IB Aplicaciones e Interpretación NM · Funciones · Cierre del tema

Ejercicios IB del tema 6

148 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Ejercicios de exámenes del IB agrupados por tipo y, dentro de cada tipo, de menos a más difícil. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

Nivel

Prueba

Soluciones

Dominio, recorrido y características de la gráfica

Ejercicio 1 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2005

La siguiente gráfica muestra el costo, en dólares, de enviar por correo cartas de distinto peso.

Gráfica en escalera del costo en dólares según el peso en gramos: cinco tramos constantes de 0,50 a 2,50 dólares con puntos rellenos al inicio y vacíos al final de cada tramo

a) Escriba el costo de enviar una carta que pesa 60 g.

b) Escriba el costo de enviar una carta que pesa 250 g.

Kathy paga 2,50 dólares por enviar una carta.

c) Escriba entre qué valores se encuentra el peso, w, de la carta.

Ver resultado

Resultado: a) $ 1,00; b) $ 2,00; c) $350 \leq w < 500$

Ver proceso y resultado

$60$ g está en el tramo $50 \leq w < 150$ : cuesta $1, 00$ dólar.

$250$ g está en el tramo $250 \leq w < 350$ (el punto relleno está en $250$ ): cuesta $2, 00$ dólares.

El costo $2, 50$ corresponde al último tramo: $350 \leq w < 500$ .

Resultado: a) $ 1,00; b) $ 2,00; c) $350 \leq w < 500$

Ejercicio 2 BásicoIB · P1 TZ1 Mayo 2008

Una función $f$ está dada por $f : x \to 2 x^{2} - 3 x, x \in {- 2, 2, 3}$ .

a) Dibuje un diagrama de flechas para ilustrar esta función.

b) Escriba el rango de la función $f$ .

Ver resultado

Resultado: a) $- 2 \to 14$ , $2 \to 2$ , $3 \to 9$ (ver figura); b) ${2, 9, 14}$

Ver proceso y resultado

a) Se calcula la imagen de cada elemento del dominio:

$f (- 2) = 2 \cdot 4 + 6 = 14$ ; $f (2) = 8 - 6 = 2$ ; $f (3) = 18 - 9 = 9$ .

Diagrama de flechas de f: el dominio {-2, 2, 3} se lleva a 14, 2 y 9 respectivamente

b) El rango es el conjunto de las imágenes: ${2, 9, 14}$ .

Resultado: a) $- 2 \to 14$ , $2 \to 2$ , $3 \to 9$ (ver figura); b) ${2, 9, 14}$

Ejercicio 3 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2004

A continuación se muestra la gráfica de la función $y = x^{2} - x - 2$ .

Parábola y = x² − x − 2 con ramas hacia arriba; corta el eje x en A (a la izquierda del origen) y en B (a la derecha), y el eje y en C, por debajo del origen

a) Escriba las coordenadas del punto $C$ .

b) Calcule las coordenadas de los puntos $A$ y $B$ .

Ver resultado

Resultado: a) $C (0, - 2)$ ; b) $A (- 1, 0)$ y $B (2, 0)$

Ver proceso y resultado

a) El corte con el eje $y$ es $f (0) = - 2$ : $C (0, - 2)$ .

b) Los cortes con el eje $x$ cumplen $x^{2} - x - 2 = 0$ , es decir, $(x + 1) (x - 2) = 0$ . Luego $A (- 1, 0)$ y $B (2, 0)$ .

Resultado: a) $C (0, - 2)$ ; b) $A (- 1, 0)$ y $B (2, 0)$

Ejercicio 4 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2000

a) Una función f se representa mediante el siguiente diagrama de aplicación.

Diagrama de aplicación: los valores −1, 0, 1, 2 y 3 se transforman mediante flechas horizontales en −5, −2, 1, 4 y 7

Escriba la función $f$ en la forma $f : x \mapsto y$ , $x \in {dominio de f}$ .

b) La función $g$ se define $g : x \mapsto sen 15 x^{\circ}$ , ${x \in N y 0 < x \leq 4}$ .

Complete el siguiente diagrama de aplicación de modo que represente la función $g$ .

Dos óvalos vacíos para completar el diagrama de aplicación de g(x) = sen(15x°) con x = 1, 2, 3, 4

Ver resultado

Resultado: a) $f : x \mapsto 3 x - 2$ , $x \in {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ; b) $1 \mapsto 0, 259$ , $2 \mapsto 0, 5$ , $3 \mapsto 0, 707$ , $4 \mapsto 0, 866$

Ver proceso y resultado

El diagrama asocia $- 1 \mapsto - 5$ , $0 \mapsto - 2$ , $1 \mapsto 1$ , $2 \mapsto 4$ , $3 \mapsto 7$ .
Cada vez que $x$ aumenta $1$ , la imagen aumenta $3$ y $f (0) = - 2$ : $y = 3 x - 2$ .
$f : x \mapsto 3 x - 2$ , $x \in {- 1, 0, 1, 2, 3}$ .

El dominio es ${1, 2, 3, 4}$ y hay que calcular $sen (15 x^{\circ})$ para cada valor: $sen 1 5^{\circ} \approx 0, 259$ , $sen 3 0^{\circ} = 0, 5$ , $sen 4 5^{\circ} \approx 0, 707$ , $sen 6 0^{\circ} \approx 0, 866$ .

Diagrama de aplicación completado de g: el dominio {1, 2, 3, 4} a la izquierda y las imágenes 0,259; 0,5; 0,707 y 0,866 a la derecha, con flechas 1 → 0,259, 2 → 0,5, 3 → 0,707 y 4 → 0,866

Resultado: a) $f : x \mapsto 3 x - 2$ , $x \in {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ; b) $1 \mapsto 0, 259$ , $2 \mapsto 0, 5$ , $3 \mapsto 0, 707$ , $4 \mapsto 0, 866$

Ejercicio 5 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2004

En la siguiente tabla se pueden ver las tarifas postales para el envío de cartas desde los Países Bajos. Los precios vienen dados en euros (€).

Destino	Peso no mayor de 20 g	Cada 20 g adicionales o fracción
Entre los Países Bajos (zona 1)	€ 0,40	€ 0,35
Otros destinos en Europa (zona 2)	€ 0,55	€ 0,50
Fuera de Europa (zona 3)	€ 0,80	€ 0,70

a) Indique el costo de enviar una carta de 15 g de peso desde los Países Bajos a un destino dentro de los Países Bajos (zona 1).

b) Calcule el costo de enviar una carta de 35 g de peso desde los Países Bajos a un destino en Francia (zona 2).

c) Calcule el costo de enviar una carta de 50 g de peso desde los Países Bajos a un destino en los EEUU (zona 3).

Ver resultado

Resultado: a) 0,40 €; b) 1,05 €; c) 2,20 €

Ver proceso y resultado

$15$ g no supera los $20$ g: cuesta $0, 40$ €.

Los primeros $20$ g cuestan $0, 55$ €. Los $15$ g restantes cuentan como un tramo adicional de $0, 50$ €.
Total: $0, 55 + 0, 50 = 1, 05$ €.

Los primeros $20$ g cuestan $0, 80$ €. Los $30$ g restantes cuentan como $2$ tramos de $0, 70$ €.
Total: $0, 80 + 2 \cdot 0, 70 = 2, 20$ €.

Resultado: a) 0,40 €; b) 1,05 €; c) 2,20 €

Ejercicio 6 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2005

Los siguientes diagramas son dibujos aproximados de las gráficas de las siguientes funciones, donde $a$ y $b$ son enteros positivos.

Cuatro dibujos aproximados numerados 1 a 4, sin escala, con ejes x e y: 1, parábola con ramas hacia arriba y vértice bajo el eje x a la derecha del eje y; 2, recta de pendiente positiva; 3, parábola con ramas hacia arriba y vértice a la izquierda junto al eje x; 4, recta de pendiente negativa

Complete la siguiente tabla asignando a cada función su correspondiente gráfica.

Función	Gráfica
(i) $y = a x + b$
(ii) $y = - a x + b$
(iii) $y = x^{2} + a x + b$
(iv) $y = x^{2} - a x - b$

Ver resultado

Resultado: (i) gráfica 2; (ii) gráfica 4; (iii) gráfica 3; (iv) gráfica 1

Ver proceso y resultado

Se analiza cada función:

(i) $y = a x + b$ es una recta de pendiente positiva y ordenada en el origen positiva: gráfica 2.
(ii) $y = - a x + b$ es una recta de pendiente negativa y ordenada en el origen positiva: gráfica 4.
(iii) $y = x^{2} + a x + b$ tiene el vértice en $x = - \frac{a}{2} < 0$ y corta el eje $y$ en $b > 0$ : gráfica 3.
(iv) $y = x^{2} - a x - b$ tiene el vértice en $x = \frac{a}{2} > 0$ y corta el eje $y$ en $- b < 0$ , por lo que corta el eje $x$ a ambos lados del origen: gráfica 1.

Función	Gráfica
(i) $y = a x + b$	2
(ii) $y = - a x + b$	4
(iii) $y = x^{2} + a x + b$	3
(iv) $y = x^{2} - a x - b$	1

Resultado: (i) gráfica 2; (ii) gráfica 4; (iii) gráfica 3; (iv) gráfica 1

Ejercicio 7 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2002

Considere las gráficas de las siguientes funciones.

(i) $y = 7 x + x^{2}$ ;

(ii) $y = (x - 2) (x + 3)$ ;

(iii) $y = 3 x^{2} - 2 x + 5$ ;

(iv) $y = 5 - 3 x - 2 x^{2}$ .

¿Cuál de estos gráficos

a) Tiene una intersección con el eje $y$ debajo del eje $x$ ?

b) Pasa por el origen?

c) No corta el eje $x$ ?

d) Podría representarse mediante el siguiente diagrama?

Parábola con ramas hacia abajo, vértice por encima del eje x cerca del eje y, que corta el eje x a ambos lados del origen y el eje y por encima de O

Ver resultado

Resultado: a) (ii); b) (i); c) (iii); d) (iv)

Ver proceso y resultado

Se estudia cada función:

(i) $y = 7 x + x^{2} = x (7 + x)$ : pasa por el origen, pues $y (0) = 0$ .
(ii) $y = (x - 2) (x + 3)$ : corta el eje $y$ en $y (0) = - 6 < 0$ , por debajo del eje $x$ .
(iii) $y = 3 x^{2} - 2 x + 5$ : $Δ = 4 - 60 < 0$ , luego no corta el eje $x$ .
(iv) $y = 5 - 3 x - 2 x^{2}$ : el coeficiente de $x^{2}$ es negativo (ramas hacia abajo), corta el eje $y$ en $5 > 0$ y tiene $Δ = 9 + 40 > 0$ (dos cortes con el eje $x$ ); el vértice está en $x = - \frac{3}{4}$ , muy cerca del eje $y$ . Es la del diagrama.

Resultado: a) (ii); b) (i); c) (iii); d) (iv)

Ejercicio 8 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2006

La siguiente figura muestra las gráficas de las funciones $f (x) = 2^{x} + 0, 5$ y $g (x) = 4 - x^{2}$ para valores de $x$ entre $- 3$ y $3$ .

Gráficas de f(x) = 2^x + 0,5 (creciente) y g(x) = 4 − x² (parábola) para x entre −3 y 3, con los puntos de corte A y B

a) Escriba las coordenadas de los puntos $A$ y $B$ .

b) Escriba el conjunto de valores de $x$ para los cuales $f (x) < g (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $A (- 1, 79; 0, 789)$ , $B (1, 14; 2, 70)$ ; b) $- 1, 79 < x < 1, 14$

Ver proceso y resultado

a) Los puntos $A$ y $B$ son las soluciones de $2^{x} + 0, 5 = 4 - x^{2}$ . Con la CPG (intersección de las dos gráficas):

$A (- 1, 79; 0, 789)$ y $B (1, 14; 2, 70)$ .

b) $f (x) < g (x)$ donde la curva $f$ está por debajo de la parábola $g$ , es decir, entre los dos puntos de corte: $- 1, 79 < x < 1, 14$ .

Resultado: a) $A (- 1, 79; 0, 789)$ , $B (1, 14; 2, 70)$ ; b) $- 1, 79 < x < 1, 14$

Ejercicio 9 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2003

Las figuras que aparecen a continuación representan las gráficas de algunas de las siguientes funciones.

(i) $y = a^{x}$

(ii) $y = x^{2} - a$

(iii) $y = a - x^{2}$

(iv) $y = a - x$

(v) $y = x - a$

Cuatro gráficas sin escala: recta decreciente, exponencial creciente, parábola con vértice bajo el origen y recta creciente

Rellene la siguiente tabla con las funciones que corresponden a cada gráfica.

Gráfica	Función
(a)
(b)
(c)
(d)

Ver resultado

Resultado: a) (iv); b) (i); c) (ii); d) (v)

Ver proceso y resultado

Se razona con la forma de cada gráfica:

(a) Recta decreciente que corta el eje $y$ por encima del origen: $y = a - x$ (pendiente $- 1$ , ordenada $a > 0$ ), función (iv).
(b) Curva creciente con asíntota horizontal, que no corta el eje $x$ : $y = a^{x}$ , función (i).
(c) Parábola hacia arriba, con vértice bajo el origen y dos cortes simétricos con el eje $x$ : $y = x^{2} - a$ , función (ii).
(d) Recta creciente que corta el eje $y$ por debajo del origen: $y = x - a$ (pendiente $1$ , ordenada $- a < 0$ ), función (v).

La función (iii), $y = a - x^{2}$ , es una parábola hacia abajo y no aparece.

Gráfica	Función
(a)	(iv)
(b)	(i)
(c)	(ii)
(d)	(v)

Resultado: a) (iv); b) (i); c) (ii); d) (v)

Ejercicio 10 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2018

Considere las funciones $f (x) = x^{4} - 2$ y $g (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 6$ .

Las funciones se cortan en los puntos $P$ y $Q$ .

Parte de la gráfica de $y = f (x)$ y parte de la gráfica de $y = g (x)$ se muestran en el diagrama.

Gráficas de f(x) = x⁴ − 2 y g(x) = x³ − 4x² + 2x + 6 sin escala, que se cortan en P y en Q

a) Encuentre el rango de $f$ .

b) Escriba la coordenada $x$ de $P$ y la coordenada $x$ de $Q$ .

c) Escriba los valores de $x$ para los cuales $f (x) > g (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $[- 2, + \infty [$ ; b) $x_{P} = - 1$ , $x_{Q} \approx 1, 52$ ; c) $x < - 1$ o $x > 1, 52$

Ver proceso y resultado

$x^{4} \geq 0$ para todo $x$ , con mínimo $0$ en $x = 0$ .
Luego $f (x) = x^{4} - 2 \geq - 2$ y el valor $- 2$ se alcanza: el rango es $f (x) \geq - 2$ , es decir, $[- 2, + \infty [$ .

$P$ y $Q$ son los puntos donde $f (x) = g (x)$ , es decir, $x^{4} - 2 = x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 6$ .
Con la CPG, resolvemos la ecuación (o dibujamos ambas gráficas y buscamos las intersecciones): $x = - 1$ y $x \approx 1, 52$ .
$P$ es el punto de la izquierda y $Q$ el de la derecha: $x_{P} = - 1$ , $x_{Q} \approx 1, 52$ .

$f (x) > g (x)$ donde la gráfica de $f$ está por encima de la de $g$ .
Según el diagrama, $f$ está por debajo de $g$ entre $P$ y $Q$ y por encima fuera de ese tramo.
Así, $x < - 1$ o $x > 1, 52$ .

Resultado: a) $[- 2, + \infty [$ ; b) $x_{P} = - 1$ , $x_{Q} \approx 1, 52$ ; c) $x < - 1$ o $x > 1, 52$

Ejercicio 11 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2013

La función $f$ tiene la forma $f (x) = a x + b + \frac{c}{x}$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son números enteros positivos.

Parte de la gráfica de $y = f (x)$ se muestra en los siguientes ejes. La gráfica de la función tiene su máximo local en $(- 2, - 2)$ y su mínimo local en $(2, 6)$ .

Gráfica de f(x) = x + 2 + 4/x con asíntota vertical en x = 0, máximo local en (−2; −2) y mínimo local en (2; 6)

a) Escriba el dominio de la función.

b) (i) Dibuje la recta $y = - 6$ en los ejes.

(ii) Escriba el número de soluciones de $f (x) = - 6$ .

c) Encuentre el rango de valores de $k$ para los cuales $f (x) = k$ no tiene solución.

Ver resultado

Resultado: a) $x \in R, x \neq = 0$ ; b) (ii) dos soluciones; c) $- 2 < k < 6$

Ver proceso y resultado

$f$ no está definida donde se anula el denominador, $x = 0$ (asíntota vertical).
Dominio: $x \in R$ , $x \neq = 0$ .

(i) Trazamos la recta horizontal $y = - 6$ sobre los ejes.

Gráfica de f(x) = x + 2 + 4/x con asíntota vertical x = 0, máximo local (−2; −2) y mínimo local (2; 6), con la recta horizontal y = −6, que corta la rama izquierda en x ≈ −7,46 y x ≈ −0,54 y no corta la rama derecha

(ii) La recta $y = - 6$ corta a la gráfica en dos puntos, ambos en la rama izquierda (en la rama derecha $f \geq 6$ ). Hay dos soluciones de $f (x) = - 6$ .

La rama izquierda tiene máximo local $- 2$ , así que toma todos los valores $y \leq - 2$ .
La rama derecha tiene mínimo local $6$ , así que toma todos los valores $y \geq 6$ .
La ecuación $f (x) = k$ no tiene solución para los valores de $k$ que no están en el rango: $- 2 < k < 6$ .

Resultado: a) $x \in R, x \neq = 0$ ; b) (ii) dos soluciones; c) $- 2 < k < 6$

Ejercicio 12 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2013

Considere dos funciones $f$ y $g$ , donde $f (x) = \frac{5}{x ^{2} + 1}$ y $g (x) = (x - 2)^{2}$ .

a) En los ejes que aparecen a continuación, dibuje aproximadamente la gráfica de $y = f (x)$ y la de $y = g (x)$ . Indique claramente los puntos donde cada gráfica corta al eje $y$ .

Ejes cartesianos vacíos con cuadrícula, para dibujar f(x) = 5/(x² + 1) y g(x) = (x − 2)²

b) Utilice su calculadora de pantalla gráfica para resolver $f (x) = g (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $f$ corta al eje $y$ en $(0, 5)$ y $g$ en $(0, 4)$ ; b) $x \approx - 0, 195$ y $x \approx 2, 76$

Ver proceso y resultado

$f (x) = \frac{5}{x ^{2} + 1}$ : es simétrica respecto del eje $y$ , con $f (0) = 5$ (máximo) y se acerca a $0$ cuando $x$ crece en valor absoluto. Corta al eje $y$ en $(0, 5)$ .
$g (x) = (x - 2)^{2}$ : parábola con vértice en $(2, 0)$ . Corta al eje $y$ en $g (0) = 4$ , es decir, en $(0, 4)$ .

Ejes x de −4 a 4 e y de −2 a 10 con dos curvas: f(x) = 5/(x² + 1), campana con máximo (0; 5), y g(x) = (x − 2)², parábola con vértice (2; 0) que corta el eje y en (0; 4); las curvas se cortan en x ≈ −0,195 y en x ≈ 2,76

Con la CPG, representamos ambas funciones y calculamos sus puntos de intersección.
Las soluciones de $f (x) = g (x)$ son $x \approx - 0, 195$ y $x \approx 2, 76$ .

Resultado: a) $f$ corta al eje $y$ en $(0, 5)$ y $g$ en $(0, 4)$ ; b) $x \approx - 0, 195$ y $x \approx 2, 76$

Ejercicio 13 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2006

Las funciones $f (x)$ y $g (x)$ están dadas por: $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ , $g (x) = x$ , $x \geq 0$ .

a) Dibuje aproximadamente las gráficas de $f (x)$ y $g (x)$ juntas en el mismo diagrama usando valores de $x$ entre -3 y 3, y valores de $y$ entre 0 y 2. Debe identificar cada una de las curvas.

b) Indique cuántas soluciones existen para la ecuación $\frac{1}{x ^{2} + 1} - x = 0$ .

c) Halle una solución de la ecuación dada en la parte b).

Ver resultado

Resultado: a) gráfica de la figura; b) una solución; c) $x \approx 0, 570$

Ver proceso y resultado

$f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ : campana simétrica respecto del eje $y$ , con máximo $f (0) = 1$ y que se acerca al eje $x$ .
$g (x) = x$ solo existe para $x \geq 0$ : nace en el origen y crece lentamente.

Ejes x de −3 a 3 e y de 0 a 2 con dos gráficas: f(x) = 1/(x² + 1), campana simétrica con máximo 1 en (0; 1), y g(x) = √x, que nace en el origen y crece; las dos gráficas se cortan una sola vez, en x ≈ 0,57 (y ≈ 0,75)

Las soluciones de $\frac{1}{x ^{2} + 1} - x = 0$ son los puntos de corte de las dos gráficas.
En el dibujo se cortan una sola vez (para $x \geq 0$ , $f$ decrece y $g$ crece).
Hay una solución.

Con la CPG, hallamos la intersección de $y = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ e $y = x$ .
$x \approx 0, 570$ .

Resultado: a) gráfica de la figura; b) una solución; c) $x \approx 0, 570$

Ejercicio 14 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2007

Las siguientes curvas son bosquejos de los gráficos de las funciones que se dan a continuación, pero en un orden diferente.

Usando su calculadora de pantalla gráfica, haga coincidir las ecuaciones con las curvas, escribiendo sus respuestas en la tabla de abajo.

Seis bosquejos sin escala (A a F) de gráficas cuadráticas, exponenciales y cúbicas, rotulados con letras

	Función	Etiqueta de gráfico
(i)	$y = x^{3} + 1$
(ii)	$y = x^{2} + 3$
(iii)	$y = 4 - x^{2}$
(iv)	$y = 2^{x} + 1$
(v)	$y = 3^{- x} + 1$
(vi)	$y = 8 x - 2 x^{2} - x^{3}$

Ver resultado

Resultado: (i) B; (ii) D; (iii) A; (iv) E; (v) C; (vi) F

Ver proceso y resultado

Con la CPG dibujamos cada función y la comparamos con los bosquejos:

$y = x^{3} + 1$ : cúbica con tramo horizontal (inflexión) en $(0, 1)$ y corte con el eje $x$ en $x = - 1$ : B.
$y = x^{2} + 3$ : parábola hacia arriba con vértice $(0, 3)$ que no corta el eje $x$ : D.
$y = 4 - x^{2}$ : parábola hacia abajo con vértice $(0, 4)$ y cortes en $x = \pm 2$ : A.
$y = 2^{x} + 1$ : exponencial creciente, con asíntota $y = 1$ a la izquierda y corte con el eje $y$ en $(0, 2)$ : E.
$y = 3^{- x} + 1$ : exponencial decreciente con asíntota $y = 1$ a la derecha: C.
$y = 8 x - 2 x^{2} - x^{3} = - x (x + 4) (x - 2)$ : cúbica con cortes en $- 4$ , $0$ y $2$ , mínimo a la izquierda y máximo a la derecha: F.

	Función	Etiqueta de gráfico
(i)	$y = x^{3} + 1$	B
(ii)	$y = x^{2} + 3$	D
(iii)	$y = 4 - x^{2}$	A
(iv)	$y = 2^{x} + 1$	E
(v)	$y = 3^{- x} + 1$	C
(vi)	$y = 8 x - 2 x^{2} - x^{3}$	F

Resultado: (i) B; (ii) D; (iii) A; (iv) E; (v) C; (vi) F

Ejercicio 15 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2000

Los siguientes diagramas muestran las gráficas de cinco funciones.

Cinco gráficas (I a V) en ejes cartesianos: parábola, exponencial, recta, función periódica y triángulo

Cada uno de los siguientes conjuntos representa el rango de una de las funciones de los gráficos anteriores.

a) ${y ∣ y \in R}$

b) ${y ∣ y \geq 2}$

c) ${y ∣ y > 0}$

d) ${y ∣ 1 \leq y \leq 2}$

Escriba qué diagrama está vinculado a cada conjunto.

Ver resultado

Resultado: a) III; b) I; c) II; d) IV

Ver proceso y resultado

Calculamos el rango de cada gráfica:

I: parábola con vértice en $(0, 2)$ hacia arriba: $y \geq 2$ .
II: exponencial creciente, siempre positiva: $y > 0$ .
III: recta de pendiente no nula: todos los reales.
IV: curva periódica que oscila entre $1$ y $2$ : $1 \leq y \leq 2$ .
V: triángulo con valores de $0$ a $2$ : $0 \leq y \leq 2$ (no corresponde a ningún conjunto).

Resultado: a) III; b) I; c) II; d) IV

Ejercicio 16 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2019

Considere la función $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 3 + \frac{1}{x}, x > 0$ .

a) Encuentre el valor de $f (x)$ cuando $x = \frac{1}{2}$ .

La función $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 3 + \frac{1}{x}, x > 0$ , modela el camino de un río, como se muestra en el siguiente mapa, donde ambos ejes representan distancias y se miden en kilómetros. Sobre el mismo mapa, la ubicación de una carretera está definida por la función $g (x) = 0, 5 \cdot 3^{- x} + 1$ .

Mapa en ejes cartesianos (km): el río f(x) = x³ − 5x² + 6x − 3 + 1/x (discontinuo) y la autopista g(x) = 0,5·3^(−x) + 1 (continua), con Orangeton en el origen

Se construye un sendero recto, $P$ , para conectar el centro de Orangeton con el río en el punto donde $x = \frac{1}{2}$ .

b) (i) Encuentre la función, $P (x)$ , que definiría este sendero en el mapa.

(ii) Indique el dominio de $P$ .

Los puentes están ubicados donde la carretera cruza el río.

c) Encuentre las coordenadas de los puentes con respecto al centro de Orangeton.

Se construye una carretera recta desde el centro de Orangeton, hacia el norte, para conectar la ciudad con la autopista.

d) Encuentre la distancia desde el centro de Orangeton hasta el punto en el que la carretera se encuentra la autopista.

Esta carretera recta cruza la carretera y luego continúa hacia el norte.

e) Indique si el camino recto alguna vez cruzará el río. Justifica tu respuesta.

Ver resultado

Resultado: a) $0, 875$ ; b) (i) $P (x) = 1, 75 x$ ; (ii) $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ ; c) $(0, 360; 1, 34)$ y $(3, 63; 1, 01)$ ; d) $1, 5$ km; e) no cruzará el río (el eje $y$ es asíntota vertical de $f$ )

Ver proceso y resultado

Sustituimos $x = \frac{1}{2}$ en $f (x)$ : $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{5}{4} + 3 - 3 + 2 = \frac{7}{8} = 0, 875.$

(i) El sendero es una recta que pasa por el origen $O (0, 0)$ y por el punto del río $(\frac{1}{2}, 0, 875)$ .

Pendiente: $m = \frac{0 , 875}{0 , 5} = 1, 75$ .
Como pasa por el origen: $P (x) = 1, 75 x$ .

(ii) El sendero va desde el centro ( $x = 0$ ) hasta el río ( $x = \frac{1}{2}$ ), así que el dominio es $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ .

Los puentes están donde la carretera y el río se cortan: $g (x) = f (x)$ .
Con la CPG, resolvemos $0, 5 \cdot 3^{- x} + 1 = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 3 + \frac{1}{x}$ para $x > 0$ y obtenemos $x \approx 0, 360$ y $x \approx 3, 63$ .
Sustituimos en $g$ para hallar la ordenada: $g (0, 360) \approx 1, 34$ y $g (3, 63) \approx 1, 01$ .
Los puentes están en $(0, 360; 1, 34)$ y en $(3, 63; 1, 01)$ .

La carretera recta sale del origen hacia el norte, es decir, es el eje $y$ ( $x = 0$ ).
Encuentra la autopista en $x = 0$ , donde $g (0) = 0, 5 \cdot 3^{0} + 1 = 1, 5$ .
La distancia es $1, 5$ km.

La carretera recta es la recta $x = 0$ .
La función $f$ solo está definida para $x > 0$ y, cuando $x \to 0^{+}$ , $\frac{1}{x} \to + \infty$ : el río se acerca al eje $y$ sin llegar a tocarlo (el eje $y$ es una asíntota vertical).
Por tanto, la carretera no cruzará el río.

Funciones lineales y modelos lineales

Ejercicio 17 BásicoIB · P1 TZ1 Mayo 2015

Se calienta una barra de hierro. Su longitud, L, en milímetros se puede modelar mediante una función lineal, $L = m T + c$ , donde $T$ es la temperatura medida en grados Celsius (°C).

A 150 °C, la longitud de la barra de hierro es de 180 mm.

a) Escriba una ecuación que muestre esta información.

A 210 °C, la longitud de la barra de hierro es de 181,5 mm.

b) Escriba una ecuación que muestre este segundo dato.

c) Usando lo anterior, calcule la longitud de la barra de hierro a 40 °C.

Ver resultado

Resultado: a) $180 = 150 m + c$ ; b) $181, 5 = 210 m + c$ ; c) $L \approx 177$ mm

Ver proceso y resultado

A $150$ °C la longitud es $180$ mm: $180 = 150 m + c$ .

A $210$ °C la longitud es $181, 5$ mm: $181, 5 = 210 m + c$ .

Restamos la primera ecuación a la segunda: $1, 5 = 60 m$ , luego $m = 0, 025$ .
Sustituimos: $c = 180 - 150 \cdot 0, 025 = 176, 25$ .
Para $T = 40$ : $L = 0, 025 \cdot 40 + 176, 25 = 177, 25 \approx 177 mm .$

Resultado: a) $180 = 150 m + c$ ; b) $181, 5 = 210 m + c$ ; c) $L \approx 177$ mm

Ejercicio 18 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2009

Un plomero en Australia cobra 90 AUD por hora de trabajo, más un costo fijo. El total del cargo está representado por la función de costo $C = 60 + 90 t$ , donde $t$ está en horas.

a) Escriba el costo fijo.

b) Se necesita $3 \frac{1}{2}$ horas para completar un trabajo para Paula. Calcula el costo total.

c) Steve recibió una factura por 510 AUD. Calcule el tiempo que le tomó al plomero completar el trabajo.

Ver resultado

Resultado: a) 60 AUD; b) 375 AUD; c) 5 horas

Ver proceso y resultado

En $C = 60 + 90 t$ el término independiente es el costo fijo: $60$ AUD.

$t = 3, 5$ : $C = 60 + 90 \cdot 3, 5 = 375$ AUD.

$510 = 60 + 90 t \Rightarrow 90 t = 450 \Rightarrow t = 5$ horas.

Resultado: a) 60 AUD; b) 375 AUD; c) 5 horas

Ejercicio 19 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2003

La fórmula de conversión de la temperatura de la escala Fahrenheit (F) a la Celsius (C) está dada por $C = \frac{5 ( F - 32 )}{9}$ .

a) ¿Cuál es la temperatura en grados Celsius cuando hace una temperatura de 50° Fahrenheit?

Existe otra escala de temperatura llamada la escala Kelvin (K). La temperatura en grados Kelvin está dada por $K = C + 273$ .

b) ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit cuando en la escala Kelvin es de cero grados?

Ver resultado

Resultado: a) 10 °C; b) $F = - 459, 4$ °F

Ver proceso y resultado

$C = \frac{5 ( 50 - 32 )}{9} = \frac{90}{9} = 10$ °C.

$K = 0$ significa $C + 273 = 0$ , es decir, $C = - 273$ .
Despejamos $F$ : $F = \frac{9}{5} C + 32 = \frac{9}{5} (- 273) + 32 = - 459, 4$ °F.

Resultado: a) 10 °C; b) $F = - 459, 4$ °F

Ejercicio 20 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2002

El costo c, en dólares australianos (AUD), de alquilar un bungalow durante n semanas viene dado por la relación lineal $c = n r + s$ , donde $s$ es el depósito de seguridad y $r$ es el precio del alquiler por semana.

Ana alquiló el bungalow por 12 semanas y pagó un total de 2925 AUD. Raquel alquiló el mismo bungalow durante 20 semanas y pagó un total de 4525 AUD.

Encuentra el valor de

a) $r$ , el alquiler por semana;

b) $s$ , el depósito de seguridad.

Ver resultado

Resultado: a) $r = 200$ AUD por semana; b) $s = 525$ AUD

Ver proceso y resultado

Ana: $12 r + s = 2925$ . Raquel: $20 r + s = 4525$ .
Restamos: $8 r = 1600$ , luego $r = 200$ .

$s = 2925 - 12 \cdot 200 = 525$ .

Resultado: a) $r = 200$ AUD por semana; b) $s = 525$ AUD

Ejercicio 21 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2019

Juan paga 8,75 euros (EUR) por una sola entrada de cine. La cantidad total que Juan paga por las entradas de las películas en un año pueden ser modeladas por $y = 8, 75 x$ donde $x$ representa la cantidad de entradas compradas por año e $y$ representa la cantidad total, en EUR, pagada por año. El año pasado Juan gastó menos de 60 euros.

a) Determine la cantidad máxima de entradas al cine que compró Juan el año pasado.

