Volúmenes de sólidos de revolución

a) $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^{4}x\mathrm{d}x=\pi [\frac{x^2}{2}{]}_0^4=8\pi .$

b) $V=\pi {\int }_0^3{x}^2\mathrm{d}x=\pi [\frac{x^3}{3}{]}_0^3=9\pi .$

Comprobación: el sólido es un cono de radio $3$ y altura $3$, con $V=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2\cdot 3=9\pi$.

Resultado: a) $8\pi$; b) $9\pi$.

a) $x=x^2\Rightarrow x(1-x)=0$, luego $x=0$ y $x=1$: los puntos son $(0,0)$ y $(1,1)$. Entre ellos, $x\ge x^2$.

b) Alrededor del eje $x$: radio exterior $y=x$, radio interior $y=x^2$ (arandelas). $$V=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)\mathrm{d}x=\pi [\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}{]}_0^1=\pi (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{2\pi }{15}.$$

c) Alrededor del eje $y$ hay que despejar $x$: la recta es $x=y$ y la parábola, $x=\sqrt{y}$ (para $x\ge 0$). Para cada $y$ entre $0$ y $1$, la curva que queda más lejos del eje es $x=\sqrt{y}$ (exterior) y la recta $x=y$ es la interior: $$V=\pi {\int }_0^1(y-y^2)\mathrm{d}y=\pi [\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}{]}_0^1=\frac{\pi }{6}.$$

Resultado: a) $(0,0)$ y $(1,1)$; b) $\frac{2\pi }{15}$; c) $\frac{\pi }{6}$.

La curva corta el eje $x$ en $x=1$ y en $x={\mathrm{e}}^2$ vale $y=2$. La región está entre $x=1$ y $x={\mathrm{e}}^2$.

a) Alrededor del eje $x$: $V=\pi {\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}(\ln x{)}^2\mathrm{d}x$. Por partes dos veces ($u={\ln }^{2}x$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$): $$\int (\ln x{)}^2\mathrm{d}x=x(\ln x{)}^2-2x\ln x+2x+C.$$ Evaluando: en ${\mathrm{e}}^2$ da $4{\mathrm{e}}^2-4{\mathrm{e}}^2+2{\mathrm{e}}^2=2{\mathrm{e}}^2$, y en $1$ da $2$. Entonces $$V=\pi (2{\mathrm{e}}^2-2).$$

b) Alrededor del eje $y$: se despeja $x={\mathrm{e}}^y$ para $y$ entre $0$ y $2$. La región queda entre la curva $x={\mathrm{e}}^y$ (borde izquierdo, interior) y la recta $x={\mathrm{e}}^2$ (borde derecho, exterior): $$V=\pi {\int }_0^2({\mathrm{e}}^4-{\mathrm{e}}^{2y})\mathrm{d}y=\pi [{\mathrm{e}}^{4}y-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2y}{]}_0^2=\pi (2{\mathrm{e}}^4-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^4+\frac{1}{2})=\frac{\pi (3{\mathrm{e}}^4+1)}{2}.$$

c) Con calculadora, $V_a=2\pi ({\mathrm{e}}^2-1)\approx 40,1$ y $V_b\approx 259$.

Resultado: a) $2\pi ({\mathrm{e}}^2-1)$; b) $\frac{\pi (3{\mathrm{e}}^4+1)}{2}$; c) $40,1$ y $259$.

En el examen: en b) lo que se puntúa es identificar los radios en $\mathrm{d}y$ y los límites $0$ y $2$ (no $1$ y ${\mathrm{e}}^2$). Si te dan la integral para calcular con la calculadora, escribe antes la expresión planteada.