IB Análisis y Enfoques NS · Cálculo integral · Apartado 11 de 13

Cálculo de áreas planas con integrales

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La integral definida es un área con signo; el área real es siempre positiva. Para pasar de una a otra tienes que fijarte en dónde la función corta al eje y en quién está encima de quién. El mismo razonamiento sirve para pasar del desplazamiento a la distancia recorrida de una partícula.

Área entre una curva y el eje $x$

Sea $f$ continua en $[a, b]$ . El área de la región limitada por la gráfica de $f$ , el eje $x$ y las rectas $x = a$ y $x = b$ depende del signo de $f$ .

Fíjate en que $\int_{a}^{b} f$ no vale como área si $f$ cambia de signo, porque los trozos se compensan. Por ejemplo, $\int_{- 1}^{1} x d x = 0$ aunque la región entre $y = x$ y el eje tiene área $1$ .

Gráfica de f(x)=x^3-6x^2+8x con la región A1 sobre el eje entre 0 y 2 y la región A2 bajo el eje entre 2 y 4

Si piden el área entre la curva y el eje sin dar los límites («la región limitada por la curva y el eje $x$ »), los límites son los ceros consecutivos de $f$ entre los que queda la región cerrada.

Área entre dos curvas

Si $f (x) \geq g (x)$ en $[a, b]$ , la región encerrada entre las dos gráficas es la diferencia entre las áreas bajo cada una, aunque $f$ y $g$ sean negativas en parte del intervalo (se pueden subir ambas el mismo número $k$ de unidades y la diferencia no cambia).

Si no te dan $a$ y $b$ porque la región está «limitada por» las dos curvas, los límites son los puntos de corte consecutivos.

Región entre la recta y=x+2 y la parábola y=x^2 desde x=-1 hasta x=2

Desplazamiento y distancia recorrida

Una partícula se mueve en línea recta con velocidad $v (t)$ , de modo que $v = \frac{d s}{d t}$ y la aceleración es $a = \frac{d v}{d t}$ . Integrar la velocidad devuelve la posición, y con las integrales definidas se distinguen dos cosas.

Es el mismo problema que el del área entre curva y eje: el desplazamiento es el área con signo bajo $v$ (lo que va hacia atrás se resta) y la distancia es el área real (todo suma). Para hallar la distancia debes partir el intervalo en los instantes en que $v = 0$ , que es cuando la partícula cambia de sentido.

Por ejemplo, con $v (t) = t^{2} - 4 t + 3 = (t - 1) (t - 3)$ en $0 \leq t \leq 4$ : $v$ cambia de signo en $t = 1$ y $t = 3$ . Las integrales por tramos valen $\frac{4}{3}$ , $- \frac{4}{3}$ y $\frac{4}{3}$ . El desplazamiento es $\frac{4}{3}$ y la distancia total es $\frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4$ .

Si se conoce la posición inicial, $s (t) = \int v (t) d t$ con la constante calculada con $s (t_{0})$ , y la partícula está en reposo cuando $v = 0$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Área y signo con una parábola

Sea $f (x) = 4 - x^{2}$ .

a) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f$ y el eje $x$ .

b) Calcula $\int_{0}^{3} f (x) d x$ .

c) Calcula el área de la región limitada por la gráfica, el eje $x$ y las rectas $x = 0$ y $x = 3$ .

Solución

a) Los ceros son $x = \pm 2$ y entre ellos $f \geq 0$ . Por la simetría (función par): $A ˊ rea = \int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x = [4 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 2}^{2} = \frac{16}{3} - (- \frac{16}{3}) = \frac{32}{3} .$

b) $\int_{0}^{3} (4 - x^{2}) d x = [4 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{3} = 12 - 9 = 3.$

c) La función cambia de signo en $x = 2$ y $f < 0$ entre $2$ y $3$ . Se parte el intervalo: $\int_{0}^{2} f = \frac{16}{3}, \int_{2}^{3} f = 3 - \frac{16}{3} = - \frac{7}{3},$ y el área es $\frac{16}{3} + - \frac{7}{3} = \frac{23}{3}$ . La integral (b) vale $3$ porque resta lo que queda bajo el eje.

