IB Aplicaciones e Interpretación NM · Funciones · Apartado 6 de 7

Funciones de potencias enteras y asíntotas verticales y horizontales

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Las funciones con potencias enteras de $x$ forman una familia amplia: cúbicas, funciones con $1/ x$ , con $1/ x^{2}$ … Su gráfica se analiza con la CPG, y lo que más se pregunta en el examen son los máximos y mínimos locales, los cortes con los ejes y las asíntotas, que dicen cómo se comporta la función cerca de un valor prohibido o muy lejos del origen.

Potencias positivas: la función cúbica

Una función cúbica es una función polinómica cuya mayor potencia de $x$ es $3$ : $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, a \neq = 0$ Su gráfica tiene forma de «S». Si $a > 0$ sube hacia la derecha y baja hacia la izquierda; si $a < 0$ , al revés. Puede cortar al eje $x$ en uno, dos o tres puntos, y puede tener un máximo local y un mínimo local, o ninguno. El corte con el eje $y$ es siempre $(0, d)$ .

En el examen no se espera que derives ni factorices una cúbica complicada: se dibuja con la CPG y se leen los ceros, el máximo local y el mínimo local. Si la función aparece ya factorizada, puedes ver los ceros directamente.

Potencias negativas y asíntotas

Cuando $x$ aparece en el denominador, la función no existe en algunos valores. La función más sencilla es $f (x) = \frac{1}{x}, x \neq = 0$ Si te acercas a $0$ por la derecha, $1/ x$ se hace enorme y positivo. Si te acercas por la izquierda, se hace enorme y negativo. Si $x$ se hace muy grande, positiva o negativa, $1/ x$ se acerca a $0$ .

Para $f (x) = \frac{a}{x} + b$ , con $a \neq = 0$ : la asíntota vertical es $x = 0$ y la horizontal es $y = b$ . Si $a > 0$ la gráfica tiene dos ramas, una en el primer cuadrante respecto de las asíntotas y otra en el tercero. Si $a < 0$ , las ramas están en los otros dos. Para $f (x) = \frac{a}{x ^{2}} + b$ las dos ramas quedan por encima de la asíntota horizontal si $a > 0$ , porque $x^{2}$ nunca es negativo.

Gráfica de f(x) = 6/x + 2 con asíntota vertical x = 0 y horizontal y = 2, y corte con el eje x en (−3; 0)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Asíntotas de una función con 1/x

Sea $f (x) = \frac{6}{x} + 2$ , con $x \neq = 0$ .

a) Escribe la ecuación de la asíntota vertical y da el valor de $x$ .

b) Escribe la ecuación de la asíntota horizontal y da su valor $y$ .

c) Calcula $f (3)$ .

d) Halla el valor de $x$ para el que $f (x) = 0$ .

Solución

a) La función no está definida en $x = 0$ , y cuando $x$ se acerca a $0$ el cociente $6/ x$ se hace muy grande en valor absoluto. La asíntota vertical es $x = 0$ .

b) Cuando $x$ es muy grande, $6/ x$ se acerca a $0$ y $f (x)$ se acerca a $2$ . La asíntota horizontal es $y = 2$ .

c) $f (3) = \frac{6}{3} + 2 = 4$ .

d) Resolvemos $\frac{6}{x} + 2 = 0$ : $\frac{6}{x} = - 2 \Rightarrow x = - 3$

Respuesta: a) $x = 0$ ; b) $y = 2$ ; c) $4$ ; d) $x = - 3$ .

Ejemplo 2 Medio

Una cúbica con la CPG

Sea $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27$ .

a) Con la CPG, halla los valores de $x$ en los que la gráfica corta al eje $x$ .

b) Halla las coordenadas del máximo local y del mínimo local.

c) Halla los valores de $k$ para los que la ecuación $f (x) = k$ tiene exactamente tres soluciones. Da los dos extremos del intervalo abierto, de menor a mayor.

