IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 8 de 14

Optimización: máximos y mínimos con contexto

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un problema de optimización pide el valor de una variable que hace máxima o mínima una cantidad (un área, un coste, un volumen). Se resuelve con derivadas: se escribe la cantidad como función de una sola variable y se buscan sus extremos. En el examen del IB es una pregunta clásica de contexto, en la Prueba 1 y en la 2.

Qué se optimiza

En cada problema hay una cantidad que queremos hacer lo más grande o lo más pequeña posible: la función objetivo. Además hay una o varias condiciones (una longitud fija, un volumen dado...) que relacionan las variables. La idea es usar esas condiciones para que la función objetivo dependa de una sola variable. Entonces ya sabes derivar y buscar extremos, como en el apartado anterior.

Gráfica del área A(x)=x(80-2x) del cercado, con máximo en (20, 800)

Cómo justificar que es máximo o mínimo

Cuando hay un solo punto crítico, suele bastar con $f^{''}$ : si $f^{''} (x_{0}) > 0$ es un mínimo; si $f^{''} (x_{0}) < 0$ , un máximo. Si $f^{''} (x_{0}) = 0$ o $f^{''}$ es difícil de calcular, estudia el signo de $f^{'}$ a ambos lados del punto. Una frase como « $f^{'}$ pasa de positiva a negativa, luego es un máximo» puntúa igual de bien.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Un cercado junto a un muro

Un ganadero dispone de $80$ m de valla para cercar un terreno rectangular que apoya uno de sus lados en un muro. El muro no necesita valla, así que la valla cubre solo tres lados. Sea $x$ metros la longitud de cada uno de los dos lados perpendiculares al muro.

a) Escribe el área $A (x)$ del terreno en función de $x$ .

b) Halla el valor de $x$ que hace máxima el área.

c) Halla el área máxima.

Solución

a) Los lados perpendiculares al muro miden $x$ cada uno; el lado paralelo mide $80 - 2 x$ . El área es $A (x) = x (80 - 2 x) = 80 x - 2 x^{2}$ , con $0 < x < 40$ .

b) $A^{'} (x) = 80 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 20$ . Como $A^{''} (x) = - 4 < 0$ , es un máximo.

c) El otro lado mide $80 - 40 = 40$ m, así que $A (20) = 20 \cdot 40 = 800$ m $^{2}$ .

Ejemplo 2 Medio

La lata de menor superficie

Una lata cilíndrica cerrada debe tener un volumen de $250 π$ cm $^{3}$ . Sean $r$ su radio y $h$ su altura, en centímetros. Se quiere gastar la menor cantidad de metal posible, es decir, hacer mínima el área total.

a) Escribe el área total $A$ en función de $r$ .

b) Halla el radio que hace mínima el área y la altura correspondiente.

c) Halla el área mínima.

Solución

a) Volumen: $π r^{2} h = 250 π$ , de donde $h = \frac{250}{r ^{2}}$ . El área total es la de las dos tapas más la del lado: $A = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r^{2} + 2 π r \cdot \frac{250}{r ^{2}} = 2 π r^{2} + \frac{500 π}{r} .$

b) $A^{'} (r) = 4 π r - \frac{500 π}{r ^{2}} = 0 \Rightarrow 4 π r^{3} = 500 π \Rightarrow r^{3} = 125 \Rightarrow r = 5$ . Para justificar el mínimo: $A^{''} (r) = 4 π + \frac{1000 π}{r ^{3}} > 0$ para todo $r > 0$ , así que $r = 5$ es un mínimo. La altura es $h = \frac{250}{25} = 10$ cm.

c) $A (5) = 2 π \cdot 25 + \frac{500 π}{5} = 50 π + 100 π = 150 π$ cm $^{2}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una ventana con perímetro fijo

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un semicírculo. El semicírculo tiene radio $r$ metros y el rectángulo tiene altura $h$ metros, con base igual al diámetro. El perímetro total de la ventana (los tres lados rectos más el arco) es de $6$ m. Se quiere que la ventana deje pasar la mayor cantidad de luz, es decir, que su área sea máxima.

a) Expresa $h$ en función de $r$ .

b) Demuestra que el área es $A (r) = 6 r - (2 + \frac{π}{2}) r^{2}$ .

c) Halla el valor de $r$ que hace máxima el área, justifica que es un máximo y calcula el área máxima.

d) Calcula el cociente $\frac{h}{r}$ en la ventana óptima.

Solución

a) El perímetro es: dos lados verticales ( $2 h$ ), la base ( $2 r$ ) y el arco ( $π r$ ). Entonces $2 h + 2 r + π r = 6$ , y $h = \frac{6 - ( 2 + π ) r}{2} .$

b) El área es la del rectángulo ( $2 r \cdot h$ ) más la del semicírculo ( $\frac{1}{2} π r^{2}$ ): $A = 2 r h + \frac{π r ^{2}}{2} = r (6 - (2 + π) r) + \frac{π r ^{2}}{2} = 6 r - (2 + π) r^{2} + \frac{π r ^{2}}{2} = 6 r - (2 + \frac{π}{2}) r^{2} .$

c) Dominio: $h > 0$ obliga a $0 < r < \frac{6}{2 + π}$ . $A^{'} (r) = 6 - (4 + π) r = 0 \Rightarrow r = \frac{6}{4 + π} \approx 0, 84$ m, que está en el dominio. $A^{''} (r) = - (4 + π) < 0$ , luego es un máximo. Área máxima: $A = 6 r - \frac{4 + π}{2} r^{2} = 6 r - 3 r = 3 r = \frac{18}{4 + π} \approx 2, 52$ m $^{2}$ (se ha usado que $(4 + π) r = 6$ ).

d) Con $r = \frac{6}{4 + π}$ se tiene $h = \frac{6 - ( 2 + π ) r}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6 ( 4 + π ) - 6 ( 2 + π )}{4 + π} = \frac{6}{4 + π}$ . Por tanto $h = r$ y el cociente vale $1$ .

En el examen: puntúan por separado la función objetivo, la derivada, el valor crítico y la justificación del máximo (signo de $f^{'}$ o $f^{''}$ ). Escribe también el dominio: sin él, un valor crítico fuera de rango pasaría inadvertido.

Errores típicos

Resumen

Función objetivo: la cantidad que se maximiza o se minimiza. Debe quedar en una sola variable usando las condiciones del enunciado.
Se deriva, se resuelve $f^{'} (x) = 0$ y se justifica con $f^{''}$ o con el signo de $f^{'}$ .
Mira siempre el dominio y los extremos del intervalo.
Responde con lo que pregunta el enunciado (variable, valor óptimo) y con unidades.
En la Prueba 2, la gráfica de la función objetivo permite hallar el máximo o el mínimo con la calculadora.

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