = 100$ . Dentro del dominio $] 0, 20 [$ el área toma todos los valores mayores que $0$ y hasta $100$ (el $0$ no se alcanza porque $0$ y $20$ no pertenecen al dominio): $] 0, 100]$

d) Se resuelve $x (20 - x) = 75$ : $x^{2} - 20 x + 75 = 0 ⟹ (x - 5) (x - 15) = 0 ⟹ x = 5 o x = 15$ Los dos valores están en el dominio y dan el mismo rectángulo, girado.

En el examen: el dominio de un problema de contexto se puntúa aparte. Escribe las condiciones físicas ( $x > 0$ , $20 - x > 0$ ) y no te quedes con el dominio de la fórmula. Y en el recorrido, comprueba si el extremo se alcanza o no para elegir bien el corchete.

Errores típicos

Resumen

Una función da a cada entrada $x$ una sola salida $f (x)$ ; se escribe $f : x \mapsto f (x)$ .
Dominio: valores de $x$ permitidos. Recorrido: valores de $y$ que se obtienen.
El dominio natural excluye denominadores nulos, radicandos negativos y argumentos de logaritmo no positivos.
Los intervalos se escriben con $] a, b [$ si el extremo no entra y $[a, b]$ si entra; el infinito siempre va abierto.
Para el recorrido conviene un esbozo de la gráfica (en la Prueba 2, con la CPG).
En un problema de contexto, el dominio incluye las condiciones físicas del enunciado.

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