IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 7 de 14

Crecimiento, decrecimiento y extremos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La derivada dice hacia dónde va la gráfica: si $f^{'} > 0$ sube, si $f^{'} < 0$ baja. Estudiando el signo de $f^{'}$ se encuentran los intervalos donde $f$ crece o decrece y sus máximos y mínimos. Es la herramienta de los problemas de «halle los valores máximo y mínimo» del IB, con y sin calculadora.

Signo de la derivada y crecimiento

Una función es creciente en un intervalo si, al aumentar $x$ , aumenta $f (x)$ ; es decreciente si disminuye. Como $f^{'} (a)$ es la pendiente de la tangente, el signo de la derivada lo indica.

Por ejemplo, $f (x) = x^{3} + x + 5$ tiene $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ siempre, y es creciente en todo $R$ . Y $g (x) = - e^{2 x}$ tiene $g^{'} (x) = - 2 e^{2 x} < 0$ : es decreciente en todo $R$ .

Puntos críticos y extremos locales

Un máximo local es un punto donde $f$ pasa de crecer a decrecer (la gráfica «sube y luego baja»); un mínimo local, donde pasa de decrecer a crecer. Ambos son extremos locales.

Si $f$ es derivable y tiene un extremo local en $a$ , la tangente allí es horizontal: $f^{'} (a) = 0$ . Los puntos con $f^{'} (a) = 0$ se llaman estacionarios. Si además se incluyen los puntos donde $f^{'}$ no existe (esquinas), se habla de puntos críticos: los extremos locales están siempre entre ellos.

Gráfica de f(x)=x³−3x²−9x+4 con máximo local en (−1,9) y mínimo local en (3,−23) y el signo de f' en cada intervalo

Gráfica de y=x³: la tangente en el origen es horizontal pero no hay máximo ni mínimo

Extremos absolutos en un intervalo cerrado

El máximo absoluto de $f$ en un intervalo es el mayor valor que alcanza allí; el mínimo absoluto, el menor. Una función continua en un intervalo cerrado $[p, q]$ siempre alcanza ambos. Pueden estar en un extremo local o en un extremo del intervalo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Máximo y mínimo de una cúbica

Sea $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 4$ .

a) Halla $f^{'} (x)$ .

b) Halla las abscisas de los puntos estacionarios, de menor a mayor.

c) Determina los extremos locales y su tipo: primero el máximo local y luego el mínimo local, como puntos $(x, y)$ .

Solución

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1)$ .

b) $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - 1$ o $x = 3$ .

c) Signo de $f^{'}$ : para $x < - 1$ es positiva (ambos factores son negativos y su producto positivo); entre $- 1$ y $3$ es negativa; para $x > 3$ es positiva.

$x$	$x < - 1$	$- 1$	$- 1 < x < 3$	$3$	$x > 3$
$f^{'}$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	crece	máx.	decrece	mín.	crece

En $x = - 1$ pasa de $+$ a $-$ : máximo local, con $f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 4 = 9$ . En $x = 3$ pasa de $-$ a $+$ : mínimo local, con $f (3) = 27 - 27 - 27 + 4 = - 23$ .

Máximo local en $(- 1, 9)$ y mínimo local en $(3, - 23)$ .

Ejemplo 2 Medio

Un cociente con extremos

Sea $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ .

a) Halla $f^{'} (x)$ .

b) Estudia el signo de $f^{'}$ y halla los intervalos donde $f$ es creciente.

c) Halla el máximo y el mínimo locales de $f$ (primero el mínimo, después el máximo, como puntos $(x, y)$ ).

Solución

a) Cociente: $f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

b) El denominador es siempre positivo; el signo lo marca $1 - x^{2}$ . Se anula en $x = \pm 1$ . Es positivo en $] - 1, 1 [$ y negativo fuera. Por tanto $f$ es creciente en $] - 1, 1 [$ y decreciente en $] - \infty, - 1 [$ y en $] 1, + \infty [$ .

c) En $x = - 1$ , $f^{'}$ pasa de $-$ a $+$ : mínimo local, con $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ . En $x = 1$ pasa de $+$ a $-$ : máximo local, con $f (1) = \frac{1}{2}$ .

El mínimo local es $(- 1, - \frac{1}{2})$ y el máximo local $(1, \frac{1}{2})$ .

Ejemplo 3 Difícil

Extremos absolutos en un intervalo

Sea $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 3$ , definida en el intervalo $[- 1, 3]$ .

a) Halla los puntos estacionarios de $f$ que están en el interior del intervalo (de menor a mayor abscisa).

b) Calcula $f$ en esos puntos y en los extremos del intervalo.

c) Halla el máximo absoluto de $f$ en $[- 1, 3]$ como punto $(x, y)$ .

d) Halla el mínimo absoluto de $f$ en $[- 1, 3]$ como punto $(x, y)$ .

Solución

a) $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 16 x = 4 x (x^{2} - 4) = 4 x (x - 2) (x + 2)$ . Se anula en $x = - 2$ , $x = 0$ y $x = 2$ . De ellos, $x = - 2$ no está en $[- 1, 3]$ . Quedan $x = 0$ y $x = 2$ .

b) Se calcula $f$ en los candidatos:

$x$	$- 1$	$0$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 4$	$3$	$- 13$	$12$

c) El mayor valor de la tabla es $12$ , que se alcanza en el extremo $x = 3$ : máximo absoluto en $(3, 12)$ .

d) El menor valor es $- 13$ , en $x = 2$ : mínimo absoluto en $(2, - 13)$ .

En el examen: en un intervalo cerrado hay que mirar también los extremos; el máximo absoluto aquí no es un punto estacionario. Muestra la tabla de valores: es lo que se puntúa al comparar. Si usas la calculadora, di que dibujas $f$ en el intervalo dado.

Errores típicos

Resumen

$f^{'} > 0$ en un intervalo $\Rightarrow$ $f$ creciente; $f^{'} < 0 \Rightarrow$ decreciente.
Un extremo local de una función derivable cumple $f^{'} (a) = 0$ , pero $f^{'} (a) = 0$ no implica extremo ( $x^{3}$ en $0$ ).
Primera derivada: $f^{'}$ pasa de $+$ a $-$ , máximo local; de $-$ a $+$ , mínimo local; sin cambio, no hay extremo.
Extremos absolutos en $[p, q]$ : compara $f$ en los puntos críticos interiores y en $p$ y $q$ .
Las coordenadas de un extremo son $(a, f (a))$ : no olvides calcular $f (a)$ .

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