Maureen compra una tarjeta de descuento anual para entradas al cine por 50 EUR y luego paga 2,50 EUR por cada entrada de cine.

b) Escriba una ecuación en función de $x$ e $y$ , usando la información de Maureen.

Durante este año, Juan y Maureen comprarán cada uno la misma cantidad de entradas y cada uno pagará la misma cantidad total de dinero.

c) Encuentre la cantidad de boletos que Juan comprará este año.

Ver resultado

Resultado: a) 6 entradas; b) $y = 2, 5 x + 50$ ; c) 8 entradas

Ver proceso y resultado

Juan gastó menos de 60 euros: $8, 75 x < 60$ .
Despejamos: $x < \frac{60}{8 , 75} \approx 6, 86$ .
Como $x$ es un número entero de entradas, el máximo es $6$ (con 7 entradas gastaría $61, 25$ EUR, que supera los 60).

Maureen paga una cantidad fija de $50$ EUR y $2, 50$ EUR por entrada: $y = 2, 5 x + 50.$

Los dos pagan lo mismo con el mismo número de entradas, así que igualamos: $8, 75 x = 2, 5 x + 50.$
Despejamos: $6, 25 x = 50 \Rightarrow x = 8$ .

Resultado: a) 6 entradas; b) $y = 2, 5 x + 50$ ; c) 8 entradas

Ejercicio 22 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2015

La temperatura se puede pasar de grados Celsius (C) a grados Fahrenheit (F) utilizando la ecuación

$F = \frac{9}{5} C + 32$

a) Calcule cuánto son 100 °C en grados Fahrenheit.

b) Utilizando los siguientes ejes de coordenadas, dibuje con precisión el gráfico de $F = \frac{9}{5} C + 32$ .

Plano en blanco con ejes C (horizontal, de −50 a 20) y F (vertical, de −40 a 40), cuadrícula fina y sin curva

c) Halle el valor de 14 °F en grados Celsius.

d) Halle el valor de $x$ , tal que $x$ °C sea la misma temperatura que $x$ °F.

Ver resultado

Resultado: a) $212$ °F; b) recta de pendiente $\frac{9}{5}$ que pasa por $(0, 32)$ y $(- 40, - 40)$ (ver figura); c) $- 10$ °C; d) $x = - 40$

Ver proceso y resultado

$F = \frac{9}{5} \cdot 100 + 32 = 212$ °F.

La gráfica es una recta de pendiente $\frac{9}{5}$ y ordenada en el origen $32$ .
Puntos útiles: $(0, 32)$ , $(10, 50)$ , $(- 40, - 40)$ y el corte con el eje $C$ : $0 = \frac{9}{5} C + 32 \Rightarrow C = - 17, 8$ .

Recta F = 9/5 C + 32 (trazo grueso) que pasa por (-40; -40), (0; 32) y (10; 50), con ejes C horizontal de -50 a 20 y F vertical de -40 a 40

$14 = \frac{9}{5} C + 32 \Rightarrow \frac{9}{5} C = - 18 \Rightarrow C = - 10$ °C.

Imponemos $F = C = x$ : $x = \frac{9}{5} x + 32$ .
Entonces $- \frac{4}{5} x = 32$ y $x = - 40$ .

Resultado: a) $212$ °F; b) recta de pendiente $\frac{9}{5}$ que pasa por $(0, 32)$ y $(- 40, - 40)$ (ver figura); c) $- 10$ °C; d) $x = - 40$

Ejercicio 23 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2012

El agua tiene una menor temperatura de ebullición cuanto mayor es la altitud. La relación entre la temperatura de ebullición del agua ( $T$ ) y la altura por encima del nivel del mar ( $h$ ) se puede describir mediante el modelo $T = - 0, 0034 h + 100$ , donde $T$ se expresa en grados Celsius (°C) y $h$ se expresa en metros sobre el nivel del mar.

a) Escriba cuál es la temperatura de ebullición del agua a nivel del mar.

b) Utilice el modelo para calcular la temperatura de ebullición del agua a una altura de 1,37 km sobre el nivel del mar.

En la cumbre del Monte Everest, el agua hierve a 70 °C.

c) Utilice el modelo para calcular cuál es la altura sobre el nivel del mar del Monte Everest.

Ver resultado

Resultado: a) 100 °C; b) 95,3 °C; c) $h \approx 8820$ m

Ver proceso y resultado

A nivel del mar $h = 0$ , luego $T = 100$ °C.

$1, 37$ km $= 1370$ m.
$T = - 0, 0034 \cdot 1370 + 100 = 95, 342 \approx 95, 3$ °C.

$70 = - 0, 0034 h + 100 \Rightarrow 0, 0034 h = 30$ .
$h = \frac{30}{0 , 0034} = 8823, 5 \approx 8820$ m.

Resultado: a) 100 °C; b) 95,3 °C; c) $h \approx 8820$ m

Ejercicio 24 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2007

En una tienda se vende pan y leche. El martes se vendieron 8 barras de pan y 5 litros de leche por un total de $ 21,40. El jueves se vendieron 6 barras de pan y 9 litros de leche por un total de $ 23,40.

Si $p$ = el precio de una barra de pan y $l$ = el precio de un litro de leche, las ventas del martes se pueden escribir: $8 p + 5 l = 21, 40$ .

a) Utilizando los términos más sencillos posibles, escriba una ecuación para $p$ y para $l$ que describa las ventas del jueves.

b) Halle $p$ y $l$ .

c) En el espacio que se le facilita a continuación, muestre por medio de un dibujo aproximado cómo es posible hallar estos precios de forma gráfica.

Ejes en blanco con eje horizontal p de 0 a 4 y eje vertical l de 0 a 5, origen en la esquina inferior izquierda, sin recta dibujada

Ver resultado

Resultado: a) $2 p + 3 l = 7, 80$ ; b) $p = 1, 8$ , $l = 1, 4$ (barra de pan $ 1,80; litro de leche $ 1,40); c) dos rectas que se cortan en $(1, 8; 1, 4)$ (ver figura)

Ver proceso y resultado

Jueves: $6 p + 9 l = 23, 40$ .
Dividimos entre $3$ para la forma más sencilla: $2 p + 3 l = 7, 80$ .

Resolvemos $8 p + 5 l = 21, 40$ y $2 p + 3 l = 7, 80$ .
Multiplicamos la segunda por $4$ : $8 p + 12 l = 31, 20$ . Restamos la primera: $7 l = 9, 80$ , luego $l = 1, 4$ .
Entonces $p = \frac{7 , 80 - 3 \cdot 1 , 4}{2} = 1, 8$ .

Cada ecuación es una recta en el plano $(p, l)$ .
Para $8 p + 5 l = 21, 40$ : pasa por $(0; 4, 28)$ y $(2, 675; 0)$ . Para $2 p + 3 l = 7, 80$ : pasa por $(0; 2, 6)$ y $(3, 9; 0)$ .
El punto de corte $(1, 8; 1, 4)$ da los precios.

Dos rectas en el plano (p, l): 8p + 5l = 21,40 y 2p + 3l = 7,80, que se cortan en el punto (1,8; 1,4)

Resultado: a) $2 p + 3 l = 7, 80$ ; b) $p = 1, 8$ , $l = 1, 4$ (barra de pan $ 1,80; litro de leche $ 1,40); c) dos rectas que se cortan en $(1, 8; 1, 4)$ (ver figura)

Ejercicio 25 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2000

El costo cobrado por dos servicios de taxi está representado por las dos líneas paralelas en el siguiente gráfico. El Speedy Taxi Service cobra $ 1,80, más 10 centavos por cada kilómetro.

Dos rectas de precio frente a distancia en km: Speedy Taxi Service de 1,80 a 2,60 dólares y Economic Taxi Service de 1,40 a 2,20 dólares, paralelas, con eje vertical con ruptura en el 0

a) Escriba una ecuación para el precio, c, en $, de usar el Economic Taxi Service para cualquier número de kilómetros, k.

b) Bruce utiliza el Economic Taxi Service.

(i) ¿Cuánto pagará por viajar 7 km?

(ii) ¿Qué tan lejos puede viajar por $ 2,40?

Ver resultado

Resultado: a) $c = 1, 40 + 0, 10 k$ ; b) (i) $ 2,10; (ii) 10 km

Ver proceso y resultado

La recta inferior (Economic Taxi Service) corta el eje vertical en $1, 40$ y su pendiente es $0, 10$ (es paralela a la de Speedy): $c = 1, 40 + 0, 10 k .$

(i) $k = 7$ : $c = 1, 40 + 0, 10 \cdot 7 = 2, 10$ .
(ii) $c = 2, 40$ : $2, 40 = 1, 40 + 0, 10 k \Rightarrow k = 10$ .

Resultado: a) $c = 1, 40 + 0, 10 k$ ; b) (i) $ 2,10; (ii) 10 km

Funciones cuadráticas y modelos cuadráticos

Ejercicio 26 BásicoIB · P1 TZ1 Mayo 2009

La gráfica de una función cuadrática $y = f (x)$ se muestra a continuación.

Parábola cóncava hacia arriba con eje x = 3, mínimo (3; -14) y corte con el eje vertical en (0; -10), sobre cuadrícula

a) Escriba la ecuación del eje de simetría.

b) Escriba las coordenadas del punto mínimo.

c) Escriba el rango de $f (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $x = 3$ ; b) $(3, - 14)$ ; c) $f (x) \geq - 14$ , es decir, $[- 14, + \infty [$

Ver proceso y resultado

a) El eje de simetría pasa por el mínimo: $x = 3$ .

b) El punto mínimo es $(3, - 14)$ .

c) La parábola se abre hacia arriba y el valor mínimo es $- 14$ : $R_{f} = [- 14, + \infty [$ .

Resultado: a) $x = 3$ ; b) $(3, - 14)$ ; c) $f (x) \geq - 14$ , es decir, $[- 14, + \infty [$

Ejercicio 27 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2003

La gráfica de la función $f : x \mapsto 30 x - 5 x^{2}$ viene dada por el siguiente diagrama:

Parábola con ramas hacia abajo f(x) = 30x − 5x² que pasa por el origen O y corta el eje x en A; recta discontinua vertical en x = 3 a mitad de camino entre O y A

a) Factorice completamente $30 x - 5 x^{2}$ .

b) Halle las coordenadas del punto $A$ .

c) Escriba la ecuación del eje de simetría.

Ver resultado

Resultado: a) $5 x (6 - x)$ ; b) $A (6, 0)$ ; c) $x = 3$

Ver proceso y resultado

a) $30 x - 5 x^{2} = 5 x (6 - x)$ .

b) $A$ es el otro corte con el eje $x$ : $5 x (6 - x) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 6$ . Luego $A (6, 0)$ .

c) El eje de simetría pasa por el punto medio de $O$ y $A$ : $x = 3$ .

Resultado: a) $5 x (6 - x)$ ; b) $A (6, 0)$ ; c) $x = 3$

Ejercicio 28 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2000

El diagrama muestra la gráfica de $y = x^{2} - 2 x - 8$ . La gráfica corta al eje $x$ en el punto $A$ , y tiene el vértice en $B$ .

Parábola con ramas hacia arriba y = x² − 2x − 8; corta el eje x en A a la izquierda del origen; el vértice B está por debajo del eje x, a la derecha del eje y

a) Factorice $x^{2} - 2 x - 8$ .

b) Anote las coordenadas de cada uno de estos puntos:

(i) $A$ ;

(ii) $B$ .

Ver resultado

Resultado: a) $(x - 4) (x + 2)$ ; b) (i) $A (- 2, 0)$ ; (ii) $B (1, - 9)$

Ver proceso y resultado

a) Se buscan dos números de suma $- 2$ y producto $- 8$ : $x^{2} - 2 x - 8 = (x - 4) (x + 2)$ .

b) (i) $A$ es el corte con el eje $x$ a la izquierda del origen: $A (- 2, 0)$ .

(ii) El vértice está en $x = \frac{2}{2} = 1$ y $y = 1 - 2 - 8 = - 9$ : $B (1, - 9)$ .

Resultado: a) $(x - 4) (x + 2)$ ; b) (i) $A (- 2, 0)$ ; (ii) $B (1, - 9)$

Ejercicio 29 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2018

Considere la función cuadrática $f (x) = a x^{2} + b x + 22$ .

La ecuación del eje de simetría de la gráfica $y = f (x)$ es $x = 1, 75$ .

a) Usando solo esta información, escriba una ecuación en función de $a$ y $b$ .

El gráfico corta el eje $x$ en el punto $(- 2, 0)$ .

b) Con esta información, escriba una segunda ecuación en función de $a$ y $b$ .

c) Usando lo anterior, encuentre el valor de $a$ y de $b$ .

La gráfica corta el eje $x$ en un segundo punto, $P$ .

d) Encuentre la coordenada $x$ de $P$ .

Ver resultado

Resultado: a) $- \frac{b}{2 a} = 1, 75$ ; b) $4 a - 2 b + 22 = 0$ ; c) $a = - 2$ , $b = 7$ ; d) $x = 5, 5$

Ver proceso y resultado

El eje de simetría es $x = - \frac{b}{2 a}$ , luego $- \frac{b}{2 a} = 1, 75.$

$f (- 2) = 0$ : $4 a - 2 b + 22 = 0$ .

De la primera ecuación, $b = - 3, 5 a$ .
En la segunda: $4 a + 7 a + 22 = 0 \Rightarrow 11 a = - 22 \Rightarrow a = - 2$ .
Entonces $b = 7$ .

La suma de las raíces es $- \frac{b}{a} = 3, 5$ (o por simetría respecto de $x = 1, 75$ ).
Como una raíz es $- 2$ , la otra es $3, 5 - (- 2) = 5, 5$ .

Resultado: a) $- \frac{b}{2 a} = 1, 75$ ; b) $4 a - 2 b + 22 = 0$ ; c) $a = - 2$ , $b = 7$ ; d) $x = 5, 5$

Ejercicio 30 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2018

Bella lanza una pelota desde lo alto de un muro y la pelota cae al suelo, que es horizontal y plano. La trayectoria que sigue la pelota está modelizada por la curva cuadrática $y = 3 + 4 x - x^{2}$ , donde $x$ representa la distancia horizontal de la pelota e $y$ representa la altura de la pelota respecto al suelo. Todas las distancias se miden en metros.

La posición del muro coincide con el eje $y$ . La curva corta el eje $y$ en el punto A y tiene el vértice en el punto B.

Trayectoria parabólica sin escala, con ejes x e y, que sale del eje y en A (0; 3), alcanza el vértice B (2; 7) y corta el eje x a la derecha de B

a) Escriba la altura en metros desde la cual se lanzó la pelota.

b) Calcule la altura máxima, respecto al suelo, que alcanza la pelota.

c) Halle la distancia horizontal desde la base del muro hasta el punto en el que la pelota toca el suelo.

Ver resultado

Resultado: a) 3 m; b) 7 m; c) $4, 65$ m

Ver proceso y resultado

La pelota se lanza en $x = 0$ : $y = 3$ m.

$y = 3 + 4 x - x^{2}$ tiene el vértice en $x = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$ .
Altura máxima: $y (2) = 3 + 8 - 4 = 7$ m.

La pelota toca el suelo cuando $y = 0$ : $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ .
Con la fórmula (o la CPG): $x = 2 \pm 7$ . Solo vale la positiva: $x = 2 + 7 \approx 4, 65$ m.

Resultado: a) 3 m; b) 7 m; c) $4, 65$ m

Ejercicio 31 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2017

La gráfica de una función cuadrática tiene intersección con el eje $y$ en 10 y una de sus intersecciones con el eje $x$ es 1. La coordenada $x$ del vértice de la gráfica es 3.

La ecuación de la función cuadrática tiene la forma $y = a x^{2} + b x + c$ .

a) Escriba el valor de $c$ .

b) Encuentre el valor de $a$ y de $b$ .

c) Escriba la segunda intersección con el eje $x$ de la función.

Ver resultado

Resultado: a) $c = 10$ ; b) $a = 2$ , $b = - 12$ ; c) $x = 5$

Ver proceso y resultado

El corte con el eje $y$ es $c = 10$ .

Un corte con el eje $x$ en $1$ : $a + b + 10 = 0$ .
El vértice está en $x = 3$ : $- \frac{b}{2 a} = 3 \Rightarrow b = - 6 a$ .
Sustituimos: $a - 6 a + 10 = 0 \Rightarrow a = 2$ , y $b = - 12$ .

La suma de las raíces es $- \frac{b}{a} = 6$ (o por simetría respecto de $x = 3$ ).
Una raíz es $1$ , luego la otra es $x = 5$ .

Resultado: a) $c = 10$ ; b) $a = 2$ , $b = - 12$ ; c) $x = 5$

Ejercicio 32 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2017

Considere los siguientes gráficos de funciones cuadráticas.

Seis gráficos de parábolas numerados del 1 al 6, cada uno con ejes x e y con flechas sin escala numérica

La ecuación de cada una de esas funciones cuadráticas se puede escribir de la forma $y = a x^{2} + b x + c$ , donde $a \neq = 0$ .

En la siguiente tabla, cada conjunto de condiciones referidas a las constantes $a$ , $b$ y $c$ , corresponde a uno de los gráficos de la página contigua. Escriba el número del gráfico correspondiente, junto a cada conjunto de condiciones.

Condiciones	Número del gráfico
$a > 0, b < 0, c > 0$
$a < 0, b = 0, c > 0$
$a < 0, b > 0, c < 0$
$a > 0, b = 0, c = 0$
$a > 0, b > 0, c < 0$
$a < 0, b < 0, c = 0$

Ver resultado

Resultado: de arriba abajo, los gráficos son 2, 6, 3, 5, 4 y 1

Ver proceso y resultado

Para cada gráfico se usa: el signo de $a$ da la dirección de la apertura, $c$ es la ordenada en el origen y $b$ desplaza el vértice, que está en $x = - \frac{b}{2 a}$ (si $b = 0$ está sobre el eje $y$ ; si $a$ y $b$ tienen el mismo signo, a la izquierda; si tienen signos opuestos, a la derecha).

Condiciones	Razonamiento	Número del gráfico
$a > 0, b < 0, c > 0$	abre hacia arriba, vértice a la derecha, corta $y$ en positivo	2
$a < 0, b = 0, c > 0$	abre hacia abajo, vértice sobre el eje $y$ , corta $y$ en positivo	6
$a < 0, b > 0, c < 0$	abre hacia abajo, vértice a la derecha, corta $y$ en negativo	3
$a > 0, b = 0, c = 0$	abre hacia arriba, vértice en el origen	5
$a > 0, b > 0, c < 0$	abre hacia arriba, vértice a la izquierda, corta $y$ en negativo	4
$a < 0, b < 0, c = 0$	abre hacia abajo, vértice a la izquierda, pasa por el origen	1

Resultado: de arriba abajo, los gráficos son 2, 6, 3, 5, 4 y 1

Ejercicio 33 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2017

Una función cuadrática $f$ viene dada por $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Los puntos $(0, 5)$ y $(- 4, 5)$ pertenecen al gráfico de $y = f (x)$ .

a) Halle la ecuación del eje de simetría del gráfico de $y = f (x)$ .

b) Escriba el valor de $c$ .

La coordenada $y$ del mínimo del gráfico es 3.

c) Halle el valor de $a$ y el de $b$ .

Ver resultado

Resultado: a) $x = - 2$ ; b) $c = 5$ ; c) $a = \frac{1}{2}$ , $b = 2$

Ver proceso y resultado

Los dos puntos tienen la misma $y$ , así que el eje de simetría pasa por el punto medio de sus abscisas: $x = \frac{0 + ( - 4 )}{2} = - 2.$

$f (0) = c = 5$ .

El vértice está en $x = - 2$ y es el mínimo: $f (- 2) = 3$ , es decir, $4 a - 2 b + 5 = 3$ .
Además $- \frac{b}{2 a} = - 2$ , luego $b = 4 a$ .
Sustituimos: $4 a - 8 a = - 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ , y $b = 2$ .

Resultado: a) $x = - 2$ ; b) $c = 5$ ; c) $a = \frac{1}{2}$ , $b = 2$

Ejercicio 34 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2016

El gráfico de la función cuadrática $f (x) = c + b x - x^{2}$ corta al eje $x$ en el punto $A (- 1, 0)$ y su vértice se encuentra en el punto $B (3, 16)$ .

Parábola cóncava hacia abajo sin escala, con ejes x e y, que corta el eje x en A a la izquierda del eje y, tiene vértice B a la derecha del eje y y vuelve a cortar el eje x a la derecha del vértice

a) Escriba la ecuación del eje de simetría de este gráfico.

b) Halle el valor de $b$ .

c) Escriba el recorrido de $f (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $x = 3$ ; b) $b = 6$ ; c) $] - \infty, 16]$ (es decir, $f (x) \leq 16$ )

Ver proceso y resultado

El eje de simetría pasa por el vértice $B (3, 16)$ : $x = 3$ .

El eje es $x = \frac{b}{2}$ para $f (x) = c + b x - x^{2}$ . Luego $\frac{b}{2} = 3$ y $b = 6$ .
(Comprobación: $f (- 1) = c - 6 - 1 = 0 \Rightarrow c = 7$ , y $f (3) = 7 + 18 - 9 = 16$ .)

El vértice es el máximo ( $16$ ) y la parábola abre hacia abajo: el recorrido es $] - \infty, 16]$ .

Resultado: a) $x = 3$ ; b) $b = 6$ ; c) $] - \infty, 16]$ (es decir, $f (x) \leq 16$ )

Ejercicio 35 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2015

El gráfico muestra la curva de una función cuadrática de la forma $f (x) = a x^{2} + b x + 48$ .

Parábola cóncava hacia abajo que corta el eje horizontal en -4 y 6 y el eje vertical en 48; vértice V(1; 50)

a) Escriba la ecuación del eje de simetría de la curva.

b) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, halle el valor de $a$ y el de $b$ .

c) Halle la coordenada $y$ del vértice de la curva.

Ver resultado

Resultado: a) $x = 1$ ; b) $a = - 2$ , $b = 4$ ; c) $y = 50$

Ver proceso y resultado

Los ceros están en $- 4$ y $6$ , y el eje pasa por el punto medio: $x = \frac{- 4 + 6}{2} = 1$ .

$f (- 4) = 0$ : $16 a - 4 b + 48 = 0$ . $f (6) = 0$ : $36 a + 6 b + 48 = 0$ .
Las simplificamos: $4 a - b + 12 = 0$ y $6 a + b + 8 = 0$ . Sumándolas: $10 a + 20 = 0$ , luego $a = - 2$ .
Entonces $b = 4 a + 12 = 4$ .

El vértice está en $x = 1$ : $f (1) = - 2 + 4 + 48 = 50$ .

Resultado: a) $x = 1$ ; b) $a = - 2$ , $b = 4$ ; c) $y = 50$

Ejercicio 36 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2014

La gráfica de la función cuadrática $f (x) = a x^{2} + b x + c$ corta el eje $y$ en el punto $A (0, 5)$ y tiene su vértice en el punto $B (4, 13)$ .

Parábola cóncava hacia abajo con el punto A sobre el eje vertical y el vértice B a la derecha del eje vertical

a) Escriba el valor de $c$ .

b) Usando las coordenadas del vértice, $B$ , o de otra manera, escriba dos ecuaciones en $a$ y $b$ .

c) Encuentre el valor de $a$ y de $b$ .

Ver resultado

Resultado: a) $c = 5$ ; b) $8 a + b = 0$ y $16 a + 4 b + 5 = 13$ ; c) $a = - \frac{1}{2}$ , $b = 4$

Ver proceso y resultado

$f (0) = c = 5$ .

La abscisa del vértice es $4$ : $- \frac{b}{2 a} = 4$ , es decir, $8 a + b = 0$ .
El vértice está en la gráfica: $f (4) = 13$ , es decir, $16 a + 4 b + 5 = 13$ .

De la primera, $b = - 8 a$ . En la segunda: $16 a - 32 a + 5 = 13 \Rightarrow - 16 a = 8 \Rightarrow a = - \frac{1}{2}$ .
Entonces $b = 4$ .

Resultado: a) $c = 5$ ; b) $8 a + b = 0$ y $16 a + 4 b + 5 = 13$ ; c) $a = - \frac{1}{2}$ , $b = 4$

Ejercicio 37 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2012

Considere la función cuadrática $f (x) = 5 - x + a x^{2}$ .

a) Se sabe que $f (2) = - 5$ . Encuentre el valor de $a$ .

b) Encuentre la ecuación del eje de simetría de la gráfica de $y = f (x)$ .

c) Escriba el rango de esta función cuadrática.

Ver resultado

Resultado: a) $a = - 2$ ; b) $x = - \frac{1}{4}$ ; c) $] - \infty, 5, 125]$ (es decir, $f (x) \leq 5, 125$ )

Ver proceso y resultado

$f (2) = 5 - 2 + 4 a = - 5 \Rightarrow 4 a = - 8 \Rightarrow a = - 2$ .

Con $a = - 2$ : $f (x) = - 2 x^{2} - x + 5$ . El eje es $x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 1}{2 \cdot ( - 2 )} = - \frac{1}{4}$ .

Como $a < 0$ , el máximo está en el vértice: $f (- \frac{1}{4}) = 5 + \frac{1}{4} - \frac{2}{16} = 5, 125$ .
El rango es $] - \infty, 5, 125]$ .

Resultado: a) $a = - 2$ ; b) $x = - \frac{1}{4}$ ; c) $] - \infty, 5, 125]$ (es decir, $f (x) \leq 5, 125$ )

Ejercicio 38 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2014

El eje de simetría de la gráfica de una función cuadrática tiene la ecuación $x = - \frac{1}{2}$ .

a) Dibuje el eje de simetría en los siguientes ejes.

Cuadrícula en blanco para dibujar con el eje x de -4 a 4 y el eje y de -8 a 8, rotulados de 1 en 1; sin curva

La gráfica de la función cuadrática corta al eje $x$ en el punto $N (2, 0)$ . Hay un segundo punto, $M$ , en el que la gráfica de la función cuadrática se corta con el eje $x$ .

b) Marque y etiquete claramente el punto $M$ en los ejes.

La gráfica de la función tiene una ecuación $y = x^{2} + b x + c$ .

c) (i) Encuentre el valor de $b$ y el valor de $c$ .

(ii) Dibuje la gráfica de la función en los ejes.

Ver resultado

Resultado: a) eje $x = - \frac{1}{2}$ (ver figura); b) $M (- 3, 0)$ ; c) (i) $b = 1$ , $c = - 6$ ; (ii) gráfica de $y = x^{2} + x - 6$ (ver figura)

Ver proceso y resultado

Se dibuja la recta vertical $x = - \frac{1}{2}$ (discontinua) en los ejes.

$N (2, 0)$ está a $2, 5$ unidades a la derecha del eje, así que $M$ está a $2, 5$ a la izquierda: $x = - 0, 5 - 2, 5 = - 3$ .
$M (- 3, 0)$ .

(i) Eje de simetría: $- \frac{b}{2} = - \frac{1}{2}$ , luego $b = 1$ .
$N (2, 0)$ está en la gráfica: $4 + 2 + c = 0$ , luego $c = - 6$ .
(ii) $y = x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$ : abre hacia arriba, pasa por $M (- 3, 0)$ , $N (2, 0)$ y $(0, - 6)$ , con vértice en $(- \frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$ .

Parábola y = x² + x − 6 con su eje de simetría x = -0,5 en trazo discontinuo y los cortes M(-3; 0) y N(2; 0) con el eje x

Resultado: a) eje $x = - \frac{1}{2}$ (ver figura); b) $M (- 3, 0)$ ; c) (i) $b = 1$ , $c = - 6$ ; (ii) gráfica de $y = x^{2} + x - 6$ (ver figura)

Ejercicio 39 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2013

Una función cuadrática $f : x \to a x^{2} + b$ , donde $a$ y $b \in R$ y $x \geq 0$ , se representa mediante el siguiente diagrama de flechas.

Diagrama de flechas de f con dos óvalos verticales: a la izquierda 1, 3 y c, y a la derecha −9, 119 y 171, unidos por flechas horizontales

a) Utilizando el diagrama de flechas, escriba dos ecuaciones en función de $a$ y $b$ .

b) Resuelva las ecuaciones para hallar el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ .

c) Halle el valor de $c$ .

Ver resultado

Resultado: a) $a + b = - 9$ ; $9 a + b = 119$ ; b) (i) $a = 16$ ; (ii) $b = - 25$ ; c) $c = 3, 5$

Ver proceso y resultado

a) Con los pares del diagrama, $f (1) = - 9$ y $f (3) = 119$ :

$a + b = - 99 a + b = 119$

b) Restando la primera ecuación de la segunda: $8 a = 128$ , luego (i) $a = 16$ . Entonces (ii) $b = - 9 - 16 = - 25$ .

c) $f (c) = 171$ : $16 c^{2} - 25 = 171 \Rightarrow c^{2} = \frac{196}{16} = 12, 25 \Rightarrow c = \pm 3, 5$ . Como $x \geq 0$ , $c = 3, 5$ .

Resultado: a) $a + b = - 9$ ; $9 a + b = 119$ ; b) (i) $a = 16$ ; (ii) $b = - 25$ ; c) $c = 3, 5$

Ejercicio 40 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2012

La figura que aparece a continuación muestra una parte del gráfico de la función cuadrática $f$ .

Parábola cóncava hacia abajo que empieza en el eje vertical por debajo del eje horizontal, corta el eje horizontal en (5; 0) y tiene un máximo por encima

Uno de los puntos de intersección con el eje $x$ de este gráfico es el punto $(5, 0)$ .

La coordenada $x$ del máximo es 3.

La función $f$ está dada por $f (x) = - x^{2} + b x + c$ , donde $b, c \in Z$ .

a) Halle el valor de

(i) $b$ ;

(ii) $c$ .

El dominio de $f$ es $0 \leq x \leq 6$ .

b) Halle el recorrido de $f$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $b = 6$ ; (ii) $c = - 5$ ; b) $[- 5, 4]$

Ver proceso y resultado

a) (i) La abscisa del máximo de $f (x) = - x^{2} + b x + c$ es $x = \frac{b}{2}$ . Como vale 3, $b = 6$ .

(ii) Como $(5, 0)$ está en la gráfica: $f (5) = - 25 + 30 + c = 0$ , luego $c = - 5$ .

b) $f (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ . El máximo es $f (3) = - 9 + 18 - 5 = 4$ . En los extremos del dominio: $f (0) = - 5$ y $f (6) = - 36 + 36 - 5 = - 5$ . El recorrido es $[- 5, 4]$ .

Resultado: a) (i) $b = 6$ ; (ii) $c = - 5$ ; b) $[- 5, 4]$

Ejercicio 41 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2012

$y = f (x)$ es una función cuadrática. La gráfica de $f (x)$ corta al eje $y$ en el punto $A (0, 6)$ y al eje $x$ en el punto $B (1, 0)$ . El vértice de la gráfica está en el punto $C (2, - 2)$ .

a) Escriba la ecuación del eje de simetría.

b) Dibuje la gráfica de $y = f (x)$ en los ejes siguientes para $0 \leq x \leq 4$ .

Marque claramente en la gráfica los puntos $A$ , $B$ y $C$ .

Ejes en blanco para dibujar, con el eje x de 0 a 4 y el eje y de -3 a 7, rotulados de 1 en 1; sin curva

La gráfica de $y = f (x)$ corta el eje $x$ por segunda vez en el punto $D$ .

c) Escriba la coordenada $x$ del punto $D$ .

Ver resultado

Resultado: a) $x = 2$ ; b) parábola que pasa por $A (0, 6)$ , $B (1, 0)$ , $C (2, - 2)$ y $D (3, 0)$ (ver figura); c) $x = 3$

Ver proceso y resultado

a) El eje de simetría pasa por el vértice: $x = 2$ .

b) Como el vértice es $C (2, - 2)$ , $f (x) = a (x - 2)^{2} - 2$ . Con $A (0, 6)$ : $4 a - 2 = 6$ , luego $a = 2$ y $f (x) = 2 (x - 2)^{2} - 2 = 2 x^{2} - 8 x + 6$ . La parábola pasa por $A (0, 6)$ , $B (1, 0)$ , $C (2, - 2)$ y $D (3, 0)$ , y en $x = 4$ vale $f (4) = 6$ .

Parábola f(x) = 2x² − 8x + 6 para 0 ≤ x ≤ 4 con los puntos A(0; 6), B(1; 0), C(2; -2) (vértice) y D(3; 0)

c) $D$ es el simétrico de $B$ respecto de $x = 2$ : $x_{D} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ .

Resultado: a) $x = 2$ ; b) parábola que pasa por $A (0, 6)$ , $B (1, 0)$ , $C (2, - 2)$ y $D (3, 0)$ (ver figura); c) $x = 3$

Ejercicio 42 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2011

La gráfica de la función cuadrática $f (x) = 3 + 4 x - x^{2}$ corta al eje $y$ en el punto $A$ y tiene su vértice en el punto $B$ .

