IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo integral · Apartado 1 de 13

Primitivas e integral indefinida

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Integrar es derivar al revés: dada una función, buscas otra cuya derivada sea la primera. Casi todas las técnicas del tema (sustitución, partes, fracciones simples) acaban reduciéndose a una de las primitivas inmediatas de este apartado, así que conviene dominarlas como la tabla de multiplicar.

Primitiva de una función

Por ejemplo, $F (x) = x^{2}$ es una primitiva de $f (x) = 2 x$ , pero también lo son $x^{2} + 3$ y $x^{2} - \frac{1}{2}$ : al derivar, la constante desaparece. Dos primitivas de la misma función solo pueden diferir en una constante, porque la única función con derivada $0$ en un intervalo es una constante.

La integral indefinida y la constante $C$

Geométricamente, la constante $C$ desplaza la gráfica hacia arriba o hacia abajo: todas las primitivas de $f$ son la misma curva trasladada verticalmente.

Parábolas y = x² + C, todas las primitivas de f(x) = 2x; la naranja, con C = -1, pasa por (1, 0)

Si el enunciado da un punto por el que pasa la primitiva (una condición inicial), se sustituye ese punto en $F (x) + C$ y se despeja $C$ . Con ello se elige una única curva de la familia.

Propiedades

La integral es lineal, igual que la derivada:

Se puede sacar un número fuera de la integral y se puede integrar sumando término a término. No se puede sacar una función de $x$ ni separar un producto: $\int f (x) g (x) d x \neq = \int f \cdot \int g$ .

Tabla de primitivas inmediatas

Cada fila sale de leer al revés una fila de la tabla de derivadas del tema 10. Se da la versión con una función interior $f (x)$ : si en el integrando aparece su derivada $f^{'} (x)$ multiplicando, la primitiva es la de siempre evaluada en $f (x)$ .

Con $f (x) = x$ (y $f^{'} = 1$ ) salen las versiones básicas: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ , $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ , $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , $\int cos x d x = sen x + C$ , etc. Fíjate en que la de $x^{- 1}$ es la excepción de la potencia: da un logaritmo.

Integrales del tipo $f (a x + b)$

El caso más frecuente es cuando la función interior es lineal, $a x + b$ . Entonces $f^{'} = a$ es constante y solo falta compensar ese factor dividiendo por $a$ .

Por ejemplo, $\int cos (5 x - 2) d x = \frac{1}{5} sen (5 x - 2) + C$ y $\int \frac{d x}{3 x + 1} = \frac{1}{3} ln ∣ 3 x + 1 ∣ + C$ .

Cuando el denominador es $a^{2} + x^{2}$ o $a^{2} - x^{2}$ con $a \neq = 1$ , saca el $a$ para llegar a $1 + (x / a)^{2}$ o a $1 - (x / a)^{2}$ : $\int \frac{d x}{a ^{2} + x ^{2}} = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C, \int \frac{d x}{a ^{2} - x ^{2}} = arcsin \frac{x}{a} + C (a > 0) .$

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Primitivas término a término

Calcula (con $x > 0$ donde haga falta):

a) $\int (4 x^{3} - 6 x + 5) d x$ .

b) $\int (\frac{1}{x ^{2}} + 6 x) d x$ .

c) $\int (2 e^{x} - 4 cos x + \frac{1}{x}) d x$ .

Solución

Se integra cada término con su fórmula y se añade una sola constante al final.

a) $\int (4 x^{3} - 6 x + 5) d x = x^{4} - 3 x^{2} + 5 x + C$ .

b) Se escribe $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ y $x = x^{1/2}$ : $\int (x^{- 2} + 6 x^{1/2}) d x = \frac{x ^{- 1}}{- 1} + 6 \cdot \frac{x ^{3/2}}{3/2} + C = - \frac{1}{x} + 4 x^{3/2} + C .$

c) $\int (2 e^{x} - 4 cos x + \frac{1}{x}) d x = 2 e^{x} - 4 sen x + ln x + C$ (con $x > 0$ el valor absoluto sobra).

Ejemplo 2 Medio

Integrales de $f (a x + b)$ y de cocientes básicos

Calcula:

a) $\int e^{- 4 x + 2} d x$ .

b) $\int \frac{d x}{2 x + 5}$ , con $x > - \frac{5}{2}$ .

c) $\int \frac{d x}{9 + x ^{2}}$ .

d) $\int \frac{d x}{1 - 4 x ^{2}}$ , con $∣ x ∣ < \frac{1}{2}$ .

