IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo integral · Apartado 10 de 13

Teorema fundamental del cálculo y regla de Barrow

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

El teorema fundamental une los dos grandes temas del cálculo: derivar e integrar son operaciones inversas. De él sale la regla de Barrow, que calcula integrales definidas con una primitiva y evita las sumas de Riemann. Con sus propiedades, resuelves en pocas líneas la mayoría de las integrales definidas del examen.

La función área acumulada

Toma una función continua $f$ y un punto fijo $a$ . Para cada $x$ , el número $G (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ es el área (con signo) que se ha acumulado desde $a$ hasta $x$ . Es una función de $x$ , y la variable de la integral se llama $t$ solo para no confundirla con el extremo.

Área acumulada G(x) desde a hasta x bajo y=f(t) y franja estrecha de ancho h y altura f(x)

¿Cuánto cambia $G$ cuando $x$ avanza un poco, $h$ ? Se añade una franja estrecha de ancho $h$ y altura casi igual a $f (x)$ , es decir, un área de aproximadamente $h f (x)$ . Entonces el cociente $\frac{G ( x + h ) - G ( x )}{h}$ se parece a $f (x)$ y, al hacer $h \to 0$ , es exactamente $f (x)$ .

Si el límite superior es otra función de $x$ , se añade la regla de la cadena: $\frac{d}{d x} \int_{a}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) g^{'} (x) .$

Regla de Barrow

El teorema fundamental dice que existe una primitiva de $f$ . Cualquier otra primitiva $F$ difiere de $G$ en una constante, $G (x) = F (x) + C$ . Como $G (a) = 0$ , resulta $C = - F (a)$ y, al evaluar en $b$ , sale la fórmula de Barrow.

Para usarla, calcula una primitiva (sin constante: se cancelaría al restar), evalúa en el límite superior y resta la evaluación en el inferior. Por ejemplo, $\int_{0}^{π /2} cos x d x = [sen x]_{0}^{π /2} = 1 - 0 = 1.$

Con sustitución puedes cambiar los límites a la vez que la variable; con partes, aplicar la fórmula entre los límites: $\int_{a}^{b} u d v = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u$ .

Propiedades de la integral definida

Si dentro de la función aparece $x + k$ o $c x$ no hace falta conocer la primitiva: con la sustitución $u = x + k$ o $u = c x$ (y cambiando los límites) se obtienen $\int_{p}^{q} f (x + k) d x = \int_{p + k}^{q + k} f (u) d u, \int_{p}^{q} f (c x) d x = \frac{1}{c} \int_{c p}^{c q} f (u) d u .$

Funciones pares e impares

Una función es par si $f (- x) = f (x)$ (gráfica simétrica respecto del eje $y$ ) y impar si $f (- x) = - f (x)$ (simétrica respecto del origen). En un intervalo simétrico $[- a, a]$ la simetría simplifica la integral.

La razón es geométrica: en la función par, las dos mitades tienen la misma área; en la impar, la mitad de la derecha es la opuesta de la de la izquierda y se cancelan.

Valor medio de una función

La altura constante que da el mismo área que $f$ sobre el intervalo se llama valor medio.

Por ejemplo, el valor medio de $x^{2}$ en $[0, 3]$ es $\frac{1}{3} \int_{0}^{3} x^{2} d x = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tres integrales con Barrow

Calcula el valor exacto de:

a) $\int_{1}^{3} (2 x + \frac{1}{x}) d x$ .

b) $\int_{0}^{π /4} cos 2 x d x$ .

c) $\int_{0}^{2} e^{x /2} d x$ .

Solución

a) Una primitiva es $x^{2} + ln x$ . Entonces $[x^{2} + ln x]_{1}^{3} = (9 + ln 3) - (1 + 0) = 8 + ln 3.$

b) Una primitiva es $\frac{1}{2} sen 2 x$ . Entonces $[\frac{1}{2} sen 2 x]_{0}^{π /4} = \frac{1}{2} sen \frac{π}{2} - \frac{1}{2} sen 0 = \frac{1}{2} .$

c) Una primitiva es $2 e^{x /2}$ . Entonces $[2 e^{x /2}]_{0}^{2} = 2 e - 2 = 2 (e - 1) .$

Resultado: a) $8 + ln 3$ ; b) $\frac{1}{2}$ ; c) $2 e - 2$ .