Parábola cóncava hacia abajo con el punto A sobre el eje vertical, algo por encima del origen, y el vértice B(2; 7)

a) Encuentre las coordenadas de $B$ .

Otro punto, $C$ , que se encuentra en la gráfica de $y = f (x)$ tiene la misma coordenada $y$ que $A$ .

b) (i) Trace y etiquete $C$ en el gráfico anterior.

(ii) Encuentre la coordenada $x$ de $C$ .

Ver resultado

Resultado: a) $B (2, 7)$ ; b) (i) $C (4, 3)$ marcado en la figura; (ii) $x = 4$

Ver proceso y resultado

a) El vértice está en $x = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$ y $f (2) = 3 + 8 - 4 = 7$ . Así, $B (2, 7)$ .

b) (i) $A = (0, 3)$ , porque $f (0) = 3$ . El punto $C$ está en la misma horizontal $y = 3$ , a la derecha del vértice, simétrico de $A$ respecto del eje $x = 2$ .

(ii) $f (x) = 3 \Rightarrow 4 x - x^{2} = 0 \Rightarrow x (4 - x) = 0$ , luego $x = 0$ (que es $A$ ) o $x = 4$ . Así, $C (4, 3)$ .

Parábola f(x) = 3 + 4x − x² con vértice B(2; 7), y los puntos A(0; 3) y C(4; 3) unidos por una recta horizontal

Resultado: a) $B (2, 7)$ ; b) (i) $C (4, 3)$ marcado en la figura; (ii) $x = 4$

Ejercicio 43 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2010

Una función cuadrática, $f (x) = a x^{2} + b x$ , está representada por el siguiente diagrama.

Diagrama de flechas de f con dos óvalos verticales: a la izquierda −1, 1 y 2, y a la derecha −4, 8 y 20, unidos por flechas horizontales

a) Use el diagrama para escribir dos ecuaciones en función de $a$ y $b$ .

b) Encuentre el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ .

c) Calcule la coordenada $x$ del vértice de la gráfica de $f (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $a - b = - 4$ ; $a + b = 8$ ; b) (i) $a = 2$ ; (ii) $b = 6$ ; c) $x = - 1, 5$

Ver proceso y resultado

a) $f (- 1) = - 4$ y $f (1) = 8$ :

$a - b = - 4 a + b = 8$

b) Sumando: $2 a = 4$ , luego (i) $a = 2$ . Entonces (ii) $b = 6$ . Comprobación: $f (2) = 8 + 12 = 20$ .

c) $f (x) = 2 x^{2} + 6 x$ , así que $x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{6}{4} = - 1, 5$ .

Resultado: a) $a - b = - 4$ ; $a + b = 8$ ; b) (i) $a = 2$ ; (ii) $b = 6$ ; c) $x = - 1, 5$

Ejercicio 44 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2011

La coordenada $x$ del punto mínimo de la función cuadrática $f (x) = 2 x^{2} + k x + 4$ es $x = 1, 25$ .

a) (i) Encuentre el valor de $k$ .

(ii) Calcule la coordenada $y$ de este punto mínimo.

b) Dibuje la gráfica de $y = f (x)$ para el dominio $- 1 \leq x \leq 3$ .

Ejes en blanco para dibujar, con el eje x de -1 a 3 y el eje y de -6 a 12, rotulados en los puntos indicados; sin curva

Ver resultado

Resultado: a) (i) $k = - 5$ ; (ii) $y = 0, 875$ ; b) gráfica de $f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 4$ con mínimo en $(1, 25; 0, 875)$ (ver figura)

Ver proceso y resultado

a) (i) La abscisa del mínimo es $x = - \frac{k}{2 \cdot 2} = - \frac{k}{4} = 1, 25$ , luego $k = - 5$ .

(ii) $f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 4$ y $f (1, 25) = 2 \cdot 1, 5625 - 6, 25 + 4 = 0, 875$ .

b) Puntos clave de $f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 4$ en $- 1 \leq x \leq 3$ : $f (- 1) = 2 + 5 + 4 = 11$ ; $f (0) = 4$ ; mínimo $(1, 25; 0, 875)$ ; $f (3) = 18 - 15 + 4 = 7$ . Se traza la parábola cóncava hacia arriba por estos puntos.

Parábola f(x) = 2x² − 5x + 4 para -1 ≤ x ≤ 3, con mínimo en (1,25; 0,875), que corta el eje y en (0; 4)

Resultado: a) (i) $k = - 5$ ; (ii) $y = 0, 875$ ; b) gráfica de $f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 4$ con mínimo en $(1, 25; 0, 875)$ (ver figura)

Ejercicio 45 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2010

A continuación se muestra la gráfica de la función cuadrática $y = f (x)$ .

Parábola cóncava hacia arriba que pasa por el origen y corta de nuevo el eje horizontal en 4, con mínimo por debajo del eje horizontal

a) Escriba las soluciones de la ecuación $f (x) = 0$ .

b) Escriba la ecuación del eje de simetría de la gráfica de $f (x)$ .

c) La ecuación $f (x) = 12$ tiene dos soluciones. Una de estas soluciones es $x = 6$ . Utilice la simetría de la gráfica para hallar la otra solución.

d) El valor mínimo de $y$ es $- 4$ . Escriba el recorrido de $f (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $x = 0$ , $x = 4$ ; b) $x = 2$ ; c) $x = - 2$ ; d) $y \geq - 4$ , es decir, $[- 4, + \infty [$

Ver proceso y resultado

a) Las soluciones de $f (x) = 0$ son los cortes con el eje $x$ : $x = 0$ y $x = 4$ .

b) El eje pasa por el punto medio de los ceros: $x = \frac{0 + 4}{2} = 2$ .

c) Las dos soluciones de $f (x) = 12$ son simétricas respecto de $x = 2$ . Como una es $x = 6$ , a distancia $4$ del eje, la otra está a $4$ unidades por el otro lado: $x = 2 - 4 = - 2$ .

d) El mínimo es $- 4$ y la parábola se abre hacia arriba: $R_{f} = [- 4, + \infty [$ , es decir, $y \geq - 4$ .

Resultado: a) $x = 0$ , $x = 4$ ; b) $x = 2$ ; c) $x = - 2$ ; d) $y \geq - 4$ , es decir, $[- 4, + \infty [$

Ejercicio 46 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2010

A continuación se muestra la gráfica de $y = 2 x^{2} - r x + q$ , para $- 5 \leq x \leq 7$ .

Gráfica de y = 2x² − 10x + 4 para -5 ≤ x ≤ 7, que corta el eje vertical en (0; 4) y tiene su mínimo en (2,5; -8,5)

La gráfica corta al eje $y$ en el punto $(0, 4)$ .

a) Escriba el valor de $q$ .

El eje de simetría es $x = 2, 5$ .

b) Halle el valor de $r$ .

c) Escriba el valor mínimo de $y$ .

d) Escriba el recorrido de $y$ .

Ver resultado

Resultado: a) $q = 4$ ; b) $r = 10$ ; c) $- 8, 5$ ; d) $- 8, 5 \leq y \leq 104$

Ver proceso y resultado

a) El corte con el eje $y$ es $(0, 4)$ , luego $q = 4$ .

b) El eje de simetría de $y = 2 x^{2} - r x + 4$ es $x = \frac{r}{4} = 2, 5$ , luego $r = 10$ .

c) Con $r = 10$ : $f (2, 5) = 2 \cdot 6, 25 - 25 + 4 = - 8, 5$ .

d) En $- 5 \leq x \leq 7$ : $f (- 5) = 50 + 50 + 4 = 104$ y $f (7) = 98 - 70 + 4 = 32$ . El valor más alto es $104$ y el mínimo es $- 8, 5$ , así que el recorrido es $[- 8, 5; 104]$ .

Resultado: a) $q = 4$ ; b) $r = 10$ ; c) $- 8, 5$ ; d) $- 8, 5 \leq y \leq 104$

Ejercicio 47 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2009

Sea $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ .

a) Factorice $x^{2} - 6 x + 8$ .

b) Usando lo anterior, o de otra manera, resuelva la ecuación $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ .

Sea $g (x) = x + 3$ .

c) Escriba las soluciones de la ecuación $f (x) = g (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $(x - 2) (x - 4)$ ; b) $x = 2$ , $x = 4$ ; c) $x = \frac{7 + 29}{2} \approx 6, 19$ y $x = \frac{7 - 29}{2} \approx 0, 807$

Ver proceso y resultado

a) Se buscan dos números de suma $- 6$ y producto $8$ : $x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)$ .

b) $(x - 2) (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 2$ o $x = 4$ .

c) $f (x) = g (x)$ : $x^{2} - 6 x + 8 = x + 3 \Rightarrow x^{2} - 7 x + 5 = 0$ , con $Δ = 49 - 20 = 29$ :

$x = \frac{7 \pm 29}{2} \Rightarrow x \approx 6, 19 o x \approx 0, 807$

Resultado: a) $(x - 2) (x - 4)$ ; b) $x = 2$ , $x = 4$ ; c) $x = \frac{7 + 29}{2} \approx 6, 19$ y $x = \frac{7 - 29}{2} \approx 0, 807$

Ejercicio 48 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2009

En el siguiente diagrama se muestra una curva cuadrática con la ecuación $y = a x (x - b)$ . Las intersecciones con el eje $x$ están en $(0, 0)$ y $(6, 0)$ , y el vértice $V$ está en $(h, 8)$ .

Parábola cóncava hacia abajo que pasa por el origen y por (6; 0), con vértice V(3; 8)

a) Encuentre el valor de $h$ .

b) Encuentre la ecuación de la curva.

Ver resultado

Resultado: a) $h = 3$ ; b) $y = - \frac{8}{9} x (x - 6)$ , es decir, $a = - \frac{8}{9}$ y $b = 6$

Ver proceso y resultado

a) El vértice está en el punto medio de los cortes con el eje $x$ : $h = \frac{0 + 6}{2} = 3$ .

b) Los cortes son $x = 0$ y $x = 6$ , luego $b = 6$ y $y = a x (x - 6)$ . Con $V (3, 8)$ : $8 = a \cdot 3 \cdot (- 3) = - 9 a$ , luego $a = - \frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{8}{9} x (x - 6)$

Resultado: a) $h = 3$ ; b) $y = - \frac{8}{9} x (x - 6)$ , es decir, $a = - \frac{8}{9}$ y $b = 6$

Ejercicio 49 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2009

La figura que aparece a continuación muestra la gráfica de una función cuadrática.

La gráfica pasa por los puntos $(6, 0)$ y $(p, 0)$ . Las coordenadas del máximo son $(0, 5; 30, 25)$ .

Parábola cóncava hacia abajo que corta el eje horizontal en (p; 0), a la izquierda del eje vertical, y en (6; 0), con máximo cerca del eje vertical

a) Calcule el valor de $p$ .

b) Sabiendo que la función cuadrática tiene por ecuación $y = - x^{2} + b x + c$ donde $b, c \in Z$ , halle $b$ y $c$ .

Ver resultado

Resultado: a) $p = - 5$ ; b) $b = 1$ , $c = 30$

Ver proceso y resultado

a) El eje de simetría pasa por el máximo, $x = 0, 5$ , y es el punto medio de los cortes: $\frac{p + 6}{2} = 0, 5 \Rightarrow p = - 5$ .

b) El vértice de $y = - x^{2} + b x + c$ está en $x = \frac{b}{2} = 0, 5$ , luego $b = 1$ . Con el máximo: $- 0, 25 + 0, 5 + c = 30, 25 \Rightarrow c = 30$ . Comprobación: $- (x - 6) (x + 5) = - x^{2} + x + 30$ .

Resultado: a) $p = - 5$ ; b) $b = 1$ , $c = 30$

Ejercicio 50 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2008

a) Factorizar $3 x^{2} + 13 x - 10$ .

b) Resuelva la ecuación $3 x^{2} + 13 x - 10 = 0$ .

Considere una función $f (x) = 3 x^{2} + 13 x - 10$ .

c) Encuentre la ecuación del eje de simetría de la gráfica de esta función.

d) Calcule el valor mínimo de esta función.

Ver resultado

Resultado: a) $(3 x - 2) (x + 5)$ ; b) $x = \frac{2}{3}$ , $x = - 5$ ; c) $x = - \frac{13}{6} \approx - 2, 17$ ; d) $- 24, 1$

Ver proceso y resultado

a) $3 x^{2} + 13 x - 10 = (3 x - 2) (x + 5)$ .

b) $(3 x - 2) (x + 5) = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$ o $x = - 5$ .

c) El eje de simetría es $x = - \frac{13}{2 \cdot 3} = - \frac{13}{6} \approx - 2, 17$ .

d) $f (- \frac{13}{6}) = 3 \cdot \frac{169}{36} - \frac{169}{6} - 10 = - \frac{289}{12} \approx - 24, 1$ .

Resultado: a) $(3 x - 2) (x + 5)$ ; b) $x = \frac{2}{3}$ , $x = - 5$ ; c) $x = - \frac{13}{6} \approx - 2, 17$ ; d) $- 24, 1$

Ejercicio 51 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2008

a) Factorice la expresión $x^{2} - k x$ .

b) A partir de lo anterior, resuelva la ecuación $x^{2} - k x = 0$ .

El diagrama que aparece a continuación muestra la gráfica de la función $f (x) = x^{2} - k x$ para un valor determinado de $k$ .

Parábola cóncava hacia arriba de f(x) = x² − kx que pasa por el origen y corta el eje horizontal en (3; 0)

c) Escriba el valor de $k$ para esta función.

d) Halle el valor mínimo de la función $y = f (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $x (x - k)$ ; b) $x = 0$ , $x = k$ ; c) $k = 3$ ; d) $- 2, 25$

Ver proceso y resultado

a) $x^{2} - k x = x (x - k)$ .

b) $x (x - k) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = k$ .

c) La gráfica corta el eje $x$ en $x = 3$ , luego $k = 3$ .

d) El mínimo está en el punto medio de los ceros, $x = 1, 5$ : $f (1, 5) = 2, 25 - 4, 5 = - 2, 25$ .

Resultado: a) $x (x - k)$ ; b) $x = 0$ , $x = k$ ; c) $k = 3$ ; d) $- 2, 25$

Ejercicio 52 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2005

El diagrama que aparece a continuación muestra la gráfica de $y = c + k x - x^{2}$ , donde $k$ y $c$ son constantes.

Parábola cóncava hacia abajo que empieza en el origen O, alcanza su punto más alto Q y termina en P(5; 0)

a) Halle los valores de $k$ y $c$ .

b) Halle las coordenadas de $Q$ , el punto más alto de la gráfica.

Ver resultado

Resultado: a) $k = 5$ , $c = 0$ ; b) $Q (2, 5; 6, 25)$

Ver proceso y resultado

a) El origen está en la curva: $c = 0$ . Como $P (5, 0)$ está en la curva: $0 = 5 k - 25 \Rightarrow k = 5$ .

b) $y = 5 x - x^{2}$ . El vértice está en $x = \frac{5}{2} = 2, 5$ y $y = 12, 5 - 6, 25 = 6, 25$ .

Resultado: a) $k = 5$ , $c = 0$ ; b) $Q (2, 5; 6, 25)$

Ejercicio 53 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2006

La gráfica de una función cuadrática $f (x)$ corta el eje horizontal en $(1, 0)$ y la ecuación del eje de simetría es $x = - 1$ .

a) Escriba la coordenada $x$ del otro punto donde la gráfica de $y = f (x)$ corta al eje horizontal.

b) $y = f (x)$ alcanza su valor máximo en $y = 5$ .

(i) Escriba el valor de $f (- 1)$ .

(ii) Encuentre el rango de la función $y = f (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $x = - 3$ ; b) (i) $f (- 1) = 5$ ; (ii) $] - \infty, 5]$ , es decir, $y \leq 5$

Ver proceso y resultado

a) El eje es $x = - 1$ . El otro corte es el simétrico de $x = 1$ : $x = 2 \cdot (- 1) - 1 = - 3$ .

b) (i) El máximo se alcanza en el eje de simetría, luego $f (- 1) = 5$ .

(ii) La parábola se abre hacia abajo y su máximo es $5$ : $R_{f} =] - \infty, 5]$ .

Resultado: a) $x = - 3$ ; b) (i) $f (- 1) = 5$ ; (ii) $] - \infty, 5]$ , es decir, $y \leq 5$

Ejercicio 54 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2004

La figura dada a continuación es la gráfica de la función $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Parábola y = x² − 2x − 3 con ramas hacia arriba; corta el eje x en A (a la izquierda del origen) y en B (x = 3); vértice C por debajo del eje x

a) Factorice la expresión $x^{2} - 2 x - 3$ .

b) Escriba las coordenadas de los puntos $A$ y $B$ .

c) Escriba la ecuación del eje de simetría.

d) Escriba las coordenadas del punto $C$ , el vértice de la parábola.

Ver resultado

Resultado: a) $(x + 1) (x - 3)$ ; b) $A (- 1, 0)$ , $B (3, 0)$ ; c) $x = 1$ ; d) $C (1, - 4)$

Ver proceso y resultado

a) $x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$ .

b) Los cortes con el eje $x$ son las raíces: $A (- 1, 0)$ y $B (3, 0)$ .

c) Punto medio de las raíces: $x = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ .

d) El vértice está en $x = 1$ y $f (1) = 1 - 2 - 3 = - 4$ : $C (1, - 4)$ .

Resultado: a) $(x + 1) (x - 3)$ ; b) $A (- 1, 0)$ , $B (3, 0)$ ; c) $x = 1$ ; d) $C (1, - 4)$

Ejercicio 55 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2003

La figura a continuación muestra parte de la gráfica de una función cuadrática $y = a x^{2} + 4 x + c$ .

Parábola con ramas hacia abajo y = −2x² + 4x + 6 con vértice en (1; 8); corta el eje y en 6 y el eje x en −1 y en 3; ejes graduados

a) Escriba el valor de $c$ .

b) Halle el valor de $a$ .

c) Escriba la función cuadrática descompuesta en factores.

Ver resultado

Resultado: a) $c = 6$ ; b) $a = - 2$ ; c) $- 2 (x + 1) (x - 3)$

Ver proceso y resultado

a) La gráfica corta el eje $y$ en $(0, 6)$ , luego $c = 6$ .

b) El vértice $(1, 8)$ está en la gráfica: $a + 4 + 6 = 8 \Rightarrow a = - 2$ . (Comprobación: el eje de simetría es $x = - \frac{4}{2 \cdot ( - 2 )} = 1$ .)

c) $- 2 x^{2} + 4 x + 6 = - 2 (x^{2} - 2 x - 3) = - 2 (x + 1) (x - 3)$ , que concuerda con los cortes $- 1$ y $3$ .

Resultado: a) $c = 6$ ; b) $a = - 2$ ; c) $- 2 (x + 1) (x - 3)$

Ejercicio 56 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2001

El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de $y = a x^{2} + 4 x - 3$ . La recta $x = 2$ es el eje de simetría. $M$ y $N$ son puntos en la curva, como se muestra.

Parábola con ramas hacia abajo y = −x² + 4x − 3, con vértice N sobre la recta discontinua x = 2 y el punto M en el eje y por debajo del origen O

a) Encuentre el valor de $a$ .

b) Encuentre las coordenadas de

(i) $M$ ;

(ii) $N$ .

Ver resultado

Resultado: a) $a = - 1$ ; b) (i) $M (0, - 3)$ ; (ii) $N (2, 1)$

Ver proceso y resultado

a) El eje de simetría de $y = a x^{2} + 4 x - 3$ es $x = - \frac{4}{2 a} = 2$ , luego $a = - 1$ .

b) (i) $M$ está en el eje $y$ : $y (0) = - 3$ , es decir, $M (0, - 3)$ .

(ii) $N$ es el vértice, en $x = 2$ : $y (2) = - 4 + 8 - 3 = 1$ , es decir, $N (2, 1)$ .

Resultado: a) $a = - 1$ ; b) (i) $M (0, - 3)$ ; (ii) $N (2, 1)$

Ejercicio 57 DifícilIB · P1 TZ1 Mayo 2015

Considere la función cuadrática, $f (x) = p x (q - x)$ , donde $p$ y $q$ son números enteros positivos.

La gráfica de $y = f (x)$ pasa por el punto $(6, 0)$ .

a) Calcule el valor de $q$ .

El vértice de la función es $(3, 27)$ .

b) Encuentre el valor de $p$ .

c) Escriba el rango de $f$ .

Ver resultado

Resultado: a) $q = 6$ ; b) $p = 3$ ; c) $] - \infty, 27]$ (es decir, $f (x) \leq 27$ )

Ver proceso y resultado

$f (6) = 0$ : $p \cdot 6 \cdot (q - 6) = 0$ . Como $p > 0$ , $q - 6 = 0$ y $q = 6$ .

$f (x) = p x (6 - x)$ tiene ceros en $0$ y $6$ , así que su vértice está en $x = 3$ .
$f (3) = p \cdot 3 \cdot 3 = 9 p = 27 \Rightarrow p = 3$ .

Como $f (x) = - 3 x^{2} + 18 x$ , la parábola abre hacia abajo y su máximo es $27$ .
El rango es $] - \infty, 27]$ .

Resultado: a) $q = 6$ ; b) $p = 3$ ; c) $] - \infty, 27]$ (es decir, $f (x) \leq 27$ )

Ejercicio 58 DifícilIB · P2 TZ0 Mayo 2006

a) La función $f (x)$ se define por $f (x) = 2 x^{2} - 10 x + 60$ , $- 5 \leq x \leq 8$ .

$x$	$- 5$	$0$	$2$	$5$	$8$
$f (x)$	$160$	$a$	$b$	$60$	$108$

(i) Escriba el valor de $a$ y el valor de $b$ .

(ii) Utilizando los valores de la tabla anterior, dibuje con precisión la gráfica de $f (x)$ sobre un sistema de ejes. Utilice una escala de 1 cm para representar 1 unidad en el eje horizontal y 1 cm para representar 20 unidades en el eje vertical.

(iii) Compruebe que las coordenadas del vértice de la gráfica son $(2, 5, 47, 5)$ .

(iv) Establezca los valores de $x$ para los cuales la función es creciente.

b) La función $h (x)$ se define por: $h (x) = 80$ , $0 \leq x \leq 8$ .

(i) Sobre los mismos ejes utilizados para la parte (a), dibuje con precisión la gráfica de $h (x)$ .

(ii) Halle las coordenadas de los puntos en los cuales $f (x) = h (x)$ .

(iii) Halle la distancia vertical desde el vértice de la gráfica de $f (x)$ hasta la recta $h (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $a = 60$ , $b = 48$ ; (ii) gráfica (ver figura); (iii) vértice $(2, 5; 47, 5)$ ; (iv) $2, 5 < x \leq 8$ ; b) (i) gráfica (ver figura); (ii) $(6, 53; 80)$ ; (iii) $32, 5$

Ver proceso y resultado

a) (i) $a = f (0) = 60$ y $b = f (2) = 8 - 20 + 60 = 48$ .

(ii) Se dibuja la parábola con los puntos de la tabla, $(- 5, 160)$ , $(0, 60)$ , $(2, 48)$ , $(5, 60)$ y $(8, 108)$ , con la escala indicada (ver figura).

(iii) $f (x) = 2 (x - 2, 5)^{2} + 47, 5$ : el vértice es $(2, 5; 47, 5)$ . También, $f (2, 5) = 12, 5 - 25 + 60 = 47, 5$ .

(iv) La parábola se abre hacia arriba, así que $f$ es creciente para $2, 5 < x \leq 8$ .

b) (i) La gráfica de $h (x) = 80$ es el segmento horizontal a altura $80$ para $0 \leq x \leq 8$ (ver figura).

(ii) $2 x^{2} - 10 x + 60 = 80 \Rightarrow x^{2} - 5 x - 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{5 \pm 65}{2}$ . La solución $x \approx - 1, 53$ queda fuera de $0 \leq x \leq 8$ , así que solo hay un punto de corte: $x = \frac{5 + 65}{2} \approx 6, 53$ , es decir, $(6, 53; 80)$ .

(iii) El vértice está a altura $47, 5$ , luego la distancia vertical a la recta es $80 - 47, 5 = 32, 5$ .

Parábola f(x) = 2x² − 10x + 60 con vértice (2,5; 47,5) y la recta horizontal h(x) = 80 para 0 ≤ x ≤ 8, que se cortan en (6,53; 80)

Resultado: a) (i) $a = 60$ , $b = 48$ ; (ii) gráfica (ver figura); (iii) vértice $(2, 5; 47, 5)$ ; (iv) $2, 5 < x \leq 8$ ; b) (i) gráfica (ver figura); (ii) $(6, 53; 80)$ ; (iii) $32, 5$

Ejercicio 59 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2001

Un rectángulo tiene dimensiones $(5 + 2 x)$ metros y $(7 - 2 x)$ metros.

a) Muestre que el área, $A$ , del rectángulo se puede escribir como $A = 35 + 4 x - 4 x^{2}$ .

b) La siguiente es la tabla de valores para la función $A = 35 + 4 x - 4 x^{2}$ .

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$A$	$- 13$	$p$	$27$	$35$	$q$	$r$	$11$	$s$

(i) Calcule los valores de $p$ , $q$ , $r$ y $s$ .

(ii) En papel cuadriculado, utilizando una escala de 1 cm por 1 unidad en el eje $x$ y 1 cm para 5 unidades en el eje $A$ , traza los puntos de su tabla y únalos hasta formar una curva suave.

c) Responda lo siguiente, usando su gráfica o de otra manera.

(i) Escriba la ecuación del eje de simetría de la curva.

(ii) Encuentre un valor de $x$ para un rectángulo cuya área es $27 m^{2}$ .

(iii) Usando este valor de $x$ , escriba las dimensiones del rectángulo.

d) (i) En la misma gráfica, dibuje la recta con la ecuación $A = 5 x + 30$ .

(ii) Usando lo anterior o de otro modo, resuelva la ecuación $4 x^{2} + x - 5 = 0$ .

Ver resultado

Resultado: a) demostrado; b) (i) $p = 11$ , $q = 35$ , $r = 27$ , $s = - 13$ ; (ii) gráfica (ver figura); c) (i) $x = 0, 5$ ; (ii) $x = 2$ ; (iii) $9$ m y $3$ m; d) (i) recta trazada; (ii) $x = 1$ y $x = - \frac{5}{4} = - 1, 25$

Ver proceso y resultado

a) $A = (5 + 2 x) (7 - 2 x) = 35 - 10 x + 14 x - 4 x^{2} = 35 + 4 x - 4 x^{2}$ .

b) (i) $p = A (- 2) = 35 - 8 - 16 = 11$ ; $q = A (1) = 35 + 4 - 4 = 35$ ; $r = A (2) = 35 + 8 - 16 = 27$ ; $s = A (4) = 35 + 16 - 64 = - 13$ .

(ii) Se representan los puntos $(- 3, - 13)$ , $(- 2, 11)$ , $(- 1, 27)$ , $(0, 35)$ , $(1, 35)$ , $(2, 27)$ , $(3, 11)$ , $(4, - 13)$ y se unen con una curva suave.

Parábola A = 35 + 4x − 4x² con vértice en (0,5; 36), la recta A = 5x + 30 que la corta en x = -1,25 y x = 1, y el eje de simetría x = 0,5

c) (i) La parábola es simétrica respecto de $x = \frac{- b}{2 a} = \frac{4}{8} = 0, 5$ : $x = 0, 5$ .

(ii) $35 + 4 x - 4 x^{2} = 27 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 1) = 0$ . Un valor posible es $x = 2$ (también cumple $x = - 1$ , pero no se usa).

(iii) Con $x = 2$ : las dimensiones son $5 + 4 = 9$ m y $7 - 4 = 3$ m.

d) (i) La recta $A = 5 x + 30$ pasa por $(0, 30)$ y $(1, 35)$ (ver figura).

(ii) Los cortes entre la curva y la recta cumplen $35 + 4 x - 4 x^{2} = 5 x + 30$ , es decir, $4 x^{2} + x - 5 = 0$ . Sus soluciones son las abscisas de los puntos de corte. Factorizando: $4 x^{2} + x - 5 = (x - 1) (4 x + 5) = 0$ , luego $x = 1$ o $x = - \frac{5}{4}$ .

Funciones exponenciales y modelos exponenciales

Ejercicio 60 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2002

El siguiente diagrama muestra la gráfica de $y = 3^{- x} + 2$ . La curva pasa por los puntos $(0, a)$ y $(1, b)$ .

Gráfica decreciente de y = 3^(−x) + 2 con asíntota horizontal discontinua y = 2; pasa por los puntos (0; a) del eje y y (1; b)

a) Encuentre el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ .

b) Escriba la ecuación de la asíntota de esta curva.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $a = 3$ ; (ii) $b = \frac{7}{3}$ ; b) $y = 2$

Ver proceso y resultado

a) (i) El punto $(0, a)$ está en la curva: $a = 3^{- 0} + 2 = 1 + 2 = 3$ .

(ii) El punto $(1, b)$ está en la curva: $b = 3^{- 1} + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$ .

b) Cuando $x \to + \infty$ , $3^{- x} \to 0$ , así que $y \to 2$ . La asíntota es la recta $y = 2$ .

Resultado: a) (i) $a = 3$ ; (ii) $b = \frac{7}{3}$ ; b) $y = 2$

Ejercicio 61 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2000

La siguiente figura muestra parte de la gráfica de una función exponencial $f (x) = a^{- x}$ , con $x \in R$ .

Gráfica decreciente de f(x) = a^(−x), con a mayor que 1, que corta el eje y en P(0; 1) y se aproxima al eje x por la derecha

a) ¿Cuál es el recorrido de $f$ ?

b) Escriba las coordenadas del punto $P$ .

c) ¿Qué sucede con los valores de $f (x)$ a medida que los elementos de su dominio toman valores mayores?

Ver resultado

Resultado: a) $R_{f} =] 0, + \infty [$ ; b) $P (0, 1)$ ; c) $f (x)$ tiende a $0$ (asíntota $y = 0$ )

Ver proceso y resultado

a) Como $a^{- x} > 0$ para todo $x$ y la curva se acerca al eje $x$ sin tocarlo, el recorrido es $R_{f} =] 0, + \infty [$ .

b) $P$ está en el eje $y$ : $f (0) = a^{0} = 1$ , luego $P (0, 1)$ .

c) La gráfica decrece y se aproxima al eje $x$ : cuando $x$ aumenta, $f (x)$ se hace cada vez menor y tiende a $0$ (la recta $y = 0$ es asíntota horizontal).

Resultado: a) $R_{f} =] 0, + \infty [$ ; b) $P (0, 1)$ ; c) $f (x)$ tiende a $0$ (asíntota $y = 0$ )

Ejercicio 62 BásicoIB · P1 TZ1 Mayo 2014

La cantidad de carga eléctrica, $C$ , almacenada en la batería de un teléfono móvil está modelada por $C (t) = 2, 5 - 2^{- t}$ , donde $t$ , en horas, es el tiempo durante el cual se carga la batería.

Gráfica creciente de C(t) = 2,5 − 2^(−t): empieza en 1,5 y se aproxima a la asíntota horizontal discontinua L, C = 2,5

a) Escriba la cantidad de carga eléctrica en la batería cuando $t = 0$ .

La recta $L$ es la asíntota horizontal del gráfico.

b) Escriba la ecuación de $L$ .

Para descargar un juego al teléfono móvil, se necesita una carga eléctrica de $2, 4$ unidades.

c) Encuentre el tiempo necesario para alcanzar esta carga.

Dé su respuesta correcta al minuto más cercano.

Ver resultado

Resultado: a) $1, 5$ unidades; b) $L : C = 2, 5$ ; c) $199$ minutos

Ver proceso y resultado

a) $C (0) = 2, 5 - 2^{0} = 1, 5$ unidades.

b) Cuando $t \to \infty$ , $2^{- t} \to 0$ y $C \to 2, 5$ . La asíntota es $L : C = 2, 5$ .

c) Se resuelve $2, 5 - 2^{- t} = 2, 4$ : $2^{- t} = 0, 1$ , luego $t = lo g_{2} 10 = \frac{ln 10}{ln 2} \approx 3, 32$ horas $\approx 199, 3$ minutos. Al minuto más cercano, $199$ minutos.

Resultado: a) $1, 5$ unidades; b) $L : C = 2, 5$ ; c) $199$ minutos

Ejercicio 63 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2005

La ecuación $M = 90 \times 2^{- \frac{t}{20}}$ da la cantidad, en gramos, de un material radiactivo almacenado en un laboratorio después de $t$ años.

a) ¿Cuál era la masa original del material radiactivo?

La siguiente tabla nos ofrece algunos valores de $M$ .

$t$	$60$	$80$	$100$
$M$	$11, 25$	$v$	$2, 8125$

b) Halle el valor de $v$ .

c) Calcule el número de años que han de pasar para que la masa de material radiactivo sea de 45 gramos.

