IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 11 de 14

Teoremas de Rolle y del valor medio; regla de L'Hôpital

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Dos teoremas garantizan que, si una función es regular en un intervalo, existe un punto con una tangente de pendiente concreta. La regla de L'Hôpital usa esta idea para resolver límites que dan $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando numerador y denominador. Este apartado es contenido de Nivel Superior.

Teorema de Rolle

La idea: una curva que sale de una altura y vuelve a la misma altura tiene que subir y bajar, o al revés. En algún punto intermedio se da la vuelta, y ahí la tangente es horizontal. Geométricamente: hay un punto de la gráfica con tangente paralela al eje $x$ .

Una consecuencia útil: entre dos ceros de $f$ hay al menos un cero de $f^{'}$ , siempre que $f$ cumpla las hipótesis.

Teorema del valor medio

El cociente de la derecha es la pendiente de la cuerda que une $(a, f (a))$ con $(b, f (b))$ , es decir, la tasa de variación media. El teorema dice que en algún punto la pendiente instantánea coincide con ella: hay una tangente paralela a la cuerda. El teorema de Rolle es el caso particular $f (a) = f (b)$ , en el que la cuerda es horizontal.

Gráfica de la raíz cuadrada en el intervalo (1, 9): la tangente en x=4 es paralela a la cuerda que une los extremos

Regla de L'Hôpital

Cuando un límite de un cociente da $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ no se sabe a priori cuánto vale. La regla de L'Hôpital lo resuelve cambiando el cociente por el de las derivadas.

La regla se apoya en el teorema del valor medio: cerca de $a$ , el cociente $f / g$ se comporta como el de las pendientes de las tangentes, es decir, como $f^{'} / g^{'}$ .

Otras indeterminaciones

La regla solo se aplica a $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty}{\infty}$ , pero otras formas se convierten en una de ellas:

$0 \cdot \infty$ : escribe el producto como un cociente, $f \cdot g = \frac{f}{1/ g}$ .
$\infty - \infty$ : combina las fracciones en una sola, o saca factor común.
$1^{\infty}$ , $0^{0}$ , $\infty^{0}$ : si $L = lim f^{g}$ , toma logaritmos: $ln L = lim g ln f$ , que es de la forma $0 \cdot \infty$ . Después $L = e^{l n L}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Rolle en una cúbica

Comprueba que $f (x) = x^{3} - 4 x$ cumple las hipótesis del teorema de Rolle en $[- 2, 2]$ y halla los valores de $c$ que da el teorema.

Solución

$f$ es un polinomio: continua y derivable en todo $R$ . Además $f (- 2) = - 8 + 8 = 0$ y $f (2) = 8 - 8 = 0$ , de modo que $f (- 2) = f (2)$ .

Por el teorema de Rolle existe $c \in] - 2, 2 [$ con $f^{'} (c) = 0$ . $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{2}{3} = \pm \frac{2 3}{3} \approx \pm 1, 15$ .

Los dos valores están en $] - 2, 2 [$ : $c = \frac{2 3}{3}$ y $c = - \frac{2 3}{3}$ .

Ejemplo 2 Medio

Valor medio y tangente paralela a la cuerda

Sea $f (x) = x + 1$ en el intervalo $[0, 8]$ .

a) Halla el valor de $c \in] 0, 8 [$ que da el teorema del valor medio.

b) Escribe la ecuación de la tangente a la gráfica en $x = c$ , en la forma $y = m x + n$ .

Solución

a) $f$ es continua en $[0, 8]$ y derivable en $] 0, 8 [$ . La pendiente de la cuerda es $\frac{f ( 8 ) - f ( 0 )}{8 - 0} = \frac{3 - 1}{8} = \frac{1}{4} .$ Se resuelve $f^{'} (c) = \frac{1}{4}$ , con $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x + 1}$ : $\frac{1}{2 c + 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow c + 1 = 2 \Rightarrow c = 3.$ Está en $] 0, 8 [$ .

b) $f (3) = 2$ y la pendiente es $\frac{1}{4}$ : $y - 2 = \frac{1}{4} (x - 3)$ , es decir, $y = \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Tres límites con L'Hôpital

Calcula, sin calculadora:

a) $x \to 0 lim \frac{e ^{2 x} - 1 - 2 x}{x ^{2}}$

b) $x \to 0^{+} lim x ln x$

c) $x \to + \infty lim (1 + \frac{3}{x})^{x}$

Solución

a) Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{0}{0}$ . Derivando numerador y denominador: $x \to 0 lim \frac{2 e ^{2 x} - 2}{2 x} (\frac{0}{0}) .$ Sigue siendo $\frac{0}{0}$ ; se deriva otra vez: $x \to 0 lim \frac{4 e ^{2 x}}{2} = 2.$

b) Es de la forma $0 \cdot (- \infty)$ . Se escribe como cociente: $x ln x = \frac{ln x}{1/ x}$ , que da $\frac{- \infty}{+ \infty}$ . Aplicando la regla: $x \to 0^{+} lim \frac{1/ x}{- 1/ x ^{2}} = x \to 0^{+} lim (- x) = 0.$

c) Es de la forma $1^{\infty}$ . Sea $L = x \to \infty lim (1 + \frac{3}{x})^{x}$ . Entonces $ln L = x \to \infty lim x ln (1 + \frac{3}{x}) = x \to \infty lim \frac{ln ( 1 + 3/ x )}{1/ x} (\frac{0}{0}) .$ Derivando: el numerador da $\frac{1}{1 + 3/ x} \cdot (- \frac{3}{x ^{2}})$ y el denominador $- \frac{1}{x ^{2}}$ . El cociente es $\frac{3}{1 + 3/ x} \to 3$ . Así que $ln L = 3$ y $L = e^{3}$ .

En el examen: indica la forma indeterminada antes de cada aplicación de la regla y escribe $lim$ en cada igualdad. Aplicarla sin haber comprobado que es indeterminación, o escribir el último valor sin los pasos, hace perder puntos de método.

Errores típicos

Resumen

Rolle: $f$ continua en $[a, b]$ , derivable en $] a, b [$ y $f (a) = f (b)$ $\Rightarrow$ existe $c$ con $f^{'} (c) = 0$ .
Valor medio: existe $c \in] a, b [$ con $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ : tangente paralela a la cuerda.
L'Hôpital: si $\frac{f}{g}$ da $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ , $lim \frac{f}{g} = lim \frac{f ^{'}}{g ^{'}}$ (se deriva cada parte por separado).
$0 \cdot \infty$ y $\infty - \infty$ se convierten en cociente; $1^{\infty}$ , $0^{0}$ y $\infty^{0}$ se tratan con logaritmos.
Comprueba siempre las hipótesis y la forma indeterminada antes de aplicar.

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