IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo integral · Apartado 9 de 13

Integral definida y área bajo una curva

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La integral definida $\int_{a}^{b} f (x) d x$ mide el «área con signo» entre la gráfica de $f$ y el eje $x$ , de $x = a$ a $x = b$ . Se define como el límite de sumas de rectángulos cada vez más finos (sumas de Riemann). Es la base de las áreas, los volúmenes y las aplicaciones del resto del tema.

Aproximar un área con rectángulos

Para hallar el área bajo una curva no hay fórmula de geometría elemental. La idea es cubrirla con rectángulos, cuya área sí sabes calcular.

Divide $[a, b]$ en $n$ subintervalos del mismo ancho $Δ x = \frac{b - a}{n}$ , con extremos $x_{0} = a, x_{1}, \dots, x_{n} = b$ . En cada subintervalo $[x_{i - 1}, x_{i}]$ se pueden levantar dos rectángulos:

uno inscrito, con altura igual al valor mínimo de $f$ en ese subintervalo, $m_{i}$ ;
uno circunscrito, con altura igual al valor máximo, $M_{i}$ .

La suma de las áreas de los primeros es la suma inferior y la de los segundos, la suma superior: $L_{n} = i = 1 \sum n m_{i} Δ x, U_{n} = i = 1 \sum n M_{i} Δ x .$

Como los rectángulos inscritos quedan dentro de la región y los circunscritos la rodean, el área $A$ cumple $L_{n} \leq A \leq U_{n}$ .

Gráfica de y=x^2 en (0,2) con cuatro rectángulos inscritos (relleno) y cuatro circunscritos (borde discontinuo)

Si $f$ es creciente, el mínimo está en el extremo izquierdo y el máximo en el derecho, y las sumas son sencillas de escribir. Si es decreciente, ocurre al revés.

De las sumas a la integral

Al aumentar $n$ , la suma inferior crece y la superior decrece, y las dos se acercan al mismo número. Eso es lo que se llama integral definida.

Un ejemplo completo con $f (x) = x^{2}$ en $[0, 1]$ ( $Δ x = \frac{1}{n}$ , función creciente, mínimo en el extremo izquierdo): $L_{n} = i = 1 \sum n (\frac{i - 1}{n})^{2} \frac{1}{n} = \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6 n ^{3}} n \to \infty \frac{1}{3} .$ Y así se comprueba que $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ , el mismo valor que obtendrás con la regla de Barrow en el apartado siguiente.

Área con signo

Si $f$ toma valores negativos, los rectángulos situados debajo del eje tienen «altura negativa» y la integral los cuenta con signo menos. Por eso la integral definida es un área con signo: $\int_{a}^{b} f (x) d x = (a ˊ rea sobre el eje) - (a ˊ rea bajo el eje) .$ Esta diferencia puede ser cero, e incluso negativa, aunque la región no sea nula. Para el área real se necesita más cuidado: lo verás en el apartado de cálculo de áreas.

Cuando la región es un trapecio, un triángulo, un rectángulo o parte de un círculo, puedes hallar la integral sin calcular primitivas, solo con fórmulas de geometría. Es un truco frecuente de la Prueba 1.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Sumas inferior y superior

Sea $f (x) = x^{2}$ en el intervalo $[0, 2]$ y toma $n = 4$ subintervalos del mismo ancho.

a) Calcula la suma inferior $L_{4}$ .

b) Calcula la suma superior $U_{4}$ .

c) Da dos números entre los que está $\int_{0}^{2} x^{2} d x$ .

Solución

El ancho es $Δ x = \frac{2 - 0}{4} = 0, 5$ , y los extremos son $0; 0, 5; 1; 1, 5; 2$ . Como $x^{2}$ es creciente en $[0, 2]$ , el mínimo está en el extremo izquierdo y el máximo en el derecho.

a) $L_{4} = 0, 5 (0^{2} + 0, 5^{2} + 1^{2} + 1, 5^{2}) = 0, 5 (0 + 0, 25 + 1 + 2, 25) = \frac{7}{4}$ .

b) $U_{4} = 0, 5 (0, 5^{2} + 1^{2} + 1, 5^{2} + 2^{2}) = 0, 5 (0, 25 + 1 + 2, 25 + 4) = \frac{15}{4}$ .

c) $\frac{7}{4} \leq \int_{0}^{2} x^{2} d x \leq \frac{15}{4}$ , es decir, entre $1, 75$ y $3, 75$ . (El valor exacto es $\frac{8}{3} \approx 2, 67$ .)