Solución

a) Dibujamos la gráfica con la CPG y hallamos los ceros. Se obtiene $x = - 3$ y $x = 3$ . Se puede comprobar factorizando: $f (x) = (x - 3)^{2} (x + 3)$ , con $x = 3$ como raíz doble. Por eso la gráfica toca al eje $x$ en $x = 3$ sin atravesarlo.

b) Con la función de máximo y mínimo de la CPG se obtiene el máximo local en $(- 1, 32)$ y el mínimo local en $(3, 0)$ . Comprobación: $f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 27 = 32$ y $f (3) = 27 - 27 - 27 + 27 = 0$ .

c) La ecuación $f (x) = k$ se resuelve buscando los puntos de corte de la gráfica con la recta horizontal $y = k$ . La recta corta tres veces cuando está entre el mínimo local y el máximo local, es decir, cuando $0 < k < 32$ . En los valores $k = 0$ y $k = 32$ la recta toca la gráfica en un punto de tangencia y solo hay dos soluciones.

Respuesta: a) $x = - 3$ y $x = 3$ ; b) máximo local $(- 1, 32)$ y mínimo local $(3, 0)$ ; c) $0 < k < 32$ .

Ejemplo 3 Difícil

Coste por persona de un viaje en autocar

Un instituto alquila un autocar para una excursión. El coste del alquiler es fijo y se reparte entre los $n$ alumnos que van. Además cada alumno paga la comida. El coste por alumno, en euros, es $C (n) = 12 + \frac{180}{n}, n \geq 1$

a) Halla el coste por alumno si van $10$ alumnos.

b) Halla cuántos alumnos tienen que ir para que el coste por alumno sea de $18$ euros.

c) Escribe la ecuación de la asíntota horizontal de $C$ y explica qué significa en este contexto.

d) Halla el menor número de alumnos para que el coste por alumno sea menor que $13$ euros.

Solución

a) $C (10) = 12 + \frac{180}{10} = 12 + 18 = 30$ . Cada alumno paga $30$ euros.

b) Resolvemos $C (n) = 18$ : $12 + \frac{180}{n} = 18 \Rightarrow \frac{180}{n} = 6 \Rightarrow n = 30$ Tienen que ir $30$ alumnos.

c) Cuando $n$ es muy grande, $\frac{180}{n}$ se acerca a $0$ y $C (n)$ se acerca a $12$ . La asíntota horizontal es $C = 12$ . Significa que, por mucha gente que vaya, el coste por alumno nunca baja de $12$ euros: ese es el gasto fijo de cada uno (la comida), y el alquiler del autocar se diluye cada vez más.

d) Planteamos $C (n) < 13$ : $12 + \frac{180}{n} < 13 \Rightarrow \frac{180}{n} < 1 \Rightarrow n > 180$ Como $n$ es un número entero, el menor valor es $n = 181$ . También se puede ver con la CPG: se dibuja $C$ y se busca dónde la curva queda por debajo de la recta $y = 13$ .

En el examen: al interpretar una asíntota, nombra la magnitud y di qué ocurre en el contexto («el coste por alumno se acerca a $12$ euros»), no solo la ecuación. En un contexto con una variable entera, el resultado final debe ser un entero válido.

Errores típicos

Resumen

Una cúbica $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ puede tener un máximo y un mínimo locales; se localizan con la CPG.
Una asíntota vertical $x = a$ aparece cuando la función no existe en $a$ y crece sin límite cerca de él.
Una asíntota horizontal $y = b$ describe a qué valor se acerca la función cuando $x$ es muy grande o muy negativo.
Para $f (x) = \frac{a}{x} + b$ , las asíntotas son $x = 0$ e $y = b$ .
Resolver $f (x) = k$ equivale a cortar la gráfica con la recta horizontal $y = k$ ; en un contexto, interpreta siempre las asíntotas con palabras.

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