IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo diferencial · Apartado 9 de 14

Problemas de razón de cambio

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

En un problema de razón de cambio varias magnitudes dependen del tiempo y están ligadas por una fórmula. Si conoces cómo varía una, la derivada te dice cómo varía otra en un instante concreto. En el IB se pide con frecuencia en la Prueba 1, casi siempre con círculos, esferas, conos o triángulos rectángulos.

Derivar respecto del tiempo

Si una cantidad $y$ cambia con el tiempo $t$ , su razón de cambio es $\frac{d y}{d t}$ . Si es positiva, $y$ crece; si es negativa, decrece. Sus unidades son las de $y$ divididas por las de $t$ (por ejemplo cm $^{3}$ /s).

Cuando dos magnitudes están relacionadas, por ejemplo el área $A$ de un círculo y su radio $r$ con $A = π r^{2}$ , ambas dependen de $t$ . La regla de la cadena nos da la relación entre sus razones de cambio.

La razón de que sea así: si el radio cambia a cierto ritmo, el área cambia en proporción a lo que cada unidad de radio «pesa» en el área, que es $\frac{d A}{d r}$ .

Escalera de 5 metros apoyada en una pared: la base está a x metros de la pared y la parte superior a y metros de altura

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Una mancha de aceite

El radio de una mancha de aceite circular crece a un ritmo constante de $2$ cm/s. Halla la razón de cambio del área de la mancha en el instante en que el radio mide $10$ cm.

Solución

Se tiene $A = π r^{2}$ y $\frac{d r}{d t} = 2$ .

Derivando respecto de $t$ : $\frac{d A}{d t} = 2 π r \frac{d r}{d t}$ .

Con $r = 10$ : $\frac{d A}{d t} = 2 π \cdot 10 \cdot 2 = 40 π$ cm $^{2}$ /s $\approx 125, 7$ cm $^{2}$ /s.

El área crece a $40 π$ cm $^{2}$ /s en ese instante.

Ejemplo 2 Medio

Un globo que se infla

Se infla un globo esférico de modo que su volumen aumenta a razón de $100$ cm $^{3}$ /s. En el instante en que el radio es $5$ cm:

a) Halla la razón de cambio del radio.

b) Halla la razón de cambio de la superficie del globo, $S = 4 π r^{2}$ .

Solución

a) $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ , luego $\frac{d V}{d t} = 4 π r^{2} \frac{d r}{d t}$ . Con $\frac{d V}{d t} = 100$ y $r = 5$ : $100 = 4 π \cdot 25 \cdot \frac{d r}{d t} = 100 π \frac{d r}{d t}$ , y por tanto $\frac{d r}{d t} = \frac{1}{π}$ cm/s $\approx 0, 32$ cm/s.

b) $\frac{d S}{d t} = 8 π r \frac{d r}{d t} = 8 π \cdot 5 \cdot \frac{1}{π} = 40$ cm $^{2}$ /s.

Ejemplo 3 Difícil

La escalera que se desliza

Una escalera de $5$ m está apoyada contra una pared vertical. Su base se separa de la pared a $0, 6$ m/s. Sea $x$ la distancia de la base a la pared e $y$ la altura de la parte superior, ambas en metros.

a) Halla la velocidad a la que baja la parte superior cuando la base está a $3$ m de la pared.

b) Halla esa velocidad cuando la parte superior está a $3$ m del suelo.

c) Halla la razón de cambio del área del triángulo formado por la escalera, la pared y el suelo cuando $x = 3$ .

Solución

La relación es $x^{2} + y^{2} = 25$ , con $\frac{d x}{d t} = 0, 6 = \frac{3}{5}$ .

Derivando: $2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t} = 0$ , de donde $\frac{d y}{d t} = - \frac{x}{y} \frac{d x}{d t}$ .

a) Con $x = 3$ : $y = 25 - 9 = 4$ . Entonces $\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} = - \frac{9}{20} = - 0, 45$ m/s. El signo negativo indica que baja.

b) Con $y = 3$ : $x = 4$ . Entonces $\frac{d y}{d t} = - \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = - \frac{4}{5} = - 0, 8$ m/s. Cuanto más baja, más deprisa cae.

c) El área es $A = \frac{x y}{2}$ . Derivando con la regla del producto: $\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} (\frac{d x}{d t} y + x \frac{d y}{d t})$ . Con $x = 3$ , $y = 4$ , $\frac{d x}{d t} = \frac{3}{5}$ y $\frac{d y}{d t} = - \frac{9}{20}$ : $\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} (\frac{3}{5} \cdot 4 - 3 \cdot \frac{9}{20}) = \frac{1}{2} (\frac{12}{5} - \frac{27}{20}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{21}{20} = \frac{21}{40} = 0, 525 m^{2} / s .$

En el examen: debes escribir la ecuación que une las variables, derivar con la regla de la cadena y solo entonces sustituir. Si hay un signo negativo, di qué significa (baja, disminuye). Se pierden puntos por unidades omitidas.

Errores típicos

Resumen

La razón de cambio de $y$ es $\frac{d y}{d t}$ : positiva si crece, negativa si decrece.
Se busca una ecuación que ligue las magnitudes en cualquier instante y se deriva respecto de $t$ con la regla de la cadena.
Los valores del instante pedido se sustituyen después de derivar.
Fórmulas habituales: círculo, esfera, cilindro, cono y Pitágoras.
Responde con signo (qué significa) y unidades.

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