IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 3 de 14

Cálculo de derivadas

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Derivar casi nunca se hace con el límite: se usan las derivadas de unas pocas funciones básicas y las reglas de la suma, el producto y el cociente. Dominar este apartado es la base de todo el tema, porque en cada problema de pendientes, extremos u optimización hay que derivar primero.

Derivadas de las funciones básicas

Algunas ideas para entenderlas:

Constante: su gráfica es una recta horizontal, con pendiente $0$ en todos los puntos.
Potencia $x^{n}$ : se baja el exponente multiplicando y se resta $1$ al exponente. Vale para exponentes enteros positivos (se comprueba desarrollando $(x + h)^{n}$ con el binomio) y también para exponentes negativos y fraccionarios. De ahí sale la de la raíz: $x = x^{1/2}$ , luego $\frac{1}{2} x^{- 1/2} = \frac{1}{2 x}$ .
Seno y coseno: salen del límite de la definición usando $h \to 0 lim \frac{sen h}{h} = 1$ y $h \to 0 lim \frac{cos h - 1}{h} = 0$ .
Tangente: se escribe $tan x = \frac{sen x}{cos x}$ y se aplica el cociente: $\frac{cos ^{2} x + sen ^{2} x}{cos ^{2} x} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ .

Gráficas de seno y coseno: donde el seno alcanza su máximo o su mínimo, el coseno vale 0

Preparar la función antes de derivar

Muchas funciones se derivan fácilmente si primero se reescriben como suma de potencias:

$\frac{5}{x ^{2}} = 5 x^{- 2}, 3 x^{2} = x^{2/3}, \frac{x ^{3} - 4 x}{x} = x^{2} - 4 (x \neq = 0) .$

Así se evita aplicar la regla del cociente donde basta la de la potencia. En cambio, si el denominador es una expresión con $x$ (como $x^{2} + 1$ ), no se puede «dividir término a término» y hay que usar el cociente.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Potencias y raíces

Sea $f (x) = 4 x^{3} - \frac{6}{x ^{2}} + 5 x - 7$ .

a) Halla $f^{'} (x)$ .

b) Calcula $f^{'} (1)$ .

Solución

a) Se reescribe $f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{- 2} + 5 x^{1/2} - 7$ y se deriva cada término: $f^{'} (x) = 12 x^{2} + 12 x^{- 3} + \frac{5}{2} x^{- 1/2} = 12 x^{2} + \frac{12}{x ^{3}} + \frac{5}{2 x} .$

b) $f^{'} (1) = 12 + 12 + \frac{5}{2} = \frac{53}{2}$ .

Ejemplo 2 Medio

Producto y cociente

Deriva y simplifica:

a) $g (x) = x^{2} sen x$ .

b) $h (x) = \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 2}$ .

c) $k (x) = \frac{sen x}{1 + cos x}$ .

Solución

a) Producto: $g^{'} (x) = 2 x sen x + x^{2} cos x$ .

b) Cociente, con numerador $3 x + 1$ y denominador $x^{2} + 2$ : $h^{'} (x) = \frac{3 ( x ^{2} + 2 ) - ( 3 x + 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}} = \frac{3 x ^{2} + 6 - 6 x ^{2} - 2 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}} = \frac{- 3 x ^{2} - 2 x + 6}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}} .$

c) Cociente: $k^{'} (x) = \frac{cos x ( 1 + cos x ) - sen x \cdot ( - sen x )}{( 1 + cos x ) ^{2}} = \frac{cos x + cos ^{2} x + sen ^{2} x}{( 1 + cos x ) ^{2}} = \frac{1 + cos x}{( 1 + cos x ) ^{2}} = \frac{1}{1 + cos x} .$ Se ha usado $cos^{2} x + sen^{2} x = 1$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una cúbica con parámetros

La gráfica de $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ pasa por el punto $(- 1, 0)$ y su tangente en $x = 1$ tiene pendiente $- 1$ .

a) Escribe $f^{'} (x)$ en función de $a$ y $b$ .

b) Halla $a$ y $b$ .

c) Halla las abscisas de los puntos de la gráfica con tangente horizontal (de menor a mayor).

d) Halla la ecuación de la normal en $x = 1$ .

Solución

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ .

b) Pasa por $(- 1, 0)$ : $f (- 1) = - 1 + a - b = 0$ , es decir, $a - b = 1$ . Pendiente $- 1$ en $x = 1$ : $f^{'} (1) = 3 + 2 a + b = - 1$ , es decir, $2 a + b = - 4$ . Sumando las dos ecuaciones: $3 a = - 3 \Rightarrow a = - 1$ , y entonces $b = a - 1 = - 2$ . Así, $f (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x$ .

c) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2 \pm 4 + 24}{6} = \frac{1 \pm 7}{3}$ .

d) $f (1) = 1 - 1 - 2 = - 2$ y $f^{'} (1) = - 1$ . La pendiente de la normal es $1$ : $y + 2 = 1 \cdot (x - 1) ⟹ y = x - 3.$

En el examen: traduce cada dato del enunciado a una ecuación («pasa por» es una condición sobre $f$ ; «pendiente» lo es sobre $f^{'}$ ). Después de hallar los parámetros, comprueba que se cumplen las dos condiciones.

Errores típicos

Resumen

$(k)^{'} = 0$ , $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ .
$(sen x)^{'} = cos x$ , $(cos x)^{'} = - sen x$ , $(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ (siempre en radianes).
Reescribe raíces y denominadores simples con exponentes antes de derivar.
Producto: $f^{'} g + f g^{'}$ . Cociente: $\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ .
Con parámetros, «pasa por un punto» usa $f$ y «pendiente» o «tangente horizontal» usa $f^{'}$ .

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$f (x)$	$f^{'} (x)$
$k$ (constante)	$0$
$x^{n}$ , con $n \in Q$	$n x^{n - 1}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$
$sen x$	$cos x$
$cos x$	$- sen x$
$tan x$	$\frac{1}{cos ^{2} x}$