IB Aplicaciones e Interpretación NM · Funciones · Apartado 3 de 7

Funciones cuadráticas y modelos cuadráticos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una función cuadrática $f (x) = a x^{2} + b x + c$ tiene como gráfica una parábola, con un vértice que es su punto más alto o más bajo. Esa forma describe lo que se lanza y cae, las áreas que dependen de un lado y los beneficios con un óptimo, y por eso aparece una y otra vez en el examen.

La función cuadrática y su parábola

Una función cuadrática es una función de la forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , con $a \neq = 0$ . Los números $a$ , $b$ y $c$ son los parámetros. Su gráfica es una parábola.

Si $a > 0$ , la parábola se abre hacia arriba (como una U) y su vértice es un mínimo.
Si $a < 0$ , se abre hacia abajo y su vértice es un máximo.
Cuanto mayor es $∣ a ∣$ , más cerrada es la parábola.
El parámetro $c$ es el valor en $x = 0$ : la parábola corta el eje $y$ en $(0, c)$ .

La parábola es simétrica respecto de una recta vertical que pasa por el vértice, el eje de simetría, de ecuación

$x = - \frac{b}{2 a}$

El vértice está en esa recta, así que su coordenada $x$ es $- \frac{b}{2 a}$ , y su coordenada $y$ se obtiene sustituyendo ese valor en $f$ .

Cortes con los ejes y discriminante

El corte con el eje $y$ es $(0, c)$ . Los cortes con el eje $x$ son las soluciones de $a x^{2} + b x + c = 0$ : se llaman ceros de la función. La fórmula de la ecuación de segundo grado da

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

El número $Δ = b^{2} - 4 a c$ es el discriminante, y dice cuántos cortes con el eje $x$ tiene la parábola:

Cuando hay dos cortes, $x_{1}$ y $x_{2}$ , el eje de simetría pasa justo por el punto medio entre ellos: $x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ . Es una forma rápida de hallar la coordenada $x$ del vértice.

Tres formas de escribir una cuadrática

Cada forma resuelve mejor un tipo de pregunta. Para hallar el eje o el vértice con la forma general, usa $x = - \frac{b}{2 a}$ . Para pasar de la factorizada a la general, desarrolla el producto. En cualquiera de las tres, el parámetro $a$ es el mismo.

Parábola f(x) = x² − 6x + 5 con cortes (0; 5), (1; 0) y (5; 0), mínimo (3; −4), eje de simetría x = 3 y punto simétrico (6; 5)

Cómo hallar la expresión a partir de datos

Para determinar $a$ , $b$ y $c$ , o los parámetros de otra forma, plantea una ecuación por cada dato:

Modelos cuadráticos

Muchos problemas se modelizan con una cuadrática: la altura de un objeto lanzado en función del tiempo, el área de una figura en función de un lado o el beneficio en función del número de unidades. Las preguntas típicas son:

¿Cuál es el máximo (o el mínimo) y dónde se alcanza? Es el vértice. Da sus dos coordenadas y di qué representa cada una.
¿Cuándo vale algo concreto? Iguala la función a ese valor y resuelve. Si salen dos soluciones, descarta las que no tengan sentido en el contexto (un tiempo negativo, una longitud negativa).
¿En qué momento toca el suelo? Es el cero positivo, es decir, la solución de $h (t) = 0$ con $t > 0$ .

Intersección de funciones

Dos funciones $f$ y $g$ se cortan donde $f (x) = g (x)$ . Para una cuadrática y una recta, esa ecuación se reduce a una de segundo grado, con cero, una o dos soluciones. Se resuelve a mano o con la CPG dibujando las dos gráficas. Después se halla la coordenada $y$ sustituyendo en cualquiera de las dos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Rasgos de una parábola

Considera la función $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

a) Halla la ecuación del eje de simetría.

b) Halla las coordenadas del vértice.

c) Halla los cortes con el eje $x$ .

d) Halla el corte con el eje $y$ .

Solución

a) Con $a = 1$ y $b = - 6$ : $x = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ . El eje de simetría es $x = 3$ .

b) Sustituimos $x = 3$ : $f (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ . El vértice es $(3, - 4)$ . Como $a > 0$ , es un mínimo.

c) Resolvemos $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ : $(x - 1) (x - 5) = 0$ , de donde $x = 1$ y $x = 5$ . Cortes: $(1, 0)$ y $(5, 0)$ . Se confirma que $x = 3$ es el punto medio: $\frac{1 + 5}{2} = 3$ .

d) El corte con el eje $y$ es $(0, c) = (0, 5)$ .

