IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 6 de 14

Derivadas de exponenciales y logaritmos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La función $e^{x}$ es la única exponencial que es igual a su propia derivada, y $ln x$ es su inversa. Con ellas, la regla de la cadena y un truco (tomar logaritmos) se derivan exponentes variables como $x^{x}$ . En el IB aparecen en casi todos los problemas de modelización, crecimiento y extremos.

La exponencial de base $e$ y el logaritmo neperiano

El número $e \approx 2, 718$ se define precisamente como la base para la que la tangente a $y = a^{x}$ en $x = 0$ tiene pendiente $1$ , es decir, $h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} = 1$ . De ahí sale la derivada: $\frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h} = e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h} ⟶ e^{x} .$

La de $ln x$ se obtiene con la inversa: si $y = ln x$ , entonces $x = e^{y}$ y $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e ^{y}} = \frac{1}{x}$ .

Gráficas de y=e^x e y=ln x, simétricas respecto de y=x, con sus tangentes de pendiente 1 en (0,1) y (1,0)

Otras bases

Para una base $a > 0$ , $a \neq = 1$ , se usa $a^{x} = e^{x l n a}$ y $lo g_{a} x = \frac{ln x}{ln a}$ . Al derivar con la cadena y con $ln a$ constante:

Observa que con $a = e$ ( $ln e = 1$ ) se recuperan las anteriores.

Con la regla de la cadena

Casi nunca aparece $e^{x}$ sola: lo habitual es $e^{f (x)}$ o $ln f (x)$ . Todas las fórmulas llevan el factor extra $f^{'} (x)$ .

Un caso útil: $(ln (a x + b))^{'} = \frac{a}{a x + b}$ , y $(e^{k x})^{'} = k e^{k x}$ .

Derivación logarítmica: $y = f (x)^{g (x)}$

Cuando la variable está a la vez en la base y en el exponente (por ejemplo $x^{x}$ o $x^{sen x}$ ), no sirve ni la regla de la potencia ni la de la exponencial. Se toman logaritmos.

Otra forma de ver lo mismo es escribir $f (x)^{g (x)} = e^{g (x) l n f (x)}$ y derivar con la cadena. Ambas dan el mismo resultado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Exponenciales y logaritmos con cadena

Deriva:

a) $y = e^{4 x - 1}$ .

b) $y = ln (5 x^{2} + 1)$ .

c) $y = 3^{x}$ .

d) $y = lo g_{2} x$ .

Solución

a) $y^{'} = 4 e^{4 x - 1}$ .

b) $y^{'} = \frac{10 x}{5 x ^{2} + 1}$ .

c) $y^{'} = 3^{x} ln 3$ .

d) $y^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ .

Ejemplo 2 Medio

Producto y cociente con $e$ y $ln$

a) Halla $f^{'} (x)$ para $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

b) Halla $g^{'} (x)$ para $g (x) = \frac{ln x}{x}$ , con $x > 0$ .

c) Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de $g$ en $x = 1$ .

Solución

a) Producto, con $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ : $f^{'} (x) = 2 x e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x}) = (2 x - x^{2}) e^{- x} = x (2 - x) e^{- x} .$

b) Cociente: $g^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - ln x \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{1 - ln x}{x ^{2}} .$

c) $g (1) = \frac{ln 1}{1} = 0$ y $g^{'} (1) = \frac{1 - 0}{1} = 1$ . La tangente es $y = 1 \cdot (x - 1) = x - 1$ .

Ejemplo 3 Difícil

Derivación logarítmica de $x^{x}$

Sea $y = x^{x}$ , con $x > 0$ .

a) Deriva con la derivación logarítmica y escribe $y^{'}$ .

b) Calcula $y^{'}$ en $x = 2$ .

c) Halla la abscisa del punto donde $y^{'} = 0$ .

d) Halla el valor de $y$ en ese punto.

Solución

a) Se toman logaritmos: $ln y = x ln x$ . Se deriva respecto de $x$ : $\frac{y ^{'}}{y} = 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1.$ Se despeja: $y^{'} = y (ln x + 1) = x^{x} (ln x + 1)$ .

b) $y^{'} (2) = 2^{2} (ln 2 + 1) = 4 (ln 2 + 1)$ .

c) Como $x^{x} > 0$ , $y^{'} = 0$ equivale a $ln x + 1 = 0$ , es decir, $ln x = - 1$ y $x = e^{- 1}$ .

d) $y = (e^{- 1})^{e^{- 1}} = e^{- e^{- 1}}$ (aproximadamente $0, 692$ ).

En el examen: el paso «tomar $ln$ y derivar» es lo que da los puntos del método; no escribas directamente el resultado. Observa también que $x^{x}$ no se deriva como $x \cdot x^{x - 1}$ (eso solo vale con exponente constante).

Errores típicos

Resumen

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ; $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ , $(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln a}$ .
Con función interior se añade el factor $f^{'} (x)$ : $(e^{f})^{'} = f^{'} e^{f}$ , $(ln f)^{'} = \frac{f ^{'}}{f}$ .
Variable en base y exponente ( $f^{g}$ ): toma $ln$ , deriva y despeja $y^{'}$ .
Tienes en la tabla las derivadas básicas con cadena; aprenderla de memoria ahorra mucho tiempo.

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$y$	$y^{'}$
$f (x)^{n}$	$n f (x)^{n - 1} f^{'} (x)$
$f (x)$	$\frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}$
$sen f (x)$	$f^{'} (x) cos f (x)$
$cos f (x)$	$- f^{'} (x) sen f (x)$
$tan f (x)$	$\frac{f ^{'} ( x )}{cos ^{2} f ( x )}$
$e^{f (x)}$	$f^{'} (x) e^{f (x)}$
$ln f (x)$	$\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$
$a^{f (x)}$	$f^{'} (x) a^{f (x)} ln a$
$lo g_{a} f (x)$	$\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x ) ln a}$

Derivadas de exponenciales y logaritmos

La exponencial de base e y el logaritmo neperiano

Otras bases

Con la regla de la cadena

Derivación logarítmica: y=f(x)g(x)

Ejemplos resueltos

Errores típicos

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Derivación logarítmica: $y = f (x)^{g (x)}$