Resultado: a) $L_{4} = \frac{7}{4}$ ; b) $U_{4} = \frac{15}{4}$ ; c) la integral está entre $\frac{7}{4}$ y $\frac{15}{4}$ .

Ejemplo 2 Medio

Integrales con geometría

Calcula, sin hallar primitivas, haciendo un dibujo de la región:

a) $\int_{0}^{4} 16 - x^{2} d x$ .

b) $\int_{- 3}^{3} (2 - ∣ x ∣) d x$ .

c) $\int_{0}^{4} (x - 2) d x$ .

Solución

a) La gráfica de $y = 16 - x^{2}$ es la semicircunferencia superior de radio $4$ y centro el origen. Entre $x = 0$ y $x = 4$ es un cuarto de círculo, de área $\frac{1}{4} π \cdot 4^{2} = 4 π$ .

b) La gráfica de $y = 2 - ∣ x ∣$ es un triángulo de vértice $(0, 2)$ que corta el eje $x$ en $\pm 2$ . Entre $- 2$ y $2$ queda por encima del eje con área $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ . Entre $2$ y $3$ queda por debajo del eje: es un triángulo de base $1$ y altura $1$ , con área $\frac{1}{2}$ , y lo mismo entre $- 3$ y $- 2$ . Por tanto la integral es $4 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 3$ .

c) La recta $y = x - 2$ pasa por $(2, 0)$ . Entre $0$ y $2$ forma un triángulo bajo el eje de área $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ y entre $2$ y $4$ otro idéntico sobre el eje. La integral es $2 - 2 = 0$ .

Resultado: a) $4 π$ ; b) $3$ ; c) $0$ .

Ejemplo 3 Difícil

Distancia a partir de una tabla de velocidades

Un coche acelera durante $40$ segundos. Su velocidad $v$ (en m/s), medida cada $10$ segundos, es:

$t$ (s)	0	10	20	30	40
$v$ (m/s)	0	8	14	18	20

La velocidad es creciente en ese intervalo. La distancia recorrida es $\int_{0}^{40} v (t) d t$ .

a) Halla una cota inferior de la distancia usando rectángulos con la altura del extremo izquierdo.

b) Halla una cota superior usando la altura del extremo derecho.

c) Estima la distancia como la media de las dos cotas.

d) ¿Qué diferencia hay entre las dos cotas? ¿Cómo podrías reducirla?

Solución

El ancho de cada rectángulo es $Δ t = 10$ s. Como $v$ es creciente, el extremo izquierdo da el mínimo de cada intervalo y el derecho, el máximo.

a) $L = 10 (0 + 8 + 14 + 18) = 400$ m.

b) $U = 10 (8 + 14 + 18 + 20) = 600$ m.

c) La media es $\frac{400 + 600}{2} = 500$ m (equivale a aproximar la región con trapecios).

d) $U - L = 200$ m. Como $v$ es creciente, la diferencia es $Δ t (v (40) - v (0)) = 10 \cdot 20 = 200$ . Para reducirla hay que medir más a menudo: con $Δ t = 5$ s la diferencia baja a $100$ m.

Resultado: a) $400$ m; b) $600$ m; c) $500$ m; d) $200$ m.

En el examen: en este tipo de ejercicios justifica por qué cada extremo da una cota (la función es creciente) y escribe la suma completa, con el ancho de cada rectángulo, antes de dar el resultado.

Errores típicos

Resumen

Suma inferior $L_{n}$ y superior $U_{n}$ : rectángulos de ancho $Δ x = \frac{b - a}{n}$ con altura mínima o máxima en cada subintervalo; $L_{n} \leq A \leq U_{n}$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = n \to \infty lim L_{n} = n \to \infty lim U_{n}$ si $f$ es continua en $[a, b]$ .
Es un área con signo: lo que queda bajo el eje cuenta negativo.
Si $f \geq 0$ , la integral es el área bajo la curva; si $f \leq 0$ , es el área cambiada de signo.
Con regiones geométricas conocidas se puede calcular la integral sin primitivas.

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