IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 10 de 14

Concavidad y puntos de inflexión

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La primera derivada dice si una función sube o baja; la segunda dice cómo se curva la gráfica. Con ella localizas los puntos de inflexión, clasificas máximos y mínimos y esbozas gráficas con precisión. En el IB aparece en preguntas de Prueba 1 y de Prueba 2, muchas veces con la gráfica de $f^{'}$ o de $f^{''}$ como dato.

Concavidad

Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si su gráfica queda por encima de sus tangentes: se curva como una sonrisa. Es cóncava hacia abajo si queda por debajo: se curva como un gesto triste.

Mira cómo cambian las pendientes de las tangentes. En una curva cóncava hacia arriba, las pendientes van aumentando de izquierda a derecha, es decir, $f^{'}$ es creciente. En una cóncava hacia abajo, las pendientes van disminuyendo, y $f^{'}$ es decreciente. Como $f^{''}$ es la derivada de $f^{'}$ , el signo de $f^{''}$ lo decide.

Puntos de inflexión

Que $f^{''} (x_{0}) = 0$ no basta. La función $f (x) = x^{4}$ tiene $f^{''} (0) = 0$ , pero $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ es positiva a ambos lados del $0$ y no cambia de signo: no hay inflexión. Hay que comprobar el signo de $f^{''}$ a cada lado.

Gráfica de f(x)=x^3-6x^2+9x: las tangentes quedan por encima donde es cóncava hacia abajo y por debajo donde es cóncava hacia arriba; inflexión en (2, 2)

Criterio de la segunda derivada para extremos

Si $f^{'} (x_{0}) = 0$ , la concavidad en $x_{0}$ dice qué tipo de punto estacionario es:

La razón es la concavidad: un punto de tangente horizontal en una curva que se abre hacia arriba es un fondo, y en una que se abre hacia abajo es una cima.

Relación entre las gráficas de $f$ , $f^{'}$ y $f^{''}$

Fíjate en que los extremos de $f^{'}$ corresponden a puntos de inflexión de $f$ , porque ahí $f^{''} = 0$ y cambia de signo.

Gráficas de f(x)=x^3-6x^2+9x, de f' y de f'': en x=2, f'' vale cero y cambia de signo, f' tiene un mínimo y f tiene un punto de inflexión

Si en $x_{0}$ ...	entonces la gráfica de $f$ en $x_{0}$ ...
$f^{'}$ corta el eje $x$	tiene tangente horizontal
$f^{'}$ cambia de $+$ a $-$	tiene un máximo local
$f^{'}$ cambia de $-$ a $+$	tiene un mínimo local
$f^{'}$ tiene un máximo o un mínimo	tiene un punto de inflexión
$f^{''}$ cambia de signo	tiene un punto de inflexión

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Concavidad de un polinomio

Sea $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 2$ .

a) Halla $f^{''} (x)$ .

b) Halla las coordenadas del punto de inflexión.

c) Halla el intervalo en el que $f$ es cóncava hacia arriba.

Solución

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x$ , luego $f^{''} (x) = 6 x - 12$ .

b) $f^{''} (x) = 0 \Rightarrow x = 2$ . Como $f^{''}$ es una recta de pendiente positiva, cambia de signo en $x = 2$ . Además $f (2) = 8 - 24 + 2 = - 14$ . El punto de inflexión es $(2, - 14)$ .

c) $f^{''} (x) > 0$ cuando $6 x - 12 > 0$ , es decir, $x > 2$ . La función es cóncava hacia arriba en $] 2, + \infty [$ (y cóncava hacia abajo en $] - \infty, 2 [$ ).

Ejemplo 2 Medio

Cuando el criterio de la segunda derivada no decide

Sea $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ .

a) Halla los puntos estacionarios (los valores de $x$ con $f^{'} (x) = 0$ ).

b) Usa la segunda derivada para clasificar el que se pueda. ¿Qué ocurre con el otro?

c) Halla los puntos de inflexión de la gráfica.

