IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 5 de 14

Derivada de la función inversa y de las trigonométricas inversas

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

A veces conoces la derivada de $f$ pero no puedes (o no quieres) despejar su inversa. La derivada de $f^{- 1}$ se calcula directamente a partir de la de $f$ : sale del inverso de una pendiente. Con esa idea se obtienen las derivadas de $arcsin$ , $arccos$ y $arctan$ , que en el Nivel Superior hay que saber y que se piden en la Prueba 1 y la Prueba 2.

Derivada de la función inversa

La gráfica de $f^{- 1}$ es la de $f$ reflejada en la recta $y = x$ . Al reflejar, una pendiente $m$ se convierte en $\frac{1}{m}$ (se intercambian los «avances» en horizontal y en vertical). Por eso las tangentes de $f$ en $(a, b)$ y de $f^{- 1}$ en $(b, a)$ tienen pendientes inversas.

Gráficas de f(x)=x³+x y de su inversa, simétricas respecto de y=x, con las tangentes en (1,2) y (2,1) de pendientes 4 y 1/4

La fórmula sale de la regla de la cadena. Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ , al derivar los dos miembros queda $(f^{- 1})^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x) = 1$ . Despejando se obtiene el resultado. Fíjate en que la derivada de la inversa se evalúa en $b = f (a)$ , no en $a$ .

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

Para derivar $y = arcsin x$ se parte de $x = sen y$ (con $y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , donde $cos y \geq 0$ ). Entonces $\frac{d x}{d y} = cos y = 1 - sen^{2} y = 1 - x^{2}$ y, al invertir, queda $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ . Con $arccos$ y $arctan$ se razona igual.

Junto con la regla de la cadena: $(arcsin f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{1 - f ( x ) ^{2}}$ , y análogamente las otras dos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Derivar arcoseno, arcocoseno y arcotangente

Deriva:

a) $y = arcsin (3 x)$ .

b) $y = arctan (\frac{x}{2})$ .

c) $y = arccos (x^{2})$ .

Solución

a) $y^{'} = \frac{3}{1 - ( 3 x ) ^{2}} = \frac{3}{1 - 9 x ^{2}}$ .

b) $y^{'} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{x ^{2}}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{4 + x ^{2}}{4}} = \frac{2}{4 + x ^{2}}$ .

c) $y^{'} = \frac{- 2 x}{1 - ( x ^{2} ) ^{2}} = \frac{- 2 x}{1 - x ^{4}}$ .

Ejemplo 2 Medio

Derivada de una inversa sin despejar

Sea $f (x) = x^{3} + 3 x$ .

a) Calcula $f (2)$ y $f^{'} (2)$ .

b) Explica por qué $f$ tiene inversa y calcula $(f^{- 1})^{'} (14)$ .

c) Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de $f^{- 1}$ en el punto de abscisa $14$ , en la forma $y = m x + n$ .

Solución

a) $f (2) = 8 + 6 = 14$ . Además $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3$ , así que $f^{'} (2) = 15$ .

b) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 > 0$ para todo $x$ , luego $f$ es estrictamente creciente, es inyectiva y tiene inversa. Como $f (2) = 14$ , se tiene $f^{- 1} (14) = 2$ y $(f^{- 1})^{'} (14) = \frac{1}{f ^{'} ( 2 )} = \frac{1}{15} .$

c) El punto de la gráfica de $f^{- 1}$ es $(14, 2)$ y la pendiente es $\frac{1}{15}$ : $y - 2 = \frac{1}{15} (x - 14) ⟹ y = \frac{x}{15} + \frac{16}{15} .$

Ejemplo 3 Difícil

Una derivada que se simplifica

Sea $y = x arcsin x + 1 - x^{2}$ , definida para $- 1 \leq x \leq 1$ .

a) Para $- 1 < x < 1$ , demuestra que $y^{'} = arcsin x$ y escribe el resultado.

b) Calcula el valor exacto de $y^{'}$ en $x = \frac{1}{2}$ .

c) Halla la ecuación de la tangente a la gráfica en $x = \frac{1}{2}$ , con valores exactos.

Solución

a) Se deriva el producto $x arcsin x$ y la raíz (con la cadena): $y^{'} = arcsin x + x \cdot \frac{1}{1 - x ^{2}} + \frac{- 2 x}{2 1 - x ^{2}} = arcsin x + \frac{x}{1 - x ^{2}} - \frac{x}{1 - x ^{2}} = arcsin x .$

b) $y^{'} (\frac{1}{2}) = arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ .

c) El valor de la función es $y (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{6} + 1 - \frac{1}{4} = \frac{π}{12} + \frac{3}{2}$ . La tangente es $y - (\frac{π}{12} + \frac{3}{2}) = \frac{π}{6} (x - \frac{1}{2}) .$

En el examen: cuando un enunciado dice «demuestra que $y^{'} = \dots$ », se puntúa mostrar cada derivación intermedia y la cancelación de los términos iguales. No basta con escribir el resultado.

Errores típicos

Resumen

Si $f (a) = b$ y $f^{'} (a) \neq = 0$ : $(f^{- 1})^{'} (b) = \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ . En Leibniz: $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{d x / d y}$ .
Las gráficas de $f$ y $f^{- 1}$ son simétricas respecto de $y = x$ y las pendientes en puntos simétricos son inversas.
$(arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ , $(arccos x)^{'} = \frac{- 1}{1 - x ^{2}}$ , $(arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ .
Con función interior: se multiplica por su derivada y se sustituye en la fórmula.

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