IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 2 de 14

Derivabilidad y continuidad; operaciones con derivadas

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Que una función sea derivable en un punto es más exigente que ser continua: la gráfica no solo debe «no romperse», también debe ser lisa. Con esta idea se resuelven los ejercicios de funciones a trozos con parámetros, muy frecuentes en el IB, y se justifican las reglas para derivar sumas, productos y cocientes.

Derivable implica continua

La razón: para $x \neq = a$ se puede escribir $f (x) - f (a) = \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} \cdot (x - a) .$ Cuando $x \to a$ , el primer factor tiende a $f^{'} (a)$ , que es un número, y el segundo tiende a $0$ . El producto tiende a $0$ , es decir, $f (x) \to f (a)$ .

El recíproco es falso: hay funciones continuas que no son derivables. Lo que sí se usa mucho es el enunciado contrarrecíproco: si $f$ no es continua en $a$ , no es derivable en $a$ . No hace falta mirar ninguna derivada si ya hay un salto.

Puntos donde no hay derivada

La derivada no existe en un punto $a$ cuando ocurre una de estas tres cosas:

Discontinuidad: la gráfica salta o no está definida en $a$ .
Punto anguloso (una «esquina»): $f$ es continua pero $f^{'} (a^{-}) \neq = f^{'} (a^{+})$ ; hay dos semitangentes distintas. El ejemplo básico es $f (x) = ∣ x ∣$ en $x = 0$ : la pendiente es $- 1$ a la izquierda y $1$ a la derecha.
Tangente vertical: $f$ es continua y el cociente $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ crece sin límite. Ocurre con $f (x) = 3 x$ en $x = 0$ .

Función continua con un punto anguloso en (2,1): semitangentes de pendientes 2 y −1

Funciones definidas a trozos

Una función con varias fórmulas puede ser derivable en el punto donde cambia de fórmula, pero solo si empalma bien y además sin esquina.

Si la función no es continua en $a$ , ya no hace falta el paso 2.

Operaciones con funciones derivables

Si $f$ y $g$ son derivables en un punto, también lo son la suma, el producto y el cociente (este, si $g \neq = 0$ allí).

Las de la suma y de la constante se deducen directamente del límite. Para el producto basta sumar y restar $f (x) g (x + h)$ en el numerador de la definición: $\frac{f ( x + h ) g ( x + h ) - f ( x ) g ( x )}{h} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} g (x + h) + f (x) \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h},$ y al hacer $h \to 0$ queda $f^{'} g + f g^{'}$ (se usa que $g$ , al ser derivable, es continua y $g (x + h) \to g (x)$ ). La del cociente sale aplicando el producto a $f \cdot \frac{1}{g}$ .

La derivada del producto no es el producto de las derivadas: por eso hay que usar la regla. En el apartado siguiente se aplican estas reglas a las funciones habituales.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Esquina en un valor absoluto

Sea $f (x) = ∣ x - 2∣$ .

a) Calcula $f^{'} (2^{-})$ .

b) Calcula $f^{'} (2^{+})$ .

c) ¿Es $f$ derivable en $x = 2$ ? Responde «si» o «no».

Solución

Se escribe $f$ por trozos: $f (x) = 2 - x$ si $x < 2$ , y $f (x) = x - 2$ si $x \geq 2$ . Es continua en $2$ , porque los dos trozos valen $0$ allí.

a) A la izquierda $f (x) = 2 - x$ y su derivada es $- 1$ : $f^{'} (2^{-}) = - 1$ .

b) A la derecha $f (x) = x - 2$ y su derivada es $1$ : $f^{'} (2^{+}) = 1$ .

c) Las derivadas laterales no coinciden ( $- 1 \neq = 1$ ): la gráfica tiene una esquina y no es derivable en $x = 2$ .

Ejemplo 2 Medio

Reglas con una tabla de valores

De dos funciones derivables $f$ y $g$ se conocen estos datos en $x = 2$ :

	$f$	$g$	$f^{'}$	$g^{'}$
$x = 2$	$3$	$- 1$	$4$	$2$

a) Calcula la derivada de $3 f - 2 g$ en $x = 2$ .

b) Calcula la derivada de $f g$ en $x = 2$ .

c) Calcula la derivada de $\frac{f}{g}$ en $x = 2$ .

d) Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de $y = f (x) g (x)$ en $x = 2$ , en la forma $y = m x + n$ .

Solución

a) $(3 f - 2 g)^{'} (2) = 3 f^{'} (2) - 2 g^{'} (2) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 8$ .

b) $(f g)^{'} (2) = f^{'} (2) g (2) + f (2) g^{'} (2) = 4 \cdot (- 1) + 3 \cdot 2 = 2$ .

c) $(\frac{f}{g})^{'} (2) = \frac{f ^{'} ( 2 ) g ( 2 ) - f ( 2 ) g ^{'} ( 2 )}{g ( 2 ) ^{2}} = \frac{4 \cdot ( - 1 ) - 3 \cdot 2}{( - 1 ) ^{2}} = - 10$ .

d) El punto es $(2, f (2) g (2)) = (2, - 3)$ y la pendiente es $(f g)^{'} (2) = 2$ : $y + 3 = 2 (x - 2) ⟹ y = 2 x - 7.$

Ejemplo 3 Difícil

Parámetros para que una función a trozos sea derivable

Sea $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a x^{2} + b x \frac{1}{x} si x \leq 1, si x > 1,$ con $a, b \in R$ .

a) Para $x \to 1^{+}$ , calcula $x \to 1^{+} lim f (x)$ y $f^{'} (1^{+})$ .

b) Para $x \to 1^{-}$ , calcula el límite de $f$ y $f^{'} (1^{-})$ en función de $a$ y $b$ .

c) Halla los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en $x = 1$ .

d) Con esos valores, halla la ecuación de la tangente a la gráfica en $x = 2$ .

Solución

a) Para $x > 1$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ , así que $x \to 1^{+} lim f (x) = 1$ . Su derivada es $- \frac{1}{x ^{2}}$ , y $f^{'} (1^{+}) = - 1$ .

b) Para $x \leq 1$ , $f (x) = a x^{2} + b x$ : $x \to 1^{-} lim f (x) = a + b$ . Su derivada es $2 a x + b$ , y $f^{'} (1^{-}) = 2 a + b$ .

c) Para que sea derivable debe ser continua y tener derivadas laterales iguales: $a + b 2 a + b = 1 = - 1 (continuidad) (derivadas laterales)$ Restando, $a = - 2$ , y entonces $b = 3$ .

d) En $x = 2$ estamos en el trozo $\frac{1}{x}$ : $f (2) = \frac{1}{2}$ y $f^{'} (2) = - \frac{1}{4}$ . La tangente es $y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} (x - 2) ⟹ y = - \frac{x}{4} + 1.$

En el examen: escribe las dos condiciones por separado (continuidad y derivadas laterales) y di cuál es cuál. Mucha gente plantea solo una y se queda con un parámetro sin determinar.

Errores típicos

Resumen

Derivable en $a$ $\Rightarrow$ continua en $a$ . El recíproco es falso ( $∣ x ∣$ en $0$ ).
No hay derivada en un punto si hay discontinuidad, un punto anguloso ( $f^{'} (a^{-}) \neq = f^{'} (a^{+})$ ) o una tangente vertical.
Función a trozos: derivable en $a$ si es continua en $a$ y las derivadas laterales coinciden; con parámetros, cada condición da una ecuación.
$(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$ , $(k f)^{'} = k f^{'}$ , $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ , $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ .

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