Solución

a) $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)$ . Se anula en $x = 0$ y en $x = 3$ .

b) $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 24 x = 12 x (x - 2)$ . En $x = 3$ : $f^{''} (3) = 36 > 0$ , luego hay un mínimo local en $(3, - 27)$ , ya que $f (3) = 81 - 108 = - 27$ . En $x = 0$ : $f^{''} (0) = 0$ , y el criterio no decide. Se estudia el signo de $f^{'} = 4 x^{2} (x - 3)$ : es negativo a ambos lados de $0$ (porque $x^{2} > 0$ y $x - 3 < 0$ ). La función decrece antes y después, así que $x = 0$ no es extremo.

c) $f^{''} (x) = 12 x (x - 2) = 0$ en $x = 0$ y $x = 2$ . El signo de $f^{''}$ es $+$ para $x < 0$ , $-$ en $] 0, 2 [$ y $+$ para $x > 2$ : cambia en ambos. Los puntos de inflexión son $(0, 0)$ y $(2, - 16)$ , pues $f (2) = 16 - 32 = - 16$ . El de $x = 0$ tiene tangente horizontal.

Ejemplo 3 Difícil

Determinar una cúbica con datos de su gráfica

La función $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ tiene un punto de inflexión en $(1, 0)$ y la pendiente de la tangente en ese punto es $- 3$ .

a) Halla $a$ , $b$ y $c$ .

b) Halla las coordenadas del máximo local y del mínimo local.

c) Halla el intervalo en el que la gráfica es cóncava hacia abajo.

Solución

a) Se traducen los datos a ecuaciones. $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ y $f^{''} (x) = 6 x + 2 a$ .

Punto de inflexión en $x = 1$ : $f^{''} (1) = 6 + 2 a = 0 \Rightarrow a = - 3$ .
Pendiente $- 3$ en $x = 1$ : $f^{'} (1) = 3 + 2 a + b = 3 - 6 + b = - 3 \Rightarrow b = 0$ .
El punto $(1, 0)$ está en la gráfica: $f (1) = 1 - 3 + 0 + c = 0 \Rightarrow c = 2$ .

Entonces $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ .

b) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ , con ceros en $x = 0$ y $x = 2$ . $f^{''} (x) = 6 x - 6$ : $f^{''} (0) = - 6 < 0$ da un máximo en $(0, f (0)) = (0, 2)$ ; $f^{''} (2) = 6 > 0$ da un mínimo en $(2, f (2)) = (2, - 2)$ .

c) $f^{''} (x) < 0 ⟺ x < 1$ . Cóncava hacia abajo en $] - \infty, 1 [$ .

En el examen: al determinar parámetros, escribe cada ecuación con su origen («por ser punto de inflexión», «por la pendiente»). Para el tipo de extremo, justifica con el signo de $f^{''}$ o de $f^{'}$ . Un valor sin justificación no da todos los puntos.

Errores típicos

Resumen

$f^{''} > 0$ : cóncava hacia arriba ( $f^{'}$ crece). $f^{''} < 0$ : cóncava hacia abajo ( $f^{'}$ decrece).
Punto de inflexión: $f^{''} (x_{0}) = 0$ y $f^{''}$ cambia de signo. Los extremos de $f^{'}$ corresponden a inflexiones de $f$ .
Con $f^{'} (x_{0}) = 0$ : $f^{''} (x_{0}) > 0$ da mínimo, $f^{''} (x_{0}) < 0$ da máximo, $f^{''} (x_{0}) = 0$ no decide.
Para esbozar una gráfica: dominio, cortes, signo de $f^{'}$ , signo de $f^{''}$ , puntos notables y asíntotas.
En la Prueba 2, la gráfica de $f^{'}$ y de $f^{''}$ ayuda a localizar extremos e inflexiones.

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Relación entre las gráficas de f, f′ y f′′

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Errores típicos

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