Ejemplo 2 Medio

Propiedades con datos

Sabes que $\int_{0}^{3} f (x) d x = 5$ , $\int_{3}^{7} f (x) d x = - 2$ y $\int_{0}^{3} g (x) d x = 4$ . Calcula:

a) $\int_{0}^{7} f (x) d x$ .

b) $\int_{7}^{3} f (x) d x$ .

c) $\int_{0}^{3} [2 f (x) - 3 g (x)] d x$ .

d) $\int_{0}^{1} f (3 x) d x$ .

Solución

a) Por la propiedad del intervalo: $\int_{0}^{7} f = \int_{0}^{3} f + \int_{3}^{7} f = 5 + (- 2) = 3$ .

b) Al invertir los límites cambia el signo: $\int_{7}^{3} f = - \int_{3}^{7} f = 2$ .

c) Por linealidad: $2 \cdot 5 - 3 \cdot 4 = 10 - 12 = - 2$ .

d) Con $u = 3 x$ , $d u = 3 d x$ y los límites pasan de $0$ y $1$ a $0$ y $3$ : $\int_{0}^{1} f (3 x) d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} f (u) d u = \frac{5}{3} .$

Resultado: a) $3$ ; b) $2$ ; c) $- 2$ ; d) $\frac{5}{3}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una función definida por una integral

Sea $G (x) = \int_{1}^{x} (t^{2} - 4 t + 3) d t$ .

a) Escribe $G^{'} (x)$ .

b) Halla las abscisas del máximo local y del mínimo local de $G$ .

c) Calcula $G (3)$ .

d) Sea $H (x) = G (x^{2})$ . Calcula $H^{'} (2)$ .

Solución

a) Por el teorema fundamental, $G^{'} (x) = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ .

b) $G^{'} (x) = 0$ para $x = 1$ y $x = 3$ . El signo de $G^{'}$ es $+$ para $x < 1$ , $-$ para $1 < x < 3$ y $+$ para $x > 3$ . Por tanto $G$ pasa de crecer a decrecer en $x = 1$ (máximo local) y de decrecer a crecer en $x = 3$ (mínimo local).

c) Con Barrow: $G (3) = [\frac{t ^{3}}{3} - 2 t^{2} + 3 t]_{1}^{3} = (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3) = 0 - \frac{4}{3} = - \frac{4}{3} .$

d) Por la regla de la cadena, $H^{'} (x) = G^{'} (x^{2}) \cdot 2 x = (x^{2} - 1) (x^{2} - 3) \cdot 2 x$ . En $x = 2$ : $H^{'} (2) = 3 \cdot 1 \cdot 4 = 12.$

Resultado: a) $x^{2} - 4 x + 3$ ; b) máximo en $x = 1$ , mínimo en $x = 3$ ; c) $- \frac{4}{3}$ ; d) $12$ .

En el examen: en b) justifica el tipo de punto con el signo de $G^{'}$ a cada lado (o con $G^{''}$ ). Y en d) no calcules $H$ entera: basta la regla de la cadena.

Errores típicos

Resumen

$G (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ cumple $G^{'} (x) = f (x)$ (teorema fundamental). Con límite superior $g (x)$ : $G^{'} (x) = f (g (x)) g^{'} (x)$ .
Barrow: $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ con $F$ una primitiva cualquiera.
Propiedades: linealidad, aditividad en el intervalo, $\int_{a}^{a} = 0$ , $\int_{b}^{a} = - \int_{a}^{b}$ y monotonía.
Función par: $\int_{- a}^{a} = 2 \int_{0}^{a}$ . Función impar: $\int_{- a}^{a} = 0$ .
Valor medio de $f$ en $[a, b]$ : $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

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