IB Análisis y Enfoques NS · Funciones · Apartado 8 de 15

Función inversa

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La función inversa deshace lo que hace la función: si $f$ convierte $x$ en $y$ , la inversa convierte $y$ otra vez en $x$ . Existe solo si cada salida procede de una única entrada, y su gráfica es el reflejo de la de $f$ en la recta $y = x$ . En el examen se pide su fórmula, su dominio y el punto donde coincide con $f$ .

Qué es la inversa y cuándo existe

Una función con esa propiedad se llama inyectiva (o uno a uno). Con la prueba de la recta horizontal se comprueba en la gráfica: si alguna recta horizontal corta la curva en más de un punto, esa salida procede de dos entradas y $f$ no tiene inversa. La parábola $f (x) = x^{2}$ no tiene inversa en todo $R$ , porque $f (2) = f (- 2) = 4$ .

Cuidado con la notación: $f^{- 1} (x)$ no es $\frac{1}{f ( x )}$ . El $- 1$ indica la función inversa, no una potencia.

Dominio y recorrido de la inversa

Como $f^{- 1}$ hace el camino contrario, intercambia los papeles de $x$ y de $y$ :

Esto permite elegir bien el dominio de $f^{- 1}$ sin hacer cuentas: basta con saber entre qué valores se mueve $f$ .

Cómo calcular la inversa

Es el mismo proceso que «despejar $x$ en función de $y$ » y luego cambiar los nombres de las letras para tener la función en la variable habitual. Para comprobar, calcula $f (f^{- 1} (x))$ y debe salir $x$ .

Restringir el dominio

Si $f$ no es inyectiva, se puede restringir su dominio a un intervalo en el que sí lo sea, y entonces ese trozo tiene inversa. Con $f (x) = x^{2}$ :

con $x \geq 0$ , la inversa es $f^{- 1} (x) = x$ ;
con $x \leq 0$ , la inversa es $f^{- 1} (x) = - x$ .

La elección del trozo es la que fija cuál de las dos raíces es la correcta.

Gráfica de la inversa

Si el punto $(a, b)$ está en la gráfica de $f$ , entonces $f (a) = b$ y $f^{- 1} (b) = a$ , es decir, $(b, a)$ está en la gráfica de $f^{- 1}$ . Al intercambiar las coordenadas, cada punto se refleja en la recta $y = x$ .

Gráficas de f(x)=x^2 con x mayor o igual que 0, de su inversa raíz de x y de la recta y=x: son simétricas respecto de y=x

Para una función creciente, los puntos en los que $f$ y $f^{- 1}$ se cortan están sobre la recta $y = x$ , así que se obtienen resolviendo $f (x) = x$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

La inversa de una función lineal

Sea $f (x) = \frac{2 x - 1}{3}$ .

a) Halla $f^{- 1} (x)$ .

b) Calcula $f^{- 1} (5)$ .

Solución

a) Se escribe $y = \frac{2 x - 1}{3}$ y se intercambian las letras: $x = \frac{2 y - 1}{3}$ . Se despeja $y$ : $3 x = 2 y - 1 \Rightarrow y = \frac{3 x + 1}{2}$ . Por tanto $f^{- 1} (x) = \frac{3 x + 1}{2}$

b) $f^{- 1} (5) = \frac{3 \cdot 5 + 1}{2} = 8$ . Comprobación: $f (8) = \frac{16 - 1}{3} = 5$ .

Ejemplo 2 Medio

Inversa de una fracción

Sea $f (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ , con $x \neq = 2$ .

a) Halla $f^{- 1} (x)$ .

b) Halla el dominio de $f^{- 1}$ .

c) Halla $f^{- 1} (4)$ .

Solución

a) Se escribe $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ y se intercambian las letras: $x = \frac{y + 1}{y - 2}$ . Se despeja $y$ : $x (y - 2) = y + 1 ⟹ x y - 2 x = y + 1 ⟹ y (x - 1) = 2 x + 1 ⟹ y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ Por tanto $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ .

b) El dominio de $f^{- 1}$ es el recorrido de $f$ . La fórmula de $f^{- 1}$ falla en $x = 1$ , y el valor $1$ nunca es una salida de $f$ (si $\frac{x + 1}{x - 2} = 1$ queda $x + 1 = x - 2$ , imposible). El dominio es $R ∖ {1}$ .

c) $f^{- 1} (4) = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4 - 1} = 3$ . Comprobación: $f (3) = \frac{4}{1} = 4$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una parábola con el dominio restringido

Sea $f (x) = (x - 2)^{2} + 1$ , definida para $x \geq 2$ .

a) Halla el recorrido de $f$ .

b) Halla $f^{- 1} (x)$ y su dominio.

c) Halla el valor de $x$ para el que $f (x) = f^{- 1} (x)$ .

d) Explica por qué hace falta la restricción $x \geq 2$ .

Solución

a) El vértice es $(2, 1)$ y $f$ es creciente para $x \geq 2$ , así que el recorrido es $[1, + \infty [$ .

b) Se escribe $y = (x - 2)^{2} + 1$ y se intercambian las letras: $x = (y - 2)^{2} + 1$ . Se despeja: $(y - 2)^{2} = x - 1$ , luego $y - 2 = x - 1$ (se toma la raíz positiva porque la rama original cumple $y \geq 2$ ). Entonces $f^{- 1} (x) = 2 + x - 1$ Su dominio es el recorrido de $f$ : $[1, + \infty [$ (y su recorrido es $[2, + \infty [$ , el dominio de $f$ ).

c) Como $f$ es creciente, $f$ y $f^{- 1}$ se cortan sobre la recta $y = x$ , así que se resuelve $f (x) = x$ : $(x - 2)^{2} + 1 = x ⟹ x^{2} - 5 x + 5 = 0 ⟹ x = \frac{5 \pm 5}{2}$ Solo $x = \frac{5 + 5}{2} \approx 3, 62$ cumple $x \geq 2$ (la otra vale $\approx 1, 38$ ).

d) Sin la restricción, $f$ no es inyectiva: $f (0) = f (4) = 5$ , y una recta horizontal corta dos veces la parábola. Con $x \geq 2$ solo queda la rama derecha, en la que cada salida procede de una entrada.

En el examen: al hallar la inversa de una cuadrática, elige el signo de la raíz con el dominio original, y no olvides el dominio de la inversa. Para $f (x) = f^{- 1} (x)$ conviene usar $f (x) = x$ , pero comprueba que la solución esté en el dominio.

Errores típicos

Resumen

$f^{- 1}$ existe si $f$ es inyectiva (prueba de la recta horizontal); si no, se restringe el dominio.
$f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ ; $f^{- 1} (b) = a$ si y solo si $f (a) = b$ .
Dominio de $f^{- 1}$ = recorrido de $f$ ; recorrido de $f^{- 1}$ = dominio de $f$ .
Cálculo: $y = f (x)$ , intercambiar $x$ e $y$ , despejar $y$ , escribir el dominio.
La gráfica de $f^{- 1}$ es la de $f$ reflejada en $y = x$ .
$f^{- 1} (x)$ no es $\frac{1}{f ( x )}$ .

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