Funciones exponenciales y modelos de crecimiento y decaimiento

La función exponencial básica

Una función exponencial tiene la forma $f(x)=a^x$, donde la base $a$ es un número positivo distinto de $1$. La variable está en el exponente, y eso la distingue de una potencia como $x^2$.

• Si $a>1$, la función crece: cuanto mayor es $x$, más rápido sube. Es un crecimiento exponencial.
• Si $0<a<1$, la función decrece: se acerca a cero cuando $x$ aumenta. Es un decaimiento exponencial.

En ambos casos la gráfica pasa por el punto $(0,1)$, porque $a^0=1$, y nunca toca el eje $x$. Esa recta a la que la curva se acerca sin llegar a tocarla se llama asíntota horizontal. Para $f(x)=a^x$ la asíntota es $y=0$. El dominio es $\mathbb{R}$ y el recorrido es $]0,+\infty [$.

El IB usa mucho la base especial $e\approx 2,718$. La función $f(x)=e^x$ crece y $f(x)=e^{-x}$ decrece. La CPG lo trae incorporado; tú solo tienes que saber reconocerlo en el modelo.

Para ver qué hace cada constante, evalúa la función en $x=0$: $f(0)=k+c$. El corte con el eje $y$ es siempre $(0,k+c)$. Para el corte con el eje $x$ hay que resolver $k\cdot a^x+c=0$, y existe solo si $-c/k>0$.

Modelos exponenciales

Una cantidad que cambia en un porcentaje fijo en cada periodo sigue un modelo exponencial. Un modelo habitual es $$P(t)=A\cdot a^t\text{o}P(t)=c+k{e}^{-rt}$$ donde $t$ es el tiempo, $A=P(0)$ es el valor inicial si no hay constante añadida, y $r>0$ mide la rapidez del decaimiento.

En un enfriamiento, la temperatura de un objeto se acerca a la del ambiente sin llegar a alcanzarla en un tiempo finito. Por eso la asíntota del modelo es la temperatura ambiente. En un modelo de población que crece sin límite no hay constante añadida y la asíntota es $y=0$.