IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 1 de 14

Derivada de una función en un punto

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La derivada de $f$ en un punto mide lo deprisa que cambia $f$ justo allí: es la pendiente de la recta tangente a la gráfica. Sale de un límite que se pide calcular «a partir de la definición» en la Prueba 1 del Nivel Superior, y de ella cuelgan las ecuaciones de la tangente y de la normal.

De la pendiente de una secante a la de una tangente

Si pasas una recta por dos puntos de la gráfica, $P (a, f (a))$ y $Q (a + h, f (a + h))$ , obtienes una secante. Su pendiente es la tasa de variación media de $f$ entre $a$ y $a + h$ :

$\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

Es el cambio de $f$ dividido entre el cambio de $x$ (la velocidad media de un coche en un tramo, por ejemplo). Cuando $Q$ se desliza hacia $P$ , es decir, cuando $h \to 0$ , la secante gira y se acerca a una posición límite: la tangente en $P$ .

Parábola y=x²/4+1 con la secante que pasa por P(a, f(a)) y Q(a+h, f(a+h)) y la tangente en P

Definición de derivada

Las dos formas del límite son equivalentes: basta poner $x = a + h$ . Usa la de $h$ cuando $f$ es un polinomio (se desarrolla $f (a + h)$ ) y la de $x \to a$ cuando conviene factorizar.

Si $f^{'} (a)$ existe para todos los $a$ de un intervalo, $f^{'}$ es una nueva función, la función derivada. En ese caso se calcula $f^{'} (x)$ con el mismo límite, dejando $x$ sin sustituir. Las notaciones son $f^{'} (x)$ , $y^{'}$ y $\frac{d y}{d x}$ (notación de Leibniz); para la derivada segunda, $f^{''} (x)$ y $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ .

Recta tangente y recta normal

Con la pendiente $f^{'} (a)$ y el punto $(a, f (a))$ se escribe la ecuación punto-pendiente.

La normal tiene la pendiente opuesta e inversa porque dos rectas perpendiculares cumplen $m_{1} m_{2} = - 1$ .

Gráfica de y=raíz de x con la tangente y la normal en A(4,2)

Derivadas laterales

A veces el límite solo tiene sentido por un lado (en los extremos de un intervalo) o da valores distintos por cada lado. Se definen entonces las derivadas laterales:

$f^{'} (a^{+}) = h \to 0^{+} lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}, f^{'} (a^{-}) = h \to 0^{-} lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} .$

Esto es lo que se usa en los puntos donde una función cambia de fórmula; lo desarrollamos en el apartado siguiente.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Derivar por la definición

Sea $f (x) = 2 x^{2} + x$ .

a) Calcula $f^{'} (3)$ a partir de la definición.

b) Halla la ecuación de la tangente a la gráfica en $x = 3$ , en la forma $y = m x + n$ .

Solución

a) $f (3) = 2 \cdot 9 + 3 = 21$ y $f (3 + h) = 2 (9 + 6 h + h^{2}) + 3 + h = 21 + 13 h + 2 h^{2}$ .

El cociente es $\frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h} = \frac{13 h + 2 h ^{2}}{h} = 13 + 2 h .$ Cuando $h \to 0$ , tiende a $13$ . Por tanto $f^{'} (3) = 13$ .

b) La tangente pasa por $(3, 21)$ con pendiente $13$ : $y - 21 = 13 (x - 3) ⟹ y = 13 x - 18.$

Ejemplo 2 Medio

Una raíz, su tangente y su normal

Sea $f (x) = x$ .

a) Calcula $f^{'} (4)$ a partir de la definición.

b) Halla la ecuación de la tangente en el punto de abscisa $4$ .

c) Halla la ecuación de la normal en ese punto.

d) La normal corta al eje $x$ en un punto. Halla su abscisa.

Solución

a) $f (4) = 2$ . Se multiplica por el conjugado: $\frac{4 + h - 2}{h} \cdot \frac{4 + h + 2}{4 + h + 2} = \frac{( 4 + h ) - 4}{h ( 4 + h + 2 )} = \frac{1}{4 + h + 2} .$ Cuando $h \to 0$ queda $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ . Así que $f^{'} (4) = \frac{1}{4}$ .

b) Tangente: $y - 2 = \frac{1}{4} (x - 4) \Rightarrow y = \frac{x}{4} + 1$ .

c) La pendiente de la normal es $- 4$ : $y - 2 = - 4 (x - 4) \Rightarrow y = - 4 x + 18$ .

d) Se hace $y = 0$ en la normal: $- 4 x + 18 = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{2}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Tangentes que pasan por el origen

Sea $f (x) = x^{2} + 4$ . Considera la tangente a la gráfica en el punto de abscisa $a$ .

a) Demuestra que su ecuación es $y = 2 a x - a^{2} + 4$ y escríbela en la respuesta como expresión de $x$ y $a$ .

b) Halla los valores de $a$ para los que esa tangente pasa por el origen.

c) Escribe las ecuaciones de esas tangentes (primero la de abscisa positiva).

Solución

a) $f^{'} (x) = 2 x$ , luego $f^{'} (a) = 2 a$ y $f (a) = a^{2} + 4$ . La tangente es $y - (a^{2} + 4) = 2 a (x - a) ⟹ y = 2 a x - 2 a^{2} + a^{2} + 4 = 2 a x - a^{2} + 4.$

b) Pasa por $(0, 0)$ si al sustituir $x = 0$ sale $y = 0$ : $- a^{2} + 4 = 0 ⟹ a^{2} = 4 ⟹ a = 2 o a = - 2.$

c) Con $a = 2$ : $y = 4 x$ . Con $a = - 2$ : $y = - 4 x$ . (Son simétricas respecto del eje $y$ , como la parábola.)

En el examen: deja claro el orden: derivada, pendiente en el punto, ecuación y, solo entonces, la condición del enunciado. Suele dar un punto escribir la tangente general aunque el resto falle.

Errores típicos

Resumen

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ : pendiente de la tangente y tasa de variación instantánea.
Tangente: $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ . Normal: $y - f (a) = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a)$ (si $f^{'} (a) = 0$ , la normal es $x = a$ ).
Notaciones: $f^{'} (x)$ , $\frac{d y}{d x}$ ; derivada segunda: $f^{''} (x)$ , $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ .
Para derivar por la definición: simplifica el cociente hasta sacar $h$ y luego calcula el límite.
$f$ es derivable en $a$ si y solo si $f^{'} (a^{+}) = f^{'} (a^{-})$ (y ambas existen).

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