IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo integral · Apartado 2 de 13

Integración por sustitución

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La sustitución es la regla de la cadena al revés: cambias una parte complicada del integrando por una variable nueva $u$ para que la integral se parezca a una de la tabla. En el examen del IB casi siempre te dan el cambio ( $u = \dots$ ) y puntúa por hacerlo bien, con los límites incluidos.

Idea del método

Si el integrando tiene la forma $f (g (x)) g^{'} (x)$ , al llamar $u = g (x)$ resulta $d u = g^{'} (x) d x$ y la integral pasa a ser mucho más simple:

Es exactamente lo que hacías con la cadena: si $F^{'} = f$ , la derivada de $F (g (x))$ es $f (g (x)) g^{'} (x)$ . Aquí recorres el camino de vuelta. Lo cómodo de la notación $\frac{d u}{d x} = g^{'} (x)$ es que puedes tratar $d u = g^{'} (x) d x$ como un cociente, y sustituir.

Si no aparece en el integrando el factor $g^{'} (x)$ completo pero sí un múltiplo constante, no pasa nada: se compensa con una constante, como ya hacías con $f (a x + b)$ .

Integrales definidas: cambio de límites

En una integral definida hay dos maneras de proceder, igual de válidas:

Cambiar los límites. Si $u = g (x)$ , el límite inferior $x = a$ pasa a $u = g (a)$ y el superior $x = b$ a $u = g (b)$ . Se calcula todo en $u$ y no hace falta volver a $x$ .
Primitiva y deshacer. Se halla la primitiva en $x$ y luego se sustituyen los límites originales.

La primera es más corta y es la que se espera en el examen. Lo importante es no mezclar: o todo en $x$ con los límites de $x$ , o todo en $u$ con los de $u$ .

Sustituciones que te dan hecha

En el IB muchas veces el enunciado dice «utilizando la sustitución $u = \dots$ ». Entonces el trabajo es seguir los pasos anteriores con ese $u$ . Si es una raíz, como $u = x$ o $u = 1 + x$ , hay que despejar $x$ y calcular $d x$ para sustituir también el resto del integrando.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Reconocer la sustitución

Calcula:

a) $\int x (x^{2} + 5)^{4} d x$ .

b) $\int sen^{3} x cos x d x$ .

c) $\int \frac{e ^{x}}{x} d x$ , con $x > 0$ .

Solución

a) Sea $u = x^{2} + 5$ , así que $d u = 2 x d x$ y $x d x = \frac{d u}{2}$ : $\int u^{4} \cdot \frac{d u}{2} = \frac{u ^{5}}{10} + C = \frac{( x ^{2} + 5 ) ^{5}}{10} + C .$

b) Sea $u = sen x$ , $d u = cos x d x$ : $\int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4} + C = \frac{sen ^{4} x}{4} + C .$

c) Sea $u = x$ , $d u = \frac{d x}{2 x}$ , es decir $\frac{d x}{x} = 2 d u$ : $\int e^{u} \cdot 2 d u = 2 e^{u} + C = 2 e^{x} + C .$

Ejemplo 2 Medio

Indefinidas y definidas con cambio de variable

Calcula:

a) $\int \frac{( ln x ) ^{2}}{x} d x$ , con $x > 0$ .

b) $\int_{0}^{1} \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$ .

c) $\int_{1}^{5} x x - 1 d x$ .

Solución

a) Sea $u = ln x$ , $d u = \frac{d x}{x}$ : $\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3} + C = \frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C .$

b) Sea $u = x^{2} + 1$ , $d u = 2 x d x$ . Los límites cambian: $x = 0 \Rightarrow u = 1$ y $x = 1 \Rightarrow u = 2$ . $\int_{0}^{1} \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} [ln u]_{1}^{2} = \frac{1}{2} ln 2.$

c) Sea $u = x - 1$ , de modo que $x = u + 1$ y $d x = d u$ . Los límites: $x = 1 \Rightarrow u = 0$ y $x = 5 \Rightarrow u = 4$ . $\int_{0}^{4} (u + 1) u^{1/2} d u = \int_{0}^{4} (u^{3/2} + u^{1/2}) d u = [\frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2}]_{0}^{4} .$ Con $4^{5/2} = 32$ y $4^{3/2} = 8$ : $\frac{64}{5} + \frac{16}{3} = \frac{192 + 80}{15} = \frac{272}{15}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Sustitución dada con una raíz

Utilizando la sustitución $u = 1 + x$ , calcula $I = \int_{0}^{4} \frac{d x}{1 + x} .$

a) Expresa $x$ en función de $u$ y halla $\frac{d x}{d u}$ .

b) Demuestra que $I = \int_{1}^{3} (2 - \frac{2}{u}) d u$ .

c) Calcula el valor exacto de $I$ .

Solución

a) De $u = 1 + x$ se tiene $x = u - 1$ y, elevando al cuadrado, $x = (u - 1)^{2}$ . Entonces $\frac{d x}{d u} = 2 (u - 1)$ .

b) Límites: $x = 0 \Rightarrow u = 1 + 0 = 1$ y $x = 4 \Rightarrow u = 1 + 2 = 3$ . Como $d x = 2 (u - 1) d u$ y el denominador es $u$ : $I = \int_{1}^{3} \frac{2 ( u - 1 )}{u} d u = \int_{1}^{3} (2 - \frac{2}{u}) d u .$

c) Se integra: $I = [2 u - 2 ln u]_{1}^{3} = (6 - 2 ln 3) - (2 - 0) = 4 - 2 ln 3.$

En el examen: en «demuestra que» el punto está en mostrar el cambio de límites y $d x = 2 (u - 1) d u$ . Si olvidas cambiar los límites, el apartado c) pierde todos los puntos.

Errores típicos

Resumen

Sustituir es la regla de la cadena al revés: $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u$ con $u = g (x)$ .
Pasos: elige $u$ , calcula $d u$ , sustituye todo, integra, deshaz el cambio.
En integrales definidas, cambia los límites a $u = g (a)$ y $u = g (b)$ y no vuelvas a $x$ .
Si el cambio es una raíz, despeja $x$ en función de $u$ para sustituir el resto del integrando.
En el examen suelen dar la sustitución: demuestra el cambio de límites y de $d x$ .

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