Ejemplo 2 Medio

Parábola a partir de sus cortes

Una parábola corta el eje $x$ en $(- 3, 0)$ y en $(5, 0)$ y corta el eje $y$ en $(0, 15)$ . Su ecuación es $f (x) = a (x - p) (x - q)$ .

a) Halla el valor de $a$ .

b) Escribe la ecuación en la forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

c) Halla las coordenadas del vértice.

Solución

a) Los cortes con el eje $x$ dan $p = - 3$ y $q = 5$ , así que $f (x) = a (x + 3) (x - 5)$ . Como $f (0) = 15$ : $a \cdot 3 \cdot (- 5) = 15 \Rightarrow - 15 a = 15 \Rightarrow a = - 1$

b) Desarrollamos: $f (x) = - (x + 3) (x - 5) = - (x^{2} - 2 x - 15) = - x^{2} + 2 x + 15$ .

c) El eje de simetría es el punto medio de los cortes: $x = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$ . Entonces $f (1) = - 1 + 2 + 15 = 16$ . El vértice es $(1, 16)$ , un máximo, ya que $a < 0$ .

Ejemplo 3 Difícil

Trayectoria de un balón

Un jugador lanza un balón desde una altura inicial sobre el suelo. La altura del balón, en metros, $t$ segundos después del lanzamiento es $h (t) = - 5 t^{2} + 12 t + 2, t \geq 0$

a) Escribe la altura desde la que se lanza el balón.

b) Halla la altura máxima y el instante en el que se alcanza.

c) Halla en qué instante el balón llega al suelo.

d) Halla durante cuánto tiempo el balón está a más de $8$ metros de altura.

Altura h(t) = −5t² + 12t + 2 entre t = 0 y el suelo (t ≈ 2,56), con máximo (1,2; 9,2), altura inicial 2 m y tramo naranja de h > 8 m entre t ≈ 0,71 y t ≈ 1,69

Solución

a) Es el valor en $t = 0$ : $h (0) = 2$ . El balón sale de $2$ m de altura.

b) La altura máxima está en el vértice. El instante es $t = - \frac{12}{2 \cdot ( - 5 )} = \frac{6}{5} = 1, 2 s$ y la altura es $h (1, 2) = - 5 \cdot 1, 44 + 14, 4 + 2 = 9, 2$ . La altura máxima es $9, 2$ m, a los $1, 2$ s. Con la CPG se lee el mismo máximo en el punto $(1, 2; 9, 2)$ .

c) Resolvemos $h (t) = 0$ , es decir, $- 5 t^{2} + 12 t + 2 = 0$ : $t = \frac{- 12 \pm 144 + 40}{- 10} = \frac{6 \mp 46}{5}$ Las soluciones son $t \approx - 0, 156$ y $t \approx 2, 556$ . Se descarta la negativa porque el tiempo no puede ser negativo en el modelo. El balón llega al suelo en $t = \frac{6 + 46}{5} \approx 2, 56$ s.

d) Resolvemos $h (t) = 8$ : $- 5 t^{2} + 12 t - 6 = 0$ , que equivale a $5 t^{2} - 12 t + 6 = 0$ . Entonces $t = \frac{12 \pm 144 - 120}{10} = \frac{6 \pm 6}{5} \approx 0, 710 y 1, 690$ El balón supera los $8$ m entre estos dos instantes. El tiempo transcurrido es la diferencia: $\frac{6 + 6}{5} - \frac{6 - 6}{5} = \frac{2 6}{5} \approx 0, 98 s$

En el examen: al calcular el instante en que llega al suelo, indica por qué descartas una de las dos soluciones. En el apartado d) dos soluciones no se restan de forma automática: primero interpreta que entre las dos raíces la altura es mayor que $8$ .

Errores típicos

Resumen

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ tiene como gráfica una parábola: hacia arriba si $a > 0$ (mínimo) y hacia abajo si $a < 0$ (máximo).
Eje de simetría: $x = - \frac{b}{2 a}$ . El vértice se halla sustituyendo ese valor en $f$ .
Corte con el eje $y$ : $(0, c)$ . Cortes con el eje $x$ : soluciones de $f (x) = 0$ , y el discriminante $Δ = b^{2} - 4 a c$ dice cuántos hay.
Formas: general $a x^{2} + b x + c$ , factorizada $a (x - p) (x - q)$ y de vértice $a (x - h)^{2} + k$ .
En los modelos, el vértice da el máximo o el mínimo; las soluciones sin sentido en el contexto se descartan.
Dos funciones se cortan donde $f (x) = g (x)$ ; la CPG da los puntos de corte.

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