IB Análisis y Enfoques NS · Funciones · Apartado 9 de 15

Límite de una función: idea intuitiva

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un límite describe hacia qué valor se acerca $f (x)$ cuando $x$ se acerca a un número, sin importar qué ocurre en ese número. También dice qué hace la función cuando $x$ crece o decrece sin freno. Con esa idea se leen en una gráfica las asíntotas, y es la base de la continuidad y de la derivada. En el examen del IB aparece sobre todo leyendo gráficas y tablas.

Acercarse a un punto

Imagina que recorres la gráfica con el dedo hacia el punto de abscisa $a$ y te detienes justo antes de llegar. Fíjate en la altura a la que va tu dedo. Puedes llegar desde la izquierda ( $x < a$ ) o desde la derecha ( $x > a$ ), y no siempre se llega a la misma altura.

Función con un salto en x igual a a: por la izquierda se acerca a L (punto vacío), por la derecha a L' (punto vacío) y el valor f(a) es un punto lleno intermedio

En el dibujo, por la izquierda la función se acerca a $L = 2$ y por la derecha a $L^{'} = 4$ . El punto lleno $f (a) = 3$ no coincide con ninguno de los dos, y no importa: el límite habla de a dónde se va, no de dónde se está.

El valor del límite no depende de lo que valga $f (a)$ , ni siquiera de que $f (a)$ exista. Puedes tener límite en un punto donde la función no está definida, como un «hueco» en la gráfica.

Para un extremo del dominio solo tiene sentido el lado que existe: si el dominio empieza en $- 3$ , solo se puede calcular $x \to - 3^{+} lim f (x)$ .

Cuando los valores se disparan

A veces, al acercarse $x$ a $a$ , los valores de $f (x)$ crecen sin tope o decrecen sin tope. Se escribe $x \to a^{+} lim f (x) = + \infty$ o $- \infty$ , según el caso. Los símbolos $+ \infty$ y $- \infty$ no son números: indican el comportamiento de la función, no un valor al que se llegue.

Si $f$ es un cociente, las candidatas a asíntota vertical están entre los valores de $x$ que anulan el denominador. Solo son asíntotas si el límite de verdad se dispara; algunos valores que anulan el denominador dan un hueco, no una asíntota (se verá en el apartado siguiente).

Cuando $x$ se hace enorme

También se puede estudiar el comportamiento «lejos», con $x \to + \infty$ (valores positivos muy grandes) o $x \to - \infty$ (negativos muy grandes). Hay tres posibilidades:

los valores de $f (x)$ se acercan a un número $L$ : $x \to + \infty lim f (x) = L$ ;
crecen sin tope: $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ ;
decrecen sin tope: $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ .

Lo mismo vale para $x \to - \infty$ .

Gráfica de y = 1/(x-1) + 2 con la asíntota vertical x = 1 y la asíntota horizontal y = 2, ambas discontinuas

Aquí $x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty$ , $x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty$ y $x \to \pm \infty lim f (x) = 2$ . Con eso se leen directamente $x = 1$ como asíntota vertical e $y = 2$ como asíntota horizontal.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Límites de una función definida a trozos

Una función se define así:

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 2 1 6 - x si x < 1 si x = 1 si x > 1$

a) Calcula $x \to 1^{-} lim f (x)$ .

b) Calcula $x \to 1^{+} lim f (x)$ .

c) ¿Existe $x \to 1 lim f (x)$ ? Responde «si» o «no».

d) Calcula $x \to 4 lim f (x)$ .

Solución

a) Para $x < 1$ se usa $x + 2$ . Al acercarse $x$ a $1$ por la izquierda, $x + 2$ se acerca a $3$ . Por tanto $x \to 1^{-} lim f (x) = 3$ .

b) Para $x > 1$ se usa $6 - x$ , que se acerca a $5$ . Por tanto $x \to 1^{+} lim f (x) = 5$ .

c) Los límites laterales son distintos ( $3 \neq = 5$ ), así que el límite en $x = 1$ no existe. El valor $f (1) = 1$ no cambia nada.

d) Cerca de $x = 4$ se usa $6 - x$ en los dos lados, y se acerca a $2$ : $x \to 4 lim f (x) = 2$ .