Resultado: a) $\frac{32}{3}$ ; b) $3$ ; c) $\frac{23}{3}$ .

Ejemplo 2 Medio

Entre una recta y una parábola, y entre dos cúbicas

a) Halla el área de la región limitada por la recta $y = x + 2$ y la parábola $y = x^{2}$ .

b) Halla el área de la región limitada por las gráficas de $y = x^{3}$ e $y = x$ entre $x = - 1$ y $x = 1$ .

Solución

a) Se cortan donde $x^{2} = x + 2$ , es decir, $x^{2} - x - 2 = 0$ , con $x = - 1$ y $x = 2$ . Entre esos valores la recta está por encima (en $x = 0$ : $2 > 0$ ): $A ˊ rea = \int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + 2 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{2} = \frac{10}{3} - (- \frac{7}{6}) = \frac{9}{2} .$

b) $x^{3} = x$ en $x = - 1, 0, 1$ : las curvas se cortan en el centro del intervalo, así que hay que partir. Entre $0$ y $1$ , $x > x^{3}$ (en $x = \frac{1}{2}$ : $\frac{1}{2} > \frac{1}{8}$ ); entre $- 1$ y $0$ ocurre lo contrario. Además las dos funciones son impares, así que las dos regiones son iguales: $A ˊ rea = 2 \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x = 2 [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .$

Resultado: a) $\frac{9}{2}$ ; b) $\frac{1}{2}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una cúbica y una parábola

Sea $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x$ y $g (x) = x^{2} - 4 x$ .

a) Halla los puntos donde $f$ corta al eje $x$ .

b) Calcula $\int_{0}^{4} f (x) d x$ .

c) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f$ y el eje $x$ .

d) Halla el área de la región limitada por las gráficas de $f$ y $g$ entre $x = 0$ y $x = 4$ .

Solución

a) $f (x) = x (x^{2} - 6 x + 8) = x (x - 2) (x - 4)$ . Los puntos de corte son $x = 0, 2, 4$ .

b) $\int_{0}^{4} f = [\frac{x ^{4}}{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2}]_{0}^{4} = 64 - 128 + 64 = 0.$

c) La integral es $0$ , pero el área no: $f > 0$ en $] 0, 2 [$ y $f < 0$ en $] 2, 4 [$ . $\int_{0}^{2} f = 4, \int_{2}^{4} f = - 4 \Rightarrow A ˊ rea = 4 + 4 = 8.$

d) $f (x) - g (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 12 x = x (x - 3) (x - 4)$ , así que se cortan en $x = 0, 3, 4$ . Entre $0$ y $3$ es positiva ( $f$ arriba) y entre $3$ y $4$ , negativa ( $g$ arriba): $\int_{0}^{3} (f - g) = [\frac{x ^{4}}{4} - \frac{7 x ^{3}}{3} + 6 x^{2}]_{0}^{3} = \frac{45}{4}, \int_{3}^{4} (f - g) = - \frac{7}{12} .$ $A ˊ rea = \frac{45}{4} + \frac{7}{12} = \frac{71}{6} \approx 11, 8.$

Resultado: a) $0, 2, 4$ ; b) $0$ ; c) $8$ ; d) $\frac{71}{6}$ .

En el examen: deja escrito el motivo de partir el intervalo (cambio de signo o corte de curvas) y la integral de cada tramo con su límite. Si te piden el área y das solo $\int_{0}^{4} f = 0$ , pierdes los puntos de ese apartado.

Errores típicos

Resumen

Curva y eje $x$ : si $f$ no cambia de signo, área $= \int_{a}^{b} f$ ; si cambia, parte en los ceros y suma los valores absolutos: $\int_{a}^{b} ∣ f ∣$ .
Dos curvas: área $= \int_{a}^{b} [arriba - abajo] d x$ ; con cortes en medio, parte el intervalo en ellos.
Los límites que no se dan salen de resolver $f (x) = 0$ o $f (x) = g (x)$ .
Movimiento rectilíneo: desplazamiento $= \int v d t$ y distancia $= \int ∣ v ∣ d t$ .
Con calculadora, deja siempre escrita la integral planteada.

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