Ver resultado

Resultado: a) $90$ g; b) $v = 5, 625$ g; c) $20$ años

Ver proceso y resultado

a) La masa original es $M (0) = 90 \times 2^{0} = 90$ g.

b) $v = M (80) = 90 \times 2^{- 4} = \frac{90}{16} = 5, 625$ g.

c) $90 \times 2^{- t /20} = 45$ implica $2^{- t /20} = \frac{1}{2}$ , luego $\frac{t}{20} = 1$ y $t = 20$ años (es la semivida del material).

Resultado: a) $90$ g; b) $v = 5, 625$ g; c) $20$ años

Ejercicio 64 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2008

La función $f (x) = a^{x} + b$ se define por medio del diagrama de flechas que se muestra a continuación.

$x$	$f (x)$
$0$	$6$
$2$	$f (2)$
$c$	$5, 5$
$1$	$9$

a) Halle los valores de $a$ y $b$ .

b) Escriba la imagen de 2 por la función $f$ .

c) Halle el valor de $c$ .

Ver resultado

Resultado: a) $a = 4$ , $b = 5$ ; b) $f (2) = 21$ ; c) $c = - 0, 5$

Ver proceso y resultado

a) $f (0) = a^{0} + b = 1 + b = 6$ , luego $b = 5$ . $f (1) = a + 5 = 9$ , luego $a = 4$ .

b) $f (2) = 4^{2} + 5 = 21$ .

c) $4^{c} + 5 = 5, 5 \Rightarrow 4^{c} = 0, 5 \Rightarrow 2^{2 c} = 2^{- 1} \Rightarrow c = - 0, 5$ .

Resultado: a) $a = 4$ , $b = 5$ ; b) $f (2) = 21$ ; c) $c = - 0, 5$

Ejercicio 65 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2014

Considere las funciones $f (x) = x + 1$ y $g (x) = 3^{x} - 2$ .

a) Escriba

(i) la intersección con el eje $x$ de la gráfica de $y = f (x)$ ;

(ii) la intersección con el eje $y$ de la gráfica de $y = g (x)$ .

b) Resuelva $f (x) = g (x)$ .

c) Escriba el intervalo para los valores de $x$ para los cuales $f (x) > g (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $(- 1, 0)$ ; (ii) $(0, - 1)$ ; b) $x \approx - 2, 96$ y $x \approx 1, 34$ ; c) $] - 2, 96, 1, 34 [$

Ver proceso y resultado

a) (i) $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$ : $(- 1, 0)$ .

(ii) $g (0) = 3^{0} - 2 = - 1$ : $(0, - 1)$ .

b) $x + 1 = 3^{x} - 2$ . Con la CPG (intersección de las gráficas de $y = x + 1$ e $y = 3^{x} - 2$ ) se obtienen $x \approx - 2, 96$ y $x \approx 1, 34$ .

c) $f (x) > g (x)$ cuando la recta está por encima de la curva exponencial, es decir, entre los dos puntos de corte: $- 2, 96 < x < 1, 34$ .

Resultado: a) (i) $(- 1, 0)$ ; (ii) $(0, - 1)$ ; b) $x \approx - 2, 96$ y $x \approx 1, 34$ ; c) $] - 2, 96, 1, 34 [$

Ejercicio 66 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2012

La siguiente figura muestra una parte del gráfico de $y = 2^{- x} + 3$ , y su asíntota horizontal.

Gráfica decreciente de y = 2^(−x) + 3 con asíntota horizontal discontinua y = 3; pasa por el punto (0; a) del eje y y por el punto (b; 3,5) a la derecha del eje y

El gráfico pasa por los puntos $(0; a)$ y $(b; 3, 5)$ .

a) Halle el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ .

b) Escriba la ecuación de la asíntota horizontal de este gráfico.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $a = 4$ ; (ii) $b = 1$ ; b) $y = 3$

Ver proceso y resultado

a) (i) $a = 2^{0} + 3 = 4$ .

(ii) $2^{- b} + 3 = 3, 5 \Rightarrow 2^{- b} = 0, 5 = 2^{- 1} \Rightarrow b = 1$ .

b) Cuando $x \to + \infty$ , $2^{- x} \to 0$ , por lo que $y \to 3$ : la asíntota horizontal es $y = 3$ .

Resultado: a) (i) $a = 4$ ; (ii) $b = 1$ ; b) $y = 3$

Ejercicio 67 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2011

Considere la función $f (x) = 1, 25 - a^{- x}$ , donde $a$ es una constante positiva y $x \geq 0$ .

El diagrama muestra una parte de la gráfica de $f$ . La gráfica corta el eje $y$ en el punto $A$ y la recta $L$ es su asíntota horizontal.

Gráfica creciente de f(x) = 1,25 − 2^(−x) para x ≥ 0, que empieza en A sobre el eje y, por encima del origen, y se acerca a la recta discontinua L, y = 1,25

a) Encuentre la coordenada $y$ de $A$ . [2 puntos]

El punto $(2, 1)$ se encuentra en la gráfica de $y = f (x)$ .

b) Calcule el valor de $a$ .

c) Escriba la ecuación de $L$ .

Ver resultado

Resultado: a) $y = 0, 25$ ; b) $a = 2$ ; c) $y = 1, 25$

Ver proceso y resultado

a) $A$ está en el eje $y$ : $f (0) = 1, 25 - a^{0} = 1, 25 - 1 = 0, 25$ . La coordenada $y$ de $A$ es $0, 25$ .

b) Como $(2, 1)$ está en la gráfica: $1, 25 - a^{- 2} = 1 \Rightarrow a^{- 2} = 0, 25 \Rightarrow a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2$ (positiva).

c) Cuando $x \to + \infty$ , $a^{- x} \to 0$ y $f (x) \to 1, 25$ . La asíntota es $L : y = 1, 25$ .

Resultado: a) $y = 0, 25$ ; b) $a = 2$ ; c) $y = 1, 25$

Ejercicio 68 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2007

La aplicación que aparece a continuación es de la forma $f : x \mapsto a \times 2^{x} + b$ , y aplica los elementos de $x$ sobre los elementos de $y$ .

$x$	$f (x)$
$0$	$- 1$
$- 2$	$- 1, 75$
$1$	$0$
$- 1$	$- 1, 5$
$g$	$30$

a) (i) Enumere los elementos pertenecientes al dominio de $f$ .

(ii) Enumere los elementos pertenecientes al recorrido de $f$ .

b) Halle $a$ y $b$ .

c) Halle el valor de $g$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $D_{f} = {- 2, - 1, 0, 1, g}$ ; (ii) $R_{f} = {- 1, 75; - 1, 5; - 1; 0; 30}$ ; b) $a = 1$ , $b = - 2$ ; c) $g = 5$

Ver proceso y resultado

a) (i) El dominio está formado por los valores de $x$ de la tabla: $D_{f} = {- 2, - 1, 0, 1, g}$ .

(ii) El recorrido son los valores de $f (x)$ de la tabla: $R_{f} = {- 1, 75, - 1, 5, - 1, 0, 30}$ .

b) De $f (0) = - 1$ : $a \cdot 2^{0} + b = - 1$ , es decir, $a + b = - 1$ .

De $f (1) = 0$ : $2 a + b = 0$ .

Restando la primera ecuación a la segunda: $a = 1$ , y entonces $b = - 2$ . Así, $f (x) = 2^{x} - 2$ .

c) $f (g) = 30$ implica $2^{g} - 2 = 30$ , luego $2^{g} = 32 = 2^{5}$ y $g = 5$ .

Resultado: a) (i) $D_{f} = {- 2, - 1, 0, 1, g}$ ; (ii) $R_{f} = {- 1, 75; - 1, 5; - 1; 0; 30}$ ; b) $a = 1$ , $b = - 2$ ; c) $g = 5$

Ejercicio 69 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2005

Una función viene dada por la expresión $f (x) = 3 (2)^{x} + 1$ .

A continuación aparece la tabla de valores de $f (x)$ para $- 3 \leq x \leq 2$ .

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$1, 375$	$1, 75$	$a$	$4$	$7$	$b$

a) Calcule los valores de $a$ y $b$ .

b) Dibuje, en papel milimetrado, la gráfica de $f (x)$ para $- 3 \leq x \leq 2$ , de modo que 1 cm represente 1 unidad en cada eje.

El dominio de la función $f (x)$ es el conjunto de los números reales, $R$ .

c) Escriba el recorrido de $f (x)$ .

d) Utilizando su gráfica, o de cualquier otro modo, halle el valor aproximado de $x$ cuando $f (x) = 10$ .

Ver resultado

Resultado: a) $a = 2, 5$ , $b = 13$ ; c) $R_{f} =] 1, + \infty [$ ; d) $x \approx 1, 58$

Ver proceso y resultado

a) $a = f (- 1) = 3 \cdot 2^{- 1} + 1 = 1, 5 + 1 = 2, 5$ .

$b = f (2) = 3 \cdot 2^{2} + 1 = 12 + 1 = 13$ .

b) Se dibujan los puntos de la tabla, $(- 3; 1, 375)$ , $(- 2; 1, 75)$ , $(- 1; 2, 5)$ , $(0; 4)$ , $(1; 7)$ y $(2; 13)$ , y se unen con una curva suave creciente.

Gráfica de f(x) = 3·2^x + 1 para -3 ≤ x ≤ 2, con la recta horizontal y = 10 (discontinua) que corta la curva en x ≈ 1,58

c) Como $2^{x} > 0$ , se tiene $f (x) > 1$ y $f$ toma todos los valores mayores que $1$ : $R_{f} =] 1, + \infty [$ .

d) Se resuelve $3 \cdot 2^{x} + 1 = 10$ , es decir, $2^{x} = 3$ , luego $x = lo g_{2} 3 \approx 1, 58$ . En la gráfica se lee $x \approx 1, 6$ .

Resultado: a) $a = 2, 5$ , $b = 13$ ; c) $R_{f} =] 1, + \infty [$ ; d) $x \approx 1, 58$

Ejercicio 70 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2001

El siguiente gráfico muestra la curva $y = k (2^{x}) + c$ , donde $k$ y $c$ son constantes.

Cuadrícula con una curva creciente y = k·2^x + c que se acerca por la izquierda a la recta discontinua y = −10, corta el eje x en 1 y el eje y en −5, y sale de la cuadrícula por arriba

Encuentre los valores de $c$ y $k$ .

Ver resultado

Resultado: $k = 5$ , $c = - 10$

Ver proceso y resultado

La asíntota horizontal de $y = k \cdot 2^{x} + c$ es $y = c$ (cuando $x \to - \infty$ , $2^{x} \to 0$ ). En la gráfica la asíntota es $y = - 10$ , luego $c = - 10$ .

La curva corta el eje $y$ en $(0; - 5)$ : $k \cdot 2^{0} + c = - 5$ , es decir, $k - 10 = - 5$ y $k = 5$ .

Comprobación con otros puntos: en $x = 1$ , $5 \cdot 2 - 10 = 0$ y en $x = 2$ , $5 \cdot 4 - 10 = 10$ , que coinciden con la gráfica.

Resultado: $k = 5$ , $c = - 10$

Ejercicio 71 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2010

Considere la función $f (x) = p (0, 5)^{x} + q$ donde $p$ y $q$ son constantes. La gráfica de $f (x)$ pasa por los puntos $(0, 6)$ y $(1, 4)$ , tal y como se muestra a continuación.

Gráfica decreciente de f(x) = p(0,5)^x + q, que empieza en el eje y en (0; 6), pasa por (1; 4) y se acerca a la asíntota horizontal y = 2

a) Escriba dos ecuaciones que relacionen $p$ y $q$ .

b) Halle el valor de $p$ y el de $q$ .

c) Escriba la ecuación de la asíntota horizontal de la gráfica de $f (x)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $p + q = 6$ ; $0, 5 p + q = 4$ ; b) $p = 4$ , $q = 2$ ; c) $y = 2$

Ver proceso y resultado

a) Con $(0, 6)$ : $p \cdot 0, 5^{0} + q = 6$ , es decir, $p + q = 6$ .

Con $(1, 4)$ : $0, 5 p + q = 4$ .

b) Restando la segunda ecuación a la primera: $0, 5 p = 2$ , luego $p = 4$ y $q = 6 - 4 = 2$ .

c) Cuando $x \to + \infty$ , $0, 5^{x} \to 0$ y $f (x) \to q = 2$ . La asíntota horizontal es $y = 2$ .

Resultado: a) $p + q = 6$ ; $0, 5 p + q = 4$ ; b) $p = 4$ , $q = 2$ ; c) $y = 2$

Ejercicio 72 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2018

La cantidad de levadura, $g$ gramos, en una disolución de azúcar se puede modelizar por la función $g (t) = 10 - k (c^{- t})$ para $t \geq 0$ , donde $t$ es el tiempo en minutos.

A continuación se muestra el gráfico de $g (t)$ .

Curva creciente g(t) = 10 − 8·2^(−t) que parte de un punto del eje g(t) a altura 2 y se aproxima a la recta discontinua de altura 10

En esta disolución, la cantidad inicial de levadura es igual a 2 gramos.

a) Halle el valor de $k$ .

La cantidad de levadura que hay en esta disolución al cabo de 3 minutos es igual a 9 gramos.

b) Halle el valor de $c$ .

c) Escriba la cantidad máxima de levadura en esta disolución.

Ver resultado

Resultado: a) $k = 8$ ; b) $c = 2$ ; c) $10$ gramos

Ver proceso y resultado

a) En $t = 0$ : $g (0) = 10 - k \cdot c^{0} = 10 - k = 2$ , luego $k = 8$ .

b) En $t = 3$ : $10 - 8 c^{- 3} = 9$ , así que $8 c^{- 3} = 1$ , $c^{3} = 8$ y $c = 2$ .

c) Cuando $t \to \infty$ , $c^{- t} \to 0$ y $g (t) \to 10$ . La cantidad máxima es $10$ gramos.

Resultado: a) $k = 8$ ; b) $c = 2$ ; c) $10$ gramos

Ejercicio 73 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2015

Se coloca una taza de agua hirviendo en una habitación para que se enfríe.

La temperatura de la habitación es de $20^{\circ} C$ .

Esta situación se puede modelar mediante la función exponencial $T = a + b (k)^{- m}$ , donde $T$ es la temperatura del agua, en °C, y $m$ es el número de minutos durante los cuales se ha colocado en la habitación. A continuación se ofrece una gráfica de la situación.

Gráfica decreciente de T frente a m: empieza en 100 cuando m = 0 y se aproxima a la recta horizontal discontinua T = 20

a) Explique por qué $a = 20$ .

Inicialmente, en $m = 0$ , la temperatura del agua es de $100^{\circ} C$ .

b) Encuentre el valor de $b$ .

Después de colocarlo en la habitación durante un minuto, la temperatura del agua es de $84^{\circ} C$ .

c) Demuestre que $k = 1, 25$ .

d) Encuentre la temperatura del agua tres minutos después de que se haya colocado en la habitación.

e) Encuentre el tiempo total necesario para que el agua alcance una temperatura de $35^{\circ} C$ . Dé su respuesta en minutos y segundos, ajustado al segundo más cercano.

Ver resultado

Resultado: a) $a = 20$ ; b) $b = 80$ ; c) $k = 1, 25$ ; d) $61, 0^{\circ} C$ ; e) 7 minutos y 30 segundos

Ver proceso y resultado

a) Cuando $m$ aumenta, $k^{- m} \to 0$ y entonces $T \to a$ . El agua acaba a la temperatura de la habitación, así que $a = 20$ .

b) Con $m = 0$ : $T = 20 + b \cdot k^{0} = 20 + b = 100$ , luego $b = 80$ .

c) Con $m = 1$ : $84 = 20 + 80 k^{- 1}$ , de donde $\frac{80}{k} = 64$ y $k = \frac{80}{64} = 1, 25$ .

d) $T (3) = 20 + 80 (1, 25)^{- 3} = 20 + 40, 96 = 60, 96 \approx 61, 0^{\circ} C$ .

e) Se resuelve $20 + 80 (1, 25)^{- m} = 35$ : $1, 2 5^{- m} = \frac{15}{80} = 0, 1875$ , y $m = \frac{ln 0 , 1875}{ln 0 , 8} \approx 7, 50 min$ Es decir, $7$ minutos y $30$ segundos.

Resultado: a) $a = 20$ ; b) $b = 80$ ; c) $k = 1, 25$ ; d) $61, 0^{\circ} C$ ; e) 7 minutos y 30 segundos

Ejercicio 74 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2014

En un ensayo de un nuevo medicamento, los científicos observan que la cantidad de medicamento presente en el torrente sanguíneo disminuye con el tiempo, siguiendo el modelo $M (t) = 1, 2 \times (0, 87)^{t}$ , $t \geq 0$ , donde $M$ es la cantidad de medicamento que hay presente en el torrente sanguíneo en mg por litro ( $mg l^{- 1}$ ) y $t$ es el tiempo en horas.

a) Escriba la cantidad de medicamento que hay en el torrente sanguíneo en $t = 0$ .

b) Calcule la cantidad de medicamento que hay en el torrente sanguíneo transcurridas 3 horas.

c) Utilice la calculadora de pantalla gráfica para determinar cuánto tiempo tiene que pasar para que la cantidad de medicamento que hay en el torrente sanguíneo disminuya hasta $0, 333 mg l^{- 1}$ .

Ver resultado

Resultado: a) $1, 2 mg l^{- 1}$ ; b) $0, 790 mg l^{- 1}$ ; c) $9$ horas y $12$ minutos

Ver proceso y resultado

a) $M (0) = 1, 2 \times 0, 8 7^{0} = 1, 2 mg l^{- 1}$ .

b) $M (3) = 1, 2 \times 0, 8 7^{3} \approx 0, 790 mg l^{- 1}$ .

c) Con la CPG se resuelve $1, 2 \times 0, 8 7^{t} = 0, 333$ y se obtiene $t \approx 9, 205$ horas. Como $0, 205 \cdot 60 \approx 12, 3$ , son $9$ horas y $12$ minutos.

Resultado: a) $1, 2 mg l^{- 1}$ ; b) $0, 790 mg l^{- 1}$ ; c) $9$ horas y $12$ minutos

Ejercicio 75 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2014

Se coloca una patata en un horno calentado a una temperatura de $200^{\circ} C$ .

La temperatura de la patata, en °C, está modelada por la función $p (t) = 200 - 190 \cdot (0, 97)^{t}$ , donde $t$ es el tiempo, en minutos, que la patata ha estado en el horno.

a) Anote la temperatura de la patata en el momento en que se coloca en el horno.

b) Calcule la temperatura de la patata media hora después de haberla colocado en el horno.

Después de que la patata ha estado en el horno durante $k$ minutos, su temperatura es de $40^{\circ} C$ .

c) Encuentre el valor de $k$ .

Ver resultado

Resultado: a) $10^{\circ} C$ ; b) $124^{\circ} C$ ; c) $k \approx 5, 64$ minutos

Ver proceso y resultado

a) $p (0) = 200 - 190 \cdot 0, 9 7^{0} = 10^{\circ} C$ .

b) Media hora son $30$ minutos: $p (30) = 200 - 190 \cdot 0, 9 7^{30} \approx 124^{\circ} C$ .

c) Se resuelve $200 - 190 \cdot 0, 9 7^{k} = 40$ : $0, 9 7^{k} = \frac{160}{190}$ , y $k = \frac{ln ( 160/190 )}{ln 0 , 97} \approx 5, 64 min$

Resultado: a) $10^{\circ} C$ ; b) $124^{\circ} C$ ; c) $k \approx 5, 64$ minutos

Ejercicio 76 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2013

El número de bacterias que hay en una colonia está modelado por la función $N (t) = 800 \times 3^{0, 5 t}$ , $t \geq 0$ , donde $N$ es el número de bacterias y $t$ representa el tiempo en horas.

a) Escriba el número de bacterias que hay en la colonia en el instante $t = 0$ .

b) Calcule el número de bacterias que habrá presentes transcurridas 2 horas y 30 minutos. Dé la respuesta redondeando al número de centenas de bacterias más próximo.

c) Calcule el tiempo, en horas, que ha de transcurrir para que el número de bacterias llegue a $5500$ .

Ver resultado

Resultado: a) $800$ bacterias; b) $3200$ bacterias; c) $3, 51$ horas

Ver proceso y resultado

a) $N (0) = 800 \times 3^{0} = 800$ bacterias.

b) $2$ h $30$ min $= 2, 5$ h: $N (2, 5) = 800 \times 3^{1, 25} \approx 3158, 6$ . A la centena más próxima, $3200$ bacterias.

c) Se resuelve $800 \times 3^{0, 5 t} = 5500$ : $3^{0, 5 t} = 6, 875$ , y $t = \frac{ln 6 , 875}{0 , 5 ln 3} \approx 3, 51 horas$

Resultado: a) $800$ bacterias; b) $3200$ bacterias; c) $3, 51$ horas

Ejercicio 77 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2011

Shiyun compró un automóvil en 1999. El valor del automóvil $V$ , en USD, se está depreciando según el modelo exponencial $V = 25000 \times 1, 5^{- 0, 2 t}$ , $t \geq 0$ , donde $t$ es el tiempo, en años, que Shiyun ha tenido el coche.

a) Escriba el valor del automóvil cuando lo compró Shiyun.

b) Calcule el valor del automóvil tres años después de que Shiyun lo compró. Dé su respuesta aproximada con dos decimales.

c) Calcule el tiempo que tarda el automóvil en depreciarse a la mitad de su valor desde que Shiyun lo compró.

Ver resultado

Resultado: a) $25000$ USD; b) $19601, 32$ USD; c) $8, 55$ años

Ver proceso y resultado

a) $V (0) = 25000 \times 1, 5^{0} = 25000$ USD.

b) $V (3) = 25000 \times 1, 5^{- 0, 6} = 19601, 32$ USD.

c) Se resuelve $25000 \times 1, 5^{- 0, 2 t} = 12500$ : $1, 5^{- 0, 2 t} = 0, 5$ , es decir, $1, 5^{0, 2 t} = 2$ , y $t = \frac{ln 2}{0 , 2 ln 1 , 5} \approx 8, 55 a n ˜ os$

Resultado: a) $25000$ USD; b) $19601, 32$ USD; c) $8, 55$ años

Ejercicio 78 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2010

La función $f (x) = 5 - 3 (2^{- x})$ se define para $x \geq 0$ .

Ejes cartesianos vacíos, sin escala, para dibujar la gráfica de f(x) = 5 − 3·2^(−x) con x ≥ 0

a) (i) En los ejes siguientes, dibuje la gráfica de $f (x)$ y muestre el comportamiento de la curva a medida que $x$ aumenta.

(ii) Escriba las coordenadas de cualquier intersección con los ejes.

b) Dibuje la recta $y = 5$ en su dibujo.

c) Escriba el número de soluciones de la ecuación $f (x) = 5$ .

Ver resultado

Resultado: a) (ii) $(0, 2)$ ; c) $0$ soluciones, porque $y = 5$ es asíntota horizontal

Ver proceso y resultado

a) (i) Se calcula $f (0) = 5 - 3 \cdot 2^{0} = 2$ . Como $2^{- x}$ decrece hacia $0$ , $f$ crece desde $2$ y se acerca cada vez más a $5$ sin alcanzarlo.

Gráfica creciente de f(x) = 5 − 3·2^(−x) para x ≥ 0, con los puntos (0; 2), (1; 3,5), (2; 4,25) y la asíntota y = 5 discontinua

(ii) Corta el eje $y$ en $(0, 2)$ . No corta el eje $x$ , porque $f (x) \geq 2 > 0$ .

b) Se traza la recta horizontal $y = 5$ (la asíntota de la curva, línea discontinua).

c) $f (x) = 5$ implica $3 \cdot 2^{- x} = 0$ , y esto es imposible porque $2^{- x} > 0$ . Hay $0$ soluciones: la curva se acerca a $y = 5$ pero nunca la corta.

Resultado: a) (ii) $(0, 2)$ ; c) $0$ soluciones, porque $y = 5$ es asíntota horizontal

Ejercicio 79 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2010

Un rumor se propaga entre un grupo de adolescentes, según un modelo exponencial $N = 2 \times (1, 81)^{0, 7 t}$ , donde $N$ es el número de adolescentes que se han enterado del rumor $t$ horas después de que empezara a propagarse.

a) Halle el número de adolescentes que empezaron a propagar el rumor.

b) Escriba el número de adolescentes que se han enterado del rumor cinco horas después de que empezara a propagarse.

c) Determine cuánto tiempo ha de transcurrir para que se enteren del rumor 150 adolescentes. Dé la respuesta redondeando al número de minutos más cercano.

Ver resultado

Resultado: a) $2$ adolescentes; b) $16$ adolescentes; c) $624$ minutos

Ver proceso y resultado

a) $N (0) = 2 \times 1, 8 1^{0} = 2$ adolescentes.

b) $N (5) = 2 \times 1, 8 1^{3, 5} \approx 15, 96 \approx 16$ adolescentes.

c) Se resuelve $2 \times 1, 8 1^{0, 7 t} = 150$ : $1, 8 1^{0, 7 t} = 75$ , y $t = \frac{ln 75}{0 , 7 ln 1 , 81} \approx 10, 395 h \approx 623, 7 min$ Al minuto más cercano, $624$ minutos.

Resultado: a) $2$ adolescentes; b) $16$ adolescentes; c) $624$ minutos

Ejercicio 80 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2009

El número de células, $C$ , en un cultivo viene dado por la ecuación $C = p \times 2^{0, 5 t} + q$ , donde $t$ es el tiempo en horas medido desde las 12:00 del lunes y $p$ y $q$ son constantes.

El número de células en el cultivo a las 12:00 del lunes es 47.

El número de células en el cultivo a las 16:00 del lunes es 53.

Utilice la información anterior para

a) escriba dos ecuaciones en $p$ y $q$ ;

b) calcular el valor de $p$ y de $q$ ;

c) encuentre el número de células en el cultivo a las 22:00 del lunes.

Ver resultado

Resultado: a) $p + q = 47$ ; $4 p + q = 53$ ; b) $p = 2$ , $q = 45$ ; c) $109$ células

Ver proceso y resultado

a) A las 12:00, $t = 0$ : $p \cdot 2^{0} + q = 47$ , es decir, $p + q = 47$ .

A las 16:00, $t = 4$ : $p \cdot 2^{2} + q = 53$ , es decir, $4 p + q = 53$ .

b) Restando: $3 p = 6$ , luego $p = 2$ y $q = 45$ .

c) A las 22:00, $t = 10$ : $C = 2 \cdot 2^{5} + 45 = 64 + 45 = 109$ células.

Resultado: a) $p + q = 47$ ; $4 p + q = 53$ ; b) $p = 2$ , $q = 45$ ; c) $109$ células

Ejercicio 81 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2009

La población de pulgas en un perro después de $t$ días está modelada por $N = 4 \times (2)^{\frac{t}{4}}$ , $t \geq 0$ .

Algunos valores de $N$ se muestran en la tabla siguiente.

$t$	$0$	$4$	$8$	$12$	$16$	$20$
$N$	$p$	$8$	$16$	$32$	$q$	$128$

a) Escriba el valor de

(i) $p$ ;

(ii) $q$ .

b) Utilizando los valores de la tabla anterior, dibuje la gráfica de $N$ para $0 \leq t \leq 20$ . Utilice 1 cm para representar 2 días en el eje horizontal y 1 cm para representar 10 pulgas en el eje vertical.

c) Use su gráfica para estimar el número de días para que la población de pulgas pueda llegar a 55.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $p = 4$ ; (ii) $q = 64$ ; c) $t \approx 15$ días

Ver proceso y resultado

a) (i) $p = N (0) = 4 \cdot 2^{0} = 4$ .

(ii) $q = N (16) = 4 \cdot 2^{4} = 64$ .

b) Se dibujan los puntos $(0, 4)$ , $(4, 8)$ , $(8, 16)$ , $(12, 32)$ , $(16, 64)$ y $(20, 128)$ y se unen con una curva suave creciente.

Curva exponencial N = 4·2^(t/4) frente al número de días t, que pasa por (0; 4), (4; 8), (8; 16), (12; 32), (16; 64) y (20; 128); la recta N = 55 la corta en t ≈ 15

c) En la gráfica, $N = 55$ se alcanza en $t \approx 15$ días. (Con la fórmula, $4 \cdot 2^{t /4} = 55$ da $t = 4 lo g_{2} 13, 75 \approx 15, 1$ .)

Resultado: a) (i) $p = 4$ ; (ii) $q = 64$ ; c) $t \approx 15$ días

Ejercicio 82 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2006

El valor de un automóvil disminuye cada año. Este valor se puede calcular usando la función $v = 32000 r^{t}$ , $t \geq 0$ , $0 < r < 1$ , donde $v$ es el valor del automóvil en USD, $t$ es el número de años después de que se compró por primera vez y $r$ es una constante.

a) (i) Escriba el valor del automóvil cuando lo compró por primera vez.

(ii) Un año después, el valor del automóvil era de $27200$ USD. Encuentre el valor de $r$ .

b) Encuentre cuántos años se necesitarán para que el valor del automóvil sea inferior a $8000$ USD.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $32000$ USD; (ii) $r = 0, 85$ ; b) $t > 8, 53$ años

Ver proceso y resultado

a) (i) En $t = 0$ : $v = 32000 r^{0} = 32000$ USD.

(ii) En $t = 1$ : $32000 r = 27200$ , luego $r = \frac{27200}{32000} = 0, 85$ .

b) Se resuelve $32000 (0, 85)^{t} < 8000$ : $0, 8 5^{t} < 0, 25$ . El valor límite es $t = \frac{ln 0 , 25}{ln 0 , 85} \approx 8, 53$ (la base es menor que 1, así que la desigualdad se cumple para $t > 8, 53$ ). Se necesitan algo más de $8, 53$ años.

Resultado: a) (i) $32000$ USD; (ii) $r = 0, 85$ ; b) $t > 8, 53$ años

Ejercicio 83 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2004

La siguiente gráfica muestra la temperatura de un líquido a medida que se va enfriando.

Gráfica decreciente de la temperatura de un líquido: de 100 °C en el minuto 0 a unos 14 °C en el minuto 60

a) Escriba la temperatura cuando han pasado 5 minutos.

b) ¿Cuántos minutos han pasado cuando la temperatura es de $50^{\circ} C$ ?

La ecuación de la gráfica para los valores positivos de $x$ puede escribirse en la forma

$y = 100 (5^{- 0, 02 x})$

c) Calcule la temperatura cuando han pasado 80 minutos.

d) Escriba la ecuación de la asíntota de la curva.

Ver resultado

Resultado: a) $85^{\circ} C$ ; b) $21, 5$ minutos; c) $7, 61^{\circ} C$ ; d) $y = 0$

Ver proceso y resultado

a) En la gráfica, para $t = 5$ minutos la temperatura es $85^{\circ} C$ .

b) La temperatura es $50^{\circ} C$ en $t = 21, 5$ minutos (se lee en la gráfica; también $100 \cdot 5^{- 0, 02 x} = 50$ da $x = \frac{ln 2}{0 , 02 ln 5} \approx 21, 5$ ).

c) $y = 100 \cdot 5^{- 0, 02 \cdot 80} = 100 \cdot 5^{- 1, 6} \approx 7, 61^{\circ} C$ .

d) Cuando $x \to \infty$ , $5^{- 0, 02 x} \to 0$ : la asíntota es $y = 0$ .

Resultado: a) $85^{\circ} C$ ; b) $21, 5$ minutos; c) $7, 61^{\circ} C$ ; d) $y = 0$

Ejercicio 84 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2003

En el diagrama aparece una cadena colgada entre dos ganchos, A y B. Los puntos A y B están a alturas iguales por encima del suelo. P es el punto más bajo de la cadena. El suelo se representa por el eje de las x. La abscisa x de A es $- 2$ , y la abscisa x de B es $2$ . El punto P pertenece al eje de las y.

La forma de la cadena está dada por $y = 2^{x} + 2^{- x}$ donde $- 2 \leq x \leq 2$ .

Cadena colgada y = 2^x + 2^(−x) entre x = −2 y x = 2, con los extremos A y B a la misma altura y el punto más bajo P sobre el eje vertical

a) Calcule la altura del punto $P$ .

b) Halle el recorrido de $y$ . Exprese su respuesta como un intervalo o usando símbolos de inecuación.

Ver resultado

Resultado: a) $2$ ; b) $2 \leq y \leq 4, 25$

Ver proceso y resultado

a) $P$ está en el eje $y$ ( $x = 0$ ): $y = 2^{0} + 2^{0} = 1 + 1 = 2$ . La altura de $P$ es $2$ .

b) El mínimo es $2$ (en $x = 0$ ). En los extremos, $y (\pm 2) = 2^{2} + 2^{- 2} = 4 + 0, 25 = 4, 25$ , que es el máximo. El recorrido es $[2; 4, 25]$ , es decir, $2 \leq y \leq 4, 25$ .

Resultado: a) $2$ ; b) $2 \leq y \leq 4, 25$

Ejercicio 85 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2001

El número ( $n$ ) de bacterias en una colonia después de $h$ horas viene dado por la fórmula $n = 1200 (3^{0, 25 h})$ . Inicialmente, hay 1200 bacterias en la colonia.

a) Copie y complete la tabla siguiente, que da valores de $n$ y $h$ . Dé sus respuestas a la centena más cercana.