Solución

a) La exponencial con interior lineal de pendiente $- 4$ : divide entre $- 4$ . $\int e^{- 4 x + 2} d x = - \frac{1}{4} e^{- 4 x + 2} + C .$

b) Logaritmo con interior de pendiente $2$ : $\int \frac{d x}{2 x + 5} = \frac{1}{2} ln (2 x + 5) + C .$

c) Se saca el $9$ : $\frac{1}{9 + x ^{2}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{1 + ( x /3 ) ^{2}}$ . Como $(\frac{x}{3})^{'} = \frac{1}{3}$ , hay que compensar con otro factor $3$ : $\int \frac{d x}{9 + x ^{2}} = \frac{1}{9} \cdot 3 arctan \frac{x}{3} + C = \frac{1}{3} arctan \frac{x}{3} + C .$

d) Con $f (x) = 2 x$ y $f^{'} (x) = 2$ : $\frac{1}{1 - 4 x ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1 - ( 2 x ) ^{2}}$ , luego $\int \frac{d x}{1 - 4 x ^{2}} = \frac{1}{2} arcsin (2 x) + C .$

Ejemplo 3 Difícil

Recuperar la función a partir de su derivada

La derivada de una función $f$ es $f^{'} (x) = \frac{4 x}{x ^{2} + 1} + 2 e^{- 2 x},$ y la gráfica de $f$ pasa por el punto $(0, 3)$ .

a) Halla $f (x)$ .

b) Calcula $f (1)$ .

c) Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de $f$ en $x = 0$ .

Solución

a) El primer sumando es de la forma $\frac{g ^{'}}{g}$ con $g = x^{2} + 1$ ( $g^{'} = 2 x$ ), así que $\frac{4 x}{x ^{2} + 1} = 2 \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ . El segundo es una exponencial con interior $- 2 x$ , que se integra dividiendo entre $- 2$ : $f (x) = 2 ln (x^{2} + 1) + 2 \cdot \frac{e ^{- 2 x}}{- 2} + C = 2 ln (x^{2} + 1) - e^{- 2 x} + C .$ (Como $x^{2} + 1 > 0$ no hace falta el valor absoluto.) Con $f (0) = 3$ : $2 ln 1 - e^{0} + C = 3 \Rightarrow - 1 + C = 3 \Rightarrow C = 4.$ Luego $f (x) = 2 ln (x^{2} + 1) - e^{- 2 x} + 4$ .

b) $f (1) = 2 ln 2 - e^{- 2} + 4$ (aproximadamente $5, 251$ ).

c) La tangente pasa por $(0, f (0)) = (0, 3)$ y su pendiente es $f^{'} (0) = \frac{0}{1} + 2 e^{0} = 2$ . Es $y = 2 x + 3$ .

En el examen: hay un punto reservado para hallar $C$ con la condición dada. Si integras sin escribir el $+ C$ , lo pierdes y el error se arrastra a los apartados siguientes. Escribe $C$ en cuanto integres.

Errores típicos

Resumen

Una primitiva de $f$ es una $F$ con $F^{'} = f$ ; todas las primitivas difieren en una constante: $\int f = F + C$ .
La integral es lineal: saca constantes y suma término a término; no se puede separar un producto.
Memoriza la tabla: potencias (con $ln ∣ x ∣$ para $x^{- 1}$ ), $e^{x}$ , $a^{x}$ , seno, coseno, $\frac{1}{cos ^{2} x}$ , arcoseno y arcotangente.
Con $f (a x + b)$ : primitiva en $a x + b$ y divide entre $a$ ; comprueba derivando.
Una condición inicial fija $C$ y elige una sola curva de la familia.

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Integral	Resultado
$\int f (x)^{n} f^{'} (x) d x$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{f ( x ) ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x$	$ln ∣ f (x)∣ + C$
$\int e^{f (x)} f^{'} (x) d x$	$e^{f (x)} + C$
$\int a^{f (x)} f^{'} (x) d x$	$\frac{a ^{f (x)}}{ln a} + C$
$\int sen f (x) f^{'} (x) d x$	$- cos f (x) + C$
$\int cos f (x) f^{'} (x) d x$	$sen f (x) + C$
$\int \frac{f ^{'} ( x )}{cos ^{2} f ( x )} d x$	$tan f (x) + C$
$\int \frac{f ^{'} ( x )}{1 - f ( x ) ^{2}} d x$	$arcsin f (x) + C$
$\int \frac{f ^{'} ( x )}{1 + f ( x ) ^{2}} d x$	$arctan f (x) + C$

Primitivas e integral indefinida

Primitiva de una función

La integral indefinida y la constante C

Propiedades

Tabla de primitivas inmediatas

Integrales del tipo f(ax+b)

Ejemplos resueltos

Errores típicos

Resumen

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

La integral indefinida y la constante $C$

Integrales del tipo $f (a x + b)$