Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Aquí $P=2$ y $Q=6$. El factor integrante es $\mu ={\mathrm{e}}^{\int 2\mathrm{d}x}={\mathrm{e}}^{2x}$. Se multiplica: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(y{\mathrm{e}}^{2x}\right)=6{\mathrm{e}}^{2x}\Rightarrow y{\mathrm{e}}^{2x}=3{\mathrm{e}}^{2x}+C.$$ Se divide entre ${\mathrm{e}}^{2x}$: $y=3+C{\mathrm{e}}^{-2x}$. Con $y=1$ en $x=0$: $1=3+C$, $C=-2$. $$y=3-2{\mathrm{e}}^{-2x}.$$

Se divide entre $x$ para tener coeficiente $1$ en $y^{\prime }$: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{2}{x}y=4$. Entonces $P=\frac{2}{x}$ y $Q=4$.

Factor integrante: $\mu ={\mathrm{e}}^{\int \frac{2}{x}\mathrm{d}x}={\mathrm{e}}^{2\ln x}=x^2$. Se multiplica: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{2}y\right)=4x^2\Rightarrow x^{2}y=\frac{4x^3}{3}+C\Rightarrow y=\frac{4x}{3}+\frac{C}{x^2}.$$ Con $y=\frac{5}{3}$ en $x=1$: $\frac{5}{3}=\frac{4}{3}+C$, así que $C=\frac{1}{3}$. $$y=\frac{4x}{3}+\frac{1}{3x^2}.$$

a) Aquí $P=\tan x$, y $\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|$. Como $\cos x>0$ en el intervalo, $$\mu ={\mathrm{e}}^{-\ln \cos x}=\frac{1}{\cos x}.$$

b) Se multiplica por $\mu$: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{y}{\cos x}\right)=\frac{{\cos }^{2}x}{\cos x}=\cos x$. Se integra: $$\frac{y}{\cos x}=\mathrm{sen}x+C\Rightarrow y=\mathrm{sen}x\cos x+C\cos x.$$

c) Con $y=2$ en $x=0$: $2=0+C\cdot 1$, luego $C=2$ y $$y=\mathrm{sen}x\cos x+2\cos x.$$ Para $x=\frac{\pi }{3}$: $y=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+1$.

En el examen: se puntúa escribir $\mu$ y reconocer que $\mu y$ tiene derivada $\mu Q$. No olvides dividir la constante entre $\mu$ al despejar: aquí $C$ queda multiplicada por $\cos x$.