IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 4 de 14

Regla de la cadena

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La regla de la cadena permite derivar una función «dentro de otra», como $sen (x^{2})$ o $(3 x - 1)^{5}$ . Es la regla que más se usa en el IB: casi toda función de examen lleva alguna composición, y los apartados siguientes (inversas, exponenciales, razón de cambio) se apoyan en ella.

La regla

Una función compuesta $y = f (g (x))$ se puede ver como dos pasos: primero $u = g (x)$ y después $y = f (u)$ . Si $x$ cambia un poco, $u$ cambia en proporción $\frac{d u}{d x}$ , y a su vez $y$ cambia en proporción $\frac{d y}{d u}$ . Los dos factores se multiplican.

Dicho con palabras: derivada de la función de fuera, evaluada en lo de dentro, por la derivada de lo de dentro.

Casos que se repiten (con $a, b, n$ constantes):

$(f (x)^{n})^{'} = n f (x)^{n - 1} \cdot f^{'} (x)$ , por ejemplo $((2 x + 1)^{5})^{'} = 5 (2 x + 1)^{4} \cdot 2 = 10 (2 x + 1)^{4}$ .
$(f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}$ .
$(f (a x + b))^{'} = a f^{'} (a x + b)$ , por ejemplo $(sen (5 x))^{'} = 5 cos (5 x)$ .

Varias capas

Si hay tres funciones encadenadas, se sigue desde fuera hacia dentro, multiplicando una derivada por capa. Para $y = sen^{2} (3 x) = (sen (3 x))^{2}$ :

$y^{'} = 2 sen (3 x) \cdot cos (3 x) \cdot 3 = 6 sen (3 x) cos (3 x) .$

Las capas son: elevar al cuadrado, el seno y el producto por $3$ .

Derivadas de orden superior

La derivada de $f^{'}$ se llama derivada segunda, $f^{''}$ (o $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ ); la de $f^{''}$ es la tercera, $f^{'''}$ , y en general $f^{(n)}$ es la derivada $n$ -ésima. Se obtienen derivando sucesivamente, usando cada vez las reglas que hagan falta (producto, cociente, cadena).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tres derivadas de una capa

Deriva:

a) $y = (3 x^{2} - 5)^{4}$ .

b) $y = 2 x + 1$ .

c) $y = cos (5 x)$ .

Solución

a) Fuera: potencia $4$ ; dentro: $3 x^{2} - 5$ . $y^{'} = 4 (3 x^{2} - 5)^{3} \cdot 6 x = 24 x (3 x^{2} - 5)^{3} .$

b) Fuera: raíz; dentro: $2 x + 1$ , con derivada $2$ : $y^{'} = \frac{2}{2 2 x + 1} = \frac{1}{2 x + 1} .$

c) Fuera: coseno; dentro: $5 x$ , con derivada $5$ : $y^{'} = - sen (5 x) \cdot 5 = - 5 sen (5 x) .$

Ejemplo 2 Medio

Varias capas

Calcula $\frac{d y}{d x}$ :

a) $y = sen^{4} (3 x)$ .

b) $y = 1 + cos x$ .

c) $y = \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}}$ .

Solución

a) Tres capas: potencia $4$ , seno, y $3 x$ : $\frac{d y}{d x} = 4 sen^{3} (3 x) \cdot cos (3 x) \cdot 3 = 12 sen^{3} (3 x) cos (3 x) .$

b) Raíz de $1 + cos x$ , cuya derivada es $- sen x$ : $\frac{d y}{d x} = \frac{- sen x}{2 1 + cos x} .$

c) Se reescribe $y = (x^{2} + 1)^{- 3}$ y se aplica la potencia: $\frac{d y}{d x} = - 3 (x^{2} + 1)^{- 4} \cdot 2 x = \frac{- 6 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{4}} .$

Ejemplo 3 Difícil

Derivadas sucesivas y tangente

Sea $f (x) = sen (x^{2})$ .

a) Halla $f^{'} (x)$ .

b) Halla $f^{''} (x)$ .

c) Calcula el valor exacto de $f^{''} (\frac{π}{2})$ .

d) Halla la ecuación de la tangente a la gráfica en $x = π$ .

Solución

a) Fuera: seno; dentro: $x^{2}$ . Luego $f^{'} (x) = cos (x^{2}) \cdot 2 x = 2 x cos (x^{2})$ .

b) Es un producto, y dentro aparece otra cadena: $f^{''} (x) = 2 cos (x^{2}) + 2 x \cdot (- sen (x^{2}) \cdot 2 x) = 2 cos (x^{2}) - 4 x^{2} sen (x^{2}) .$

c) Con $x^{2} = \frac{π}{2}$ : $cos \frac{π}{2} = 0$ y $sen \frac{π}{2} = 1$ , así que $f^{''} = 2 \cdot 0 - 4 \cdot \frac{π}{2} \cdot 1 = - 2 π .$

d) Con $x = π$ resulta $x^{2} = π$ . Entonces $f (π) = sen π = 0$ y $f^{'} (π) = 2 π cos π = - 2 π$ . La tangente es $y - 0 = - 2 π (x - π) ⟹ y = - 2 π x + 2 π .$

En el examen: al derivar una vez más, cuenta bien cuántas capas y factores hay. Los valores exactos (sin decimales) se piden cuando los ángulos son «notables»: deja $π$ y las raíces sin aproximar.

Errores típicos

Resumen

$(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ; en Leibniz, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$ .
De fuera hacia dentro: derivada de la de fuera (sin tocar el interior) por la derivada del interior.
$(f^{n})^{'} = n f^{n - 1} f^{'}$ , $(f)^{'} = \frac{f ^{'}}{2 f}$ , $(f (a x + b))^{'} = a f^{'} (a x + b)$ .
Con tres funciones encadenadas hay un factor por capa.
$f^{''}$ es la derivada de $f^{'}$ ; $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ es su notación de Leibniz.

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