Gráficas y funciones elementales

La gráfica de una función

Un punto $(a,b)$ está en la gráfica si y solo si $f(a)=b$. Esto sirve para dos cosas: comprobar si un punto pertenece a la curva (sustituyendo) y, al revés, deducir información de la fórmula a partir de un punto del dibujo.

Prueba de la recta vertical. Una curva es la gráfica de una función si ninguna recta vertical la corta en más de un punto. Si una vertical cortara dos veces, esa entrada $x$ tendría dos salidas, y eso no es una función. Una circunferencia, por ejemplo, no pasa la prueba.

Funciones constante y lineal

La función constante $f(x)=k$ da siempre el mismo valor. Su gráfica es una recta horizontal y su recorrido es solo $\{k\}$.

La función lineal $f(x)=mx+c$ tiene como gráfica una recta. El número $m$ es la pendiente (cuánto sube $y$ cuando $x$ aumenta una unidad) y $c$ es la ordenada en el origen, el valor de $y$ donde la recta corta el eje $y$. Si $m>0$ la recta sube, si $m<0$ baja y si $m=0$ es constante.

Una función lineal no constante tiene dominio y recorrido iguales a $\mathbb{R}$.

Funciones definidas a trozos

Algunas funciones usan una fórmula distinta según el valor de $x$. Se escriben con una llave:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+3& \text{si }-3\le x<0\\ 3& \text{si }0\le x\le 2\\ -2x+7& \text{si }2<x\le 5\end{array}$$

Para evaluarla, primero se mira en qué tramo cae $x$ y solo se usa la fórmula de ese tramo. Para dibujarla, se hace una tabla con los extremos de cada tramo y se une cada trozo por separado.

Leer una gráfica

De una gráfica se leen directamente varias cosas:

• Dominio: los valores de $x$ que cubre el dibujo, de izquierda a derecha.
• Recorrido: los valores de $y$ que cubre, de abajo arriba.
• Cortes con los ejes: con el eje $y$ en $(0,f(0))$; con el eje $x$ en los ceros, donde $f(x)=0$.
• Máximo y mínimo: el valor de $y$ más alto y más bajo que alcanza (la altura, no la posición).
• Soluciones de $f(x)=k$: las abscisas de los puntos donde la recta horizontal $y=k$ corta la curva.