Tiempo en horas ( $h$ )	0	1	2	3	4
N.º de bacterias ( $n$ )	1200		2100	2700

b) En papel cuadriculado, dibuje la gráfica de la función anterior. Utilice una escala de 3 cm para representar 1 hora en el eje horizontal y 4 cm para representar 1000 bacterias en el eje vertical. Rotule el gráfico claramente.

c) Use su gráfica para responder a cada una de las siguientes preguntas mostrando su método claramente.

(i) ¿Cuántas bacterias habría después de 2 horas y 40 minutos? Dé su respuesta a la centena de bacterias más cercana.

(ii) ¿Después de cuánto tiempo habrá aproximadamente 3000 bacterias? Dé su respuesta a los 10 minutos más cercanos.

Ver resultado

Resultado: a) $1600$ (con $h = 1$ ) y $3600$ (con $h = 4$ ); b) gráfica de la figura; c) (i) $\approx 2500$ bacterias; (ii) $\approx 3$ h $20$ min

Ver proceso y resultado

a) $n = 1200 \cdot 3^{0, 25 h}$ :

$h = 1$ : $1200 \cdot 3^{0, 25} \approx 1579 \approx 1600$ .
$h = 4$ : $1200 \cdot 3^{1} = 3600$ .

(Los demás valores de la tabla cuadran: $h = 2$ da $2078 \approx 2100$ y $h = 3$ da $2735 \approx 2700$ .)

Tiempo en horas ( $h$ )	0	1	2	3	4
N.º de bacterias ( $n$ )	1200	1600	2100	2700	3600

b) Se dibujan los puntos de la tabla y se unen con una curva suave creciente.

Gráfica de n = 1200 · 3^(0,25h) en papel cuadriculado, con h de 0 a 4 horas (3 cm por hora) y n de 0 a 4000 bacterias (4 cm por 1000): curva creciente desde (0; 1200) hasta (4; 3600); guías en 2 h 40 min (n ≈ 2500) y en n = 3000 (h ≈ 3 h 20 min)

c) (i) $2$ h $40$ min $= \frac{8}{3} \approx 2, 67$ h. Se sube desde ese valor del eje horizontal hasta la curva y se lee en el eje vertical: $\approx 2500$ bacterias.

(ii) Se traza la horizontal en $n = 3000$ hasta la curva y se baja al eje horizontal: $h \approx 3, 33$ h, es decir, unas $3$ h $20$ min. (Con la fórmula, $3^{0, 25 h} = 2, 5$ da $h = \frac{4 ln 2 , 5}{ln 3} \approx 3, 34$ h.)

Resultado: a) $1600$ (con $h = 1$ ) y $3600$ (con $h = 4$ ); b) gráfica de la figura; c) (i) $\approx 2500$ bacterias; (ii) $\approx 3$ h $20$ min

Ejercicio 86 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2008

(i) Considere la función $f : x \mapsto \frac{k x}{2 ^{x}}$ .

a) Sabiendo que $f (1) = 2$ , demuestre que $k = 4$ .

b) Escriba los valores de $q$ y $r$ para la siguiente tabla.

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$4$	$8$
$f (x)$	$- 8$	$0$	$2$	$q$	$1$	$r$

A medida que $x$ aumenta desde $- 1$ , la gráfica de $y = f (x)$ alcanza un valor máximo y luego decrece, comportándose asintóticamente.

c) Dibuje la gráfica de $y = f (x)$ para $- 1 \leq x \leq 8$ . Utilice una escala de 1 cm para representar 1 unidad en ambos ejes. La posición del máximo, $M$ , la intersección con el eje $y$ y el comportamiento asintótico deben mostrarse claramente.

d) Usando su calculadora de pantalla gráfica, encuentre las coordenadas de $M$ , el punto máximo en la gráfica de $y = f (x)$ .

e) Escriba la ecuación de la asíntota horizontal en la gráfica de $y = f (x)$ .

f) (i) Dibuje y rotule la recta $y = 1$ en su gráfica.

(ii) La ecuación $f (x) = 1$ tiene dos soluciones. Una de las soluciones es $x = 4$ . Use su gráfica para encontrar la otra solución.

Ver resultado

Resultado: a) $k = 4$ ; b) $q = 2$ , $r = 0, 125$ ; d) $M (1, 44; 2, 12)$ ; e) $y = 0$ ; f) (ii) $x \approx 0, 31$

Ver proceso y resultado

a) $f (1) = \frac{k \cdot 1}{2 ^{1}} = \frac{k}{2} = 2$ , luego $k = 4$ .

b) $q = f (2) = \frac{4 \cdot 2}{2 ^{2}} = 2$ y $r = f (8) = \frac{4 \cdot 8}{2 ^{8}} = \frac{32}{256} = 0, 125$ .

c) Se usan los puntos $(- 1, - 8)$ , $(0, 0)$ , $(1, 2)$ , $(2, 2)$ , $(4, 1)$ y $(8, 0, 125)$ y el máximo del apartado d).

Gráfica de f(x) = 4x/2^x para -1 ≤ x ≤ 8, con máximo M en x ≈ 1,44 y la recta y = 1 que la corta en x ≈ 0,31 y x = 4

d) Con la CPG, el máximo es $M (1, 44; 2, 12)$ . (Exactamente, $x = \frac{1}{ln 2} \approx 1, 44$ .)

e) Cuando $x \to \infty$ , $\frac{4 x}{2 ^{x}} \to 0$ : la asíntota horizontal es $y = 0$ .

f) (i) Se dibuja la recta $y = 1$ y se rotula.

(ii) La recta corta a la curva en $x = 4$ y en otro punto con $x < 1, 44$ . Con la gráfica (o la CPG), $x \approx 0, 31$ .

Resultado: a) $k = 4$ ; b) $q = 2$ , $r = 0, 125$ ; d) $M (1, 44; 2, 12)$ ; e) $y = 0$ ; f) (ii) $x \approx 0, 31$

Ejercicio 87 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2008

La temperatura en °C de una cazuela con agua tras retirarla del fuego viene dada por $T (m) = 20 + 70 \times 2, 7 2^{- 0, 4 m}$ , donde $m$ es el número de minutos transcurridos desde que se retira la cazuela del fuego.

a) Compruebe que la temperatura del agua cuando se retira del fuego es igual a 90 °C.

La siguiente tabla muestra valores de $m$ y de $T (m)$ .

$m$	$1$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$T (m)$	$66, 9$	$51, 4$	$34, 1$	$26, 3$	$22, 8$	$s$

b) (i) Escriba el valor de $s$ .

(ii) Dibuje con precisión la gráfica de $T (m)$ para $0 \leq m \leq 10$ . Utilice una escala de 1 cm para representar 1 minuto en el eje horizontal, y una escala de 1 cm para representar 10 °C en el eje vertical.

(iii) Utilice su gráfica para hallar cuánto tiempo tarda la temperatura en alcanzar un valor de 56 °C. Muestre claramente en qué consiste su método.

(iv) Escriba la temperatura que alcanza el agua cuando ha pasado mucho tiempo. Justifique su respuesta.

Considere la función $S (m) = 20 m - 40$ para $2 \leq m \leq 6$ .

La función $S (m)$ representa la temperatura de la sopa que hay en una cazuela que se ha puesto al fuego dos minutos después de haberla quitado del agua. A continuación, se empieza a calentar la sopa.

c) Dibuje con precisión la gráfica de $S (m)$ en los mismos ejes de coordenadas utilizados en el apartado (b).

d) Haga un comentario acerca del significado de la constante 20 en la fórmula de $S (m)$ en relación con la temperatura de la sopa.

e) (i) Utilice su gráfica para resolver la ecuación $S (m) = T (m)$ . Muestre claramente en qué consiste su método.

(ii) A partir de lo anterior, describa por medio de desigualdades el conjunto de valores de $m$ para los cuales $S (m) > T (m)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $T (0) = 90^{\circ} C$ ; b) (i) $s = 21, 3^{\circ} C$ ; (iii) $1, 66$ minutos; (iv) $20^{\circ} C$ ; d) la pendiente: la sopa se calienta $20^{\circ} C$ por minuto; e) (i) $m = 3, 77$ ; (ii) $3, 77 < m \leq 6$

Ver proceso y resultado

a) $T (0) = 20 + 70 \times 2, 7 2^{0} = 20 + 70 = 90^{\circ} C$ .

b) (i) $s = T (10) = 20 + 70 \times 2, 7 2^{- 4} \approx 21, 3^{\circ} C$ .

(ii) Se dibujan los puntos $(0, 90)$ , $(1; 66, 9)$ , $(2; 51, 4)$ , $(4; 34, 1)$ , $(6; 26, 3)$ , $(8; 22, 8)$ y $(10; 21, 3)$ y se unen con una curva suave decreciente, con 1 cm por minuto en el eje horizontal y 1 cm por 10 °C en el vertical.

Curva decreciente T(m) = 20 + 70e^(−0,4m) que tiende a 20, y recta creciente S(m) = 20m − 40 para 2 ≤ m ≤ 6; se cortan en (3,77; 35,4)

(iii) En la gráfica se traza la horizontal $T = 56$ hasta cortar la curva y se baja hasta el eje $m$ : $m \approx 1, 66$ minutos. (Algebraicamente, $70 \times 2, 7 2^{- 0, 4 m} = 36$ da $m = \frac{ln ( 70/36 )}{0 , 4 ln 2 , 72} \approx 1, 66$ .)

(iv) Cuando $m$ es grande, $2, 7 2^{- 0, 4 m} \to 0$ y $T (m) \to 20$ . La temperatura límite es $20^{\circ} C$ (la del ambiente).

c) $S (m) = 20 m - 40$ es una recta que pasa por $(2, 0)$ y por $(6, 80)$ ; se dibuja en los mismos ejes entre $m = 2$ y $m = 6$ (ver la figura anterior).

d) El $20$ es la pendiente: la temperatura de la sopa aumenta $20^{\circ} C$ cada minuto.

e) (i) Las dos gráficas se cortan en $m \approx 3, 77$ (con la CPG, $T \approx 35, 4^{\circ} C$ ); en la gráfica se marca el punto de corte y se lee su abscisa.

(ii) La recta está por encima de la curva a partir del corte hasta el final de su dominio: $S (m) > T (m)$ para $3, 77 < m \leq 6$ .

Ejercicio 88 DifícilIB · P2 TZ0 Mayo 2003

El número de bacterias ( $y$ ) presentes en todo momento está dado por la fórmula $y = 15000 e^{- 0, 25 t}$ , donde $t$ es el tiempo en segundos y $e = 2, 72$ expresado con 3 cifras significativas.

a) Calcule los valores de $a$ , $b$ y $c$ a la centena más próxima en la tabla a continuación:

Tiempo en segundos ( $t$ )	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Número de bacterias ( $y$ ) (centena más próxima)	$a$	11700	9100	7100	$b$	4300	3300	2600	$c$

b) En un papel milimetrado, con 1 cm por cada segundo en el eje horizontal y 1 cm por cada millar en el eje vertical, trace y rotule la gráfica que representa esta información.

c) Use la gráfica para contestar las siguientes preguntas:

(i) ¿Pasado cuántos segundos habrá 5000 bacterias? Exprese su respuesta redondeada a la décima de segundo más próxima.

(ii) ¿Cuántas bacterias habrá pasados 6,8 segundos? Exprese su respuesta redondeada a la centena de bacterias más próxima.

(iii) ¿Habrá algún momento en el cual no queden más bacterias? Explique su respuesta.

Ver resultado

Resultado: a) $a = 15000$ , $b = 5500$ , $c = 2000$ ; c) (i) $4, 4$ s; (ii) $\approx 2700$ bacterias; (iii) no, $y$ se acerca a $0$ pero nunca llega a ser $0$

Ver proceso y resultado

a) Con $e = 2, 72$ y $y = 15000 e^{- 0, 25 t}$ :

$a = y (0) = 15000$ ; $b = y (4) = 15000 \cdot 2, 7 2^{- 1} \approx 5515 \approx 5500$ ; $c = y (8) = 15000 \cdot 2, 7 2^{- 2} \approx 2027 \approx 2000$ .

b) Se dibujan los puntos de la tabla y se unen con una curva suave decreciente.

Gráfica de y = 15000 e^(−0,25t) para 0 ≤ t ≤ 9 en papel milimetrado: curva decreciente desde (0; 15000) hasta (9; unas 1600), con los puntos de la tabla, la guía horizontal en y = 5000 (t ≈ 4,4 s) y la guía vertical en t = 6,8 s (y ≈ 2700)

c) (i) En la gráfica, $y = 5000$ se alcanza en $t \approx 4, 4$ s. (Con la fórmula, $t = \frac{ln 3}{0 , 25 ln 2 , 72} \approx 4, 39$ .)

(ii) Para $t = 6, 8$ s, en la gráfica se leen unas $2700$ bacterias. (Con la fórmula, $15000 \cdot 2, 7 2^{- 1, 7} \approx 2737$ , que a la centena más próxima es $2700$ .)

(iii) No. Como $e^{- 0, 25 t} > 0$ para todo $t$ , $y$ nunca vale $0$ : la curva se aproxima al eje $t$ (la recta $y = 0$ es asíntota horizontal) sin tocarlo.

Resultado: a) $a = 15000$ , $b = 5500$ , $c = 2000$ ; c) (i) $4, 4$ s; (ii) $\approx 2700$ bacterias; (iii) no, $y$ se acerca a $0$ pero nunca llega a ser $0$

Potencias enteras, asíntotas y gráficas

Ejercicio 89 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2007

Una función $g$ es tal que $g (x) = \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}}$ .

(i) Indique el dominio de la función $g (x)$ .

(ii) Indique el rango de la función $g (x)$ .

(iii) Escriba la ecuación de la asíntota vertical.

Ver resultado

Resultado: i) $x \in R, x \neq = 2$ ; ii) $g (x) > 0$ , es decir, $] 0, + \infty [$ ; iii) $x = 2$

Ver proceso y resultado

$g (x) = \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}}$ no existe cuando el denominador es cero: $x = 2$ .
Dominio: $x \in R$ , $x \neq = 2$ .

ii)

El numerador es $3 > 0$ y $(x - 2)^{2} > 0$ para $x \neq = 2$ , luego $g (x) > 0$ .
Cuando $x$ se acerca a $2$ , $g (x)$ crece sin límite, y cuando $∣ x ∣$ es muy grande, $g (x)$ se acerca a $0$ sin llegar a valer $0$ .
Rango: $g (x) > 0$ , es decir, $] 0, + \infty [$ .

iii) El denominador se anula en $x = 2$ y el numerador no: asíntota vertical $x = 2$ .

Resultado: i) $x \in R, x \neq = 2$ ; ii) $g (x) > 0$ , es decir, $] 0, + \infty [$ ; iii) $x = 2$

Ejercicio 90 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2006

a) Dibuje la gráfica de $y = 3 + \frac{3}{x - 1}$ para $- 10 \leq x \leq 10$ .

Ejes cartesianos vacíos con cuadrícula, para dibujar y = 3 + 3/(x − 1) entre −10 y 10

b) Escriba las ecuaciones de

(i) la asíntota horizontal

(ii) la asíntota vertical.

Ver resultado

Resultado: a) gráfica de la figura; b) (i) $y = 3$ ; (ii) $x = 1$

Ver proceso y resultado

$y = 3 + \frac{3}{x - 1}$ es la gráfica de $y = \frac{3}{x}$ desplazada $1$ a la derecha y $3$ hacia arriba.
Asíntotas: $x = 1$ e $y = 3$ .
Puntos: $(0, 0)$ , $(2, 6)$ , $(4, 4)$ ; en $x = - 10$ , $y \approx 2, 73$ .

Gráfica de y = 3 + 3/(x − 1) para −10 ≤ x ≤ 10, con ejes x de −10 a 10 e y de −16 a 16: asíntota vertical x = 1 y asíntota horizontal y = 3; corta el eje x en (0; 0) y pasa por (2; 6) y (4; 4)

(i) Cuando $∣ x ∣ \to \infty$ , $\frac{3}{x - 1} \to 0$ y $y \to 3$ : asíntota horizontal $y = 3$ .

(ii) El denominador se anula en $x = 1$ : asíntota vertical $x = 1$ .

Resultado: a) gráfica de la figura; b) (i) $y = 3$ ; (ii) $x = 1$

Ejercicio 91 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2017

La siguiente figura muestra una parte del gráfico de la función $y = f (x)$ . El gráfico pasa por el punto $A (1, 3)$ .

Plano con ejes x e y de −5 a 5, gráfica de una función con rama izquierda que corta el eje x en (−2; 0) y rama derecha que pasa por A(1; 3), con asíntotas x = 0 e y = 1

a) Escriba el valor de $f (1)$ .

La tangente al gráfico de $y = f (x)$ en $A$ tiene por ecuación $y = - 2 x + 5$ .

Sea $N$ la normal al gráfico de $y = f (x)$ en $A$ .

b) Halle la ecuación de $N$ . Dé la respuesta en la forma $a x + b y + d = 0$ donde $a$ , $b$ , $d \in Z$ .

c) Dibuje con precisión la recta $N$ , en la misma figura que aparece más arriba.

Ver resultado

Resultado: a) $f (1) = 3$ ; b) $x - 2 y + 5 = 0$ ; c) recta $N$ dibujada (ver figura)

Ver proceso y resultado

El punto $A (1, 3)$ está en la gráfica, luego $f (1) = 3$ .

La tangente $y = - 2 x + 5$ tiene pendiente $- 2$ .
La normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es $\frac{1}{2}$ .
Pasa por $A (1, 3)$ : $y - 3 = \frac{1}{2} (x - 1) \Rightarrow 2 y - 6 = x - 1 \Rightarrow x - 2 y + 5 = 0.$

Tabla de puntos de $N$ : $(- 5, 0)$ , $(- 1, 2)$ , $(1, 3)$ y $(5, 5)$ .
Se traza la recta que los une, con pendiente $\frac{1}{2}$ .

Gráfica de f(x) = 2/x + 1 en gris, con la recta N en trazo oscuro que pasa por (-5; 0), (1; 3) y (5; 5); cuadrícula de 1 unidad

Resultado: a) $f (1) = 3$ ; b) $x - 2 y + 5 = 0$ ; c) recta $N$ dibujada (ver figura)

Ejercicio 92 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2006

Las siguientes figuras muestran las gráficas de $y = f (x)$ con $f (x)$ representada por varias funciones cúbicas. El valor de $a$ es positivo.

Cinco gráficas cúbicas sin escala (A a E) con los puntos marcados con a en los ejes

a) En el cuadro que figura debajo, escriba la letra correspondiente a la gráfica de $y = f (x)$ en el espacio junto a la función cúbica.

Nota: una de las gráficas no está representada en este cuadro.

Función cúbica $f (x)$	Letra de la gráfica
$f (x) = x^{3} + a$
$f (x) = (x - a)^{3} + a$
$f (x) = x^{3}$
$f (x) = (x - a)^{3}$

b) Indique cuál de las gráficas representa una función que es creciente para todo valor de $x$ .

c) Indique cuántas de las gráficas tienen el eje $x$ como tangente en algún punto.

Ver resultado

Resultado: a) $x^{3} + a$ : B; $(x - a)^{3} + a$ : E; $x^{3}$ : C; $(x - a)^{3}$ : D; b) A; c) dos (C y D)

Ver proceso y resultado

a) Cada función es una cúbica con un punto de inflexión de tangente horizontal; hay que ver dónde está:

$f (x) = x^{3} + a$ : es $x^{3}$ subida $a$ unidades, con inflexión en $(0, a)$ , sobre el eje $y$ : B.
$f (x) = (x - a)^{3} + a$ : $x^{3}$ trasladada $a$ a la derecha y $a$ hacia arriba, con inflexión en $(a, a)$ : E.
$f (x) = x^{3}$ : inflexión en el origen: C.
$f (x) = (x - a)^{3}$ : inflexión en $(a, 0)$ , sobre el eje $x$ : D.

La gráfica A no aparece en el cuadro.

b) En A la curva no tiene ningún tramo horizontal: su pendiente es siempre positiva, así que es creciente para todo $x$ . En las demás hay un punto con pendiente $0$ . La respuesta es A.

c) El eje $x$ es tangente donde la curva toca al eje con pendiente cero: en C, en el origen, y en D, en $(a, 0)$ . En B y E el tramo horizontal está a altura $a > 0$ , y A corta al eje sin ser tangente. Son dos gráficas.

Resultado: a) $x^{3} + a$ : B; $(x - a)^{3} + a$ : E; $x^{3}$ : C; $(x - a)^{3}$ : D; b) A; c) dos (C y D)

Funciones circulares y modelos periódicos

Ejercicio 93 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2003

Sea la función $f (x) = 2 sin x - 1$ , con $0^{\circ} \leq x \leq 72 0^{\circ}$ .

a) Escriba el período de la función.

b) Halle el valor mínimo de la función.

c) Resuelva la ecuación $f (x) = 1$ .

Ver resultado

Resultado: a) $36 0^{\circ}$ ; b) $- 3$ ; c) $x = 9 0^{\circ}$ y $x = 45 0^{\circ}$

Ver proceso y resultado

a) Para $f (x) = 2 sen x - 1$ , el periodo es el de $sen x$ : $36 0^{\circ}$ .

b) El mínimo de $sen x$ es $- 1$ , luego $f_{m i n} = 2 (- 1) - 1 = - 3$ .

$2 sen x - 1 = 1 \Rightarrow sen x = 1$ .
En $0^{\circ} \leq x \leq 72 0^{\circ}$ : $x = 9 0^{\circ}$ y $x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 45 0^{\circ}$ .

Resultado: a) $36 0^{\circ}$ ; b) $- 3$ ; c) $x = 9 0^{\circ}$ y $x = 45 0^{\circ}$

Ejercicio 94 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2013

Considere la función $f (x) = - 2 cos (x) + 1$ , donde $- 18 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ .

a) Para la función $f (x)$ , escriba

(i) el período;

(ii) la amplitud.

b) Halle el recorrido de $f (x)$ .

c) Halle cuántas soluciones tiene la ecuación $f (x) = 1$ en el dominio dado.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $36 0^{\circ}$ ; (ii) $2$ ; b) $[- 1, 3]$ ; c) $3$ soluciones

Ver proceso y resultado

a) Para $f (x) = - 2 cos (x) + 1$ :

(i) Periodo $= 36 0^{\circ}$ .

(ii) Amplitud $= ∣ - 2∣ = 2$ .

$- 1 \leq cos x \leq 1 \Rightarrow - 2 \leq - 2 cos x \leq 2$ .
Sumando $1$ : $- 1 \leq f (x) \leq 3$ . Recorrido $[- 1, 3]$ .

$- 2 cos x + 1 = 1 \Rightarrow cos x = 0$ .
En $- 18 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ : $x = - 9 0^{\circ}$ , $x = 9 0^{\circ}$ y $x = 27 0^{\circ}$ .
Hay $3$ soluciones.

Resultado: a) (i) $36 0^{\circ}$ ; (ii) $2$ ; b) $[- 1, 3]$ ; c) $3$ soluciones

Ejercicio 95 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2001

El siguiente gráfico muestra parte de la función $y = 2 sin x + 3$ .

Gráfica de y = 2 sen x + 3 en papel cuadriculado, para x entre 0° y 450°, con máximo 5 en 90° y mínimo 1 en 270°

a) Escriba el dominio de la parte de la función que se muestra en la gráfica.

b) Escriba el rango de la parte de la función que se muestra en la gráfica.

Ver resultado

Resultado: a) $[0^{\circ}, 45 0^{\circ}]$ ; b) $[1, 5]$

Ver proceso y resultado

a) La parte dibujada va desde $x = 0^{\circ}$ hasta $x = 45 0^{\circ}$ : dominio $0^{\circ} \leq x \leq 45 0^{\circ}$ .

b) El valor máximo es $2 \cdot 1 + 3 = 5$ y el mínimo $2 \cdot (- 1) + 3 = 1$ : rango $1 \leq y \leq 5$ .

Resultado: a) $[0^{\circ}, 45 0^{\circ}]$ ; b) $[1, 5]$

Ejercicio 96 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2007

La siguiente figura muestra el conjunto $U$ de todas las funciones de $x$ . $A$ es el conjunto de todas las funciones seno y coseno de $x$ (en grados). $B$ es el conjunto de todas las funciones de $x$ con periodo igual a $12 0^{\circ}$ . $C$ es el subconjunto de $A$ que contiene funciones cuya amplitud es igual a 3.

Diagrama de Venn dentro de un rectángulo U: círculo grande A, círculo pequeño C totalmente dentro de A y círculo B que se solapa con A y con C

Escriba las siguientes funciones en el lugar correcto del diagrama de Venn.

(Si lo prefiere, puede utilizar los números del (i) al (vi) para que quepan mejor.)

(i) $sen (x)$ ,

(ii) $x^{2}$ ,

(iii) $3 cos (x)$ ,

(iv) $2 sen (3 x)$ ,

(v) $3 cos (3 x)$ ,

(vi) $- 3 sen (2 x)$ .

Ver resultado

Resultado: (i) solo en $A$ ; (ii) fuera de $A$ , $B$ y $C$ ; (iii) en $A \cap C$ fuera de $B$ ; (iv) en $A \cap B$ fuera de $C$ ; (v) en $A \cap B \cap C$ ; (vi) en $A \cap C$ fuera de $B$

Ver proceso y resultado

Clasificamos cada función según tres preguntas: ¿es seno o coseno ( $A$ )?, ¿tiene periodo $12 0^{\circ}$ ( $B$ )?, ¿tiene amplitud $3$ ( $C$ )?

(i) $sen (x)$ : seno, periodo $36 0^{\circ}$ , amplitud $1$ : solo en $A$ .
(ii) $x^{2}$ : ni seno ni coseno, no periódica: fuera de $A$ , $B$ y $C$ (dentro de $U$ ).
(iii) $3 cos (x)$ : coseno, periodo $36 0^{\circ}$ , amplitud $3$ : en $A$ y $C$ , fuera de $B$ .
(iv) $2 sen (3 x)$ : periodo $\frac{36 0 ^{\circ}}{3} = 12 0^{\circ}$ , amplitud $2$ : en $A$ y $B$ , fuera de $C$ .
(v) $3 cos (3 x)$ : periodo $12 0^{\circ}$ y amplitud $3$ : en $A$ , $B$ y $C$ .
(vi) $- 3 sen (2 x)$ : periodo $18 0^{\circ}$ , amplitud $3$ : en $A$ y $C$ , fuera de $B$ .

Diagrama de Venn dentro del rectángulo U: el círculo grande A, el círculo C dentro de A y el círculo B, que corta a A y a C; los números romanos (i) a (vi) están en la región que corresponde a cada función: (i) solo en A, (ii) fuera de A, B y C, (iii) y (vi) en C fuera de B, (iv) en A y B fuera de C, (v) en A, B y C

Resultado: (i) solo en $A$ ; (ii) fuera de $A$ , $B$ y $C$ ; (iii) en $A \cap C$ fuera de $B$ ; (iv) en $A \cap B$ fuera de $C$ ; (v) en $A \cap B \cap C$ ; (vi) en $A \cap C$ fuera de $B$

Ejercicio 97 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2000

a) Para $y = 0, 5 cos (0, 5 x)$ , calcule

(i) la amplitud;

(ii) el periodo.

b) Sea $y = - 3 sin x + 2$ , donde $9 0^{\circ} \leq x \leq 27 0^{\circ}$ .

Al dibujar la gráfica de $y$ o de otro modo, complete la tabla siguiente para los valores dados de $y$ .

$x$	$y$
	$- 1$
	$2$

Ver resultado

Resultado: a) (i) amplitud $0, 5$ ; (ii) periodo $72 0^{\circ}$ ; b) $x = 9 0^{\circ}$ para $y = - 1$ y $x = 18 0^{\circ}$ para $y = 2$

Ver proceso y resultado

a) Para $y = 0, 5 cos (0, 5 x)$ :

(i) La amplitud es el coeficiente $0, 5$ .

(ii) El periodo es $\frac{36 0 ^{\circ}}{0 , 5} = 72 0^{\circ}$ .

b) $y = - 3 sen x + 2$ , $9 0^{\circ} \leq x \leq 27 0^{\circ}$ .

$y = - 1$ : $- 3 sen x + 2 = - 1 \Rightarrow sen x = 1 \Rightarrow x = 9 0^{\circ}$ .
$y = 2$ : $- 3 sen x + 2 = 2 \Rightarrow sen x = 0 \Rightarrow x = 18 0^{\circ}$ (en el intervalo dado).

$x$	$y$
$9 0^{\circ}$	$- 1$
$18 0^{\circ}$	$2$

Resultado: a) (i) amplitud $0, 5$ ; (ii) periodo $72 0^{\circ}$ ; b) $x = 9 0^{\circ}$ para $y = - 1$ y $x = 18 0^{\circ}$ para $y = 2$

Ejercicio 98 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2004

La curva que aparece en la figura es parte de la gráfica de la función $f (x) = 2 + sen (2 x)$ , donde $x$ se mide en grados.

Gráfica de f(x) = 2 + sen(2x), con x en grados de -180 a 240: oscila entre 1 y 3, con máximos en -135, 45 y 225 y mínimos en -45 y 135

a) Halle el recorrido de $f (x)$ .

b) Halle la amplitud de $f (x)$ .

c) Halle el período de $f (x)$ .

d) Si la función se cambia por $f (x) = 2 + sen (4 x)$ , ¿cuál es el efecto sobre el período, en relación con el período de la función original?

Ver resultado

Resultado: a) $[1, 3]$ ; b) $1$ ; c) $18 0^{\circ}$ ; d) el periodo se reduce a la mitad ( $9 0^{\circ}$ )

Ver proceso y resultado

a) $f (x) = 2 + sen (2 x)$ varía entre $2 - 1 = 1$ y $2 + 1 = 3$ : recorrido $[1, 3]$ .

b) La amplitud es el coeficiente de $sen$ : $1$ .

c) El periodo es $\frac{36 0 ^{\circ}}{2} = 18 0^{\circ}$ .

d) Con $sen (4 x)$ el periodo es $\frac{36 0 ^{\circ}}{4} = 9 0^{\circ}$ : se reduce a la mitad.

Resultado: a) $[1, 3]$ ; b) $1$ ; c) $18 0^{\circ}$ ; d) el periodo se reduce a la mitad ( $9 0^{\circ}$ )

Ejercicio 99 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2005

La gráfica representa la función $y = 4 sen (3 x)$ .

Gráfica de y = 4 sen(3x) con x en grados de 0 a 370: amplitud 4 y periodo 120 grados

a) Escriba

(i) el período de la función;

(ii) la amplitud de la función.

b) Sobre la gráfica, dibuje la recta $y = 2$ .

c) Utilizando la gráfica, o de cualquier otro modo, resuelva la ecuación $4 sen (3 x) = 2$ para $0^{\circ} \leq x \leq 9 0^{\circ}$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $12 0^{\circ}$ ; (ii) $4$ ; c) $x = 1 0^{\circ}$ y $x = 5 0^{\circ}$

Ver proceso y resultado

a) Para $y = 4 sen (3 x)$ :

(i) Periodo $= \frac{36 0 ^{\circ}}{3} = 12 0^{\circ}$ .

(ii) Amplitud $= 4$ .

b) Trazamos la recta horizontal $y = 2$ .

Gráfica de y = 4 sen(3x) con x en grados de 0 a 370 y la recta y = 2 en negro, que corta la curva en seis puntos de abscisas 10°, 50°, 130°, 170°, 250° y 290°

$4 sen (3 x) = 2 \Rightarrow sen (3 x) = 0, 5$ .
Para $0^{\circ} \leq x \leq 9 0^{\circ}$ , $3 x$ está entre $0^{\circ}$ y $27 0^{\circ}$ : $3 x = 3 0^{\circ}$ o $3 x = 15 0^{\circ}$ .
$x = 1 0^{\circ}$ y $x = 5 0^{\circ}$ .

Resultado: a) (i) $12 0^{\circ}$ ; (ii) $4$ ; c) $x = 1 0^{\circ}$ y $x = 5 0^{\circ}$

Ejercicio 100 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2005

A continuación aparecen las gráficas de tres funciones trigonométricas. La variable $x$ se mide en grados, con $0 \leq x \leq 360$ . La amplitud $a$ es una constante positiva tal que $0 < a \leq 1$ .

Tres gráficas de funciones trigonométricas: A, de y = 2 + a sen x; B, de y = a sen 2x; C, de y = a cos x, con 0 ≤ x ≤ 360 y amplitud a

a) Escriba, en la siguiente tabla, la letra de la gráfica junto a la función que la representa.

FUNCIÓN	GRÁFICA
$y = a cos (x)$
$y = a sen (2 x)$
$y = 2 + a sen (x)$

b) Determine el período de la función que aparece en la gráfica B.

c) Determine el recorrido de $y = 2 + a sen (x)$ en función de la constante $a$ .

