IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo integral · Apartado 5 de 13

Ecuaciones diferenciales de variables separables

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una ecuación diferencial relaciona una función con su derivada, y su solución es una función. Aparecen cuando conoces cómo cambia una magnitud (crecimiento, enfriamiento, desintegración) y quieres la magnitud misma. Las de variables separables se resuelven integrando, y son las que más se piden en el IB.

Qué es una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial de primer orden es una igualdad que involucra $x$ , una función $y (x)$ y su primera derivada $\frac{d y}{d x}$ . Casi siempre se puede despejar la derivada y escribir $\frac{d y}{d x} = F (x, y) .$ Por ejemplo, $x \frac{d y}{d x} = 2 y$ o $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ .

Ver la ecuación: campo de pendientes

La ecuación $\frac{d y}{d x} = F (x, y)$ dice cuál es la pendiente de cualquier solución en cada punto $(x, y)$ . Si dibujas un trocito de tangente en muchos puntos, obtienes el campo de pendientes, y cada solución es una curva que sigue esos segmentos. Para $\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ las soluciones son circunferencias centradas en el origen; la que pasa por $(0, 3)$ es la semicircunferencia de radio $3$ .

Campo de pendientes de dy/dx = -x/y: circunferencias centradas en el origen; la solución que pasa por (0, 3) es la semicircunferencia superior de radio 3

Variables separables

La idea es poner todo lo de $y$ con $d y$ en un lado y todo lo de $x$ con $d x$ en el otro, e integrar cada lado respecto de su variable.

Al dividir entre $h (y)$ se pierden las soluciones constantes $y = k$ con $h (k) = 0$ . En los problemas del IB, la condición inicial suele descartarlas, pero conviene tenerlo presente.

Problemas de contexto

Muchas situaciones se modelan con una ecuación de este tipo. La más habitual es: «el ritmo de cambio de $y$ es proporcional a $y$ », $\frac{d y}{d t} = k y$ , con solución $y = y_{0} e^{k t}$ . En la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura $T$ de un objeto en un ambiente a temperatura $T_{a}$ cumple $\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{a})$ , con $k > 0$ : el objeto se enfría más rápido cuanto mayor es la diferencia con el ambiente.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Crecimiento proporcional

Resuelve $\frac{d y}{d x} = 2 x y$ , con $y > 0$ , sabiendo que $y = 3$ cuando $x = 0$ . Da la solución en la forma $y = f (x)$ .

Solución

Se separan las variables: $\frac{d y}{y} = 2 x d x$ . Se integra: $ln y = x^{2} + C .$ Con $y = 3$ en $x = 0$ : $ln 3 = C$ . Entonces $ln y = x^{2} + ln 3$ , y tomando exponenciales, $y = 3 e^{x^{2}} .$

Ejemplo 2 Medio

Con una tangente en el resultado

Resuelve $\frac{d y}{d x} = x (1 + y^{2})$ sabiendo que $y = 1$ cuando $x = 0$ . Da la solución como $y = f (x)$ , para valores de $x$ cerca de $0$ .

Solución

Se separan las variables: $\frac{d y}{1 + y ^{2}} = x d x$ . Se integra: $arctan y = \frac{x ^{2}}{2} + C .$ Con $y = 1$ en $x = 0$ : $arctan 1 = \frac{π}{4} = C$ . Entonces $arctan y = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{π}{4}$ y $y = tan (\frac{x ^{2}}{2} + \frac{π}{4}) .$

Ejemplo 3 Difícil

Enfriamiento de un café

La temperatura $T$ (en grados Celsius) de un café $t$ minutos después de servirlo cumple la ecuación $\frac{d T}{d t} = - k (T - 20), k > 0,$ donde $20$ es la temperatura de la sala. En el instante inicial el café está a $80$ grados y a los $5$ minutos está a $50$ grados.

a) Halla el valor exacto de $k$ .

b) Halla la temperatura a los $10$ minutos.

c) Halla en qué instante el café llega a $25$ grados.

Solución

Se separan variables, con $T > 20$ : $\frac{d T}{T - 20} = - k d t$ . Se integra: $ln (T - 20) = - k t + C \Rightarrow T - 20 = A e^{- k t}, A = e^{C} .$ Con $T (0) = 80$ : $A = 60$ . Luego $T = 20 + 60 e^{- k t}$ .

a) $T (5) = 50 \Rightarrow 30 = 60 e^{- 5 k} \Rightarrow e^{- 5 k} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{ln 2}{5}$ .

b) $e^{- 10 k} = (e^{- 5 k})^{2} = \frac{1}{4}$ , así que $T (10) = 20 + 60 \cdot \frac{1}{4} = 35$ grados.

c) $T = 25 \Rightarrow 5 = 60 e^{- k t} \Rightarrow e^{- k t} = \frac{1}{12} \Rightarrow t = \frac{ln 12}{k} = \frac{5 ln 12}{ln 2}$ , aproximadamente $17, 9$ minutos.

En el examen: se puntúa cada paso por separado. Después de integrar, usa la condición inicial antes de despejar nada más: si pierdes la constante $A$ , no podrás seguir. Deja $k$ exacto hasta el final y redondea solo la respuesta numérica.

Errores típicos

Resumen

Una ecuación diferencial de primer orden relaciona $x$ , $y$ y $\frac{d y}{d x}$ ; su solución es una función. La general lleva $C$ ; la particular sale de una condición inicial.
Variables separables: $\frac{d y}{d x} = g (x) h (y)$ , entonces $\int \frac{d y}{h ( y )} = \int g (x) d x$ .
Una sola constante $C$ ; se halla con la condición inicial y se despeja $y$ al final.
Modelos: $\frac{d y}{d t} = k y$ da $y_{0} e^{k t}$ ; el enfriamiento de Newton da $T = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) e^{- k t}$ .
El campo de pendientes dibuja la dirección de las soluciones en cada punto.

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