Ejemplo 2 Medio

Asíntotas de un cociente

Sea $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

a) Calcula $x \to 2^{+} lim f (x)$ y $x \to 2^{-} lim f (x)$ .

b) Calcula $x \to + \infty lim f (x)$ .

c) Escribe las ecuaciones de las asíntotas.

Solución

a) El denominador se anula en $x = 2$ y el numerador vale $3 \cdot 2 + 1 = 7 > 0$ cerca de ese punto.

Con $x$ ligeramente mayor que $2$ , el denominador es un número positivo muy pequeño, así que el cociente es positivo y enorme: $x \to 2^{+} lim f (x) = + \infty$ .
Con $x$ ligeramente menor que $2$ , el denominador es negativo y muy pequeño: $x \to 2^{-} lim f (x) = - \infty$ .

Una tabla confirma el signo: $f (2, 01) = \frac{7 , 03}{0 , 01} = 703$ y $f (1, 99) = \frac{6 , 97}{- 0 , 01} = - 697$ .

b) Cuando $x$ es muy grande, el $+ 1$ y el $- 2$ pesan muy poco frente a $3 x$ y $x$ , así que $f (x) \approx \frac{3 x}{x} = 3$ . Una tabla lo confirma: $f (1000) = \frac{3001}{998} \approx 3, 007$ . Por tanto $x \to + \infty lim f (x) = 3$ .

c) La asíntota vertical es $x = 2$ y la horizontal es $y = 3$ .

Ejemplo 3 Difícil

Parámetros a partir de las asíntotas

La función $f (x) = \frac{a x + 3}{x - b}$ , con $a$ y $b$ constantes, tiene como asíntota vertical la recta $x = 2$ y como asíntota horizontal la recta $y = - 3$ .

a) Halla los valores de $a$ y de $b$ .

b) Con esos valores, calcula $x \to 2^{-} lim f (x)$ y $x \to 2^{+} lim f (x)$ .

c) Halla el punto en el que la gráfica corta al eje $y$ .

Solución

a) Una asíntota vertical está donde se anula el denominador: $x - b = 0$ da $x = b$ , y como la asíntota es $x = 2$ , resulta $b = 2$ .

Para la horizontal, con $x$ muy grande $f (x) \approx \frac{a x}{x} = a$ . La asíntota es $y = - 3$ , luego $a = - 3$ .

b) Ahora $f (x) = \frac{- 3 x + 3}{x - 2}$ . Cerca de $x = 2$ el numerador vale $- 3 \cdot 2 + 3 = - 3 < 0$ .

Si $x \to 2^{-}$ , el denominador es negativo y pequeño, y el cociente es (negativo)/(negativo pequeño) = positivo enorme: $x \to 2^{-} lim f (x) = + \infty$ .
Si $x \to 2^{+}$ , el denominador es positivo y pequeño: $x \to 2^{+} lim f (x) = - \infty$ .

c) Con $x = 0$ : $f (0) = \frac{3}{- 2} = - \frac{3}{2}$ . El punto es $(0, - \frac{3}{2})$ .

En el examen: al dar las asíntotas escribe sus ecuaciones ( $x = 2$ , $y = - 3$ ), no solo los números. En un apartado de límites con $\pm \infty$ razona el signo del numerador y del denominador: sin ese razonamiento se pierde la mitad de los puntos.

Errores típicos

Resumen

$x \to a^{-} lim f (x)$ y $x \to a^{+} lim f (x)$ son los límites laterales. El límite $x \to a lim f (x)$ existe solo si coinciden.
El límite no depende de $f (a)$ (que puede no existir).
$x \to a lim f (x) = \pm \infty$ por algún lado da una asíntota vertical $x = a$ ; en un cociente se busca donde se anula el denominador.
$x \to \pm \infty lim f (x) = L$ da una asíntota horizontal $y = L$ .
Leer una gráfica: recorrer la curva desde cada lado; en la Prueba 2, una tabla de valores o la gráfica de la CPG sirven de comprobación.

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