Ver resultado

Resultado: a) $a cos (x)$ : C; $a sen (2 x)$ : B; $2 + a sen (x)$ : A; b) $18 0^{\circ}$ ; c) $[2 - a, 2 + a]$

Ver proceso y resultado

$y = a cos x$ empieza en el máximo $(0, a)$ y oscila entre $- a$ y $a$ : C.
$y = a sen (2 x)$ empieza en $0$ , oscila entre $- a$ y $a$ y completa dos ciclos en $36 0^{\circ}$ : B.
$y = 2 + a sen x$ empieza en $2$ y oscila alrededor de $2$ : A.

FUNCIÓN	GRÁFICA
$y = a cos (x)$	C
$y = a sen (2 x)$	B
$y = 2 + a sen (x)$	A

b) En la gráfica B hay dos ciclos completos en $36 0^{\circ}$ (también $\frac{36 0 ^{\circ}}{2}$ ): periodo $18 0^{\circ}$ .

c) $- 1 \leq sen x \leq 1$ implica $2 - a \leq 2 + a sen x \leq 2 + a$ : recorrido $[2 - a, 2 + a]$ .

Resultado: a) $a cos (x)$ : C; $a sen (2 x)$ : B; $2 + a sen (x)$ : A; b) $18 0^{\circ}$ ; c) $[2 - a, 2 + a]$

Ejercicio 101 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2006

La temperatura ( $^{\circ}$ C) durante un período de 24 horas en una ciudad determinada se puede modelar mediante la función $T (t) = - 3 sen (b t) + 2$ , donde $b$ es una constante, $t$ es el tiempo en horas y $b t$ se mide en grados. El gráfico de esta función se ilustra a continuación.

Gráfica de T(t) = −3 sen(15t) + 2 en grados, para 0 ≤ t ≤ 24 horas: mínimo de −1 °C a las 6 h y máximo de 5 °C a las 18 h

a) Determine cuántas veces la temperatura es exactamente 0 °C durante este período de 24 horas.

b) Escriba el momento en el que la temperatura alcanza su valor máximo.

c) Escriba el intervalo de tiempo en el que la temperatura cambia de $- 1$ °C a $2$ °C.

d) Calcule el valor de $b$ .

Ver resultado

Resultado: a) 2 veces; b) $t = 18$ h; c) $6 \leq t \leq 12$ ; d) $b = 15$

Ver proceso y resultado

Empezamos hallando $b$ (apartado d), porque lo usan los demás.

La temperatura mínima, $- 1$ °C, ocurre en $t = 6$ : $- 3 sen (6 b) + 2 = - 1 \Rightarrow sen (6 b) = 1 \Rightarrow 6 b = 9 0^{\circ}$ .
$b = 15$ . Comprobación: el periodo es $\frac{360}{15} = 24$ h y $T (18) = - 3 sen (27 0^{\circ}) + 2 = 5$ .

$T = 0 \Rightarrow - 3 sen (15 t) + 2 = 0 \Rightarrow sen (15 t) = \frac{2}{3}$ , con $0 \leq 15 t \leq 36 0^{\circ}$ .
$15 t \approx 41, 8^{\circ}$ o $138, 2^{\circ}$ , es decir, $t \approx 2, 79$ h y $t \approx 9, 21$ h.
La temperatura es $0$ °C dos veces.

b) El máximo es $5$ °C y se alcanza en $t = 18$ h (también $15 t = 27 0^{\circ}$ ).

c) La temperatura es $- 1$ °C en $t = 6$ y vuelve a ser $2$ °C en $t = 12$ (cuando $sen (15 t) = 0$ con $15 t = 18 0^{\circ}$ ). Entre medias va subiendo: $6 \leq t \leq 12$ .

Resultado: a) 2 veces; b) $t = 18$ h; c) $6 \leq t \leq 12$ ; d) $b = 15$

Ejercicio 102 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2007

a) Dibuje la gráfica de la función $y = 1 + \frac{sen ( 2 x )}{2}$ para $0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ en los siguientes ejes.

Ejes cartesianos vacíos con cuadrícula para dibujar y = 1 + sen(2x)/2, con x de 0 a 360 grados y y de -2 a 2

b) Escriba el período de la función.

c) Escriba la amplitud de la función.

Ver resultado

Resultado: a) gráfica de la figura; b) $18 0^{\circ}$ ; c) $0, 5$

Ver proceso y resultado

$y = 1 + \frac{sen ( 2 x )}{2}$ es $sen (2 x)$ con amplitud $0, 5$ , subida $1$ unidad.
Oscila entre $0, 5$ y $1, 5$ , con recta media $y = 1$ .
Puntos clave: $(0, 1)$ , $(4 5^{\circ}, 1, 5)$ , $(9 0^{\circ}, 1)$ , $(13 5^{\circ}, 0, 5)$ , $(18 0^{\circ}, 1)$ , $(22 5^{\circ}, 1, 5)$ , $(27 0^{\circ}, 1)$ , $(31 5^{\circ}, 0, 5)$ , $(36 0^{\circ}, 1)$ .

Gráfica de y = 1 + ½ sen(2x) para 0° ≤ x ≤ 360° sobre los ejes del enunciado: oscila entre 0,5 y 1,5, con máximos en x = 45° y 225°, mínimos en x = 135° y 315°, y corta la recta y = 1 en 0°, 90°, 180°, 270° y 360°

b) Periodo $= \frac{36 0 ^{\circ}}{2} = 18 0^{\circ}$ .

c) Amplitud $= \frac{1}{2} = 0, 5$ .

Resultado: a) gráfica de la figura; b) $18 0^{\circ}$ ; c) $0, 5$

Ejercicio 103 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2007

A continuación se muestra la gráfica de $y = a sen 2 x + c$ , $- 180 \leq x \leq 360$ , donde $x$ está en grados.

Gráfica de y = 2 sen(2x) + 1 con x en grados de -180 a 360: máximos de 3 y mínimos de -1

a) Establezca:

(i) el período de la función,

(ii) la amplitud de la función.

b) Determine los valores de $a$ y $c$ .

c) Calcule el valor de la primera intersección con el semieje $x$ negativo.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $18 0^{\circ}$ ; (ii) $2$ ; b) $a = 2$ , $c = 1$ ; c) $x = - 7 5^{\circ}$

Ver proceso y resultado

(i) El máximo está en $x = - 13 5^{\circ}$ y el siguiente en $x = 4 5^{\circ}$ : periodo $18 0^{\circ}$ (coincide con $\frac{36 0 ^{\circ}}{2}$ ).

(ii) El máximo es $3$ y el mínimo $- 1$ : amplitud $\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2$ .

$a$ es la amplitud: $a = 2$ .
$c$ es la recta media: $c = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1$ (coincide con $y (0) = 1$ ).

$2 sen (2 x) + 1 = 0 \Rightarrow sen (2 x) = - \frac{1}{2}$ .
Con $- 18 0^{\circ} \leq x < 0$ , $2 x$ está entre $- 36 0^{\circ}$ y $0^{\circ}$ : $2 x = - 15 0^{\circ}$ o $2 x = - 3 0^{\circ}$ , es decir, $x = - 7 5^{\circ}$ o $x = - 1 5^{\circ}$ .
La primera intersección con el semieje $x$ negativo (empezando por el extremo izquierdo de la gráfica) es $x = - 7 5^{\circ}$ .

Resultado: a) (i) $18 0^{\circ}$ ; (ii) $2$ ; b) $a = 2$ , $c = 1$ ; c) $x = - 7 5^{\circ}$

Ejercicio 104 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2008

La profundidad, en metros, del agua en un puerto está dada por la función $d = 4 sen (0, 5 t^{\circ}) + 7$ , donde $t$ está en minutos, $0 \leq t \leq 1440$ .

a) Escriba la amplitud de $d$ .

b) Encuentre el valor máximo de $d$ .

c) Encuentre el período de $d$ . Dé su respuesta en horas.

El martes, el valor mínimo de $d$ se produce a las 14:00.

d) Encuentre cuándo ocurre el próximo valor máximo de $d$ .

Ver resultado

Resultado: a) $4$ m; b) $11$ m; c) $12$ horas; d) a las $20 : 00$ horas

Ver proceso y resultado

a) En $d = 4 sen (0, 5 t^{\circ}) + 7$ , la amplitud es $4$ m.

b) El máximo es $7 + 4 = 11$ m.

Periodo en minutos: $\frac{360}{0 , 5} = 720$ min.
En horas: $\frac{720}{60} = 12$ horas.

d) El máximo ocurre medio periodo ( $6$ h) después del mínimo: $14 : 00 + 6 h = 20 : 00$ .

Resultado: a) $4$ m; b) $11$ m; c) $12$ horas; d) a las $20 : 00$ horas

Ejercicio 105 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2010

a) Dibuje aproximadamente la gráfica de esta función, $y = 3 cos (2 x) + 1$ , para $0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}$ .

Ejes cartesianos vacíos con cuadrícula para dibujar y = 3 cos(2x) + 1, con x de 0 a 180 grados

b) Escriba el período de la función.

c) Utilizando la calculadora de pantalla gráfica, halle el menor valor de $x$ , $0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}$ , para el cual se cumple $3 cos (2 x) + 1 = 2$ .

Ver resultado

Resultado: a) gráfica de la figura; b) $18 0^{\circ}$ ; c) $x \approx 35, 3^{\circ}$

Ver proceso y resultado

Amplitud $3$ , periodo $\frac{36 0 ^{\circ}}{2} = 18 0^{\circ}$ , recta media $y = 1$ : oscila entre $- 2$ y $4$ .
Puntos clave: $(0^{\circ}, 4)$ , $(9 0^{\circ}, - 2)$ , $(18 0^{\circ}, 4)$ y la curva pasa por $y = 1$ en $x = 4 5^{\circ}$ y $x = 13 5^{\circ}$ .

Gráfica de y = 3 cos(2x) + 1 para 0° ≤ x ≤ 180°: empieza en el máximo (0; 4), pasa por (45°; 1), llega al mínimo (90°; −2), vuelve por (135°; 1) y termina en el máximo (180°; 4); la recta y = 2 la corta en x ≈ 35,3° y x ≈ 144,7°

b) El periodo es $18 0^{\circ}$ .

$3 cos (2 x) + 1 = 2 \Rightarrow cos (2 x) = \frac{1}{3}$ .
Con la CPG (intersección de la curva con $y = 2$ ), el menor valor es $x \approx 35, 3^{\circ}$ .

Resultado: a) gráfica de la figura; b) $18 0^{\circ}$ ; c) $x \approx 35, 3^{\circ}$

Ejercicio 106 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2012

La temperatura $T$ del agua de un lago, en $^{\circ}$ C, en un período de 24 horas viene dada por la función trigonométrica $T (t) = - 2 cos (b t) + 20$ , donde $b$ es una constante y $t$ es el tiempo en horas a partir de la medianoche. El gráfico de la función se muestra a continuación.

Gráfica de la temperatura T(t) = −2 cos(15t) + 20 del agua de un lago en 24 horas: mínimo de 18 °C a medianoche y máximo de 22 °C a las 12 h

a) Escriba el tiempo en el que el agua alcanza su temperatura máxima.

b) Anote la temperatura a las 06:00.

c) Escriba el intervalo de tiempo durante el cual la temperatura es superior a 20 °C.

d) Calcule el valor de $b$ .

Ver resultado

Resultado: a) $t = 12$ h; b) $20$ °C; c) $6 < t < 18$ ; d) $b = 15$

Ver proceso y resultado

a) El máximo de $22$ °C se alcanza en $t = 12$ h.

b) A las 06:00 ( $t = 6$ ), $T = 20$ °C.

c) La temperatura supera los $20$ °C entre los puntos $(6, 20)$ y $(18, 20)$ : $6 < t < 18$ .

d) El mínimo está en $t = 0$ y el máximo en $t = 12$ , luego el periodo es $24$ h y $b = \frac{360}{24} = 15$ .

Resultado: a) $t = 12$ h; b) $20$ °C; c) $6 < t < 18$ ; d) $b = 15$

Ejercicio 107 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2012

En el siguiente diagrama se muestra el gráfico de $f (x)$ y de $g (x)$ para $0^{\circ} \leq x \leq 72 0^{\circ}$ . $P$ es un punto de intersección de los dos gráficos.

Gráficas de f(x) = 1 + 3 sen(x/2) (naranja, con x en grados de 0 a 720) y de la recta g(x) = −1 (azul), que se cortan en P (x ≈ 443,6)

Sea $f (x) = a sen (b x^{\circ}) + 1$ .

a) (i) Escriba el valor de $a$ .

(ii) Halle el valor de $b$ .

b) Utilice la calculadora de pantalla gráfica para hallar la coordenada $x$ de $P$ . Dé la respuesta redondeando a dos cifras decimales.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $a = 3$ ; (ii) $b = 0, 5$ ; b) $x \approx 443, 6 2^{\circ}$

Ver proceso y resultado

(i) El máximo de $f$ es $4 = a + 1$ , luego $a = 3$ .

(ii) El máximo está en $x = 18 0^{\circ}$ y el mínimo en $x = 54 0^{\circ}$ : el periodo es $72 0^{\circ}$ . Entonces $b = \frac{360}{720} = \frac{1}{2}$ .

$P$ cumple $f (x) = g (x) = - 1$ : $3 sen (0, 5 x) + 1 = - 1 \Rightarrow sen (0, 5 x) = - \frac{2}{3}$ .
Con la CPG, en $0^{\circ} \leq x \leq 72 0^{\circ}$ se obtienen $x \approx 443, 6 2^{\circ}$ (el punto $P$ ) y $x \approx 636, 3 8^{\circ}$ .
La coordenada $x$ de $P$ es $443, 6 2^{\circ}$ .

Resultado: a) (i) $a = 3$ ; (ii) $b = 0, 5$ ; b) $x \approx 443, 6 2^{\circ}$

Ejercicio 108 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2012

La gráfica de la función $f (x) = a sen (b x) + c$ se muestra a continuación para $- 9 0^{\circ} \leq x \leq 27 0^{\circ}$ .

Gráfica de f(x) = 4 + 2 sen(3x) con x en grados de -90 a 270: máximos de 6 y mínimos de 2

a) Encuentre el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ ;

(iii) $c$ .

b) Utilice su calculadora de pantalla gráfica para resolver la ecuación $f (x) = 3$ para $3 0^{\circ} \leq x \leq 15 0^{\circ}$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $a = 2$ ; (ii) $b = 3$ ; (iii) $c = 4$ ; b) $x = 7 0^{\circ}$ y $x = 11 0^{\circ}$

Ver proceso y resultado

Máximo $6$ y mínimo $2$ : (i) $a = \frac{6 - 2}{2} = 2$ .
Máximos en $x = 3 0^{\circ}$ y $x = 15 0^{\circ}$ : el periodo es $12 0^{\circ}$ , luego (ii) $b = \frac{360}{120} = 3$ .
(iii) $c = \frac{6 + 2}{2} = 4$ (comprobación: $f (0) = 4$ ).

$2 sen (3 x) + 4 = 3 \Rightarrow sen (3 x) = - \frac{1}{2}$ .
Con $3 0^{\circ} \leq x \leq 15 0^{\circ}$ , $3 x$ está entre $9 0^{\circ}$ y $45 0^{\circ}$ : $3 x = 21 0^{\circ}$ o $33 0^{\circ}$ .
$x = 7 0^{\circ}$ y $x = 11 0^{\circ}$ .

Resultado: a) (i) $a = 2$ ; (ii) $b = 3$ ; (iii) $c = 4$ ; b) $x = 7 0^{\circ}$ y $x = 11 0^{\circ}$

Ejercicio 109 DifícilIB · P2 TZ0 Mayo 2002

El siguiente gráfico muestra las alturas de las mareas, $h$ metros, en el tiempo $t$ horas después de la medianoche, para la isla de Tahini.

Gráfica de la altura de la marea h (m) en función de la hora t, con mínimo de 1,5 m a las 4 h y máximos de 4,5 m a las 0 h y 8 h

a) Utilice la gráfica para encontrar

(i) la altura de la marea a las 03:15;

(ii) las horas en que la altura de la marea es de 3,5 metros.

b) El mejor momento para pescar es cuando la marea está por debajo de los 3 metros. Encuentre el mejor momento, dando su respuesta como una desigualdad en $t$ .

Debido a la ubicación de la isla Tahini, hay muy poca variación en el patrón de alturas de marea. La altura máxima de la marea es de 4,5 metros y la marea mínima la altura es de 1,5 metros. La altura $h$ puede ser modelada por la función $h (t) = a cos (b t^{\circ}) + 3$ .

c) Utilice la gráfica anterior para encontrar los valores de las variables $a$ y $b$ .

d) Usando lo anterior, calcule la altura de la marea a las 13:00.

e) ¿A qué hora estaría la marea en su punto más bajo en las segundas 8 horas de período?

Ver resultado

Resultado: a) (i) $1, 75$ m; (ii) $t \approx 1, 57$ h (01:34) y $t \approx 6, 43$ h (06:26); b) $2 < t < 6$ ; c) $a = 1, 5$ , $b = 45$ ; d) $\approx 1, 94$ m; e) a las 12:00

Ver proceso y resultado

(i) En la gráfica, a las 03:15 ( $t = 3, 25$ ) la altura es $h \approx 1, 75$ m.

(ii) En la gráfica, la altura $3, 5$ m se alcanza dos veces: una vez bajando, entre $t = 1$ y $t = 2$ , y otra subiendo, entre $t = 6$ y $t = 7$ . Con el modelo del apartado c), $3 + 1, 5 cos (45 t^{\circ}) = 3, 5$ da $cos (45 t^{\circ}) = \frac{1}{3}$ , luego $45 t = 70, 5 3^{\circ}$ o $289, 4 7^{\circ}$ : $t \approx 1, 57 h (01:34) y t \approx 6, 43 h (06:26) .$

La marea está por debajo de $3$ m entre los puntos $(2, 3)$ y $(6, 3)$ de la gráfica.
El mejor momento es $2 < t < 6$ .

Amplitud: $a = \frac{4 , 5 - 1 , 5}{2} = 1, 5$ . La recta media es $h = 3$ , como en la fórmula.
En $t = 0$ la altura es máxima y el siguiente máximo es en $t = 8$ : periodo $8$ h.
$8 = \frac{360}{b} \Rightarrow b = 45$ .

d) A las 13:00, $t = 13$ : $h (13) = 1, 5 cos (45 \cdot 1 3^{\circ}) + 3 = 1, 5 cos (58 5^{\circ}) + 3 \approx 1, 94$ m.

e) El periodo es de $8$ h y el mínimo ocurre en $t = 4$ . En las segundas $8$ horas ( $8 \leq t \leq 16$ ) el mínimo está en $t = 4 + 8 = 12$ , es decir, a las 12:00 del mediodía.

Resultado: a) (i) $1, 75$ m; (ii) $t \approx 1, 57$ h (01:34) y $t \approx 6, 43$ h (06:26); b) $2 < t < 6$ ; c) $a = 1, 5$ , $b = 45$ ; d) $\approx 1, 94$ m; e) a las 12:00

Ejercicio 110 DifícilIB · P1 TZ0 Noviembre 2008

La siguiente figura muestra las gráficas de dos funciones seno, $f (x)$ y $g (x)$ , para $- 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}$ .

Gráficas de f(x) = sen(2x) (curva naranja, de -1 a 1) y g(x) = 1,5 sen(x) + 0,5 (curva azul, de -1 a 2), con x en grados de -180 a 180

a) Escriba:

(i) la ecuación de $f (x)$ ;

(ii) la ecuación de $g (x)$ .

b) Utilice la calculadora de pantalla gráfica para resolver la ecuación $f (x) = g (x)$ en el intervalo $- 9 0^{\circ} \leq x \leq 9 0^{\circ}$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $f (x) = sen (2 x)$ ; (ii) $g (x) = 1, 5 sen (x) + 0, 5$ ; b) $x \approx - 62, 1^{\circ}$

Ver proceso y resultado

(i) $f$ oscila entre $- 1$ y $1$ , pasa por el origen y tiene máximos en $x = - 13 5^{\circ}$ y $4 5^{\circ}$ , así que su periodo es $18 0^{\circ}$ y $f (x) = sen (2 x)$ .

(ii) $g$ oscila entre $- 1$ y $2$ : amplitud $\frac{2 - ( - 1 )}{2} = 1, 5$ y recta media $\frac{2 + ( - 1 )}{2} = 0, 5$ . Máximo en $x = 9 0^{\circ}$ y periodo $36 0^{\circ}$ : $g (x) = 1, 5 sen (x) + 0, 5$ (comprobación: $g (0) = 0, 5$ ).

Con la CPG, resolvemos $sen (2 x) = 1, 5 sen (x) + 0, 5$ en $- 9 0^{\circ} \leq x \leq 9 0^{\circ}$ .
La única solución es $x \approx - 62, 1^{\circ}$ .

Resultado: a) (i) $f (x) = sen (2 x)$ ; (ii) $g (x) = 1, 5 sen (x) + 0, 5$ ; b) $x \approx - 62, 1^{\circ}$

Ejercicio 111 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2008

El siguiente gráfico representa la temperatura (T ° Celsius) en Washington medida al mediodía durante un período de trece días consecutivos a partir del día 0.

Gráfico de puntos unidos por segmentos de la temperatura T al mediodía durante 13 días (x = 0 a 12), con el eje T cortado entre 0 y 16

Estos puntos también se encuentran en la gráfica de la función $T (x) = a + b cos (c x^{\circ})$ , $0 \leq x \leq 12$ , donde $a$ , $b$ y $c \in R$ .

a) Encuentre el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ .

b) Muestre que $c = 30$ .

c) Usando la gráfica, o de otra manera, escriba la parte del dominio para la cual la temperatura del mediodía es inferior a $18, 5^{\circ}$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $a = 19$ ; (ii) $b = 2$ ; b) $c = 30$ (demostrado); c) $3, 48 < x < 8, 52$

Ver proceso y resultado

La temperatura máxima es $21$ y la mínima $17$ .
(i) $a$ es la recta media: $a = \frac{21 + 17}{2} = 19$ .
(ii) $b$ es la amplitud: $b = \frac{21 - 17}{2} = 2$ (positiva, porque en $x = 0$ está el máximo: $19 + 2 = 21$ ).

La temperatura mínima, $17$ , se alcanza por primera vez en $x = 6$ : $19 + 2 cos (6 c^{\circ}) = 17$ .
$cos (6 c^{\circ}) = - 1 \Rightarrow 6 c = 180 \Rightarrow c = 30$ .
Comprobación: el periodo es $\frac{360}{30} = 12$ días, y la temperatura vuelve a ser $21$ en $x = 12$ .

$T (x) = 19 + 2 cos (30 x^{\circ}) < 18, 5 \Rightarrow cos (30 x^{\circ}) < - 0, 25$ .
$cos (30 x^{\circ}) = - 0, 25$ para $30 x \approx 104, 4 8^{\circ}$ y $30 x \approx 255, 5 2^{\circ}$ , es decir, $x \approx 3, 48$ y $x \approx 8, 52$ .
La temperatura del mediodía es inferior a $18, 5^{\circ}$ para $3, 48 < x < 8, 52$ (días $4$ a $8$ ).

Resultado: a) (i) $a = 19$ ; (ii) $b = 2$ ; b) $c = 30$ (demostrado); c) $3, 48 < x < 8, 52$

Ejercicio 112 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2009

La altura, $h (t)$ , en centímetros, a la que se encuentra el pedal de una bicicleta respecto al suelo en el instante $t$ segundos viene dada por una función coseno de la forma $h (t) = A cos (b t) + C$ .

A continuación se muestra la gráfica de esta función, para $0 \leq t \leq 4, 3$ .

Gráfica de la altura del pedal h(t) = 20 + 15 cos(πt/2) en cm para 0 ≤ t ≤ 4 s, con mínimo de 5 cm en t = 2 y máximo de 35 cm en t = 0 y t = 4

a) Escriba la altura máxima del pedal respecto al suelo.

b) Escriba la altura mínima del pedal respecto al suelo.

c) Halle la amplitud de la función.

d) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, halle el valor de $A$ y el de $C$ .

e) (i) Escriba cuál es el período de la función $h (t)$ .

(ii) A partir de lo anterior, halle el valor de $b$ .

f) Utilice su calculadora de pantalla gráfica para determinar el primer valor de $t$ para el cual la altura del pedal respecto al suelo es igual a 30 cm.

g) Calcule cuántas vueltas da el pedal en un minuto.

Ver resultado

Resultado: a) $35$ cm; b) $5$ cm; c) $15$ cm; d) $A = 15$ , $C = 20$ ; e) (i) $4$ s; (ii) $b = 90$ ; f) $t \approx 0, 535$ s; g) $15$ vueltas por minuto

Ver proceso y resultado

a) La altura máxima es $35$ cm (en $t = 0$ ).

b) La altura mínima es $5$ cm (en $t = 2$ ).

c) Amplitud $= \frac{35 - 5}{2} = 15$ cm.

$A$ es la amplitud, y como en $t = 0$ la altura es máxima y $cos 0 = 1$ , $A = 15$ .
$C$ es la recta media: $C = \frac{35 + 5}{2} = 20$ .

(i) El máximo está en $t = 0$ y el siguiente en $t = 4$ : periodo $4$ s.

(ii) $\frac{360}{b} = 4 \Rightarrow b = 90$ .

$15 cos (90 t^{\circ}) + 20 = 30 \Rightarrow cos (90 t^{\circ}) = \frac{2}{3}$ .
Con la CPG, el primer valor con $t > 0$ es $t \approx 0, 535$ s.

g) Una vuelta tarda $4$ s, luego en $60$ s da $\frac{60}{4} = 15$ vueltas.

Resultado: a) $35$ cm; b) $5$ cm; c) $15$ cm; d) $A = 15$ , $C = 20$ ; e) (i) $4$ s; (ii) $b = 90$ ; f) $t \approx 0, 535$ s; g) $15$ vueltas por minuto

Ejercicio 113 DifícilIB · P1 TZ0 Noviembre 2010

El siguiente diagrama muestra la gráfica de la función $f (x) = 2 cos (4 x) - 1$ , donde $0^{\circ} \leq x \leq 9 0^{\circ}$ .

Gráfica de f(x) = 2 cos(4x) − 1 para 0 ≤ x ≤ 90 grados: empieza en (0; 1), mínimo de −3 en x = 45 y termina en (90; 1)

a) Sobre el mismo diagrama, dibuje la gráfica de la función $g (x) = sen (2 x) - 2$ , donde $0^{\circ} \leq x \leq 9 0^{\circ}$ .

b) Escriba cuántas soluciones tiene la ecuación $f (x) = g (x)$ , donde $0^{\circ} \leq x \leq 9 0^{\circ}$ .

c) Escriba un valor de $x$ para el cual se cumpla que $f (x) > g (x)$ , donde $0^{\circ} \leq x \leq 9 0^{\circ}$ . $f (x) < g (x)$ en el intervalo $a < x < b$ .

d) Utilice su calculadora de pantalla gráfica para hallar el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ .

Ver resultado

Resultado: a) gráfica de la figura; b) 2 soluciones; c) por ejemplo $x = 0^{\circ}$ (vale cualquier $x$ de $0^{\circ} \leq x < 24, 3^{\circ}$ o $65, 7^{\circ} < x \leq 9 0^{\circ}$ ); d) (i) $a \approx 24, 3^{\circ}$ ; (ii) $b \approx 65, 7^{\circ}$

Ver proceso y resultado

$g (x) = sen (2 x) - 2$ tiene periodo $18 0^{\circ}$ y oscila entre $- 3$ y $- 1$ .
En $0^{\circ} \leq x \leq 9 0^{\circ}$ : $g (0) = - 2$ , $g (4 5^{\circ}) = - 1$ (máximo), $g (9 0^{\circ}) = - 2$ .

Gráficas de y = f(x) = 2 cos(4x) − 1 (en trazo de la gráfica del enunciado, de 1 en x = 0 a −3 en x = 45 y 1 en x = 90) y y = g(x) = sen(2x) − 2 para 0° ≤ x ≤ 90°, con ejes x de 0 a 90 e y de −3 a 1; las curvas se cortan en x ≈ 24,3° e x ≈ 65,7° (y ≈ −1,25)

b) Las curvas se cortan dos veces: al principio $f > g$ ( $1 > - 2$ ), en $4 5^{\circ}$ $f < g$ ( $- 3 < - 1$ ) y al final otra vez $f > g$ . Hay 2 soluciones.

c) Entre los cortes $f (x) < g (x)$ , así que $f (x) > g (x)$ fuera de ellos: por ejemplo $x = 0^{\circ}$ .

Con la CPG, resolvemos $2 cos (4 x) - 1 = sen (2 x) - 2$ .
(i) $a \approx 24, 3^{\circ}$ .
(ii) $b \approx 65, 7^{\circ}$ .

Ejercicio 114 DifícilIB · P1 TZ1 Mayo 2010

El siguiente diagrama muestra el gráfico de las funciones: $f (x) = p cos (q x)$ , donde $p$ , $q \in Q$ y $g (x) = sen (x) - 1$ .

Gráficas de f(x) = 1,4 cos(1,5x) (naranja, amplitud 1,4) y g(x) = sen(x) − 1 (azul), con x en grados de 0 a 360

a) Escriba el período de $f (x)$ .

b) Escriba el valor de $p$ .

c) Calcule el valor de $q$ .

d) Use su calculadora de pantalla gráfica para encontrar alguna solución a la ecuación $f (x) = g (x)$ en el intervalo $18 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ .

Ver resultado

Resultado: a) $24 0^{\circ}$ ; b) $p = 1, 4$ ; c) $q = 1, 5$ ; d) $x \approx 34 4^{\circ}$

Ver proceso y resultado

a) $f$ es un coseno con máximo en $x = 0^{\circ}$ y siguiente máximo en $x = 24 0^{\circ}$ : periodo $24 0^{\circ}$ .

b) $p$ es la amplitud (el máximo de $f$ es $1, 4$ ): $p = 1, 4$ .

c) $\frac{360}{q} = 240 \Rightarrow q = 1, 5$ .

Con la CPG, resolvemos $1, 4 cos (1, 5 x) = sen (x) - 1$ en $18 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ .
Una solución es $x \approx 34 4^{\circ}$ .

Resultado: a) $24 0^{\circ}$ ; b) $p = 1, 4$ ; c) $q = 1, 5$ ; d) $x \approx 34 4^{\circ}$

Ejercicio 115 DifícilIB · P1 TZ2 Mayo 2011

La gráfica de la función $f (x) = a sen (b x) + c$ se muestra a continuación para $- 36 0^{\circ} \leq x \leq 108 0^{\circ}$ .

Gráfica de f(x) = 3 sen(x/2) + 2 con x en grados de -360 a 1080: mínimos de -1 en -180 y 540, máximos de 5 en 180 y 900

a) Escriba el período de $f (x)$ .

b) Escriba el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ ;

(iii) $c$ .

$P$ es uno de los puntos donde la gráfica de $y = f (x)$ corta el eje $x$ . La coordenada $x$ de $P$ se encuentra entre $- 18 0^{\circ}$ y $18 0^{\circ}$ .

c) (i) Marque y etiquete el punto $P$ en el gráfico anterior.

(ii) Estime la coordenada $x$ de $P$ .

Ver resultado

Resultado: a) $72 0^{\circ}$ ; b) $a = 3$ , $b = \frac{1}{2}$ , $c = 2$ ; c) $P$ en $x \approx - 83, 6^{\circ}$

Ver proceso y resultado

a) Hay mínimos en $x = - 18 0^{\circ}$ y $x = 54 0^{\circ}$ : periodo $72 0^{\circ}$ .

(i) Máximo $5$ y mínimo $- 1$ : $a = \frac{5 - ( - 1 )}{2} = 3$ .
(ii) $b = \frac{360}{720} = \frac{1}{2}$ .
(iii) $c = \frac{5 + ( - 1 )}{2} = 2$ .

(i) $P$ es un punto de corte con el eje $x$ entre $- 18 0^{\circ}$ y $18 0^{\circ}$ : la curva pasa de $- 1$ en $x = - 18 0^{\circ}$ a $2$ en $x = 0$ , por lo que corta el eje $x$ a la izquierda del origen.

Gráfica de f(x) = 3 sen(0,5x) + 2 para −360° ≤ x ≤ 1080°: mínimos de −1 en x = −180° y 540°, máximos de 5 en x = 180° y 900°, corta el eje y en (0; 2); el punto P marcado en el eje x está entre −180° y 0°, en x ≈ −83,6°

(ii) $3 sen (0, 5 x) + 2 = 0 \Rightarrow sen (0, 5 x) = - \frac{2}{3}$ . Con $- 9 0^{\circ} \leq 0, 5 x \leq 9 0^{\circ}$ : $0, 5 x \approx - 41, 8^{\circ}$ , luego $x \approx - 83, 6^{\circ}$ .

Resultado: a) $72 0^{\circ}$ ; b) $a = 3$ , $b = \frac{1}{2}$ , $c = 2$ ; c) $P$ en $x \approx - 83, 6^{\circ}$

Ejercicio 116 DifícilIB · P1 TZ0 Noviembre 2013

El diagrama muestra la gráfica de una función coseno, $g (x) = a cos b x + c$ , para $- 36 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ , y la de una función seno $f (x)$ .

