Funciones circulares

a) $\arcsin \frac{1}{2}$ es el ángulo de $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ cuyo seno vale $\frac{1}{2}$: es $\frac{\pi }{6}$.

b) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ es el ángulo de $[0,\pi ]$ con coseno negativo $-\frac{\sqrt{2}}{2}$: es $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$.

c) $\arctan (-1)$ es el ángulo de $\left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$ cuya tangente vale $-1$: es $-\frac{\pi }{4}$.

d) Como $\frac{5\pi }{6}$ no está en $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, no se puede simplificar directamente. Se calcula el seno: $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$, y entonces $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$.

a) $2\sin x+1=0$ da $\sin x=-\frac{1}{2}$. El valor principal es $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$, que no está en $[0,2\pi ]$. Las soluciones son $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ y $x=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+2\pi n=\frac{7\pi }{6}+2\pi n$. Tomando $n$ para entrar en el intervalo se obtienen

$$x=\frac{7\pi }{6},x=\frac{11\pi }{6}$$

(la segunda es $-\frac{\pi }{6}+2\pi$). Es coherente con la gráfica: el seno vale $-\frac{1}{2}$ en el tercer y en el cuarto cuadrante.

b) El valor principal es $\arctan \sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$. La tangente tiene periodo $\pi$, luego $x=\frac{\pi }{3}+\pi n$. En $[-\pi ,\pi ]$ caben $n=0$ ($x=\frac{\pi }{3}$) y $n=-1$ ($x=\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{2\pi }{3}$). El conjunto es $\left\{-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right\}$.

c) Entre $0$ y $2\pi$, $\cos x=\frac{1}{3}$ tiene dos soluciones ($\alpha$ y $2\pi -\alpha$, con $\alpha =\arccos \frac{1}{3}\approx 1,23$). El intervalo $[-2\pi ,2\pi ]$ contiene dos periodos completos, y en cada uno hay dos soluciones: en total son $4$ (se ve cortando la recta $y=\frac{1}{3}$ con el coseno de la gráfica).

a) Sea $\theta =\arcsin \frac{5}{13}$, un ángulo de $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ con $\sin \theta =\frac{5}{13}>0$. En ese intervalo el coseno es no negativo, así que

$$\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$$

b) Sea $S=\arctan \frac{1}{4}+\arctan \frac{3}{5}$. Los dos sumandos están en $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, luego $S\in ]0,\pi [$. Con la fórmula de la tangente de una suma:

$$\tan S=\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{5}}{1-\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{5}}=\frac{\frac{17}{20}}{\frac{17}{20}}=1$$

El único ángulo de $]0,\pi [$ con tangente $1$ es $\frac{\pi }{4}$. Por tanto $S=\frac{\pi }{4}$.

c) Se toma tangente en los dos miembros: $\tan (\arctan x+\arctan 2x)=\frac{x+2x}{1-2x^2}=\tan \frac{\pi }{4}=1$. Entonces

$$3x=1-2x^2⟹2x^2+3x-1=0⟹x=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{4}$$

Al tomar tangente pueden aparecer soluciones falsas, así que hay que comprobarlas. Para $x=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}\approx -1,78$ los dos arcotangentes son negativos y su suma es negativa, no $\frac{\pi }{4}$: se descarta. Para $x=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\approx 0,281$, la suma de los arcotangentes es positiva y vale $0,273+0,512=0,785\approx \frac{\pi }{4}$. Solución:

$$x=\frac{\sqrt{17}-3}{4}$$

En el examen: al hacer «tangente en los dos miembros» hay que comprobar las soluciones, porque $\tan \beta =1$ también lo cumple $\beta =-\frac{3\pi }{4}$, que no es $\frac{\pi }{4}$. Si el enunciado pide «el valor exacto», no sustituyas por decimales a mitad del problema.