Aplicaciones de las exponenciales y los logaritmos

a) $V(0)=900\cdot 0,85^0=900$ euros.

b) El factor es $a=0,85=1-0,15$: pierde el $15\%$ cada año.

c) $V(3)=900\cdot 0,85^3=900\cdot \frac{17^3}{20^3}=\frac{44217}{80}=552,7125$ euros, unos $552,71$ euros.

d) Se resuelve $900\cdot 0,85^t<300$, es decir, $0,85^t<\frac{1}{3}$. Con la igualdad,

$$t=\frac{\ln \frac{1}{3}}{\ln 0,85}\approx 6,76$$

Como $0,85<1$ la función decrece, y el valor es menor que $300$ para $t>6,76$. El menor entero es $t=7$. Comprobación: $V(6)\approx 339,4$ y $V(7)\approx 288,5$.

a) A los $8$ días queda la mitad: $M(8)=40$. Entonces $80{\mathrm{e}}^{-8k}=40$ y ${\mathrm{e}}^{-8k}=\frac{1}{2}$. Tomando logaritmos, $-8k=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$, luego

$$k=\frac{\ln 2}{8}\approx 0,0866$$

b) $M(20)=80{\mathrm{e}}^{-20k}=80{\mathrm{e}}^{-\frac{20\ln 2}{8}}=80\cdot 2^{-5/2}=\frac{80}{4\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\approx 14,1$ gramos.

c) Se resuelve $80{\mathrm{e}}^{-kt}=5$: ${\mathrm{e}}^{-kt}=\frac{1}{16}=2^{-4}$, así que $kt=4\ln 2$ y

$$t=\frac{4\ln 2}{k}=\frac{4\ln 2}{\ln 2/8}=32\text{ dıˊas}$$

Se comprueba pensando en semividas: de $80$ a $5$ gramos son cuatro mitades ($80\to 40\to 20\to 10\to 5$), es decir, $4\cdot 8=32$ días.

a) En $t=0$: $20+A=90$, luego $A=70$.

b) En $t=10$: $20+70{\mathrm{e}}^{-10k}=50$, de donde ${\mathrm{e}}^{-10k}=\frac{30}{70}=\frac{3}{7}$. Tomando logaritmos, $-10k=\ln \frac{3}{7}$ y

$$k=\frac{1}{10}\ln \frac{7}{3}\approx 0,0847$$

c) Se resuelve $20+70{\mathrm{e}}^{-kt}=30$: ${\mathrm{e}}^{-kt}=\frac{1}{7}$, luego $kt=\ln 7$ y

$$t=\frac{\ln 7}{k}=\frac{10\ln 7}{\ln \frac{7}{3}}\approx 22,97\text{ minutos}$$

d) Como ${\mathrm{e}}^{-30k}={\left({\mathrm{e}}^{-10k}\right)}^3={\left(\frac{3}{7}\right)}^3=\frac{27}{343}$,

$$T(30)=20+70\cdot \frac{27}{343}=20+\frac{270}{49}=\frac{1250}{49}\approx 25,5{}^{\circ }\mathrm{C}$$

El número $20$ es el valor límite: la asíntota horizontal $y=20$, la temperatura de la habitación, a la que tiende el café cuando $t\to +\infty$.

En el examen: deja claro el paso «aislar la exponencial» antes de tomar logaritmos, porque ahí se concede un punto. Con el dato de una potencia (${\mathrm{e}}^{-30k}$) usa la de otra ya calculada para evitar errores de redondeo, y escribe siempre las unidades.