IB Aplicaciones e Interpretación NM · Funciones · Apartado 4 de 7

Función inversa: cómo hallarla y qué significa

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La función inversa $f^{- 1}$ deshace lo que hace $f$ : si $f$ lleva $x$ a $y$ , la inversa lleva $y$ de nuevo a $x$ . Sirve para despejar la variable de entrada de un modelo, por ejemplo hallar qué precio sin recargo corresponde a un precio final dado.

Funciones uno a uno

Una función es inyectiva (o uno a uno) si dos valores distintos de $x$ siempre dan valores distintos de $f (x)$ . Es la condición para que se pueda deshacer: si dos entradas dieran la misma salida, al volver no sabrías de cuál partías.

La función $f (x) = 2 x + 1$ cumple la prueba, porque una recta no horizontal es siempre inyectiva. En cambio $f (x) = x^{2}$ no la cumple: $f (2) = f (- 2) = 4$ . Pero se puede arreglar restringiendo el dominio: si solo se consideran los valores $x \geq 0$ , la función ya es inyectiva y tiene inversa.

Definición de la inversa

Aviso de notación: $f^{- 1} (x)$ no es $\frac{1}{f ( x )}$ . El $- 1$ indica la función inversa, no un exponente.

Cómo hallar la inversa

Con $f (x) = 2 x + 1$ : de $y = 2 x + 1$ despejamos $x = \frac{y - 1}{2}$ , y cambiando los nombres queda $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2}$ . Comprobación: $f (3) = 7$ y $f^{- 1} (7) = \frac{6}{2} = 3$ .

La gráfica de la inversa

Si el punto $(a, b)$ está en la gráfica de $f$ , el punto $(b, a)$ está en la de $f^{- 1}$ . Por eso las dos gráficas son simétricas respecto de la recta $y = x$ : una es el reflejo de la otra en ese espejo. Si una función tiene un corte con el eje $x$ en $(a, 0)$ , su inversa tiene un corte con el eje $y$ en $(0, a)$ .

Función f(x) = x² − 4 para x ≥ 0 y su inversa f⁻¹(x) = √(x + 4) como reflejo respecto de la recta y = x, con pares de puntos simétricos marcados

Composición de funciones

La composición $f \circ g$ aplica primero $g$ y luego $f$ :

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$

Se lee « $f$ después de $g$ ». En general $f \circ g$ y $g \circ f$ son distintas. La composición explica la inversa: aplicar una función y después su inversa devuelve el valor de partida,

$(f^{- 1} \circ f) (x) = x (f \circ f^{- 1}) (x) = x$

Esta propiedad sirve para comprobar que una inversa está bien calculada.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Inversa de una función lineal

Sea $f (x) = 3 x - 7$ .

a) Halla $f^{- 1} (x)$ .

b) Calcula $f^{- 1} (8)$ .

Solución

a) Escribimos $y = 3 x - 7$ y despejamos $x$ : $3 x = y + 7$ , luego $x = \frac{y + 7}{3}$ . Cambiamos los nombres de las variables: $f^{- 1} (x) = \frac{x + 7}{3}$ .

b) $f^{- 1} (8) = \frac{8 + 7}{3} = 5$ . Comprobamos: $f (5) = 15 - 7 = 8$ .

Ejemplo 2 Medio

Inversa con el dominio restringido

Sea $f (x) = x^{2} - 4$ , con dominio $x \geq 0$ .

a) Halla $f^{- 1} (x)$ .

b) Escribe el dominio de $f^{- 1}$ .

c) Calcula $f^{- 1} (5)$ .

Solución

a) De $y = x^{2} - 4$ obtenemos $x^{2} = y + 4$ . Como el dominio de $f$ es $x \geq 0$ , solo sirve la raíz positiva: $x = y + 4$ . Cambiando los nombres, $f^{- 1} (x) = x + 4$ .

b) El dominio de $f^{- 1}$ es el recorrido de $f$ . Para $x \geq 0$ , $x^{2} \geq 0$ , así que $f (x) \geq - 4$ . El recorrido de $f$ es $[- 4, \infty [$ y ese es el dominio de $f^{- 1}$ . Coincide con la condición de la raíz: $x + 4 \geq 0$ .

c) $f^{- 1} (5) = 5 + 4 = 3$ . Comprobamos: $f (3) = 9 - 4 = 5$ .

Ejemplo 3 Difícil

Precio con recargo y descuento

Una tienda online calcula el precio final de un artículo a partir de su precio base $p$ , en euros. Primero aplica un recargo del $20 %$ por gastos de gestión, con la función $g (p) = 1, 2 p$ . Después resta un cupón de $18$ €, con la función $h (x) = x - 18$ .

a) Halla la función $C = h \circ g$ que da el precio final en función de $p$ .

b) Halla la función inversa $C^{- 1} (x)$ .

c) Un cliente paga $102$ € por un artículo. Halla su precio base.

d) Explica qué representa $C^{- 1}$ en este contexto.

Solución

a) Aplicamos primero $g$ y luego $h$ : $C (p) = h (g (p)) = g (p) - 18 = 1, 2 p - 18$

b) Escribimos $y = 1, 2 p - 18$ y despejamos $p$ : $1, 2 p = y + 18 \Rightarrow p = \frac{y + 18}{1 , 2} = \frac{5 ( y + 18 )}{6}$ Cambiando los nombres de las variables, $C^{- 1} (x) = \frac{5 ( x + 18 )}{6}$ .

c) El precio final es $102$ , así que el precio base es $C^{- 1} (102) = \frac{5 \cdot 120}{6} = 100 €$ Comprobamos con la función directa: $C (100) = 120 - 18 = 102$ .

d) $C^{- 1} (x)$ recibe el precio final pagado $x$ y devuelve el precio base $p$ del artículo. Deshace los dos pasos en orden inverso: primero suma el cupón de $18$ € y después divide entre $1, 2$ (quita el recargo).

En el examen: en una composición, el orden importa: $h \circ g$ significa «primero $g$ ». Si lo haces al revés, obtienes $1, 2 (p - 18)$ , que es otra función. Comprueba siempre la inversa con un valor, como en el apartado c).

Errores típicos

Resumen

Una función tiene inversa si es inyectiva: ninguna recta horizontal corta su gráfica más de una vez.
$f^{- 1}$ deshace a $f$ : $f (x) = y ⟺ f^{- 1} (y) = x$ . No es $\frac{1}{f}$ .
Para hallarla: escribe $y = f (x)$ , despeja $x$ y cambia los nombres de las variables.
Dominio de $f^{- 1}$ = recorrido de $f$ , y recorrido de $f^{- 1}$ = dominio de $f$ .
Las gráficas de $f$ y $f^{- 1}$ son simétricas respecto de $y = x$ .
$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ aplica primero $g$ ; además $(f \circ f^{- 1}) (x) = (f^{- 1} \circ f) (x) = x$ .

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