IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 14 de 14

Derivación implícita

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Hay curvas cuya ecuación mezcla $x$ e $y$ y no se puede (o no conviene) despejar $y$ , como $x^{2} + x y + y^{2} = 3$ . La derivación implícita permite hallar $\frac{d y}{d x}$ derivando la ecuación tal cual. Con ella obtienes pendientes de tangentes, tangentes horizontales y segundas derivadas. Es contenido de Nivel Superior y se pide sobre todo en la Prueba 1.

Función implícita

Una curva está dada en forma implícita cuando se describe con una ecuación $F (x, y) = 0$ en lugar de $y = f (x)$ . Una circunferencia, por ejemplo, $x^{2} + y^{2} = 25$ , no es la gráfica de una única función de $x$ . Aun así, cerca de cada punto de la curva, $y$ se comporta como una función derivable de $x$ , y eso basta para derivar.

La regla

Se deriva ambos miembros respecto de $x$ , recordando que $y$ depende de $x$ . Todo lo que contenga $y$ se deriva con la regla de la cadena: aparece un factor $\frac{d y}{d x}$ (o $y^{'}$ ).

La razón: $y^{2}$ es una función compuesta, $(y (x))^{2}$ , y su derivada es $2 y \cdot y^{'}$ igual que la de $(algo)^{2}$ es $2 \cdot (algo) \cdot (algo)^{'}$ . Y $x y$ es un producto de dos funciones de $x$ , así que se usa la regla del producto.

Segunda derivada implícita

Para hallar $y^{''}$ , se deriva de nuevo la expresión de $y^{'}$ (o la ecuación ya derivada) y se sustituye $y^{'}$ por su expresión. Si piden $y^{''}$ en un punto con $y^{'} = 0$ , el cálculo se simplifica: los términos con $y^{'}$ desaparecen.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Pendiente en una elipse

La curva $x^{2} + 4 y^{2} = 20$ pasa por el punto $(2, 2)$ .

a) Halla $\frac{d y}{d x}$ en función de $x$ e $y$ .

b) Halla la pendiente de la tangente en $(2, 2)$ .

Solución

a) Se deriva respecto de $x$ : $2 x + 8 y \frac{d y}{d x} = 0$ . Se despeja: $\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{8 y} = - \frac{x}{4 y} .$

b) En $(2, 2)$ : $\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{8} = - \frac{1}{4}$ .

Ejemplo 2 Medio

Tangente y normal

Sea la curva $x^{2} y + y^{3} = 10$ , que pasa por el punto $P (1, 2)$ .

a) Halla $\frac{d y}{d x}$ en función de $x$ e $y$ .

b) Halla la pendiente de la tangente en $P$ .

c) Halla las ecuaciones de la tangente y de la normal en $P$ , en la forma $y = m x + n$ .

Solución

a) Se deriva respecto de $x$ , con la regla del producto en el primer término: $2 x y + x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 y^{2} \frac{d y}{d x} = 0.$ Se agrupan: $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3 y^{2}) = - 2 x y$ , de modo que $\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x ^{2} + 3 y ^{2}} .$

b) En $(1, 2)$ : $\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{1 + 12} = - \frac{4}{13}$ .

c) Tangente: $y - 2 = - \frac{4}{13} (x - 1)$ , es decir, $y = - \frac{4}{13} x + \frac{30}{13}$ . La normal tiene pendiente $\frac{13}{4}$ : $y - 2 = \frac{13}{4} (x - 1)$ , es decir, $y = \frac{13}{4} x - \frac{5}{4}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Tangentes horizontales y segunda derivada

Sea la curva $x^{2} + x y + y^{2} = 3$ .

a) Halla $\frac{d y}{d x}$ .

b) Halla los puntos de la curva en los que la tangente es horizontal.

c) Halla $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ en cada uno de esos puntos (en el orden de la abscisa creciente) y decide si se trata de un máximo o de un mínimo de $y$ .

Solución

a) Se deriva: $2 x + y + x \frac{d y}{d x} + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$ , es decir, $(x + 2 y) \frac{d y}{d x} = - (2 x + y)$ : $\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y} .$

b) La tangente es horizontal si $2 x + y = 0$ , es decir $y = - 2 x$ . Se sustituye en la ecuación de la curva: $x^{2} + x (- 2 x) + 4 x^{2} = 3 x^{2} = 3 \Rightarrow x = \pm 1$ . Los puntos son $(- 1, 2)$ y $(1, - 2)$ (en ambos $x + 2 y \neq = 0$ ).

c) Se deriva la ecuación $2 x + y + (x + 2 y) y^{'} = 0$ otra vez respecto de $x$ : $2 + y^{'} + (1 + 2 y^{'}) y^{'} + (x + 2 y) y^{''} = 0.$ En los puntos con $y^{'} = 0$ queda $2 + (x + 2 y) y^{''} = 0$ , luego $y^{''} = - \frac{2}{x + 2 y}$ .

En $(- 1, 2)$ : $x + 2 y = 3$ , $y^{''} = - \frac{2}{3} < 0$ : máximo de $y$ .
En $(1, - 2)$ : $x + 2 y = - 3$ , $y^{''} = \frac{2}{3} > 0$ : mínimo de $y$ .

En el examen: escribe cada derivada con claridad y justifica que el punto está en la curva. Para $y^{''}$ , deriva la expresión ya agrupada y sustituye $y^{'}$ , o usa que $y^{'} = 0$ en esos puntos, como aquí. Comprueba que los puntos de tangente horizontal cumplen también la ecuación original.

Errores típicos

Resumen

Se deriva la ecuación respecto de $x$ ; cada término con $y$ lleva el factor $y^{'}$ (regla de la cadena) y $x y$ lleva la regla del producto.
Se agrupan los términos en $y^{'}$ , se saca factor común y se despeja.
Pendiente en un punto: sustituye $x$ e $y$ . Tangente: $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ ; normal: pendiente $- \frac{1}{m}$ .
Tangente horizontal: numerador de $y^{'}$ igual a $0$ ; vertical: denominador igual a $0$ . El punto debe estar en la curva.
$y^{''}$ : deriva otra vez y sustituye $y^{'}$ .

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