IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo integral · Apartado 13 de 13

Integrales impropias

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una integral impropia es una integral en la que el intervalo no tiene fin (llega a $\infty$ ) o la función se dispara en un extremo. Parece que el área tendría que ser infinita, pero a veces es un número finito. Se resuelven con un límite sobre la integral definida de siempre.

Intervalos infinitos

Con una integral como $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{2}} d x$ no se puede aplicar Barrow directamente, porque no hay un «límite superior $\infty$ » que evaluar. Se sustituye por una letra y se hace tender al infinito.

Cuando los dos límites son infinitos se parte la integral en un punto cualquiera $c$ (se suele tomar $c = 0$ ) y cada parte debe converger: $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{\infty} f (x) d x .$ Si una de las dos diverge, toda la integral diverge, aunque las dos «se compensen».

Gráficas de y=1/x e y=1/x^2 para x mayor o igual que 1; el área bajo 1/x^2 es finita y continúa hacia infinito

Un criterio útil: las potencias $\frac{1}{x ^{p}}$

La gráfica de $\frac{1}{x ^{2}}$ baja más deprisa que la de $\frac{1}{x}$ y deja un área finita. La de $e^{- x}$ baja todavía más deprisa: las exponenciales decrecientes siempre dan integrales convergentes.

Una consecuencia curiosa: si se gira $y = \frac{1}{x}$ ( $x \geq 1$ ) alrededor del eje $x$ , el volumen $π \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{2}} d x = π$ es finito, aunque el área de la región que lo genera es infinita.

Funciones no acotadas (ampliación)

También son impropias las integrales de una función que no está acotada en un extremo, como $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x$ . Se resuelven igual, con un límite hacia el extremo problemático: $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x = t \to 0^{+} lim \int_{t}^{1} \frac{1}{x} d x = t \to 0^{+} lim [2 x]_{t}^{1} = t \to 0^{+} lim (2 - 2 t) = 2.$

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tres integrales con límite infinito

Calcula, si existen:

a) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{3}} d x$ .

b) $\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$ .

c) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$ .

Solución

a) $\int_{1}^{t} x^{- 3} d x = [- \frac{1}{2 x ^{2}}]_{1}^{t} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 t ^{2}} t \to \infty \frac{1}{2}$ . Converge a $\frac{1}{2}$ .

b) $\int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x = [- \frac{1}{2} e^{- 2 x}]_{0}^{t} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 t} t \to \infty \frac{1}{2}$ . Converge a $\frac{1}{2}$ .

c) $\int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x = ln t - ln 1 = ln t t \to \infty \infty$ . Diverge.

Resultado: a) $\frac{1}{2}$ ; b) $\frac{1}{2}$ ; c) diverge ( $+ \infty$ ).

Ejemplo 2 Medio

Otros intervalos infinitos

Calcula:

a) $\int_{- \infty}^{0} e^{3 x} d x$ .

b) $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{x ^{2} + 4} d x$ .

c) $\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$ .

Solución

a) $\int_{t}^{0} e^{3 x} d x = [\frac{1}{3} e^{3 x}]_{t}^{0} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} e^{3 t} t \to - \infty \frac{1}{3}$ .

b) Una primitiva es $\frac{1}{2} arctan \frac{x}{2}$ . Como la función es par, basta una mitad: $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x ^{2} + 4} d x = t \to \infty lim \frac{1}{2} arctan \frac{t}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$ , y la integral completa es el doble: $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{x ^{2} + 4} d x = \frac{π}{2} .$

c) Por partes con $u = x$ y $d v = e^{- x} d x$ : una primitiva es $- (x + 1) e^{- x}$ . Entonces $\int_{0}^{t} x e^{- x} d x = [- (x + 1) e^{- x}]_{0}^{t} = 1 - (t + 1) e^{- t} t \to \infty 1,$ porque $t e^{- t} \to 0$ .

Resultado: a) $\frac{1}{3}$ ; b) $\frac{π}{2}$ ; c) $1$ .

Ejemplo 3 Difícil

Áreas y volumen infinitos o finitos

a) Halla el área de la región bajo $y = x^{- 3/2}$ para $x \geq 1$ .

b) Halla el área de la región bajo $y = \frac{1}{x}$ para $x \geq 1$ .

c) Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje $x$ la región de b).

d) Halla el valor de $k > 0$ para el que $\int_{0}^{\infty} e^{- k x} d x = 5$ .

Solución

a) $\int_{1}^{t} x^{- 3/2} d x = [- 2 x^{- 1/2}]_{1}^{t} = 2 - \frac{2}{t} t \to \infty 2$ . El área es $2$ .

b) $\int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x = ln t \to \infty$ . El área es infinita (la integral diverge).

c) $V = π \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{2}} d x = π t \to \infty lim [- \frac{1}{x}]_{1}^{t} = π t \to \infty lim (1 - \frac{1}{t}) = π$ . El volumen es finito.

d) $\int_{0}^{t} e^{- k x} d x = [- \frac{1}{k} e^{- k x}]_{0}^{t} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k} e^{- k t} t \to \infty \frac{1}{k}$ (con $k > 0$ ). Entonces $\frac{1}{k} = 5$ y $k = \frac{1}{5}$ .

Resultado: a) $2$ ; b) infinita (diverge); c) $π$ ; d) $k = \frac{1}{5}$ .

En el examen: escribe siempre el límite $lim_{t \to \infty}$ y justifica por qué el término sobrante tiende a $0$ (por ejemplo $e^{- k t} \to 0$ si $k > 0$ ). Sin el límite escrito pierdes los puntos del método aunque el resultado sea correcto.

Errores típicos

Resumen

$\int_{a}^{\infty} f = t \to \infty lim \int_{a}^{t} f$ y $\int_{- \infty}^{a} f = t \to - \infty lim \int_{t}^{a} f$ ; si los dos infinitos, parte en un punto y cada trozo debe converger.
Convergente: el límite es un número real; divergente: es $\pm \infty$ o no existe.
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{p}} d x$ converge si y solo si $p > 1$ (vale $\frac{1}{p - 1}$ ).
Un área infinita puede dar un volumen de revolución finito.
Una función no acotada en un extremo también da una integral impropia: límite hacia ese extremo.

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Un criterio útil: las potencias xp1​

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