Gráficas de f(x) = 3 sen(2x) (naranja, amplitud 3 y periodo 180 grados) y g(x) = 2 cos x − 1 (azul), con x en grados de -360 a 360

a) Escriba

(i) la amplitud de $f (x)$ ;

(ii) el período de $f (x)$ .

b) Escriba el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ ;

(iii) $c$ .

c) Escriba el número de soluciones que tiene $f (x) = g (x)$ en el dominio $- 18 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $3$ ; (ii) $18 0^{\circ}$ ; b) $a = 2$ , $b = 1$ , $c = - 1$ ; c) $5$ soluciones

Ver proceso y resultado

a) Para $f$ :

(i) Amplitud $= 3$ .

(ii) Dos máximos consecutivos en $x = 4 5^{\circ}$ y $x = 22 5^{\circ}$ : periodo $18 0^{\circ}$ .

b) Para $g (x) = a cos b x + c$ :

El máximo es $1$ y el mínimo $- 3$ : (i) $a = \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2$ .
Los máximos están en $x = 0^{\circ}$ y $x = 36 0^{\circ}$ : el periodo es $36 0^{\circ}$ y (ii) $b = 1$ .
(iii) $c = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1$ (comprobación: $g (0) = 2 - 1 = 1$ ).

Con $f (x) = 3 sen (2 x)$ y $g (x) = 2 cos x - 1$ , con la CPG representamos ambas funciones en $- 18 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ .
Se cortan en $x \approx - 82, 8^{\circ}$ , $9, 5^{\circ}$ , $105, 3^{\circ}$ , $148, 0^{\circ}$ y $277, 2^{\circ}$ .
Hay $5$ soluciones.

Resultado: a) (i) $3$ ; (ii) $18 0^{\circ}$ ; b) $a = 2$ , $b = 1$ , $c = - 1$ ; c) $5$ soluciones

Ejercicio 117 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2011

El diagrama muestra una noria que se mueve con velocidad constante y completa una rotación cada 40 segundos. La rueda tiene un radio de 12 m y su punto más bajo está a 2 m del suelo.

Dos dibujos: a la izquierda, una noria de radio 12 m con centro O a 14 m del suelo, con los puntos A y B a la altura de O y el punto C más bajo a 2 m del suelo; a la derecha, la gráfica de h(t) = 14 − 12 cos(9t) para 0 ≤ t ≤ 40 s

Inicialmente, un asiento $C$ está verticalmente debajo del centro de la rueda, $O$ .

Luego gira en sentido antihorario.

a) Escriba

(i) la altura de $O$ sobre el suelo;

(ii) la altura máxima sobre el suelo alcanzada por $C$ .

En una rotación, $C$ alcanza los puntos $A$ y $B$ , que están a la misma altura por encima de la tierra como el centro de la rueda.

b) Escriba el número de segundos que tarda $C$ en llegar primero a $A$ y luego a $B$ .

El siguiente esquema muestra la gráfica de la función, $h (t)$ , para la altura sobre el suelo de $C$ , donde $h$ se mide en metros y $t$ es el tiempo en segundos, $0 \leq t \leq 40$ .

c) Copie el gráfico y muestre los resultados de la parte (a) y la parte (b) en su diagrama. Rotule los puntos claramente con sus coordenadas.

La altura de $C$ sobre el suelo puede ser modelada por la función $h (t) = a cos (b t) + c$ , donde $b t$ se mide en grados y $t$ es el tiempo en segundos.

d) Encuentre el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ ;

(iii) $c$ .

$C$ alcanza por primera vez una altura de 20 m sobre el suelo después de $T$ segundos.

e) (i) Dibuje un diagrama claramente etiquetado de la rueda para mostrar la posición de $C$ .

(ii) Encuentre el ángulo en el que ha girado $C$ para alcanzar esta posición.

(iii) Encuentre el valor de $T$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $14$ m; (ii) $26$ m; b) $A$ : $10$ s, $B$ : $30$ s; c) gráfica de la figura; d) (i) $a = - 12$ ; (ii) $b = 9$ ; (iii) $c = 14$ ; e) (ii) $12 0^{\circ}$ ; (iii) $T \approx 13, 3$ s

Ver proceso y resultado

(i) $O$ está a la altura del punto más bajo más un radio: $2 + 12 = 14$ m.

(ii) El punto más alto de $C$ está un radio por encima de $O$ : $14 + 12 = 26$ m.

Una rotación dura $40$ s, es decir, $9^{\circ}$ por segundo.
$A$ está a $9 0^{\circ}$ del punto de partida (el giro es antihorario): $\frac{90}{9} = 10$ s.
$B$ está a $27 0^{\circ}$ : $\frac{270}{9} = 30$ s.

c) Marcamos en la gráfica: $(0, 2)$ , $A (10, 14)$ , el máximo $(20, 26)$ , $B (30, 14)$ y $(40, 2)$ .

Gráfica de h(t) para 0 ≤ t ≤ 40: empieza en (0; 2), sube hasta el máximo (20; 26), vuelve a 14 en t = 30 y termina en (40; 2); los puntos A (10; 14) y B (30; 14) están marcados, con las guías de t = 10, 20 y 30 y de las alturas 14 y 26

(i) Empieza en el mínimo ( $h (0) = 2$ ), por eso $a$ es negativo: $a = - 12$ .
(ii) Periodo $40$ s: $b = \frac{360}{40} = 9$ .
(iii) $c = 14$ (altura de $O$ ). Comprobación: $h (0) = - 12 + 14 = 2$ .

$h (t) = 20 \Rightarrow - 12 cos (9 t) + 14 = 20 \Rightarrow cos (9 t) = - \frac{1}{2}$ .
(ii) El primer ángulo con coseno $- \frac{1}{2}$ es $9 t = 12 0^{\circ}$ : $C$ ha girado $12 0^{\circ}$ .
(i) Diagrama: $C$ sobre la circunferencia, a $12 0^{\circ}$ del punto más bajo, a la derecha de $O$ y a $12 cos 6 0^{\circ} = 6$ m por encima de $O$ , es decir, a $14 + 6 = 20$ m sobre el suelo.

Diagrama de la noria: circunferencia de radio 12 m con centro O, el asiento C a 120° del punto más bajo en sentido antihorario, a la derecha de O y a 6 m por encima de O; el punto más bajo está a 2 m del suelo; A y B son los extremos de la horizontal que pasa por O

(iii) $T = \frac{120}{9} \approx 13, 3$ s.

Problemas combinados de contexto

Ejercicio 118 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2019

La anchura de un jardín rectangular es 4,5 metros menor que su longitud, que es igual a $x$ metros.

a) Escriba una expresión que dé la anchura del jardín en función de $x$ .

El perímetro del jardín es igual a 111 m.

b) Escriba una ecuación que exprese el perímetro del jardín en función de $x$ .

c) Halle el valor de $x$ .

Un jardinero mide la longitud del jardín y obtiene un valor de 25 m.

d) Halle el porcentaje de error de su medición.

Ver resultado

Resultado: a) $x - 4, 5$ ; b) $2 x + 2 (x - 4, 5) = 111$ ; c) $x = 30$ m; d) $16, 7 %$

Ver proceso y resultado

La anchura es $4, 5$ m menor que la longitud: anchura $= x - 4, 5$ .

El perímetro es dos longitudes más dos anchuras: $2 x + 2 (x - 4, 5) = 111.$

Desarrollamos: $4 x - 9 = 111$ .
Entonces $4 x = 120$ y $x = 30$ .

El valor exacto es $30$ m y el medido es $25$ m.
Porcentaje de error: $\frac{∣25 - 30∣}{30} \cdot 100 = 16, 7 %.$

Resultado: a) $x - 4, 5$ ; b) $2 x + 2 (x - 4, 5) = 111$ ; c) $x = 30$ m; d) $16, 7 %$

Ejercicio 119 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2016

Los pasajeros de la aerolínea Flyaway Airlines pueden comprar billetes para la clase Business o para la clase Turista. En uno de los vuelos había 154 pasajeros. Sea $x$ el número de pasajeros de este vuelo que van en clase Business e $y$ el número de pasajeros que van en clase Turista.

a) Utilice esta información para escribir una ecuación que relacione $x$ e $y$ .

En este vuelo, el costo del billete para cada pasajero de clase Business fue de 320 euros y el costo del billete para cada pasajero de clase Turista fue de 85 euros. La cantidad total que recibió Flyaway Airlines por todos estos billetes fue de 14 970 euros.

b) Utilice los datos relativos al costo de los billetes para escribir una segunda ecuación que relacione $x$ e $y$ .

c) Halle el valor de $x$ y el valor de $y$ .

El director financiero de la aerolínea escribió la cantidad total que recibió la aerolínea por la venta de estos billetes como 14 270 euros.

d) Halle el porcentaje de error.

Ver resultado

Resultado: a) $x + y = 154$ ; b) $320 x + 85 y = 14970$ ; c) $x = 8$ , $y = 146$ ; d) $4, 68 %$

Ver proceso y resultado

Entre los dos tipos de clase suman $154$ pasajeros: $x + y = 154$ .

Business: $320 x$ euros; Turista: $85 y$ euros. En total: $320 x + 85 y = 14 970.$

Con la CPG resolvemos el sistema, o a mano: $y = 154 - x$ y $320 x + 85 (154 - x) = 14970 \Rightarrow 235 x + 13090 = 14970 \Rightarrow x = 8.$
Entonces $y = 154 - 8 = 146$ .

Valor exacto $14970$ y valor del director $14270$ : $\frac{∣14 270 - 14 970∣}{14 970} \cdot 100 = 4, 68 %.$

Resultado: a) $x + y = 154$ ; b) $320 x + 85 y = 14970$ ; c) $x = 8$ , $y = 146$ ; d) $4, 68 %$

Ejercicio 120 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2014

Un hotel tiene una piscina rectangular. Su largo es $x$ metros, su ancho es $y$ metros y su perímetro es de 44 metros.

a) Escriba una ecuación para $x$ e $y$ .

El área de la piscina es de 112 m $^{2}$ .

b) Escriba la segunda ecuación para $x$ e $y$ .

c) Use su calculadora de pantalla gráfica para encontrar el valor de $x$ y el valor de $y$ .

Una piscina olímpica tiene 50 m de largo y 25 m de ancho.

d) Determine el área de la piscina del hotel como porcentaje del área de una piscina olímpica.

Ver resultado

Resultado: a) $x + y = 22$ ; b) $x y = 112$ ; c) $x = 14$ m, $y = 8$ m; d) $8, 96 %$

Ver proceso y resultado

El perímetro de un rectángulo es $2 x + 2 y = 44$ , es decir, $x + y = 22$ .

El área es largo por ancho: $x y = 112$ .

Con la CPG resolvemos el sistema $x + y = 22$ , $x y = 112$ . A mano: $y = 22 - x$ y $x (22 - x) = 112$ , es decir, $x^{2} - 22 x + 112 = 0$ .
Las soluciones son $x = 8$ o $x = 14$ .
El largo es la dimensión mayor, así que $x = 14$ m e $y = 8$ m.

Área de la piscina olímpica: $50 \cdot 25 = 1250$ m $^{2}$ .
Porcentaje: $\frac{112}{1250} \cdot 100 = 8, 96 %.$

Resultado: a) $x + y = 22$ ; b) $x y = 112$ ; c) $x = 14$ m, $y = 8$ m; d) $8, 96 %$

Ejercicio 121 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2013

La siguiente figura representa una bandera rectangular, cuyas dimensiones son 150 cm por 92 cm. La bandera está dividida en tres regiones: A, B y C.

Bandera rectangular de 150 cm por 92 cm dividida en tres regiones A, B y C por dos segmentos desde los vértices superiores hasta un punto interior sobre la mitad de la base, a altura x cm, con cotas y cm en la base

a) Escriba el área total de la bandera.

b) Escriba el valor de $y$ .

Las regiones A, B y C tienen la misma área.

c) Escriba cuál es el área de la región A.

d) Utilizando las respuestas obtenidas en los apartados (b) y (c), halle el valor de $x$ .

Ver resultado

Resultado: a) $13800$ cm $^{2}$ ; b) $y = 75$ cm; c) $4600$ cm $^{2}$ ; d) $x \approx 30, 7$ cm

Ver proceso y resultado

Área de la bandera: $150 \cdot 92 = 13800$ cm $^{2}$ .

La base de $150$ cm se divide en dos partes iguales de $y$ cm: $2 y = 150$ , luego $y = 75$ cm.

Las tres regiones tienen la misma área: $A ˊ rea de A = \frac{13 800}{3} = 4600 cm^{2} .$

La región A es un trapecio de bases $92$ cm (lado izquierdo) y $x$ cm (segmento vertical) y de altura $y = 75$ cm: $\frac{( 92 + x ) \cdot 75}{2} = 4600.$
Despejamos: $92 + x = \frac{9200}{75} = 122, 67$ , luego $x = 30, 7$ cm.

Resultado: a) $13800$ cm $^{2}$ ; b) $y = 75$ cm; c) $4600$ cm $^{2}$ ; d) $x \approx 30, 7$ cm

Ejercicio 122 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2006

Jacques puede comprar seis CD y tres cassettes de video por $ 163,17 o nueve CD y dos cassettes de video por $ 200,53.

a) Exprese la información anterior utilizando dos ecuaciones que relacionen el precio de los CD y el precio de los cassettes de video.

b) Halle el precio de un cassette de video.

c) Si Jacques tiene $ 180 para gastar, halle la cantidad exacta de cambio que recibirá si compra nueve CD.

Ver resultado

Resultado: a) $6 c + 3 v = 163, 17$ ; $9 c + 2 v = 200, 53$ ; b) $ 17,69; c) $ 14,85

Ver proceso y resultado

Sea $c$ el precio de un CD y $v$ el de un cassette de video: $6 c + 3 v = 163, 179 c + 2 v = 200, 53.$

Multiplicamos la primera por $3$ y la segunda por $2$ : $18 c + 9 v = 489, 51$ y $18 c + 4 v = 401, 06$ .
Restamos: $5 v = 88, 45$ , luego $v = 17, 69$ .
Con la CPG se obtiene el mismo resultado, y además $c = 18, 35$ .

Nueve CD cuestan $9 \cdot 18, 35 = 165, 15$ .
Cambio: $180 - 165, 15 = 14, 85$ .

Resultado: a) $6 c + 3 v = 163, 17$ ; $9 c + 2 v = 200, 53$ ; b) $ 17,69; c) $ 14,85

Ejercicio 123 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2011

10000 personas asistieron a un encuentro deportivo. Sea $x$ el número de adultos que asisten al encuentro deportivo e $y$ el número de niños que asisten al encuentro deportivo.

a) Escriba una ecuación en $x$ e $y$ .

El costo de un boleto de adulto fue de 12 dólares australianos (AUD). El costo de un boleto para niños fue de 5 dólares australianos (AUD).

b) Encuentre el costo total para una familia de 2 adultos y 3 niños.

El costo total de las entradas vendidas para el partido deportivo fue de 108800 AUD.

c) Escriba una segunda ecuación en $x$ e $y$ .

d) Escriba el valor de $x$ y el valor de $y$ .

Ver resultado

Resultado: a) $x + y = 10000$ ; b) 39 AUD; c) $12 x + 5 y = 108800$ ; d) $x = 8400$ , $y = 1600$

Ver proceso y resultado

Asistieron $10000$ personas: $x + y = 10000$ .

$2 \cdot 12 + 3 \cdot 5 = 24 + 15 = 39$ AUD.

Recaudación: $12 x + 5 y = 108800$ .

Sustituimos $y = 10000 - x$ : $12 x + 5 (10000 - x) = 108800$ .
$7 x + 50000 = 108800 \Rightarrow 7 x = 58800 \Rightarrow x = 8400$ .
Entonces $y = 10000 - 8400 = 1600$ .

Resultado: a) $x + y = 10000$ ; b) 39 AUD; c) $12 x + 5 y = 108800$ ; d) $x = 8400$ , $y = 1600$

Ejercicio 124 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2005

La siguiente tabla muestra el costo de viajar en tren por Ámsterdam entre distintas zonas (sectores) de la ciudad.

Número de sectores que se atraviesa	Costo en primera clase	Costo en segunda clase
0 – 8	2,16 euros	1,36 euros
9 – 12	2,95 euros	1,93 euros
13 – 16	3,86 euros	2,50 euros
17 – 20	4,54 euros	2,95 euros
21 – 24	5,33 euros	3,40 euros

Janneke viaja en primera clase de un lado a otro de la ciudad y atraviesa 10 sectores.

a) Escriba el costo de su pasaje.

Joost tiene un carné de estudiante que le da derecho a un descuento del 40 % en todos los pasajes.

b) Calcule cuánto paga Joost por un pasaje de segunda clase para 23 sectores.

Hacerse el carné de estudiante cuesta 15 euros.

c) Calcule el número de viajes que Joost tiene que realizar atravesando 23 sectores en segunda clase para cubrir el costo del carné de estudiante.

Ver resultado

Resultado: a) 2,95 euros; b) 2,04 euros; c) 12 viajes

Ver proceso y resultado

$10$ sectores están en el tramo $9$ – $12$ ; en primera clase cuesta $2, 95$ euros.

$23$ sectores están en el tramo $21$ – $24$ ; en segunda clase cuesta $3, 40$ euros.
Con $40 %$ de descuento paga el $60 %$ : $3, 40 \cdot 0, 60 = 2, 04$ euros.

Cada viaje le ahorra $3, 40 - 2, 04 = 1, 36$ euros.
Para cubrir el carné: $\frac{15}{1 , 36} = 11, 03$ , luego hacen falta $12$ viajes.

Resultado: a) 2,95 euros; b) 2,04 euros; c) 12 viajes

Ejercicio 125 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2017

El tamaño de la pantalla de un ordenador indica la longitud de la diagonal. Zuzana compra una pantalla rectangular de ordenador de un tamaño de 68 cm, una altura de $y$ cm y un ancho de $x$ cm, tal y como se muestra en la figura.

Dibujo esquemático de una pantalla rectangular sin escala, con cota x cm arriba, y cm a la derecha, diagonal de 68 cm, pie y teclado

a) Utilice esta información para escribir una ecuación que relacione $x$ e $y$ .

La razón entre la altura y el ancho de la pantalla es 3:4.

b) Utilice esta razón para escribir $y$ en función de $x$ .

c) Halle el valor de $x$ y el de $y$ .

Ver resultado

Resultado: a) $x^{2} + y^{2} = 4624$ ; b) $y = \frac{3}{4} x$ ; c) $x = 54, 4$ cm, $y = 40, 8$ cm

Ver proceso y resultado

La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $x$ e $y$ (teorema de Pitágoras): $x^{2} + y^{2} = 6 8^{2} = 4624.$

$\frac{y}{x} = \frac{3}{4} \Rightarrow y = \frac{3}{4} x$ .

Sustituimos: $x^{2} + \frac{9}{16} x^{2} = 4624 \Rightarrow \frac{25}{16} x^{2} = 4624 \Rightarrow x^{2} = 2959, 36$ .
Entonces $x = 54, 4$ cm e $y = \frac{3}{4} \cdot 54, 4 = 40, 8$ cm.

Resultado: a) $x^{2} + y^{2} = 4624$ ; b) $y = \frac{3}{4} x$ ; c) $x = 54, 4$ cm, $y = 40, 8$ cm

Ejercicio 126 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2007

La longitud de uno de los lados de un rectángulo es 2 cm mayor que su anchura.

a) Si el lado más corto mide $x$ cm, halle el perímetro del rectángulo en función de $x$ .

El perímetro de un cuadrado es igual al perímetro del rectángulo del apartado (a).

b) Determine la longitud de cada lado del cuadrado en función de $x$ .

La suma del área del rectángulo y del área del cuadrado es igual a $2 x^{2} + 4 x + 1$ (cm $^{2}$ ).

c) (i) Sabiendo que esta suma es igual a 49 cm $^{2}$ , halle $x$ .

(ii) Halle el área del cuadrado.

Ver resultado

Resultado: a) $4 x + 4$ cm; b) $x + 1$ cm; c) (i) $x = 4$ cm; (ii) $25$ cm $^{2}$

Ver proceso y resultado

Los lados miden $x$ y $x + 2$ , luego el perímetro es $2 x + 2 (x + 2) = 4 x + 4 cm .$

El cuadrado tiene el mismo perímetro, $4 x + 4$ , y cuatro lados iguales: cada lado mide $\frac{4 x + 4}{4} = x + 1$ cm.

(i) La suma es $2 x^{2} + 4 x + 1 = 49$ , es decir, $2 x^{2} + 4 x - 48 = 0$ , o bien $x^{2} + 2 x - 24 = 0$ .
Factorizamos: $(x + 6) (x - 4) = 0$ . Como $x > 0$ , $x = 4$ cm.
(ii) El lado del cuadrado es $x + 1 = 5$ cm, luego su área es $25$ cm $^{2}$ .

Resultado: a) $4 x + 4$ cm; b) $x + 1$ cm; c) (i) $x = 4$ cm; (ii) $25$ cm $^{2}$

Ejercicio 127 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2014

A continuación se muestra la superficie de una alfombra roja. Las dimensiones de la alfombra están en metros.

Rectángulo horizontal dibujado sin escala, con la base rotulada 2x y la altura rotulada x − 4, marcadas con cotas de flechas

a) Escriba una expresión para calcular el área de la alfombra, $A$ , en m $^{2}$ .

El área de la alfombra es igual a 10 m $^{2}$ .

b) Calcule el valor de $x$ .

c) A partir de lo anterior, escriba el valor de la longitud y el de la anchura de la alfombra, en metros.

Ver resultado

Resultado: a) $A = 2 x (x - 4)$ ; b) $x = 5$ ; c) longitud $= 10$ m, anchura $= 1$ m

Ver proceso y resultado

Área $=$ base por altura: $A = 2 x (x - 4)$ .

$2 x (x - 4) = 10 \Rightarrow x^{2} - 4 x - 5 = 0 \Rightarrow (x - 5) (x + 1) = 0$ .
Las soluciones son $x = 5$ y $x = - 1$ . Como la anchura $x - 4$ debe ser positiva, $x = 5$ .

Longitud: $2 x = 10$ m. Anchura: $x - 4 = 1$ m.

Resultado: a) $A = 2 x (x - 4)$ ; b) $x = 5$ ; c) longitud $= 10$ m, anchura $= 1$ m

Ejercicio 128 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2010

Un jardín cuadrado mide $(x + 1)$ m de lado. En una de las esquinas hay un cuadrado de 1 m de lado que se utiliza únicamente para plantar hierba. El resto del jardín se utiliza solo para plantar rosas y es la región sombreada en la siguiente figura.

Cuadrado de lado (x + 1) m con un cuadrado blanco de 1 m de lado en la esquina superior derecha; el resto del cuadrado es la región sombreada

El área de la región sombreada es $A$ .

a) Escriba una expresión para $A$ en función de $x$ .

b) Halle el valor de $x$ , sabiendo que $A = 109, 25$ m $^{2}$ .

c) El dueño del jardín coloca una valla alrededor de la región sombreada. Halle la longitud de esta valla.

Ver resultado

Resultado: a) $A = x^{2} + 2 x$ ; b) $x = 9, 5$ m; c) $42$ m

Ver proceso y resultado

a) Al cuadrado grande, de área $(x + 1)^{2}$ , se le quita el cuadrado de $1$ m de lado:

$A = (x + 1)^{2} - 1 = x^{2} + 2 x$

b) $x^{2} + 2 x = 109, 25 \Rightarrow (x + 1)^{2} = 110, 25 \Rightarrow x + 1 = 10, 5 \Rightarrow x = 9, 5$ m (se descarta la solución negativa).

c) El contorno de la región sombreada sustituye, en la esquina, dos lados del cuadrado grande por los dos lados del cuadrado pequeño, que miden lo mismo. Por tanto, la valla mide lo mismo que el perímetro del cuadrado grande: $4 (x + 1) = 4 \cdot 10, 5 = 42$ m.

Resultado: a) $A = x^{2} + 2 x$ ; b) $x = 9, 5$ m; c) $42$ m

Ejercicio 129 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2006

La función $Q (t) = 0, 003 t^{2} - 0, 625 t + 25$ representa la cantidad de energía de una batería después de $t$ minutos de uso.

a) Establezca la cantidad de energía que tenía la batería inmediatamente antes de ser utilizada.

b) Calcule la cantidad de energía disponible después de 20 minutos.

c) Sabiendo que $Q (10) = 19, 05$ , halle la cantidad promedio de energía producida por minuto para el intervalo $10 \leq t \leq 20$ .

d) Calcule el número de minutos que tardará la energía en llegar a cero.

Ver resultado

Resultado: a) 25; b) 13,7; c) $- 0, 535$ unidades por minuto; d) $54, 0$ minutos

Ver proceso y resultado

a) Antes de usarla, $t = 0$ : $Q (0) = 25$ .

b) $Q (20) = 0, 003 \cdot 400 - 0, 625 \cdot 20 + 25 = 1, 2 - 12, 5 + 25 = 13, 7$ .

c) La cantidad promedio por minuto es la variación media:

$\frac{Q ( 20 ) - Q ( 10 )}{20 - 10} = \frac{13 , 7 - 19 , 05}{10} = - 0, 535$

Es decir, la energía varía a razón de $- 0, 535$ unidades por minuto (disminuye 0,535 unidades cada minuto).

d) Se resuelve $0, 003 t^{2} - 0, 625 t + 25 = 0$ . Con la CPG, las soluciones positivas son $t \approx 54, 0$ y $t \approx 154$ . La energía llega a cero por primera vez en $t \approx 54, 0$ minutos.

Resultado: a) 25; b) 13,7; c) $- 0, 535$ unidades por minuto; d) $54, 0$ minutos

Ejercicio 130 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2000

La siguiente figura muestra un camino de $x$ metros de anchura alrededor de un césped rectangular que mide 10 m por 8 m.

Césped rectangular de 10 m por 8 m rodeado por un camino de anchura x metros, con flechas que marcan x en los cuatro lados

a) Escriba una expresión en función de $x$ del área del camino.

b) ¿Cuál es la anchura del camino si su área es de $208 m^{2}$ ?

Ver resultado

Resultado: a) $A = 4 x^{2} + 36 x$ ; b) $x = 4$ m

Ver proceso y resultado

a) El área total (césped más camino) es $(10 + 2 x) (8 + 2 x)$ y la del césped es $10 \cdot 8 = 80$ :

$A = (10 + 2 x) (8 + 2 x) - 80 = 80 + 36 x + 4 x^{2} - 80 = 4 x^{2} + 36 x$

b) $4 x^{2} + 36 x = 208 \Rightarrow x^{2} + 9 x - 52 = 0 \Rightarrow (x + 13) (x - 4) = 0$ . La anchura es positiva: $x = 4$ m.

Resultado: a) $A = 4 x^{2} + 36 x$ ; b) $x = 4$ m

Ejercicio 131 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2002

La Sra. Harvey desea colocar una cerca de 50 m de longitud alrededor de su jardín rectangular. Sólo necesita cercar 3 lados, ya que el otro es el costado de la casa.

Rectángulo dividido en dos franjas: la superior, casa, y la inferior, jardín; flecha vertical x para la altura del jardín y flecha horizontal y para su longitud

Sea $x$ el ancho del jardín e $y$ su longitud.

a) Escriba una expresión de $y$ en función de $x$ .

b) Escriba una expresión del área $A$ del jardín en función de $x$ .

c) Si el área es $200 m^{2}$ , halle las dimensiones del jardín.

Ver resultado

Resultado: a) $y = 50 - 2 x$ ; b) $A = 50 x - 2 x^{2}$ ; c) $x = 5$ m e $y = 40$ m, o $x = 20$ m e $y = 10$ m

Ver proceso y resultado

a) La cerca cubre dos lados de longitud $x$ y uno de longitud $y$ : $2 x + y = 50$ , luego $y = 50 - 2 x$ .

b) $A = x \cdot y = x (50 - 2 x) = 50 x - 2 x^{2}$ .

c) $50 x - 2 x^{2} = 200 \Rightarrow x^{2} - 25 x + 100 = 0 \Rightarrow (x - 5) (x - 20) = 0$ .

Si $x = 5$ : $y = 50 - 10 = 40$ .
Si $x = 20$ : $y = 50 - 40 = 10$ .

Ambas soluciones son válidas.

Resultado: a) $y = 50 - 2 x$ ; b) $A = 50 x - 2 x^{2}$ ; c) $x = 5$ m e $y = 40$ m, o $x = 20$ m e $y = 10$ m

Ejercicio 132 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2001

Una imagen tiene la forma de un cuadrado de 5 cm de lado. Está rodeado por un marco de madera de ancho $x$ cm, como se muestra en el siguiente diagrama.

Cuadrado interior de 5 cm de lado rodeado por un marco de anchura x; la longitud exterior del marco se marca con l

La longitud del marco de madera es de $l$ cm y el área del marco de madera es $A$ cm $^{2}$ .

a) Escriba una expresión para la longitud $l$ en función de $x$ .

b) Escriba una expresión para el área $A$ en función de $x$ .

c) Si el área del marco es $24$ cm $^{2}$ , encuentre el valor de $x$ .

Ver resultado

Resultado: a) $l = 5 + 2 x$ ; b) $A = 4 x^{2} + 20 x$ ; c) $x = 1$ cm

Ver proceso y resultado

a) El lado exterior mide el lado del cuadrado interior más el marco por los dos lados: $l = 5 + 2 x$ .

b) El área del marco es el área exterior menos la del cuadrado interior:

$A = (5 + 2 x)^{2} - 25 = 4 x^{2} + 20 x$

c) $4 x^{2} + 20 x = 24 \Rightarrow x^{2} + 5 x - 6 = 0 \Rightarrow (x + 6) (x - 1) = 0$ . Como $x > 0$ , $x = 1$ cm.

Resultado: a) $l = 5 + 2 x$ ; b) $A = 4 x^{2} + 20 x$ ; c) $x = 1$ cm

Ejercicio 133 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2015

En un experimento, el número de bacterias, $N (t)$ , viene dado por la función $N (t) = 25 \times 8^{t}$ , donde $t$ es el tiempo, en horas, transcurrido desde el inicio del experimento y $t \geq 0$ .

a) Escriba el número de bacterias que hay al inicio del experimento.

b) Halle el número de bacterias que hay al cabo de 1 hora.

c) Calcule cuánto tiempo tiene que pasar para que el número de bacterias supere los cinco millones. Dé la respuesta redondeando al número entero de horas más próximo.

Ver resultado

Resultado: a) $25$ bacterias; b) $200$ bacterias; c) $6$ horas

Ver proceso y resultado

a) En $t = 0$ : $N (0) = 25 \times 8^{0} = 25$ bacterias.

b) En $t = 1$ : $N (1) = 25 \times 8 = 200$ bacterias.

c) Se resuelve $25 \times 8^{t} > 5000000$ , es decir, $8^{t} > 200000$ . Con la CPG, $25 \times 8^{t} = 5000000$ se cumple para $t \approx 5, 87$ horas. Redondeando al número entero de horas más próximo, $t = 6$ horas.

Resultado: a) $25$ bacterias; b) $200$ bacterias; c) $6$ horas

Ejercicio 134 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2019

Elvis Presley fue un cantante muy famoso. A pesar de que murió en 1977, sigue habiendo muchos aficionados a su música que le rinden homenaje vistiéndose de Elvis y cantando sus canciones.

El número de imitadores de Elvis, $N (t)$ , se puede modelizar mediante la siguiente función:

$N (t) = 170 \times 1, 3 1^{t}$ , donde $t$ es el número de años que han transcurrido desde 1977.

a) Escriba el número de imitadores de Elvis que había en 1977.

b) Calcule el tiempo que pasó hasta que el número de imitadores de Elvis llegó a los 130 000.

c) Calcule el número de imitadores de Elvis que habrá cuando $t = 70$ .

En el año 2047 se espera que la población mundial llegue a los 9 500 000 000 de personas.

d) Utilice esta información para explicar por qué este modelo del número de imitadores de Elvis no es realista.

Ver resultado

Resultado: a) $170$ imitadores; b) $24, 6$ años; c) $2, 75 \times 1 0^{10}$ imitadores; d) el modelo da más imitadores ( $2, 75 \times 1 0^{10}$ ) que personas en el mundo ( $9, 5 \times 1 0^{9}$ )

Ver proceso y resultado

a) En 1977, $t = 0$ : $N (0) = 170 \times 1, 3 1^{0} = 170$ imitadores.

b) Se resuelve $170 \times 1, 3 1^{t} = 130000$ . Con la CPG, $t \approx 24, 6$ años.

(Con logaritmos: $1, 3 1^{t} = \frac{130000}{170}$ , $t = \frac{ln ( 764 , 7 )}{ln 1 , 31} \approx 24, 6$ .)

c) $N (70) = 170 \times 1, 3 1^{70} \approx 2, 75 \times 1 0^{10}$ imitadores.

d) Para $t = 70$ (año 2047) el modelo da $2, 75 \times 1 0^{10}$ imitadores, que es mayor que la población mundial esperada, $9, 5 \times 1 0^{9}$ . No es realista, porque no puede haber más imitadores que personas.

