IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 12 de 14

Desarrollos de Taylor y Maclaurin

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un polinomio de Taylor aproxima una función cerca de un punto con una expresión que solo usa sumas y productos. Si el punto es $x = 0$ se llama de Maclaurin. Sirve para estimar valores sin calculadora y para resolver límites difíciles. Es contenido de Nivel Superior y aparece en la Prueba 1 y en la 2.

La idea: copiar las derivadas

Para aproximar $f$ cerca de $x = a$ buscamos un polinomio $P$ que coincida con $f$ en el punto $a$ y que además tenga las mismas derivadas ahí: $P (a) = f (a)$ , $P^{'} (a) = f^{'} (a)$ , $P^{''} (a) = f^{''} (a)$ , y así hasta el orden $n$ . Si la función y el polinomio se parecen tanto en $a$ (mismo valor, misma pendiente, misma curvatura...), también se parecen en los puntos cercanos.

La diferencia entre $f$ y el polinomio es el error o resto. Se puede acotar con la fórmula de Lagrange: $R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}$ para algún $c$ entre $a$ y $x$ . Al IB no suele pedirte esta fórmula, pero explica algo importante: el error es pequeño cuando $x$ está cerca de $a$ y cuando $n$ es grande.

Series de Maclaurin que debes conocer

Estas series se obtienen derivando sucesivamente y están en el cuadernillo de fórmulas del IB.

Observa los patrones: $sen x$ solo tiene potencias impares (es una función impar), $cos x$ solo pares (es par), y los signos de ambas se alternan. En la serie del binomio, con $p$ entero positivo se obtiene el teorema del binomio y la serie se corta.

Gráfica de sen x y de sus polinomios de Maclaurin P1, P3 y P5: cuanto mayor es el grado, más se pegan a la curva cerca del origen

Límites con Maclaurin

Si hay un límite indeterminado en $x \to 0$ , se puede sustituir cada función por su desarrollo y simplificar. Los términos de grado alto desaparecen y queda el cociente de los primeros términos relevantes. Es una alternativa a L'Hôpital, y a menudo más corta cuando haría falta derivar tres veces.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Taylor de una raíz cuadrada

Sea $f (x) = x$ .

a) Halla el polinomio de Taylor de grado $2$ de $f$ en $x = 4$ .

b) Úsalo para aproximar $4, 2$ . Escribe el resultado como una fracción.

Solución

a) Se calculan las derivadas en $a = 4$ :

$f (4) = 2$ ;
$f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ , luego $f^{'} (4) = \frac{1}{4}$ ;
$f^{''} (x) = - \frac{1}{4 x ^{3/2}}$ , luego $f^{''} (4) = - \frac{1}{32}$ .

$P_{2} (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4) + \frac{- 1/32}{2 !} (x - 4)^{2} = 2 + \frac{x - 4}{4} - \frac{( x - 4 ) ^{2}}{64} .$

b) Con $x = 4, 2$ se tiene $x - 4 = \frac{1}{5}$ : $P_{2} = 2 + \frac{1}{20} - \frac{1/25}{64} = 2 + \frac{1}{20} - \frac{1}{1600} = \frac{3200 + 80 - 1}{1600} = \frac{3279}{1600} = 2, 049375.$ El valor real es $4, 2 \approx 2, 049390$ : el error es de unas millonésimas.

Ejemplo 2 Medio

Maclaurin de sen(3x) y un límite

a) Halla el desarrollo de Maclaurin de $sen (3 x)$ hasta el término en $x^{5}$ .

b) Usa el resultado para calcular $x \to 0 lim \frac{sen ( 3 x ) - 3 x}{x ^{3}}$ .

Solución

a) Se parte de $sen u = u - \frac{u ^{3}}{3 !} + \frac{u ^{5}}{5 !} - \dots$ y se sustituye $u = 3 x$ : $sen (3 x) = 3 x - \frac{27 x ^{3}}{6} + \frac{243 x ^{5}}{120} - \dots = 3 x - \frac{9}{2} x^{3} + \frac{81}{40} x^{5} - \dots$

b) El numerador es $sen (3 x) - 3 x = - \frac{9}{2} x^{3} + \frac{81}{40} x^{5} - \dots$ . Dividiendo entre $x^{3}$ : $\frac{sen ( 3 x ) - 3 x}{x ^{3}} = - \frac{9}{2} + \frac{81}{40} x^{2} - \dots x \to 0 - \frac{9}{2} .$

Ejemplo 3 Difícil

El producto de dos series

Sea $f (x) = e^{x} cos x$ .

a) Halla el desarrollo de Maclaurin de $f$ hasta el término en $x^{3}$ , multiplicando las series de $e^{x}$ y de $cos x$ .

b) Calcula $x \to 0 lim \frac{e ^{x} cos x - 1 - x}{x ^{3}}$ .

c) Deduce el valor de $f^{'''} (0)$ .

Solución

a) Hasta el grado $3$ : $e^{x} \approx 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6}$ y $cos x \approx 1 - \frac{x ^{2}}{2}$ . Se multiplica y se conservan los términos hasta $x^{3}$ : $(1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6}) (1 - \frac{x ^{2}}{2}) = 1 + x + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) x^{2} + (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}) x^{3} + \dots = 1 + x - \frac{x ^{3}}{3} + \dots$ Por tanto $f (x) \approx 1 + x - \frac{x ^{3}}{3}$ (el término en $x^{2}$ se anula).

b) $e^{x} cos x - 1 - x = - \frac{x ^{3}}{3} + (t e ˊ rminos de grado \geq 4)$ . Dividiendo entre $x^{3}$ y haciendo $x \to 0$ , el límite es $- \frac{1}{3}$ .

c) El coeficiente de $x^{3}$ en la serie es $\frac{f ^{'''} ( 0 )}{3 !}$ . Entonces $\frac{f ^{'''} ( 0 )}{6} = - \frac{1}{3}$ , es decir, $f^{'''} (0) = - 2$ .

En el examen: indica hasta qué grado desarrollas y por qué (el denominador es $x^{3}$ , así que hay que llegar al $x^{3}$ ). Si dejas términos de grado menor sin simplificar o te olvidas de uno, el límite sale mal. Los coeficientes de la serie son $\frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !}$ : esa relación permite hallar derivadas sin derivar.

Errores típicos

Resumen

Taylor en $a$ : $k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}$ . Maclaurin es el caso $a = 0$ .
Series: $e^{x}$ , $sen x$ (potencias impares), $cos x$ (pares), $ln (1 + x)$ , $arctan x$ y $(1 + x)^{p}$ .
Se pueden sustituir ( $g (0) = 0$ ), sumar y multiplicar series, conservando el grado necesario.
Para límites en $0$ , sustituye las funciones por sus desarrollos y simplifica.
El coeficiente de $x^{n}$ es $\frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !}$ : permite obtener derivadas a partir de la serie.

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