Funciones exponenciales y logarítmicas

La función exponencial

Sea cual sea el valor de $a$, la gráfica tiene siempre la misma forma:

• el dominio es $\mathbb{R}$ y el recorrido es $]0,+\infty [$ (siempre positiva);
• corta al eje $y$ en $(0,1)$, porque $a^0=1$, y no corta al eje $x$;
• el eje $x$ ($y=0$) es una asíntota horizontal: la gráfica se acerca a él, sin tocarlo, cuando $x\to -\infty$ si $a>1$ o cuando $x\to +\infty$ si $0<a<1$;
• es creciente si $a>1$ y decreciente si $0<a<1$.

Las dos curvas son simétricas respecto del eje $y$, porque ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$: cambiar el signo de $x$ refleja la gráfica.

El número $\mathrm{e}$

El número $\mathrm{e}\approx 2,718$ es la base «natural» del cálculo. La función $f(x)={\mathrm{e}}^x$ (creciente) y la $f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$ (decreciente) son las exponenciales que más se usan en modelos. Cualquier $a^x$ se puede escribir con base $\mathrm{e}$: como $a={\mathrm{e}}^{\ln a}$, resulta $a^x={\mathrm{e}}^{x\ln a}$.

Exponenciales desplazadas y estiradas

Una exponencial general es $f(x)=k{a}^x+c$, con $k\ne 0$. Con lo que ya sabes de transformaciones, $k$ estira la gráfica en vertical (y la refleja si es negativo) y $c$ la sube o la baja.

Esto es clave para hallar parámetros: la asíntota da $c$, el punto del eje $y$ da $k$ y otro punto de la gráfica da $a$.

La función logarítmica

Como es la inversa de la exponencial, sus gráficas son simétricas respecto de la recta $y=x$: los puntos $(x,y)$ de una se corresponden con $(y,x)$ de la otra. De ahí se deducen las propiedades de $f(x)={\log }_{a}x$ (con $a>1$):

• dominio $]0,+\infty [$ y recorrido $\mathbb{R}$ (el dominio y el recorrido de la exponencial, intercambiados);
• corta al eje $x$ en $(1,0)$, porque ${\log }_{a}1=0$, y no corta al eje $y$;
• el eje $y$ ($x=0$) es una asíntota vertical: ${\log }_{a}x\to -\infty$ cuando $x\to 0^{+}$;
• es creciente.

Si el logaritmo se desplaza, $\ln (x-h)+d$ tiene asíntota vertical $x=h$ y dominio $]h,+\infty [$: el argumento del logaritmo debe ser positivo.