IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 13 de 14

Movimiento rectilíneo: posición, velocidad y aceleración

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Si conoces la posición de un objeto que se mueve sobre una recta en función del tiempo, la primera derivada da su velocidad y la segunda su aceleración. Con los signos de ambas puedes decir cuándo se detiene, cuándo da la vuelta y si acelera o frena. Es un tema típico del IB, con y sin calculadora.

Posición, velocidad y aceleración

Un objeto se mueve sobre una recta. Su posición (o desplazamiento desde un punto fijo $O$ ) en el instante $t$ es $s (t)$ . El signo de $s$ indica de qué lado de $O$ está.

La velocidad lleva signo: si $v > 0$ el objeto se mueve en el sentido positivo; si $v < 0$ , en el negativo. La rapidez solo dice lo deprisa que va, sin sentido. Unidades típicas: $s$ en metros, $v$ en m/s, $a$ en m/s $^{2}$ .

La razón del segundo punto: si el objeto va hacia la derecha ( $v > 0$ ) y $a > 0$ , la velocidad crece y el objeto va cada vez más deprisa. Pero si va hacia la izquierda ( $v < 0$ ) y $a > 0$ , la velocidad sube hacia el $0$ : va cada vez más despacio. Por eso no basta mirar el signo de $a$ .

Gráfica de la posición s(t)=t^3-9t^2+24t: avanza hasta t=2, retrocede entre t=2 y t=4 y vuelve a avanzar después

Distancia recorrida

El desplazamiento entre $t_{1}$ y $t_{2}$ es $s (t_{2}) - s (t_{1})$ y puede ser negativo o cero si el objeto vuelve al punto de partida. La distancia recorrida es siempre positiva y cuenta todo el camino, también la vuelta.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Velocidad, aceleración y signos

Una partícula se mueve sobre una recta con posición $s (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 15 t$ metros, donde $t \geq 0$ es el tiempo en segundos.

a) Halla $v (t)$ y $a (t)$ .

b) Halla $v (2)$ y $a (2)$ .

c) En $t = 2$ , ¿acelera o frena la partícula? Responde «acelera» o «frena».

Solución

a) $v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 18 t + 15$ y $a (t) = v^{'} (t) = 6 t - 18$ .

b) $v (2) = 12 - 36 + 15 = - 9$ m/s y $a (2) = 12 - 18 = - 6$ m/s $^{2}$ .

c) $v (2)$ y $a (2)$ son ambas negativas: tienen el mismo signo. La rapidez aumenta, luego la partícula acelera. Se mueve hacia el sentido negativo y cada vez más deprisa.

Ejemplo 2 Medio

Cambios de sentido y distancia recorrida

La posición de una partícula sobre una recta es $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t + 2$ metros, con $t$ en segundos.

a) Halla los instantes en que la partícula se detiene.

b) Halla la aceleración en esos instantes (en orden creciente de $t$ ).

c) Halla la distancia total recorrida entre $t = 0$ y $t = 4$ .

d) Halla el desplazamiento entre $t = 0$ y $t = 4$ .

Solución

a) $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9 = 3 (t - 1) (t - 3)$ . Se anula en $t = 1$ y $t = 3$ .

b) $a (t) = 6 t - 12$ . Entonces $a (1) = - 6$ y $a (3) = 6$ m/s $^{2}$ .

c) La partícula cambia de sentido en $t = 1$ y $t = 3$ . Se calcula la posición en los extremos de los tramos: $s (0) = 2$ , $s (1) = 6$ , $s (3) = 2$ y $s (4) = 6$ .

De $0$ a $1$ : $∣ 6 - 2 ∣ = 4$ .
De $1$ a $3$ : $∣ 2 - 6 ∣ = 4$ .
De $3$ a $4$ : $∣ 6 - 2 ∣ = 4$ .

Distancia total: $4 + 4 + 4 = 12$ m.

d) Desplazamiento: $s (4) - s (0) = 6 - 2 = 4$ m. Es distinto de la distancia, porque la partícula ha ido y vuelto.

Ejemplo 3 Difícil

Rapidez máxima de una partícula

La posición de una partícula es $s (t) = t^{2} e^{- t}$ metros, con $t \geq 0$ segundos.

a) Halla $v (t)$ y $a (t)$ .

b) Halla el instante $t > 0$ en que la partícula se detiene.

c) En el intervalo $0 \leq t \leq 2$ , halla el instante de mayor rapidez y el valor de esa rapidez, en forma exacta.

d) En $t = 1$ , ¿acelera o frena? Responde «acelera» o «frena».

Solución

a) Por la regla del producto, $v (t) = 2 t e^{- t} - t^{2} e^{- t} = t (2 - t) e^{- t}$ . Derivando otra vez, $a (t) = (2 - 2 t) e^{- t} - (2 t - t^{2}) e^{- t} = (t^{2} - 4 t + 2) e^{- t} .$

b) $v (t) = 0$ con $t > 0$ exige $2 - t = 0$ , luego $t = 2$ s (la exponencial nunca es cero).

c) En $[0, 2]$ , $v (t) \geq 0$ , así que la rapidez es $v (t)$ . Los extremos valen $v (0) = 0$ y $v (2) = 0$ , y el máximo se da donde $v^{'} (t) = a (t) = 0$ : $t^{2} - 4 t + 2 = 0 \Rightarrow t = 2 \pm 2$ . Solo $t = 2 - 2 \approx 0, 59$ está en $[0, 2]$ . La rapidez máxima es $v (2 - 2) = (2 - 2) 2 e^{- (2 - 2)} = 2 (2 - 1) e^{2 - 2} \approx 0, 461 m/s .$

d) $v (1) = e^{- 1} > 0$ y $a (1) = (1 - 4 + 2) e^{- 1} = - e^{- 1} < 0$ . Signos contrarios: frena.

En el examen: una rapidez máxima se justifica con $a (t) = 0$ y comparando con los extremos del intervalo; en la Prueba 2 también puedes hallarla con la gráfica de $∣ v ∣$ . Escribe el signo de $v$ antes de decir si acelera o frena.

Errores típicos

Resumen

$v = s^{'}$ , $a = v^{'} = s^{''}$ , rapidez $= ∣ v ∣$ .
$v = 0$ : parada momentánea; si $v$ cambia de signo, cambia de sentido.
$v$ y $a$ con el mismo signo: acelera. Con signos contrarios: frena.
Distancia recorrida: suma de $∣ Δ s ∣$ en los tramos entre cambios de sentido. El desplazamiento es $s (t_{2}) - s (t_{1})$ .
La rapidez máxima aparece donde $a = 0$ (o en los extremos del intervalo).

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