Ejercicio 135 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2018

En un experimento, se colocan varias moscas de la fruta en un recipiente. La población de moscas de la fruta, $P$ , aumenta y puede ser modelado por la función $P (t) = 12 \times 3^{0, 498 t}$ , $t \geq 0$ , donde $t$ es el número de días desde que se colocaron las moscas de la fruta en el recipiente.

a) Encuentre el número de moscas de la fruta

(i) que se colocaron en el contenedor;

(ii) que estén en el contenedor después de 6 días.

La capacidad máxima del contenedor es de 8000 moscas de la fruta.

b) Encuentre el número de días hasta que el contenedor alcanza su capacidad máxima.

Ver resultado

Resultado: a) (i) $12$ moscas; (ii) $320$ moscas; b) $11, 9$ días

Ver proceso y resultado

a) (i) $P (0) = 12 \times 3^{0} = 12$ moscas.

(ii) $P (6) = 12 \times 3^{0, 498 \cdot 6} = 12 \times 3^{2, 988} \approx 320$ moscas.

b) Se resuelve $12 \times 3^{0, 498 t} = 8000$ . Con la CPG, $t \approx 11, 9$ días.

Resultado: a) (i) $12$ moscas; (ii) $320$ moscas; b) $11, 9$ días

Ejercicio 136 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2015

El número de peces, $N$ , en un estanque disminuye según el modelo $N (t) = a b^{- t} + 40$ , $t \geq 0$ , donde $a$ y $b$ son constantes positivas y $t$ es el tiempo, en meses, desde que el número de los peces en el estanque se contaron por primera vez.

Al principio, se contaron 840 peces.

a) Encuentre el valor de $a$ .

Después de 4 meses, se contaron 90 peces.

b) Encuentre el valor de $b$ .

El número de peces en el estanque no será inferior a $p$ .

c) Escriba el valor de $p$ .

Ver resultado

Resultado: a) $a = 800$ ; b) $b = 2$ ; c) $p = 40$

Ver proceso y resultado

a) En $t = 0$ : $N (0) = a b^{0} + 40 = a + 40 = 840$ , luego $a = 800$ .

b) En $t = 4$ : $800 b^{- 4} + 40 = 90$ , así que $800 b^{- 4} = 50$ y $b^{- 4} = \frac{1}{16}$ , es decir, $b^{4} = 16$ . Como $b > 0$ , $b = 2$ .

c) Cuando $t$ crece, $b^{- t} \to 0$ y $N \to 40$ . El número de peces no baja de $p = 40$ .

Resultado: a) $a = 800$ ; b) $b = 2$ ; c) $p = 40$

Ejercicio 137 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2017

Sejah quiere hacer un bizcocho y, para ello, mete en el horno ya precalentado un molde que contiene la masa del bizcocho. En el centro de la masa del bizcocho la temperatura, $T$ , en grados Celsius (°C) viene dada por

$T (t) = 150 - a \times (1, 1)^{- t}$ , donde $t$ es el tiempo, en minutos, transcurrido desde que se metió el molde del bizcocho en el horno.

En el siguiente diagrama se muestra el gráfico de $T$ .

Gráfica creciente de T(t) = 150 − 132·1,1^(−t), temperatura en °C frente a minutos: empieza en 18 °C y se acerca a la asíntota horizontal T = 150

a) Escriba qué representa, en el contexto de la pregunta, el valor 150.

La temperatura en el centro de la masa del bizcocho era igual a 18 °C cuando se metió el molde en el horno.

b) Halle el valor de $a$ .

El molde se saca del horno 15 minutos después de que la temperatura en el centro de la masa haya alcanzado los 130 °C.

c) Halle el tiempo total que el molde está en el horno.

Ver resultado

Resultado: a) $150^{\circ} C$ es la temperatura máxima a la que se aproxima el centro del bizcocho; b) $a = 132$ ; c) $34, 8$ minutos

Ver proceso y resultado

a) El valor $150$ es la asíntota de $T$ : la temperatura a la que se aproxima el centro del bizcocho (la temperatura del horno), que es su máximo. Es $150^{\circ} C$ .

b) En $t = 0$ : $T (0) = 150 - a = 18$ , luego $a = 132$ .

c) Se resuelve $150 - 132 (1, 1)^{- t} = 130$ : $1, 1^{- t} = \frac{20}{132}$ , y $t = \frac{ln ( 132/20 )}{ln 1 , 1} \approx 19, 8 min$ El molde se saca $15$ minutos después: $19, 8 + 15 = 34, 8$ minutos.

Resultado: a) $150^{\circ} C$ es la temperatura máxima a la que se aproxima el centro del bizcocho; b) $a = 132$ ; c) $34, 8$ minutos

Ejercicio 138 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2016

Gabriela se compra un coche nuevo.

El valor del coche, $V$ , en dólares está modelado por la función $V (t) = 12870 - k (1, 1)^{t}$ , $t \geq 0$ , donde $t$ es el número de años que han transcurrido desde que Gabriela compró el coche y $k$ es una constante.

a) Escriba, y posteriormente simplifique, una expresión que refleje el valor del coche cuando Gabriela lo compró.

Al cabo de dos años, el valor del coche es de $9143,20.

b) Halle el valor de $k$ .

Este modelo está definido para $0 \leq t \leq n$ . A los $n$ años el valor del coche será cero dólares.

c) Halle el valor de $n$ .

Ver resultado

Resultado: a) $12870 - k$ ; b) $k = 3080$ ; c) $n = 15$ años

Ver proceso y resultado

a) Al comprarlo, $t = 0$ : $V (0) = 12870 - k (1, 1)^{0} = 12870 - k$ .

b) $V (2) = 12870 - k (1, 1)^{2} = 12870 - 1, 21 k = 9143, 20$ , de donde $1, 21 k = 3726, 80$ y $k = 3080$ .

c) $V (n) = 0$ : $12870 = 3080 (1, 1)^{n}$ , luego $1, 1^{n} = \frac{12870}{3080} = 4, 1786$ y $n = \frac{ln 4 , 1786}{ln 1 , 1} \approx 15, 0 a n ˜ os$ (Exactamente, $1, 1^{15} = 4, 1772$ , muy cerca de $4, 1786$ .) Así, $n = 15$ años.

Resultado: a) $12870 - k$ ; b) $k = 3080$ ; c) $n = 15$ años

Ejercicio 139 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2017

Jashanti está ahorrando dinero para comprarse un coche. El precio del coche, en dólares estadounidenses (USD), se puede modelizar mediante la siguiente ecuación $P = 8500 (0, 95)^{t}$ . Los ahorros de Jashanti, en USD, se pueden modelizar mediante la siguiente ecuación $S = 400 t + 2000$ . En las dos ecuaciones $t$ es el tiempo, en meses, que ha transcurrido desde que Jashanti empezó a ahorrar para comprarse el coche.

a) Escriba la cantidad de dinero que Jashanti ahorra cada mes.

b) Utilice la calculadora de pantalla gráfica para hallar cuánto tiempo tardará Jashanti en tener suficiente dinero ahorrado para comprarse el coche.

Jashanti no quiere esperar demasiado y quiere comprarse el coche dos meses después de haber empezado a ahorrar. Decide pedirle a sus padres el dinero que le falta.

c) Calcule cuánto dinero le falta a Jashanti.

Ver resultado

Resultado: a) $400$ USD al mes; b) $8, 64$ meses; c) $4871, 25 \approx 4870$ USD

Ver proceso y resultado

a) En $S = 400 t + 2000$ , la pendiente es $400$ : ahorra $400$ USD cada mes.

b) Tendrá suficiente cuando $S \geq P$ . Con la CPG se busca la intersección de $y = 400 t + 2000$ e $y = 8500 (0, 95)^{t}$ : $t \approx 8, 64$ meses.

c) En $t = 2$ : $P (2) = 8500 \cdot 0, 9 5^{2} = 7671, 25$ USD y $S (2) = 400 \cdot 2 + 2000 = 2800$ USD.

Le faltan $7671, 25 - 2800 = 4871, 25 \approx 4870$ USD.

Resultado: a) $400$ USD al mes; b) $8, 64$ meses; c) $4871, 25 \approx 4870$ USD

Ejercicio 140 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2003

El área, $A$ m $^{2}$ , ocupada por una planta de crecimiento rápido se mide al mediodía (12.00), todos los días. El 7 de julio el área era de $100$ m $^{2}$ . La planta crece un $7, 5%$ cada día. El área $A$ viene dada por la fórmula $A = 100 (1, 075)^{t}$ , donde $t$ representa el número de días a partir del 7 de julio (para el 7 de julio, $t = 0$ ).

A continuación se muestra la gráfica de $A = 100 (1, 075)^{t}$ .

Gráfica creciente de A(t) = 100·1,075^t para t entre −6 y 18 días, con el origen en el 7 de julio

a) ¿Qué representa la gráfica cuando $t$ es negativo?

b) Utilizando la gráfica, halle el valor de $t$ cuando $A = 178$ .

c) Calcule el área cubierta por la planta el 28 de julio a mediodía.

Ver resultado

Resultado: a) el área cubierta por la planta antes del 7 de julio; b) $t \approx 8$ ; c) $A \approx 457 m^{2}$

Ver proceso y resultado

a) Para $t$ negativo, la gráfica representa el área cubierta por la planta en los días anteriores al 7 de julio (por ejemplo, $t = - 6$ es 6 días antes).

b) Se resuelve $100 (1, 075)^{t} = 178$ : $1, 07 5^{t} = 1, 78$ , $t = \frac{ln 1 , 78}{ln 1 , 075} \approx 7, 97$ . Con la gráfica, $t \approx 8$ días.

c) El 28 de julio, a mediodía, han pasado $21$ días: $A = 100 (1, 075)^{21} \approx 457 m^{2}$ .

Resultado: a) el área cubierta por la planta antes del 7 de julio; b) $t \approx 8$ ; c) $A \approx 457 m^{2}$

Ejercicio 141 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2016

La proporción áurea, $r$ , fue considerada por los antiguos griegos como la proporción perfecta entre las longitudes de dos lados adyacentes de un rectángulo. El valor exacto de $r$ es $\frac{1 + 5}{2}$ .

a) Escriba el valor de $r$

(i) aproximado hasta 5 cifras significativas;

(ii) aproximado hasta 2 decimales.

Phidias está diseñando ventanas rectangulares con lados adyacentes de largo $x$ metros e $y$ metros. El área de cada ventana es de 1 m $^{2}$ .

b) Escriba una ecuación para describir esta información.

Phidias diseña las ventanas de modo que la relación entre el lado más largo, $y$ , y el lado más corto, $x$ , es la proporción áurea, $r$ .

c) Escriba una ecuación en $y$ , $x$ y $r$ para describir esta información.

d) Encuentre el valor de $x$ .

Ver resultado

Resultado: a) (i) $1, 6180$ ; (ii) $1, 62$ ; b) $x \cdot y = 1$ ; c) $\frac{y}{x} = r = \frac{1 + 5}{2}$ ; d) $x \approx 0, 786$ m

Ver proceso y resultado

(i) $r = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 6180$ (5 cifras significativas).

(ii) $r \approx 1, 62$ (2 decimales).

b) El área del rectángulo es $x \cdot y$ , luego $x \cdot y = 1$ .

c) El lado más largo dividido entre el más corto es la proporción áurea: $\frac{y}{x} = r$ , es decir, $y = r x$ .

Sustituimos $y = r x$ en $x \cdot y = 1$ : $r x^{2} = 1$ .
$x^{2} = \frac{1}{r}$ , luego $x = \frac{1}{r} \approx 0, 786$ m.

Resultado: a) (i) $1, 6180$ ; (ii) $1, 62$ ; b) $x \cdot y = 1$ ; c) $\frac{y}{x} = r = \frac{1 + 5}{2}$ ; d) $x \approx 0, 786$ m

Ejercicio 142 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2019

Tommaso tiene previsto competir en una carrera ciclista regional cuando acabe el instituto, pero para eso necesita comprarse una bicicleta de carreras. Encuentra una bicicleta que cuesta 1100 euros (EUR). Tommaso tiene 950 EUR y decide invertir este dinero en una cuenta que paga al año un 5 % de interés, compuesto mensualmente.

a) Determine la cantidad que tendrá en esta cuenta al cabo de 3 años.

Dé la respuesta redondeando a dos lugares decimales.

El costo (C) de la bicicleta se puede modelizar mediante la expresión $C = 20 x + 1100$ , donde $x$ es el número de años que han transcurrido desde que Tommaso decidió invertir su dinero.

b) Halle la diferencia entre el costo de la bicicleta y la cantidad de dinero que tiene Tommaso en la cuenta al cabo de 3 años. Dé la respuesta redondeando a dos lugares decimales.

Cuando hayan transcurrido $m$ meses completos Tommaso tendrá en la cuenta, por primera vez, suficiente dinero para comprarse la bicicleta.

c) Halle el valor de $m$ .

Ver resultado

Resultado: a) 1103,40 EUR; b) 56,60 EUR; c) $m = 55$

Ver proceso y resultado

Con interés compuesto mensual, $n = 12$ períodos al año, $r = 5 %$ y $t = 3$ años: $950 (1 + \frac{0 , 05}{12})^{36} = 1103, 40 EUR .$

Con $x = 3$ : $C = 20 \cdot 3 + 1100 = 1160$ EUR.
La diferencia es $1160 - 1103, 40 = 56, 60$ EUR.

Después de $m$ meses han pasado $x = \frac{m}{12}$ años, así que el coste es $1100 + \frac{20 m}{12}$ y el dinero ahorrado es $950 (1 + \frac{0 , 05}{12})^{m}$ .
Buscamos el primer $m$ con $950 (1 + \frac{0 , 05}{12})^{m} \geq 1100 + \frac{20 m}{12} .$
Con la CPG (tabla o intersección de las dos gráficas): para $m = 54$ tiene $1189, 15 < 1190, 00$ , y para $m = 55$ tiene $1194, 11 > 1191, 67$ .
Por tanto $m = 55$ .

Resultado: a) 1103,40 EUR; b) 56,60 EUR; c) $m = 55$

Ejercicio 143 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2012

Cedric quiere comprarse un coche de 8000 €. El vendedor de coches le ofrece una opción de pago que consiste en un depósito inicial del 25 %, seguido de 12 pagos mensuales iguales de 600 €.

a) Escriba el valor del depósito.

b) Calcule el coste total del coche con este esquema de pago.

La madre de Cedric decide ayudarle a comprar el coche. Para ello, le da un préstamo de 8000 € sin intereses. Acuerda con él que le devolverá el préstamo pagándole $x$ € el primer mes, y luego $y$ € al mes todos los meses hasta que haya acabado de devolver los 8000 €.

Al cabo de 12 meses, la madre de Cedric ha recibido un total de 3500 €.

Esto se puede expresar mediante la ecuación $x + 11 y = 3500$ .

Al cabo de 24 meses, la madre de Cedric ha recibido un total de 7100 €.

c) Escriba una segunda ecuación que relacione $x$ e $y$ .

d) Escriba el valor de $x$ y el valor de $y$ .

e) Calcule cuántos meses tarda la madre de Cedric en recuperar los 8000 €.

Cedric decide comprarse un coche más barato, que cuesta 6000 €, e invertir los 2000 € restantes en el banco. El banco le ofrece dos opciones distintas de inversión, ambas a tres años.

Opción A: Interés compuesto, con un tipo de interés anual del 8 %.

Opción B: Interés compuesto, con un tipo de interés nominal anual del 7,5 % compuesto mensualmente.

Exprese todas las respuestas del apartado (f) redondeando al número entero de euros más próximo.

f) Calcule el valor de la inversión de Cedric al finalizar esos tres años en el caso de que elija

(i) la opción A;

(ii) la opción B.

Ver resultado

Resultado: a) 2000 €; b) 9200 €; c) $x + 23 y = 7100$ ; d) $x = 200$ €, $y = 300$ €; e) 27 meses; f) (i) 2519 €; (ii) 2503 €

Ver proceso y resultado

Depósito: $0, 25 \cdot 8000 = 2000$ €.

Coste total: $2000 + 12 \cdot 600 = 9200$ €.

En 24 meses ha recibido $x$ el primer mes y $y$ cada uno de los otros $23$ meses: $x + 23 y = 7100.$

Restamos $x + 11 y = 3500$ a $x + 23 y = 7100$ : $12 y = 3600$ , luego $y = 300$ .
Entonces $x = 3500 - 11 \cdot 300 = 200$ .

Tras $n$ meses ha recibido $200 + 300 (n - 1)$ €.
Con $n = 26$ : $200 + 300 \cdot 25 = 7700$ € (aún faltan $300$ €). Con $n = 27$ : $200 + 300 \cdot 26 = 8000$ €.
Recupera los $8000$ € en $27$ meses.

(i) Opción A (anual): $2000 \cdot 1, 0 8^{3} = 2519, 42 \approx 2519$ €.
(ii) Opción B (mensual, $12$ períodos al año, $36$ en total): $2000 (1 + \frac{0 , 075}{12})^{36} = 2502, 89 \approx 2503$ €.

Resultado: a) 2000 €; b) 9200 €; c) $x + 23 y = 7100$ ; d) $x = 200$ €, $y = 300$ €; e) 27 meses; f) (i) 2519 €; (ii) 2503 €

Ejercicio 144 DifícilIB · P2 TZ0 Mayo 2000

El costo de enviar documentos desde Australia a los Estados Unidos de América usando Immediate Courier se registra en la siguiente tabla.

Peso en kilogramos ( $W$ )	Precio en dólares australianos (AUD) ( $C$ )
$0, 0 < W \leq 0, 5$	20
$0, 5 < W \leq 1, 0$	30
$1, 0 < W \leq 1, 5$	40
$1, 5 < W \leq 2, 0$	50
$2, 0 < W \leq 2, 5$	56
$2, 5 < W \leq 3, 0$	62
$3, 0 < W \leq 3, 5$	68
$3, 5 < W \leq 4, 0$	74

a) En papel cuadriculado, usando una escala de 2 cm para representar 1 kg en el eje horizontal y 2 cm para representar 10 AUD en el eje vertical, dibuje y rotule el gráfico, que representa esta información.

El precio de enviar documentos desde Australia a los Estados Unidos de América usando Speedy Courier viene dado por la fórmula $C = 34 + 8 W$ , donde $C$ es el precio en dólares australianos y $W$ es el peso en kilogramos.

b) (i) Copie y complete la siguiente tabla.

$W$	0,5	1	2	3	4
$C$		42

(ii) En los mismos ejes que en la parte (a), dibuje la gráfica que representa a Speedy Courier.

c) Use su gráfica para encontrar

(i) el peso por el cual el precio es el mismo para ambas empresas;

(ii) la diferencia en el precio de enviar un paquete que pesa 3,5 kg.

El peso máximo de cualquier paquete es de 4 kg. Los documentos que pesen más de 4 kg deben colocarse en paquetes separados.

d) Kim gastó 106 AUD para enviar 2 paquetes de documentos con un peso de 5,5 kg.

Sabiendo que utilizó ambos servicios de mensajería, calcule el peso de los documentos que envió a través de cada uno.

Ver resultado

Resultado: a) gráfico en escalera de Immediate Courier (ver figura); b) (i) 38, 42, 50, 58, 66; (ii) recta de Speedy Courier; c) (i) $W = 2$ kg; (ii) 6 AUD; d) 4 kg por Speedy Courier y 1,5 kg por Immediate Courier

Ver proceso y resultado

Es una función en escalera: el precio es constante en cada intervalo de peso, incluyendo el extremo derecho (punto relleno) y sin incluir el izquierdo (punto vacío).
Tramos: $20$ en $(0; 0, 5]$ , $30$ en $(0, 5; 1]$ , $40$ en $(1; 1, 5]$ , $50$ en $(1, 5; 2]$ , $56$ en $(2; 2, 5]$ , $62$ en $(2, 5; 3]$ , $68$ en $(3; 3, 5]$ y $74$ en $(3, 5; 4]$ .

Gráfico en escalera del costo de Immediate Courier (naranja) y recta de Speedy Courier, C = 34 + 8W (azul), que se cortan en (2; 50)

(i) $C = 34 + 8 W$ : $C (0, 5) = 38$ , $C (1) = 42$ , $C (2) = 50$ , $C (3) = 58$ , $C (4) = 66$ .
(ii) La gráfica de Speedy Courier es la recta que pasa por $(0, 5; 38)$ y $(4; 66)$ (ver figura).

(i) Las dos gráficas se cortan en $W = 2$ kg, donde ambas cuestan $50$ AUD.
(ii) Para $3, 5$ kg: Immediate cobra $68$ AUD y Speedy $34 + 8 \cdot 3, 5 = 62$ AUD. La diferencia es $6$ AUD.

Kim envía dos paquetes de $4$ kg como máximo cada uno, uno por cada empresa, con un total de $5, 5$ kg y un gasto de $106$ AUD.
Probamos cada precio posible de Immediate, $C_{I}$ . Entonces Speedy cobra $106 - C_{I}$ , y el peso Speedy es $W_{S} = \frac{106 - C _{I} - 34}{8} = \frac{72 - C _{I}}{8}$ . El peso de Immediate tiene que ser $5, 5 - W_{S}$ y caer en el tramo de $C_{I}$ .

$C_{I}$ (AUD)	$W_{S} = \frac{72 - C _{I}}{8}$	Peso Immediate $= 5, 5 - W_{S}$	¿Coincide con el tramo de $C_{I}$ ?
20	6,5 (más de 4 kg)	--	No
30	5,25 (más de 4 kg)	--	No
40	4	1,5	Sí, $1 < 1, 5 \leq 1, 5$
50	2,75	2,75	No, ese peso cuesta 62
56	2	3,5	No, ese peso cuesta 68
62	1,25	4,25 (más de 4 kg)	No
68	0,5	5 (más de 4 kg)	No
74	0	--	No

La única combinación posible es $4$ kg por Speedy Courier ( $34 + 32 = 66$ AUD) y $1, 5$ kg por Immediate Courier ( $40$ AUD), con un total de $106$ AUD.

Ejercicio 145 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2014

A continuación se muestra la vista frontal del borde de un tanque de agua, dibujado en unos ejes coordenados. La forma del borde sigue el modelo $y = a x^{2} + c$ .

Parábola cóncava hacia arriba con vértice O(0; 0) y los puntos P(-3; 1,8) y Q(3; 1,8) unidos por una recta horizontal discontinua

Las coordenadas del punto P son $(- 3; 1, 8)$ , las del punto O son $(0; 0)$ y las del punto Q son $(3; 1, 8)$ .

a) Escriba el valor de $c$ .

b) Halle el valor de $a$ .

c) A partir de lo anterior, escriba la ecuación de la función cuadrática que define la forma del borde del tanque de agua.

A continuación se muestra el tanque de agua. Está parcialmente lleno de agua.

Dibujo en perspectiva de un tanque de agua alargado con sección parabólica, parcialmente lleno, con los rótulos Longitud, Altura y Anchura y los ejes x e y sin escala

d) Calcule el valor de $y$ cuando $x = 2, 4$ m.

e) Indique qué representa el valor de $x$ y el valor de $y$ en este tanque de agua.

f) Halle el valor de $x$ cuando la altura del agua en el tanque es igual a 0,9 m.

El tanque de agua tiene 5 m de longitud.

g) Cuando se llena el tanque de agua hasta una altura de 0,9 m, el corte transversal frontal del agua tiene un área de 2,55 m $^{2}$ .

(i) Calcule el volumen de agua que hay en el tanque.

El tanque tiene un volumen total de 36 m $^{3}$ .

(ii) Calcule qué porcentaje del tanque está ocupado por el agua.

Ver resultado

Resultado: a) $c = 0$ ; b) $a = 0, 2$ ; c) $y = 0, 2 x^{2}$ ; d) $y = 1, 15$ m; e) $x$ es la mitad de la anchura del agua e $y$ la altura del agua sobre el fondo; f) $x = \pm 2, 12$ m; g) (i) $12, 75$ m $^{3}$ ; (ii) $35, 4 %$

Ver proceso y resultado

La parábola tiene su vértice en el origen $O (0, 0)$ , así que $c = 0$ .

$P (- 3; 1, 8)$ está en la curva: $1, 8 = a \cdot 9$ , luego $a = 0, 2$ .

$y = 0, 2 x^{2}$ .

$y = 0, 2 \cdot 2, 4^{2} = 1, 152 \approx 1, 15$ m.

$x$ es la distancia horizontal desde el centro del tanque hasta la pared (la mitad de la anchura del agua en ese nivel).
$y$ es la altura de la superficie del agua sobre el fondo del tanque.

$0, 9 = 0, 2 x^{2} \Rightarrow x^{2} = 4, 5 \Rightarrow x = \pm 2, 12$ m.
Es decir, la anchura de la superficie del agua es $4, 24$ m.

(i) Volumen $=$ área de la sección por longitud: $V = 2, 55 \cdot 5 = 12, 75$ m $^{3}$ .
(ii) Porcentaje: $\frac{12 , 75}{36} \cdot 100 = 35, 4 %$ .

Ejercicio 146 DifícilIB · P1 TZ0 Mayo 2019

En la isla Little Green no había tortugas, originariamente. Después de que se introdujeran 55 tortugas en la isla, la población de tortugas se puede ahora modelizar mediante la siguiente expresión:

$N (t) = a \times 2^{- t} + 10$ , $t \geq 0$ , donde $a$ es una constante y $t$ es el tiempo transcurrido, en años, desde que se introdujeron las tortugas.

a) Halle el valor de $a$ .

b) Halle el tiempo (en años) que ha de transcurrir para que la población disminuya a 20 tortugas.

Hay un número $m$ a partir del cual la población de tortugas ya no disminuye.

c) Halle el valor de $m$ . Justifique su respuesta.

Ver resultado

Resultado: a) $a = 45$ ; b) $t \approx 2, 17$ años; c) $m = 10$

Ver proceso y resultado

a) En $t = 0$ se introdujeron $55$ tortugas: $N (0) = a \cdot 2^{0} + 10 = a + 10 = 55$ , luego $a = 45$ .

b) $N (t) = 20$ : $45 \cdot 2^{- t} + 10 = 20 \Rightarrow 2^{- t} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}$ . Entonces $t = lo g_{2} \frac{9}{2} \approx 2, 17$ años (o con la CPG, resolviendo $N (t) = 20$ ).

c) $N (t) = 45 \cdot 2^{- t} + 10$ es decreciente, y $2^{- t} \to 0$ cuando $t \to + \infty$ , de modo que $N (t) \to 10$ sin bajar nunca de $10$ (porque $45 \cdot 2^{- t} > 0$ ). La población se estabiliza en torno a $10$ tortugas: $m = 10$ , que es la asíntota horizontal de la gráfica, $y = 10$ .

Resultado: a) $a = 45$ ; b) $t \approx 2, 17$ años; c) $m = 10$

Ejercicio 147 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2017

Una sartén, en la que cocinar una pizza, tiene forma de cilindro. La sartén tiene un diámetro de 35 cm y una altura de 0,5 cm.

Sartén cilíndrica en perspectiva con diámetro de 35 cm (flecha horizontal en la base) y altura de 0,5 cm (flecha vertical en el lateral)

a) Calcule el volumen de este plato.

Un chef tenía suficiente masa de pizza para llenar exactamente la sartén. La masa tenía forma de esfera.

b) Halle el radio de la esfera en cm, con una precisión de un decimal.

La pizza se cocinó en un horno caliente. Una vez sacada del horno, la pizza se colocó en un comedor. La temperatura, $P$ , de la pizza, en grados Celsius, °C, se puede modelar mediante

$P (t) = a (2, 06)^{- t} + 19$ , $t \geq 0$ donde $a$ es una constante y $t$ es el tiempo, en minutos, desde que se sacó la pizza del horno.

Cuando se sacó la pizza del horno su temperatura era de 230 °C.

c) Encuentre el valor de $a$ .

d) Encuentre la temperatura a la que estará la pizza 5 minutos después de sacarla del horno.

La pizza se puede comer una vez que su temperatura baje a 45 °C.

e) Calcule, al segundo más cercano, el tiempo desde que se sacó la pizza del horno hasta que se pueda comer.

f) En el contexto de este modelo, indique qué representa el valor de 19.

Ver resultado

Resultado: a) $481$ cm³; b) $4, 9$ cm; c) $a = 211$ ; d) $24, 7^{\circ} C$ ; e) $174$ s; f) $19^{\circ} C$ es la temperatura a la que tiende la pizza (la temperatura ambiente, su mínimo)

Ver proceso y resultado

a) El radio es $17, 5$ cm y la altura $0, 5$ cm: $V = π r^{2} h = π (17, 5)^{2} (0, 5) \approx 481 cm^{3}$

b) El volumen de la esfera es el de la sartén: $\frac{4}{3} π r^{3} = 481, 06$ , luego $r = 3 \frac{3 \cdot 481 , 06}{4 π} \approx 4, 9 cm$

c) En $t = 0$ : $a \cdot 2, 0 6^{0} + 19 = 230$ , luego $a = 211$ .

d) $P (5) = 211 (2, 06)^{- 5} + 19 \approx 24, 7^{\circ} C$ .

e) Se resuelve $211 (2, 06)^{- t} + 19 = 45$ , es decir, $2, 0 6^{- t} = \frac{26}{211}$ : $t = \frac{ln ( 211/26 )}{ln 2 , 06} \approx 2, 897 min \approx 173, 8 s$ Al segundo más cercano, $174$ s (2 min 54 s).

f) El $19$ es la temperatura del comedor: $2, 0 6^{- t} \to 0$ , así que la temperatura de la pizza tiende a $19^{\circ} C$ y nunca bajará de ese valor.

Resultado: a) $481$ cm³; b) $4, 9$ cm; c) $a = 211$ ; d) $24, 7^{\circ} C$ ; e) $174$ s; f) $19^{\circ} C$ es la temperatura a la que tiende la pizza (la temperatura ambiente, su mínimo)

Ejercicio 148 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2007

El siguiente gráfico muestra la temperatura en grados Celsius de la taza de café de Robert, $t$ minutos después de verterlo. La ecuación del gráfico de enfriamiento es $f (t) = 16 + 74 \times 2, 8^{- 0, 2 t}$ , donde $f (t)$ es la temperatura y $t$ es el tiempo en minutos después de verter el café.

Gráfica decreciente de la temperatura del café f(t) = 16 + 74·2,8^(−0,2t) frente al tiempo en minutos, de 0 a 19

a) Encuentre la temperatura inicial del café.

b) Escriba la ecuación de la asíntota horizontal.

c) Encuentre la temperatura ambiente.

d) Encuentre la temperatura del café después de 10 minutos.

Si el café no está lo suficientemente caliente, se recalienta en un horno microondas. El líquido aumenta en temperatura según la fórmula $T = A \times 2^{1, 5 t}$ , donde $T$ es la temperatura final del líquido, $A$ es la temperatura inicial del café en el microondas y $t$ es el tiempo en minutos después de encender el microondas.

e) Encuentre la temperatura del café de Robert después de calentarlo en el microondas durante 30 segundos después de que haya alcanzado la temperatura en el apartado (d).

f) Calcule el tiempo que tardaría una taza de café similar, inicialmente a $20^{\circ} C$ , para ser calentado en el microondas hasta alcanzar los $100^{\circ} C$ .

Ver resultado

Resultado: a) $90^{\circ} C$ ; b) $y = 16$ ; c) $16^{\circ} C$ ; d) $25, 4^{\circ} C$ ; e) $42, 8^{\circ} C$ ; f) $1, 55$ minutos

Ver proceso y resultado

a) $f (0) = 16 + 74 \times 2, 8^{0} = 90^{\circ} C$ .

b) Cuando $t \to \infty$ , $2, 8^{- 0, 2 t} \to 0$ y $f (t) \to 16$ . La asíntota horizontal es $y = 16$ .

c) La temperatura ambiente es la de la asíntota: $16^{\circ} C$ .

d) $f (10) = 16 + 74 \times 2, 8^{- 2} = 16 + \frac{74}{7 , 84} \approx 25, 4^{\circ} C$ .

e) $30$ segundos son $0, 5$ minutos, y $A = f (10) = 25, 44 \dots$ (valor sin redondear de la CPG): $T = 25, 44 \times 2^{1, 5 \cdot 0, 5} = 25, 44 \times 2^{0, 75} \approx 42, 8^{\circ} C$

f) Con $A = 20$ : $20 \times 2^{1, 5 t} = 100$ , luego $2^{1, 5 t} = 5$ y $t = \frac{lo g _{2} 5}{1 , 5} = \frac{ln 5}{1 , 5 ln 2} \approx 1, 55 min$

Resultado: a) $90^{\circ} C$ ; b) $y = 16$ ; c) $16^{\circ} C$ ; d) $25, 4^{\circ} C$ ; e) $42, 8^{\circ} C$ ; f) $1, 55$ minutos

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp