IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo integral · Apartado 3 de 13

Integración por partes

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La integración por partes es la regla del producto al revés. Sirve para integrar productos que la sustitución no resuelve (como $x e^{x}$ o $x sen x$ ) y también logaritmos y funciones trigonométricas inversas. En Análisis y Enfoques NS puede aparecer en las dos pruebas.

De dónde sale la fórmula

La derivada de un producto es $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ . Si integras los dos lados y despejas, queda:

La idea es cambiar una integral difícil por otra más sencilla: eliges un factor que se simplifica al derivar ( $u$ ) y otro que sabes integrar ( $\frac{d v}{d x}$ ).

Cómo elegir $u$ y $d v$

Una regla práctica (se suele recordar como ILATE) ordena los tipos de función por orden de preferencia para $u$ :

Inversas trigonométricas ( $arctan x$ , $arcsin x$ ).
Logaritmos ( $ln x$ ).
Algebraicas, es decir, polinomios ( $x$ , $x^{2}$ ).
Trigonométricas ( $sen x$ , $cos x$ ).
Exponenciales ( $e^{x}$ , $a^{x}$ ).

Toma como $u$ el factor que aparezca antes en la lista, y como $d v$ el resto. Esto es una regla de ayuda, no un teorema: si al aplicarla la integral nueva sale más difícil, prueba al revés.

Casos que debes conocer

Un polinomio por una exponencial o una trigonométrica. Se toma $u$ = el polinomio, que se simplifica al derivar. Si el polinomio es de grado $n$ , hay que aplicar partes $n$ veces, repitiendo la misma elección en cada paso.

Un logaritmo o una función inversa sola. Como no se ve ningún producto, se inventa uno: $ln x = ln x \cdot 1$ , con $u = ln x$ y $\frac{d v}{d x} = 1$ . Lo mismo para $arctan x$ y $arcsin x$ .

Integrales cíclicas. Con $e^{a x} sen b x$ o $e^{a x} cos b x$ , al aplicar partes dos veces vuelve a aparecer la integral de partida. No es un fallo: la tratas como una incógnita y la despejas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Un polinomio por una exponencial o un coseno, y $x ln x$

Calcula (con $x > 0$ en el apartado c):

a) $\int x e^{- x} d x$ .

b) $\int x cos (2 x) d x$ .

c) $\int x ln x d x$ .

Solución

a) $u = x$ , $\frac{d v}{d x} = e^{- x}$ ; entonces $\frac{d u}{d x} = 1$ y $v = - e^{- x}$ : $\int x e^{- x} d x = - x e^{- x} + \int e^{- x} d x = - x e^{- x} - e^{- x} + C = - (x + 1) e^{- x} + C .$

b) $u = x$ , $\frac{d v}{d x} = cos 2 x$ ; $v = \frac{sen 2 x}{2}$ : $\int x cos 2 x d x = \frac{x sen 2 x}{2} - \frac{1}{2} \int sen 2 x d x = \frac{x sen 2 x}{2} + \frac{cos 2 x}{4} + C .$

c) Aquí el logaritmo va de $u$ (ILATE): $u = ln x$ , $\frac{d v}{d x} = x$ ; $\frac{d u}{d x} = \frac{1}{x}$ y $v = \frac{x ^{2}}{2}$ : $\int x ln x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \int \frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \frac{x ^{2}}{4} + C .$

Ejemplo 2 Medio

Partes repetidas y una función inversa

a) Calcula $\int x^{2} sen x d x$ .

b) Calcula el valor exacto de $\int_{0}^{1} arctan x d x$ .

Solución

a) Primera vez: $u = x^{2}$ , $\frac{d v}{d x} = sen x$ ; $\frac{d u}{d x} = 2 x$ y $v = - cos x$ : $\int x^{2} sen x d x = - x^{2} cos x + 2 \int x cos x d x .$ Segunda vez (misma elección: el polinomio es $u$ ): $u = x$ , $\frac{d v}{d x} = cos x$ ; $v = sen x$ : $\int x cos x d x = x sen x - \int sen x d x = x sen x + cos x .$ Juntando: $\int x^{2} sen x d x = - x^{2} cos x + 2 x sen x + 2 cos x + C$ .

b) Se toma $u = arctan x$ , $\frac{d v}{d x} = 1$ ; $\frac{d u}{d x} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ y $v = x$ : $\int arctan x d x = x arctan x - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C .$ Entonces $\int_{0}^{1} arctan x d x = [x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2})]_{0}^{1} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} ln 2.$

Ejemplo 3 Difícil

Una integral cíclica con límites

a) Halla $I = \int e^{2 x} sen x d x$ .

b) Calcula el valor exacto de $\int_{0}^{π} e^{2 x} sen x d x$ .

Solución

a) Primera aplicación: $u = sen x$ , $\frac{d v}{d x} = e^{2 x}$ ; $\frac{d u}{d x} = cos x$ , $v = \frac{1}{2} e^{2 x}$ : $I = \frac{1}{2} e^{2 x} sen x - \frac{1}{2} \int e^{2 x} cos x d x .$ Segunda aplicación, con la misma elección (la trigonométrica es $u$ ): $u = cos x$ , $\frac{d v}{d x} = e^{2 x}$ ; $\frac{d u}{d x} = - sen x$ : $\int e^{2 x} cos x d x = \frac{1}{2} e^{2 x} cos x + \frac{1}{2} \int e^{2 x} sen x d x = \frac{1}{2} e^{2 x} cos x + \frac{1}{2} I .$ Sustituyendo: $I = \frac{1}{2} e^{2 x} sen x - \frac{1}{4} e^{2 x} cos x - \frac{1}{4} I .$ Se pasa $\frac{1}{4} I$ al otro lado: $\frac{5}{4} I = \frac{1}{4} e^{2 x} (2 sen x - cos x)$ , de donde $I = \frac{e ^{2 x} ( 2 sen x - cos x )}{5} + C .$

b) Por el apartado anterior: $\int_{0}^{π} e^{2 x} sen x d x = [\frac{e ^{2 x} ( 2 sen x - cos x )}{5}]_{0}^{π} = \frac{e ^{2 π} \cdot 1}{5} - \frac{- 1}{5} = \frac{e ^{2 π} + 1}{5} .$

En el examen: en una integral cíclica se puntúa reconocer que vuelve a aparecer $I$ y despejarla. No cambies la elección de $u$ en la segunda aplicación: si lo haces, deshaces la primera y vuelves al punto de partida.

Errores típicos

Resumen

Fórmula: $\int u d v = uv - \int v d u$ (es la regla del producto al revés).
Elige $u$ por ILATE: inversas, logaritmos, polinomios, trigonométricas, exponenciales.
Un polinomio de grado $n$ exige $n$ aplicaciones; $ln x$ y $arctan x$ se resuelven con $d v = d x$ .
En integrales cíclicas ( $e^{a x} sen b x$ ), la integral reaparece y se despeja; usa la misma elección las dos veces.
Con límites, evalúa $[uv]$ entre ellos y resta la integral definida restante.

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